天津市和平区2016-2017学年高一下学期期末质量调查数学试题及答案

第2讲常用逻辑用语复习题I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 3题型二：全称量词命题与存在量词命题 4题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 6题型四：充要条件的证明或探求 9题型五：命题的否定 11题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 12 III模块三：数学思想方法 15①分类讨论思想 15②转化与化归思想 17③方程思想 181本章知识思维导图I23II 典型例题题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用【例1】(天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷)已知a ∈R ，则“1a≥1”是“0≤a ≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】不等式1a≥1⇔0<a ≤1，显然(0,1]Ü[0,1]，所以“1a ≥1”是“0≤a ≤1”的充分不必要条件.故选：A【例2】(重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题)若xy ≠0，则“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x +2y =0时，x y +y x =-2y y +y -2y =-2-12=-52，当x y +y x =-52时，即2x 2+5xy +2y 2=0，即x +2y 2x +y =0，则有x +2y =0或2x +y =0，故“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的充分不必要条件.故选：B .【例3】(2024·江苏扬州·模拟预测)已知集合A =0,a 2 ,B =1,a +1,a -1 ，则“a =1”是“A ⊆B ”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a =1时，A ={0,1},B ={0,1,2}，则A ⊆B ；反之，当A ⊆B 时，a +1=0或a -1=0，解得a =-1或a =1，若a =-1，A ={0,1},B ={0,1,-2}，满足A ⊆B ，若a =1，显然满足A ⊆B ，因此a =-1或a =1，所以“a =1”是“A ⊆B ”的充分不必要条件.故选：B【例4】(2024·天津河北·二模)设x ∈R ，则“1<x <2”是“x -2 <1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x-2<1可得-1<x-2<1，解得1<x<3，所以由1<x<2推得出x-2<1，故充分性成立；由x-2<1推不出1<x<2，故必要性不成立，所以“1<x<2”是“x-2<1”的充分不必要条件.故选：A【例5】(2024·高一·江苏连云港·开学考试)若不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】C【解析】由x <a，得到-a<x<a，又不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，所以a≥1，故选：C.【例6】(2024·高一·江苏无锡·阶段练习)不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是()A.m≤-14 B.m<-14 C.m<-12 D.-1<m<-12【答案】A【解析】不等式x2-x-m>0在R上恒成立，即一元二次方程x2-x-m=0在R上无实数解∴Δ=-12-4×-m<0，解得：m<-1 4，易见B选项是充要条件，不成立；A选项中，m<-14可推导m≤-14，且m≤-14不可推导m<-14，故m≤-14是m<-14的必要不充分条件，A正确；C选项中，m<-14不可推导出m<-12，C错误；D选项中，m<-14不可推导-1<m<-12，D错误，故选：A.题型二：全称量词命题与存在量词命题【例7】(2024·高一·河南安阳·阶段练习)下列命题是真命题的是()A.∀x∈R,x2=xB.∃x∈Q,x2=3C.∀x∈Z,|x|∈ND.∃x∈R,x2-2x+3=0【答案】C【解析】当x=-1时，x2≠x.故选项A判断错误；由x2=3可得，x=± 3.故选项B判断错误；∀x∈Z,|x|∈N.故选项C判断正确；由x2-2x+3>0，可得选项D判断错误.故选：C4【例8】(2024·高一·广东广州·阶段练习)下列命题中真命题的个数是()①∃x∈R,x2≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∀x∈{x|x是无理数}，x是无理数．A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】对于①，当x=0时，x2=0≤0，故①正确；对于②，由1是整数，且它既不是合数，也不是素数，故②正确；对于③，假设∀x∈{x|x是无理数}，x是有理数，则可设x=pq,p,q∈Z，则x=p2q2，p2,q2∈Z，故x为有理数，而与题设矛盾，故③正确，故选：D.【例9】(2024·高一·北京通州·期中)给出下面四个命题：①∀x∈R，x +1≥1；②∀x∈R，x +x≥0；③∃x∈R，x2的个位数字等于3；④∃x∈R，x2-x+1=0.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】对于①，因为x ≥0，所以∀x∈R，x +1≥1，所以①对；对于②，当x≥0时，x +x=2x≥0，当x<0时，x +x=0≥0，所以∀x∈R，x +x≥0成立，所以②对；对于③，设x=10a+b，b∈0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，x2=1010a2+2ab+b2，x2的个位数字等于b2的个位数字，所以x2的个位数字都不等于3，所以③错；对于④，因数Δ=-12-4×1×1=-3<0，所以方程x2-x+1=0无实数解，所以④错.故选：B.【例10】(2024·高一·全国·课后作业)以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使x2≤0【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：A选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题；B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题；C选项为全称量词命题，取x1=2+3,x2=2-3，则x1+x2=4为有理数，所给的命题为假命题；D选项为存在量词命题，若x<0，则x2>0，所给的命题为假命题.故选B.【例11】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是()A.至少有一个x∈Z，使得x2<3成立B.菱形的两条对角线长度相等56C.∃x ∈R ，x 2=xD.对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2≥2(a +b -1)【答案】D【解析】AC 为存在量词命题，BD 为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B 选项错误，对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2-2(a +b -1)=a 2-2a +1+b 2-2b +1=(a -1)2+(b -1)2≥0，即a 2+b 2≥2(a +b -1)，D 选项正确.