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高中数学 1.6 2微积分基本定理教案 新人教A版选修2-2

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[教学目的]使学生了解积分上限函数的概念，理解微积分基本定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式与积分上限函数的求导方法．

[重点与难点]重点是微积分基本定理与牛顿—莱布尼兹公式，难点是微积分基本定理的证明．

[教学过程]

前面介绍了积分的概念，从理论上讲，总可通过和式的极限来确定积分的值，但实际运算起来是很繁琐的，有时甚至无法计算。本节通过揭示积分与导数的关系，将引出计算积分的一个简便而可行的计算公式——牛顿—莱布尼兹公式.

为了解决这个问题，我们先来介绍积分上限函数的概念及其性质

一、积分上限函数及其导数

⒈ 积分上限函数的概念

设函数)(xfy在],[ba上连续，x为],[ba上的一点，不难得知，)(xf在部分区间],[xa上的积分xadxxf)(存在，这里，x既表示积分的上限又表示积分变量，为明确起见，把积分变量改用另一字母t表示，从而该积分可表为xadttf)(.

显然，对于],[ba上的任一取值x，积分xadttf)(都有唯一确定的值与之对应，因此，xadttf)(在区间],[ba上确定了一个以积分上限x为自变量的函数，称之为积分上限函数，通常记为)(x，即)(xxadttf)()(bxa

⒉ 积分上限函数的性质

积分上限函数具有如下的重要性质

定理1（微积分基本定理）如果函数)(xfy在],[ba上连续，则积分上限的函数

)(xxadttf)()(bxa

在],[ba上可导，且)(xxadttfdxd)()(xf)(bxa

证明 当),(bax时，若自变量在x处取得增量x且),(baxx，函数)(x相应的增量为

)(xx)(xxxxdttf)(xf)(（积分中值定理）

其中，介于x与xx之间。于是，)(xxx0lim)(lim0fx)(xf 当ax或bx时，同理可证得：)(a)(af，)(b)(bf 证毕

这个定理的重要意义在于：

⑴肯定了连续函数的原函数必存在；

⑵初步揭示了积分与导数的关系,从而预示有可能通过原函数来求得积分；

⑶给出了积分上限函数的导数公式xadttfdxd)()(xf,并由复合函数的求导法则可推得

)()(xadttfdxd)()]([xxf

例1 求极限xdttxx020coslim.

解：易知该极限为00型未定式，故由洛必达法则得

xdttxx020coslim1coslim020xxdttdxd20coslimxx1

例2 求下列函数的导数：

⑴ )(xxtdtecos12 ⑵ )(xxxdtt222sin

解：⑴)(xxtdtecos12)(cos2cosxexxexsin2cos

⑵；因为)(xxxdtt222sin022sinxdttxdtt202sinxdtt202sin202sinxdtt

所以，)(xxdtt202sin202sinxdtt)2()2sin(2xx)(sin24xx

24sin2x4sin2xx.

例3 设)(xf是)0[，内的正值连续函数，证明函数)(xFxxdttfdtttf00)()(

在)0(，内是单调增加的. 证 因为)(xF2000)()()()()(xxxdttfdttftxfdttfxfx

2000)()()()(xxxdttfdtttfdttxfxf200)()()()(xxdttfdttftxxf

当0x时，在],0[x上，0)(xf，0)()(tftx，且0)()(tftx，故知

0)(xF，从而推得)(xF在)0(，内是单调增加的.

二、牛顿—莱布尼兹公式

定理2 如果函数)(xF是连续函数)(xf在],[ba的一个原函数，那么

badxxf)()()(aFbF

证 因为)(xf在],[ba上连续，所以，)(xxadttf)(为)(xf的一个原函数，又)(xF是)(xf的原函数，因此，)(xCxF)(

当ax时，)(aCaF)(，又)(a0)(aadttf得)(aFC

当bx时，有)(b)()(aFbF即badttf)()()(aFbF整理即得

badxxf)()()(aFbF 证毕

注：⑴ 上式叫牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式.

⑵ 在运用该公式时，)()(aFbF通常记为baxF)(或baxF)(；

⑶ 该公式对于ba时也适用；

公式表明：一个连续函数在某一区间上的积分等于它的任何一个原函数在该区间上的增量.这就为积分的计算提供了一个简便而有效的方法.

例4 求102dxx.

解：因为Cxdxx3231

所以，102dxx3131103x 例5 求012241133dxxxx.

解：因为，dxxxx1133224dxxx11322Cxxarctan3

所以，012241133dxxxx013arctanxx41

由上可知，利用牛顿—莱布尼兹公式求积分一般分两步完成，运算熟练后，可合并表示.

