正态分布图

µ
2.正态分布密度函数： 正态分布密度函数： 正态分布密度函数
正态曲线（ 正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 ） 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 两端逐渐下降并完全对称， 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为： 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
−( X −µ)2 2σ 2
1 f ( z) = 2π
e
−
z 2
2
− ∞ < z < +∞
经标准化变换后，原变量X变为 ，Z服从总体 经标准化变换后，原变量 变为Z， 服从总体 变为 均数为0，总体标准差为 的正态分布 的正态分布， 均数为 ，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（ 正态分布（standard normal distribution）。 ） 记作： 记作：
习惯上用N 表示均数为µ 标准差为σ 习惯上用 (µ ，σ2)表示均数为 、标准差为 表示均数为 的正态分布。记作： 的正态分布。记作：
X ~ N(µ,σ )
2
二、正态曲线下面积的分布规律 （一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由µ 所决定。 正态曲线下面积的分布规律由 及σ所决定。 所决定 一般正态分布曲线下面积分布状况： 一般正态分布曲线下面积分布状况： µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ 0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
Z ~ N ( 0 ，) 1
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表， 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称， 分布两边对称，表中只给出 取负值的情况。 了Z取负值的情况。表内所 取负值的情况 列数相当于Z值左侧标准正 列数相当于 值左侧标准正 态分布曲线下面积， 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。 。

正态曲线 0.007767 0.241498 3.507765 23.80063 75.43755 111.6935 77.25189 24.95925 3.766995 0.265583 0.008747 0.000135 9.67E-07 3.25E-09 5.09E-12 3.73E-15 1.28E-18 2.04E-22 1.52E-26 5.32E-31 8.66E-36
清除
重新
AS_angle
280 1 141 80 382 -100 280 0.013 -1.195 0.00%
组界上限 381.7989 组界下限 -99.6132 481.4121 极差 2.683 数据精度 每组宽幅 70
目标 下限 上限
122.8628 116.7197 116.7197 -99.6132 81.70378 381.7989 81.70378 280 1 141.0929 80.23535 381.7989 -99.6132
组界 -245 -175 -105 -35 35 105 175 245 315 385 455 525 595 665 735 805 875 945 1015 1085 1155 1225 1295 1365 1435 1505 1575
数据个数 0 0 0 32 73 70 70 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.00
重新
生成相关图片；
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
组名 -210 -140 -70 0 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700 770 840 910 980 1050 1120 1190 1260 1330 1400 1470 1540 1610

直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。

直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。

Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。

Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。

VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。

图形设定TRUE起点0操作步骤及说明：1. 在Excel、Word等电子文档的表格内复制源数据，不限排列方式，但不得含有其它无关数据；然后点击本页面的“更新数据”按钮，源数据即被调入本文件；2. 在本页面黄色区域内填写相关信息和测试标准，然后点击“重新绘图”按钮，则生成相关图片；3. 当复制的所有数据完全相等，或者所复制的内容、数据为文字格式时，本程式无法绘图。

4. 本图表可以自定义图形的组距和组界，其中组界是通过设定 X 起点的方式实现；图形实际显示的范围比 X 起点和 X 终点都要多出半个组距，如例图，如果起点设定为2.72，组距设定为 0.04，那么当把下限设定为2.7时，红色的规格线2.7也将出现在图形上。

5. 图形的复制和保存的默认路径在本程序所在的文件夹下，如果点击“另存打开”，则复制后得到的图形文件呈打开状态，点击“另存关闭”，则所复制得到图形文件直接保存并关闭。

6. 首次使用VBA程序时，应首先将EXCEL中的安全性设定为“中” (具体设定位置在“工具” → “宏” →“安全性”)，然后关闭本文件，再次打开这个文件，在打开文件时遇到的第一个对话框上选择“启用宏”。

如果您觉得这个小程序非常好用，别忘了转发给需要的朋友，谢谢！可到以下链接下载最新版本：下载地址：http://58.211.3.23/downloads/download.asp Lijiuqinn@ 版 本 号：V070321A 2007-3-21(excellent)软件感谢感谢您使用这个小程序，同时，为向您发布下面的小广告而诚挚道歉，并期待您的谅解。

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例3： 正态总体为 ： 正态总体为µ=0， ， x2 1 −2 σ=1时的概率密度函数是 f ( x) = 2π e , x∈R 时的概率密度函数是 (1)求证：f(x)是偶函数； 求证： 是偶函数 是偶函数； 求证 (2)求f(x)的最大值； 求 的最大值； 的最大值 (3)利用指数函数的性质说明 的增减性． 利用指数函数的性质说明f(x)的增减性 利用指数函数的性质说明 的增减性．
1 2 π
5 10 15 20 25 30 35 x
练习3: 练习
已知函数f ( x ) =
1
2p X轴上方 轴上方 a、它的图象在__________
1
e
x2 2
，则
b、它的最大值是________ 2p 直线x=0 直线x=0 ________对 c、它的图象关于________对称
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布： 从正态分布：
以及降雨量等，水文中的水位； 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、 总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质 、
①曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线的变化趋势如何？ ③ 曲线的变化趋势如何？
一般正态分布为一个分布族:N(µ,σ2) ；标准 µσ 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 • 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
S(-∞,-X)

e 2 2
2
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中， 为总体均数， 为总体标准差。
5
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
6
方差相等、均数不等的正态分布图示
3 1 2
7
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
1 3
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
1
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。

8
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
9
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
21
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u

X


）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
22
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。

高斯与正态分布1809年，高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)发表了其数学和天体力学的名著《绕日天体运动的理论》。