故选：D【例12】(2024·高一·河北·阶段练习)下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()A.每一个命题都能判断真假B.存在一条直线与两条相交直线都平行C.对任意实数a ,b ，若a <b ，则a 2<b 2D.存在x ∈R ，使x 2-x +1=0【答案】A【解析】对于A ，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假，A 是真命题，符合题意；对于B ，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意；对于C ，该命题是全称量词命题，当a =-2,b =-1时，a 2>b 2，C 中命题是假命题，不符合题意；对于D ，该命题是存在量词命题，不符合题意，故选：A .题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)【例13】(2024·高一·海南海口·阶段练习)若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为．【答案】-2【解析】x >2，得x >2或x <-2，若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，得x x <a Ü{x x >2 或x <-2}，所以a ≤-2，即a 的最大值为-2.故答案为：-2【例14】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为.【答案】m ≥8【解析】由p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，得p :x ≤m4,q :-1≤x ≤2，因为p 是q 的一个必要不充分条件，则p 不能推出q ，但q 能推出p ，则2≤m4，即m ≥8.故答案为：m ≥8【例15】(2024·高一·江西南昌·期末)在①A ∩B =B ；②“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件；③B ∩∁R A =∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．间题：已知集合A ={x ∈R ∣(x -1)(x +2)>0},B ={x ∈R ∣y =x +a ,y ∈R }．(1)当a =1时，求A ∩∁R B ；(2)若，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由不等式(x -1)(x +2)>0，解得x <-2或x >1，可得A ={x |x <-2或x >1}，当a =1时，可得B ={x ∈R ∣y =x +1,y ∈R }={x |x ≥-1}，7则∁R B ={x ∣x <-1}，所以A ∩∁R B ={x ∣x <-2}．(2)由集合A ={x |x <-2或x >1}和B ={x |x ≥-a }，若选择①：由A ∩B =B ，即B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择②：由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，可得B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择③：由A ={x |x <-2或x >1}，可得∁R A ={x |-2≤x ≤1}，要使得B ∩∁R A =∅，则-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1).【例16】(2024·高一·山东菏泽·期中)设全集U =R ，集合A =x -2<x ≤3 ，B =x m -1≤x ≤2m ．(1)若m =3，求集合∁U A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当m =3时，B =x 2≤x ≤6 ，又∁U A =x x ≤-2 或x >3 ，所以∁U A ∩B =x 3<x ≤6 ．(2)“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，故B ⊆A ．当B =∅时，m -1>2m ，所以m <-1，符合题意；当B ≠∅时，需满足m -1≤2m-2<m -12m ≤3，解得-1<m ≤32，综上所述，m 的取值范围为m <-1或-1<m ≤32．【例17】(2024·高一·福建莆田·期中)已知p ：关于x 的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0有实数根，q ：2m -1≤a≤m +2．(1)若命题¬p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题是¬p 真命题，则命题p 是假命题，即关于的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0无实数根，因此，Δ=4a 2-4a 2+a -1 <0，解得a >1，所以实数的取值范围是1,+∞ ，(2)由(1)知，命题p 是真命题，即p :a ≤1，因为命题p 是q 的必要不充分条件，则a 2m -1≤a ≤m +2 Üa a ≤1 ，当2m -1>m +2即m >3时，a 2m -1≤a ≤m +2 =∅，满足题意，当2m -1≤m +2即m ≤3时，则m ≤3m +2≤1⇒m ≤-1，所以实数m 的取值范围是{m m ≤-1或m >3}．【例18】(2024·高一·河北保定·期中)已知集合A =x 2m -1≤x ≤m +1 ，B =x 12≤x <2 ．(1)若m =12，求A ∩∁R B ；(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由B=x12≤x<2，则∁R B={x|x<12或x≥2}，若m=12，则A=x0≤x≤32，所以A∩∁R B=x0≤x<1 2．(2)若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B．当2m-1>m+1时，即m>2时，A=∅，符合题意；当2m-1≤m+1时，即m≤2时，A≠∅，要满足A⊆B，可得12≤2m-1≤m+1<2，解得34≤m<1；综上，实数m的取值范围为34≤m<1或m>2．【例19】(2024·高一·湖北襄阳·期中)已知集合A=x|-2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1．(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)若x∈A是x∈B的必要条件，且集合B不为空集，求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=∅时，由m+1>2m-1，得m<2，符合题意；当B≠∅时，可得2m-1≥m+12m-1<-2或2m-1≥m+1m+1>5，解得m>4．综上，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．(2)由题意可知B⊆A且B≠∅.可得2m-1≥m+1，m+1≥-2，2m-1≤5，解得2≤m≤3，综上，实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．.【例20】(2024·高一·云南红河·阶段练习)已知命题p：方程x2+tx+t=0没有实数根，若p是真命题，实数t 的取值集合为A．(1)求实数t的取值集合A；(2)集合B=t1-a<t<2a-1，若t∈B是t∈A的必要条件，求a的取值范围．