例6

求022cosdxx.

解：022cosdxx0)cos1(21dxx0sin21xx2

例7 求222},max{dxxx.

解：因为，211002},max{222xxxxxxxx

所以，222},max{dxxx022dxx10dxx212dxx

02331x10221x21331x211

例8 设),()0,(0],0[sin21)(xxxxf，求)(xxdttf0)(在),(内的表达式.

解：当x0时，)(xxtdt0sin21)cos1(21cos210xtx

当0x时，)(xxdt000

当x时，)(x0)(dttfxdttf)(

0sin21dttxdt00cos21t01

所以， xxxxx10)cos1(2100)(

习题3.2

1．求由参数表示式tudux0sin，tuduy0cos所确定的函数y对x的导数．

２．求下列极限：

⑴2cos10limxdtextx ⑵xdteexttxcos1)(lim00

３．计算下列各函数的导数：

⑴)(xxdtt121 ⑵)(x23411xxdtt

4．计算下列各积分：

⑴ 331211dxx ⑵2121211dxx

⑶ 10)1(dxxx ⑷2121dxxx

⑸2111edxx ⑹20sindxx

⑺xdx3cos ⑻xdx2sin

⑼20)(dxxf,其中, 12111)(2xxxxxf．

5．设]2,1[)1,0[)(2xxxxxf，求)(xxdttf0)(在]2,1[的表达式．

６．求函数)(xxdttt02)(6的极值．

７．设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导且0)(xf，试证明：)(xFxadttfax)(1在),(ba内有0)(xF．

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高中数学微积分基本定理与应用人教版选修2.doc

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高中数学专题训练——微积分基本定理与应用

定积分

微积分基本定理与应用

【知识网络】

1． 直观了解微积分基本定理的含义。

2． 会求简单的定积分。

3． 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。

【典型例题】

[例1]（1）由抛物线xy2和直线x=1所围成的图形的面积等于 （ ）

A．1 B．34 C．32 D．31

（2）如图，阴影部分的面积是 （ ）

A．32 B．329

C．332 D．335

（3）dxx|4|102= （ ）

A．321 B．322

C．323 D．325

（4）dxx222cos= ．

（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力221rmmkF，k为常数，21,mm为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a） ．

[例2] 如图，求由两条曲线2xy，24xy及直线y= -1所围成图形的面积．

[例3]如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为329a，求直线l的方程． y

x o

1 2 2 - -1

-1 A B C D 2xy

24xy

例2图 例1（2）

[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．

（1）求直线l1的方程；

（2）设ABD的面积为S1，求BD及S1的值；

（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．

【课内练习】

1． 50(24)xdx= （ ）

2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

章末整合提升

章末达标测试

模块综合检测

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

高中数学人教版选修2-2全套教案

高中数学人教版选修2-2全套教案

第一章 导数及其应用

§1.1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr

分析: 343)(VVr，

⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr

⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

1212)()(VVVrVr h

t o问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= ++10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课堂探究新人教A版选修2-2讲义

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课堂探究新人教A版选修2-2讲义

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 利用微积分基本定理计算定积分

1．求函数f(x)在某个区间上的定积分时，要注意：

(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的原函数．当这个原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数以及常数的和或差．

(2)精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．

2．常见函数的定积分公式

(1)baCdx＝Cx|ba(C为常数)．

(2)baxndx＝1n＋1xn＋1|ba(n≠－1)．

(3)basin xdx＝－cos x|ba.

(4)bacos xdx＝sin x|ba.

(5)ba1xdx＝ln x|ba(b＞a＞0)．

(6)baexdx＝ex|ba.

(7)baaxdx＝axln a|ba(a＞0且a≠1)．

【典型例题1】计算下列定积分：

(1)21(x2＋2x＋3)dx；

(2)0π(cos x－ex)dx；

(3)e11xdx；

(4)312x3－1x2dx.

思路分析：根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．

解：(1)∵13x3＋x2＋3x′＝x2＋2x＋3，

∴21(x2＋2x＋3)dx＝13x3＋x2＋3x21| 2 ＝83＋4＋6－13＋1＋3＝253.

(2)∵(sin x)′＝cos x，(ex)′＝ex，

∴0π(cos x－ex)dx＝(sin x－ex)0π|

＝(sin 0－e0)－[sin(－π)－e－π]＝1eπ－1.

(3)∵(ln x)′＝1x，

∴e11xdx＝ln xe1|＝ln e－ln 1＝1.