在此书末尾，他写了一节有关“数据结合”（data combination）的问题，实际涉及的就是这个误差分布的确定问题。

他的做法与拉普拉斯相同。

但在往下进行时，他提出了两个创新的想法。

一是他不采取贝叶斯式的推理方式，测量误差是由诸多因素形成，每种因素影响都不大。

按中心极限定理，其分布近似于正态分布是势所必然。

其实，早在1780年左右，拉普拉斯就推广了狄莫佛的结果，得到了中心极限定理的比较一般的形式。

可惜的是，他未能把这一成果用到确定误差分布的问题上来。

高斯的第二点创新的想法是：他把问题倒过来，先承认算术平均是应取的估计，然后去找误差密度函数条件下才能成立，这就是正态分布。

一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

遵从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ＝0，σ2＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。

正态分布直方图是一个常见的统计图形，它可以帮助我们更好的了解
一组数据的分布。

正态分布图表可以帮助科学家了解数据的分布情况，更好的进行研究。

正态分布直方图利用数据的频率分布，将一组数据在横坐标上按照数
值大小进行分类，在纵坐标上表示同一分类所含数据量。

可以从正态
分布图上看出，数据是如何分布的。

正态分布图可以帮助我们测算数据的中心位置和离散程度，帮助我们
分析数据间的关系和变化。

正态分布图也可以当做风险分析和投资分
析时重要的参考。

正态分布直方图是统计学家们最重要，最常用也是最有价值的工具。

它对科学家们分析数据和做决策的时候都会起到重要的作用，是非常
值得重视的。

总之，正态分布直方图是统计学中最重要的工具之一，可以分析数据
的分布情况，帮助我们更好的进行研究总结，是非常实用的工具。

p(Xc)1% 0
C
c 1 .2 8 6 0 4000
p(X400 c4 00) 0 1% 0 0 c4077
60 60
p(X 6 40 00 c 6 4 00 0) 0 9% 0 0能40拿77到件超。产奖的工人完成定额
c40001.28 60
用Excel计算已知累计概率求相对应的x： fx/统计/Norminv
ex 22d x0 1 1
20
因 XZ,
所 以 E(X)E (Z)
D (X)D (Z)2D(Z) 2
正态分布 N(,2)由期望和方差完全!确
21
如何检验数据是否服从 正态分布？
• 经验法：如画出数据频数（频率）条形 图、茎叶图，看其分布形态
• 正态性检验：Matlab、SPSS等软件、 正态概率纸
P(X>2r/3)
F(x)P(Xx)(rx2)2
(x)2 r
P(X2r)1P(X2r)145
3
3
99
27
设X服从区间（a,b）上的均匀分布，求
E(X).
•先求密度函数pdf：
– 先求分布函数cdf：当x a时，F(x) 0,
当a x b时，F(x) x a , ba当x b时源自F(x) 134作业
2.抛掷骰子10次为一组，共试验12组，计算每 组骰子点数的平均值，验证样本均值近似服从 正态分布。请说明一个均值为μ，标准差为σ的 正态分布的图像为什么是一条通过点(μ,0.5)而 斜率为1/σ的直线，并据此估计该正态分布的 参数μ,σ2 .
35
• 求概率→求正态曲线下区间内的面积→求定 积分或者转化为标准正态分布再求
/pbs/cat_050/pbs/normalcurve.html Φ(u)

正态分布图像1、正态分布参考博客：概率密度函数的意义：若随机变量服从一个位置参数为 \mu 、尺度参数为 \igma 的概率分布，且其概率密度函数为:\mu ：\mu是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。

概率规律为取与\mu邻近的值的概率大，而取离\mu越远的值的概率越小。

正态分布以=\mu为对称轴，左右完全对称。

正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于\mu。

位置（形状）参数控制分布函数形状的变化。

\igma ：σ是正态分布的尺度参数，描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。

也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。

尺度参数控制分布函数在幅度上的变化。

f()=\frac{1}{\qrt{2 \pi} \igma} e^{-\frac{(-\mu)^{2}}{2\igma^{2}}} （1）则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作 \im N\left(\mu, \igma^{2}\right)随机变量：随机变量可以看做是关联了概率值的变量，即变量取每个值有一定的概率。

随机变量取每个具体的值的概率为0，但在落在每一点处的概率是有相对大小的，描述这个概念的，就是概率密度函数。

一般正态分布当\mu=0,\igma=1时，称为标准正态分布。

\im N\left(0, 1\right) f()=\frac{1}{\qrt{2 \pi}} e^{-\frac{^{2}}{2}} （2）标准整体分布2、正态分布的分布函数一般正态分布的分布函数F():F()=P( \leqlant )=\frac{1}{\qrt{2 \pi} \igma} \int_{-\infty}^{} e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2 \igma^{2}}} d t (3)标准正态分布的分布函数 \Phi() :\Phi()=P( \leqlant )=\frac{1}{\qrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{} e^{-\frac{t^{2}}{2 }} d t (4)设 \im N\left(\mu, \igma^{2}\right)，则P\left(_{1}<<_{2}\right)=\Phi\left(\frac{_{2}-\mu}{\igma}\right)-\Phi\left(\frac{_{1}-\mu}{\igma}\right)分布函数的意义：随机变量的概率，分布函数就是变量小于等于一些特定值a的概率补充：随机变量的引入，使我们能用实数来描述各种随机现象的结果，但随机变量和普通函数之间还是有着本质的区别，不能运用我们已有的手段处理它；而分布函数是一个普通函数，正是通过它，我们将能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究；实际应用是要和理论接轨的，所以理论上是用分布函数来研究的，实际应用也是在用分布函数做，事实证明这样做确实好。