【解析】(1)若p是真命题，则t2-4t<0，解得0<t<4，所以A=t|0<t<4；(2)若t∈B是t∈A的必要条件，则A⊆B，又A=t|0<t<4，所以B≠∅，所以2a-1≥41-a≤02a-1>1-a，解得a≥52.【例21】(2024·高一·辽宁·阶段练习)已知集合A=x|-2≤x-1≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1.(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)设p:x∈A;q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为A={x∣-2≤x-1≤5}，所以A={x∣-1≤x≤6}，又A∩B=∅，分类讨论如下：①当B=∅时，m+1>2m-1解得m<2;8②当B=∅时，m+1≤2m-1 m+1>6或m+1≤2m-12m-1<-1，解得m>5；综上所述：实数m的取值范围为{m∣m<2或m>5}.(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，①当B=Æ时，m+1>2m-1，解得m<2;②当B¹Æ时，m+1≤2m-1 m+1≥-12m-1≤6(等号不能同时成立)，解得2≤m≤7 2；综上所述：实数m的取值范围为m∣m≤7 2.题型四：充要条件的证明或探求【例22】(2024·高二·全国·专题练习)已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0，两方程的根都是整数的充要条件为．【答案】m=1【解析】因为mx2-4x+4=0是一元二次方程，所以m≠0．又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0，且两方程都要有实根，所以Δ1=16-16m≥0,Δ2=16m2-44m2-4m-5≥0，解得m∈-54,1．因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，所以m为4的约数．又m∈-54,1，所以m=-1或1．当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数；而当m=1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1．【例23】设n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【答案】3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．x=4±16-4n2=2±4-n，因为x是整数，即2±4-n为整数，所以4-n为整数，且n≤4，又因为n∈N+，取n=1,2,3,4，验证可知n=3,4符合题意；反之n=3,4时，可推出一元二次方程有整数根．【例24】(2024·高一·广东珠海·阶段练习)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程ax2+bx+c=0的系数满足a-b+c=0⇒方程有一个根为-1；由a-b+c=0，得b=a+c，代入方程得ax2+a+cx+c=0，得ax+cx+1=0，所以，x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根.②必要性：即证明若x=-1是方程ax2+bx+c=0的根⇒a-b+c=0；910将x =-1代入方程ax 2+bx +c =0，即有a -b +c =0.综上由①②可知，故关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为-1的充要条件是a -b +c =0.【例25】(2024·高一·全国·专题练习)当m ,n ∈Z 时，定义运算⊗：当m ,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m ,n <0时，m ⊗n =m ⋅n ；当m >0,n <0或m <0,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m =0时，m ⊗n =n ；当n =0时，m ⊗n =m ．(1)计算-2 ⊗-3 ⊗-7 ；(2)证明，“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的充要条件．【解析】(1)-2 ⊗-3 ⊗-7 =6⊗-7 =6-7 =1.(2)先证充分性：当a =0,b =-2或a =-2,b =0时，则a ⊗b =-2，即a =0,b =-2或a =-2,b =0是a ⊗b =-2的充分条件；再证必要性：当a ⊗b =-2时，显然当ab >0时，a ⊗b >0，当ab <0时，a ⊗b ≥0，即ab >0与ab <0均不合题意，当a =0时，由a ⊗b =-2，则b =-2，当b =0时，由a ⊗b =-2，则a =-2，即“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的必要条件，综上，命题得证．【例26】(2024·高一·江苏苏州·阶段练习)求证：方程mx 2-2x +3=0m ≠0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.【解析】先证明充分性：若0<m <13，设方程的两个实根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2m >0，x 1⋅x 2=3m>0，Δ=4-12m >0，故方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根；再证明必要性：若方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根，令y =mx 2-2x +3(m ≠0)，当m >0时，其图象是开口方向朝上，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根，则函数f (x )=mx 2-2x +3，有两个正零点，则2m >03m >0Δ=4-12m >0，解得0<m <13；当m <0时，其图象是开口方向朝下，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数y =mx 2-2x +3，有两个负零点，则2m <03m >0Δ=4-12m >0，无解；故关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根，则m 的取值范围是0<m <13；∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<13．【例27】(2024·高一·湖北武汉·阶段练习)设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．【解析】a2+b2>c2.证明如下：充分性：∵a2+b2>c2，∴ △ABC不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，∵a≤b≤c，∴ ∠C最大，即∠B<90°，∠C>90°，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，由勾股定理，得c2=AD2+BD2=AD2+(CD+a)2=AD2+CD2+a2+2⋅CD⋅a=AC2+a2+2⋅CD⋅a=b2+a2+2⋅CD⋅a>a2+b2，与已知a2+b2>c2矛盾，∴△ABC为锐角三角形.必要性：∵△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°°，过点A作BC的垂线，垂足为D，由勾股定理知，得c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=AD2+CD2+a2-2⋅CD⋅a=b2+a2-2⋅CD⋅a<a2+b2.综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2+b2>c2.题型五：命题的否定【例28】(2024·高一·云南昆明·期末)命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是()A.∀x∈Z,x2+x≤0B.∃x0∈Z,x02+x0>0C.∀x∈Z,x2+x=0D.∃x0∈Z,x02+x0≤0【答案】D【解析】命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是“∃x0∈Z,x20+x0≤0”.故选：D.【例29】(2024·高一·江苏·假期作业)命题“∃x0∈R,2x0≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,2x>0B.∃x0∈R,2x0≥0C.∀x∈R,2x≤0D.∀x∈R,2x>0【答案】D【解析】命题“∃x 0∈R ,2x 0≤0”为存在量词命题，其否定为“∀x ∈R ,2x >0”.故选：D .【例30】(2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习)命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是()A.∀x >0,2x 2<5x -1B.∃x >0,2x 2≥5x -1C.∀x ≤0,2x 2≥5x -1D.∃x ≤0,2x 2>5x -1【答案】C【解析】命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是“∀x ≤0,2x 2≥5x -1”.故选：C【例31】(2024·高一·四川成都·阶段练习)命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是()A.∀x ∈0,1 ，x 3>x 2B.∀x ∉0,1 ，x 3≥x 2C.∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20D.∃x 0∉0,1 ，x 30≥x 20【答案】C【解析】命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20.故选：C .【例32】(2024·高三·湖北黄冈·期末)若p ：所有实数的平方都是正数，则¬p 为()A.所有实数的平方都不是正数B.至少有一个实数的平方不是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.有的实数的平方是正数【答案】B【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“所有实数的平方都是正数”的否定为：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：B题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题【例33】(2024·高一·湖北·期中)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 ．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2；当B ≠∅时，m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围为-∞,3(2)由题意A ∩B ≠∅，所以B ≠∅即m ≥2，此时m +1≥3.为使A ∩B ≠∅，需有m +1≤5，即m ≤4.故实数m 的取值范围为2,4【例34】(2024·高一·山东淄博·阶段练习)设全集U =R ，集合A =x 1≤x ≤5 ，集合B =x -1-2a ≤x ≤a -2 ．(1)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围；(2)若命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，所以a -2≥-1-2a a -2≥5-1-2a ≤1，即a ≥7，所以实数a 的取值范围是a |a ≥7 .(2)命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A .当B =∅时，-1-2a >a -2，解得a <13；当B ≠∅时，-1-2a ≥1a -2≤5-1-2a ≤a -2，解得a ≤-1a ≤7a ≥13，所以a ∈∅.综上所述，实数a 的取值范围是a a <13.【例35】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 .(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围.(2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，求m 的取值范围.【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3，综上m 的取值范围为-∞,3 ；(2)因为“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，所以A ∩B =∅，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1>5或m +1≤2m -12m -1<-2 ，解得m >4，综上m 的取值范围为-∞,2 ∪4,+∞ .【例36】(2024·高一·山东菏泽·阶段练习)已知命题p :∀x ∈R ，ax 2-4x -4≠0，若p 为假命题，求a 的取值范围.【解析】由题意p 为假命题，即∃x ∈R ，ax 2-4x -4=0，即方程ax 2-4x -4=0有解，(1)当a =0时，-4x -4=0有解x =-1成立；(2)当a ≠0时，Δ=16+16a ≥0，即a ≥-1且a ≠0；综上a ≥-1.【例37】(2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m -1≤x ≤2m -3 ．(1)若命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ．当B =∅时，满足B ⊆A ，此时m -1>2m -3，解得m <2；当B ≠∅时，由B ⊆A ，可得m -1≤2m -3m -1≥-22m -3≤5，解得2≤m ≤4．综上，实数m 的取值范围为(-∞,4]．(2)因为q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，所以A ∩B ≠∅，所以B ≠∅，则m -1≤2m -3即m ≥2，所以m -1≥1，要使A ∩B ≠∅，仍需满足m -1≤5，即m ≤6．综上，实数m 的取值范围为[2,6]．【例38】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)已知集合A =x -3≤x <1 ，B =x 2m -1≤x ≤m +1 ．(1)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．(2)命题“r ：∃x ∈A ，使得x ∈B ”是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)①当B 为空集时，m +1<2m -1，即m >2，原命题成立；②当B 不是空集时，∵B 是A 的真子集，所以2m -1≥-3m +1<1m ≤2，解得-1≤m <0；综上①②，m 的取值范围为-1≤m <0或m >2.(2)∃x ∈A ，使得x ∈B ，∴B 为非空集合且A ∩B ≠∅，所以m +1≥2m -1，即m ≤2，当A ∩B =∅时2m -1≥1m ≤2 或m +1<-3m ≤2，所以1≤m ≤2或m <-4，∴m 的取值范围为[-4,1)．【例39】(2024·高一·吉林长春·阶段练习)已知集合A ={x ∣2≤x ≤7},B ={x ∣-3m +4≤x ≤2m -1}，且B ≠∅.(1)若q :“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，求实数m 的取值范围.【解析】B ≠∅，则-3m +4≤2m -1，解得m ≥1，“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，则A ∩B ≠∅，若A ∩B =∅，则2m -1<2或-3m +4>7，解得m <32，因为m ≥1，所以1≤m <32，所以当A ∩B ≠∅，m ≥32，综上所述m ≥32.III 数学思想方法①分类讨论思想【例40】(2024·高一·江苏南通·期中)已知集合A =x x 2-4= 0 ，B =x ax -2=0 ，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为．【答案】-1,0,1【解析】依题意，A =x |x 2-4=0 =2,-2 ，若a =0，则B =∅，满足x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件.当a ≠0时，B =x x =2a，由于x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，所以2a =2或2a=-2，解得a =1或a =-1，综上所述，a 的所有可能取值构成的集合为-1,0,1 .故答案为：-1,0,1【例41】(2024·高一·江西南昌·期中)已知集合A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，集合B =x x -3 ≤1 ．(1)若a =1，求∁R A ∪B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求a 的取值范围．【解析】(1)A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，可得x -2a x +a <0，当a =1时x -2 x +1 <0解得-1<x <2，则A =-1,2 ，可得∁R A =-∞,-1 ∪2,+∞ ，又B =x x -3 ≤1 ，x -3 ≤1可得-1≤x -3≤1，即2≤x ≤4，可得B =2,4 ，所以∁R A ∪B =-∞,-1 ∪2,+∞ ，(2)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件所以B ⊂≠A ,集合A 中x -2a x +a <0，当a >0时解为-a <x <2a ，又B ÜA ，可得-a <22a >4 解得a >2，当a <0时解为2a <x <-a ，又B ÜA ，可得-a >42a <2解得a <-4，当a =0时无解，集合A 为空集，又B ÜA ，所以不合题意舍去，综上可得：a <-4或a >2.【例42】已知集合A ={x |a 2-1≤x ≤2a +6}，B ={x |0≤x ≤4}，全集U =R .(1)当a =1时，求A ∩(∁U B ):(2)若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a =1时，集合A ={x |0≤x ≤8}，∁U B ={x |x <0或x >4}，故A ∩(∁U B )={x |4<x ≤8};(2)由题知：B⊊A，即B⊆A且B≠A，当B⊆A时，a2-1≤0 2a+6≥4，解得-1≤a≤1；当B=A时，a2-1=0 2a+6=4，解得a=-1，由B≠A得，a≠-1，综上所述：实数a的取值范围为(-1,1].【例43】设集合A=x|x2+4x=0，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若-1∈B，求a的值；(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围．【解析】(1)∵-1∈B，∴1-2a-2+a2-1=0，解得a=1±3；(2)∵A=0,-4，依题意B⊆A，①若B=∅,∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,∴a<-1；②若B=0 或B=-4时，∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，∴a=-1，此时B=0 ,B≠-4；③若B=0,-4Δ>00+(-4)=-2a-20×(-4)=a2-1，解得a=1，综上：a的取值范围是(-∞,-1]∪1 .【例44】已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1}，B={x|-2≤x≤4}.在①A∪B=B;②"x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．(1)当a=3时，求∁R(A∩B);(2)若，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=3时，A={x|2≤x≤7}，而B={x|-2≤x≤4}，所以A∩B={x|2≤x≤4}，∁R(A∩B)={x|x<2或x>4}(2)选①，由A∪B=B可知：A⊆B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊆B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊆B得：a-1≥-2 2a+1≤4，解得-1≤a≤32，综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选②，因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊊B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊊B得：a-1≥-2 2a+1≤4，且不能同时取等号，解得-1≤a≤32.综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选③，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A∩B=∅，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2由A∩B=∅得：2a+1<-2或a-1>4，解得a<-32或a>5，又a≥-2，所以-2≤a<-32或a>5.综上所述，实数a 的取值范围为a <-32或a >5②转化与化归思想【例45】(2024·高三·全国·竞赛)设a ,b ∈R ，集合A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ．则“A =B ”是“a =b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ，当A =B 时，则有a =b a 2+1=b 2+1 ，或a =b 2+1a 2+1=b ，若a =ba 2+1=b 2+1，显然解得a =b ；若a =b 2+1a 2+1=b ，则b 2+1 2+1=b ，整理得b 2-b +1 b 2+b +2 =0，因为b 2-b +1=b -12 2+34>0，b 2+b +2=b +12 2+74>0，所以b 2-b +1 b 2+b +2 =0无解；综上，a =b ，即充分性成立；当a =b 时，显然A =B ，即必要性成立；所以“A =B ”是“a =b ”的充分必要条件.故选：C .【例46】(2024·高一·江西景德镇·期中)已知p :3x -1>512<x <8 ，q :x ≥3k +1或x ≤3k -3．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围；(2)若p 是¬q 的必要不充分条件，求实数k 的最大值．【解析】(1)∵p ：3x -1>512<x <8 ，故p ：2<x <8，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以3k +1≤2或3k -3≥8，解得k ≤13或k ≥113，故实数k 的取值范围为k k ≤13 或k ≥113.(2)¬q :3k -3<x <3k +1，又p 是¬q 的必要不充分条件，因为3k -3<3k +1，所以¬q 对应的集合不是空集，所以3k -3≥23k +1≤8，解得53≤k ≤73，故实数k 的最大值为73.【例47】(2024·高一·全国·课后作业)已知M =x ,y y 2=2x ，N =x ,y x -a 2+y 2=9 ，求M ∩N ≠∅的充要条件.【解析】M ∩N ≠∅的充要条件是方程组y 2=2xx -a 2+y 2=9 至少有一组实数解，即方程x 2+21-a x +a 2-9=0至少有一个非负根，方程有根则Δ=41-a 2-4a 2-9 ≥0，解得a ≤5.上述方程有两个负根的充要条件是x 1+x 2<0且x 1x 2>0，即-21-a <0a 2-9>0 ，∴a <-3.于是这个方程至少有一个非负根的a 的取值范围是-3≤a ≤5.故M ∩N ≠∅的充要条件为-3≤a ≤5.③方程思想【例48】已知p :∀x ∈R ，m <x 2-1，q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若p ，q 都是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】p :∀x ∈R ，m <x 2-1，若p 真，可得m <(x 2-1)min ，而y =x 2-1≥-1，x =0时，取得最小值-1，则m <-1；q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若q 真，可得Δ=4+4(m +1)≥0，解得m ≥-2.若p ，q 都是真命题，可得m <-1m ≥-2，则-2≤m <-1.故实数m 的取值范围是-2≤m <-1.【例49】已知，命题p :∀x ∈R ,2x +a +2≥0，命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵命题为真命题，即a ≥-2x -2，又-2x -2≤-2，∴实数a 的取值范围为a ≥-2;(2)∵命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0为真命题，即x 2-a +1=0亦即x 2+1=a 在-3,-12上有解，又当x ∈-3,-12 求得二次函数的范围54≤x 2+1≤10，即二次函数y =x 2+1最大值为10，最小值是54，∴实数a 的取值范围为：54,10 .【例50】已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程①mx 2-4x +4=0和②x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，求方程①和②的根都是整数的充要条件．【解析】解∵mx 2-4x +4=0是一元二次方程，∴m ≠0.另一方程为x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，两方程都要有实根，∴Δ1=16(1-m )≥0,Δ2=16m 2-4(4m 2-4m -5)≥0,解得m ∈-54,1.∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，∴m为4的约数，∴m=-1或1，当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数，不符合题意；而当m=1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1.【例51】已知m∈R，命题p:存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，若p为真命题，求m的取值范围．【解析】∵存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，∴(2x-2)max≥m2-3m，又函数y=2x-2在x∈[0,1]时的最大值为0，即m2-3m≤0.解得0≤m≤3.因此，若p为真命题时，m的取值范围是0,3.。

天津市部分区2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B 车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样系统抽样B．分层抽样简单随机抽样C．系统抽样简单随机抽样 D．简单随机抽样分层抽样2．（4分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n﹣m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（4分）给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．D．36．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则a的值为（）A．1或2 B．1 C．2 D．7．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A． B． C． D．8．（4分）若a，b，c，d∈R，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则＜9．（4分）从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：根据如表可得回归方程=0.56x+，据此模型可预报身高为172cm的高一男生的体重为（）A．70.12kg B．70.29kg C．70.55kg D．71.05kg10．（4分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），则S5等于（）A．85 B．255 C．341 D．1023二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）把二进制数110101（2）转化为十进制数为 ．12．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是 ．13．（4分）已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若a 6=5，S 4=12a 4，则公差d 的值为 ．14．（4分）在[﹣5，5]上随机的取一个数a ，则事件“不等式x 2+ax +a ≥0对任意实数x 恒成立”发生的概率为 ．15．（4分）已知a ＞0，b ＞0，且是3a 与3b 的等比中项，若+≥2m 2+3m 恒成立， 则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N 的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求出表中N 及a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求频率分布直方图中d 的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2a sin B=b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（i）列出所有可能抽取的结果；（ii）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．【参考答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．B【解析】①个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多可简单随机抽样法．故选B．2．D【解析】由茎叶图，得：甲组学生成绩的平均数：m==88，乙组学生成绩的中位数：n=89，n﹣m=89﹣88=1．故选D．3．C【解析】在①中，某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确．故选C．4．B【解析】设口袋中装有一些大小相同的红球和黑球的个数分别为a，b，∵从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，∴，解得a=4，b=2，∴取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率：p==．故选B．5．C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，解得A（1，），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+=．即目标函数z=2x+y的最大值为．故选C．6．A【解析】由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accos30∘，∵b=1，c=，B=30°，∴1=a2+3﹣2a××=a2+3﹣3a，∴a2﹣3a+2=0，解得a=1或a=2，故选A．7．B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1++ +…的值，由于：S=1+++…==．故选B．8．D【解析】对于A：若a=0，b=﹣1，则不满足，对于B：若a=1，b=﹣1，c=0，d=﹣2，则不满足，对于C：若a=﹣2，b=﹣1，则不满足，对于D：若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd，两边同除以cd得到＜．故选D.9．A【解析】根据已知数据，计算=×（160+165+170+175+180）=170，=×（63+66+70+72+74）=69，回归系数=﹣=69﹣0.56×170=﹣26.2，∴y与x的线性回归方程为=0.56x﹣26.2；把x=172代入线性回归方程中，计算=0.56×172﹣26.2=70.12，∴估计该男生的体重为70.12kg．故选A．10．C【解析】∵数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），∴a2=3a1+1，∴a1+3a1+1=5，解得a1=1，a2=4，a3=3S2+1=3（1+4）+1=16，a4=3S3+1=3（1+4+16）+1=64，a5=3S4+1=3（1+4+16+64）+1=256，∴S5=1+4+16+64+256=341．故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．53【解析】110101（2）=1+1×22+1×24+1×25=53故答案为53．12．9【解析】模拟程序的运行，可得a=1，b=9满足条件a＜b，执行循环体，a=5，b=7满足条件a＜b，执行循环体，a=9，b=5不满足条件a＜b，退出循环，输出a的值为9．故答案为9．13．【解析】∵{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a6=5，S4=12a4，∴，解得，d=．∴公差d的值为．故答案为．14．【解析】由已知不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立，所以△=a2﹣4a≤0，解答0≤a≤4，，所以在[﹣5，5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为：；故答案为．15．[﹣3，]【解析】a＞0，b＞0，且是3a与3b的等比中项，可得3a•3b=（）2，即有a+b=1，+=（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9，当且仅当b=2a=时，取得等号，即最小值为9．由+≥2m2+3m恒成立，可得2m2+3m≤9，解得﹣3≤m≤．故答案为[﹣3，]．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．解：（Ⅰ）由频率分布表得：，解得N=200，a=80，b=0.4，c=0.2．（Ⅱ）由频率分布表得[25，27.5）频率为0.2，∴d==0.08．（Ⅲ）由频率分布表知产品的质量不少于25千克的频率为0.2+0.1=0.3，∴从该产品中随机抽取一件，估计这件产品的质量少于25千克的概率p=1﹣0.3=0.7．17．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，若b=2a sin B，可得sin B=2sin A sin B，∴由sin B≠0，可得sin A=，∵A为锐角，∴A=60°．（Ⅱ）∵A=60°．a=，△ABC的面积为=bc sin A=bc，∴bc=6，∴由余弦定理可得：7=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣18，∴解得：b+c=5，∴△ABC的周长l=a+b+c=+5．18．解：（Ⅰ）∵高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．∴A班有学生：=32人，B班有学生：=40人，C班有学生：=48人．（Ⅱ）（i）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析，基本事件总数有15个，分别为：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，{}，{C3，C5}，{C3，C6}，{C4，C5}，{C4，C6}，{C5，C6}．（ii）A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，则事件A包含的基本事件个数为8，分别为：{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，∴事件A发生的概率p=．19．解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），∴a1=S1==5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣[]=3n+2，当n=1时，上式成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=3n+2．∵数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，∴，解得q=2．∴数列{b n}的通项公式b n=4×2n﹣1=2n+1．（Ⅱ）∵c n=a n•b n=（3n+2）•2n+1=（6n+4）•2n，∴数列{c n}的前n项和：T n=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n，①2T n=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1=20+6×﹣（6n+4）×2n+1=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1，∴T n=（6n﹣2）×2n+1+4．20．解：（Ⅰ）当a=时，不等式f（x）＜3，即为x2+x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，解得﹣＜x＜1，则原不等式的解集为（﹣，1）；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，即有x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即为﹣a＜x+在0＜x＜2恒成立，由y=x+的导数为y′=﹣，可得函数y在（0，）递减，（，2）递增，则y=x+的最小值为2=，即有﹣a＜，解得a＞﹣；（Ⅲ）f（x）﹣a2﹣1＞0，即为3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，当a=0时，即为x2＞0，解集为{x|x≠0}；当a＞0时，＞﹣a，解集为{x|x＞或x＜﹣a}；当a＜0时，＜﹣a，解集为{x|x＜或x＞﹣a}．。

2016-2017学年天津市和平区八年级（上）期中数学复习试卷（全等三角形）一、选择题（共11小题，每小题0分，满分0分）1．下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）A．62°B．38°C．28°D．26°4．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处5．如图，在不等边△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，MP=3，△AMP的面积是6，下列结论：①AM＜PQ+QN，②QP∥AM，③△BMP≌△PQC，④∠QPC+∠MPB=90°，⑤△PQN的周长是7，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点．上述结论中，正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则（）A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.510．如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④11．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC；其中正确的判断有（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．①②③④二、填空题（共15小题，每小题0分，满分0分）12．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，则∠DGB=．13．已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为．14．如图，∠DAB=∠EAC=60°，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是°．15．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC 全等，那么点D的坐标是．16．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求点B的坐标．17．将直角三角形（∠ACB为直角）沿线段CD折叠使B落在B′处，若∠ACB′=50°，则∠ACD 度数为．18．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的取值范围为．19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）．如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标为．20．已知∠AOB的平分线上一点C，点C到OA的距离为1.5cm，则点C到OB的距离为．21．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．22．已知△ABC中，AB=7cm，AC=4cm，AD是BC边的中线，则AD的长的范围是．23．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且CD：AD=2：3，AC=15cm，则点D到AB的距离等于cm．24．如图，已知BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，S=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长为．25．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若：∠1=150°，则∠α的度数为．26．如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1=；（2）θn=．三、解答题（共24小题，满分0分）27．如图，已知AB=AC，CE⊥AB，BF⊥AC．求证：BF=CE．28．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．29．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．30．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．31．如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD．（1）若AB=10cm，BC=6cm，求中线BD的取值范围；（2）若AB=8cm，BD=6cm，求BC的取值范围．32．如图，OC是∠AOB平分线，点P为OC上一点，若∠PDO+∠PEO=180°，试判断PD和PE 大小关系，并说明理由．33．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．求证：CF∥DE．34．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．35．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE，EF和CF．求证：（1）AE=CF．（2）AE⊥CF．36．如图，已知在△ABC 中，AB＞BC，BD平分∠ABC，P点在BD上一点，连接PA、PC．求证：AB﹣BC＞PA﹣PC．37．如图，已知在△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，连接CD并延长至G，使CD=DG，连接AG；延长BE至F，连接AF，使BE=AF．求证：AG=AF．38．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．39．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．40．如图，已知四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC＞CD，AB=AD．求证：∠B+∠D=180°．41．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．42．如图，已知等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接BE、AD交于F点．求证：∠AFE=60°．43．已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．44．如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF ∥AB．45．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，过C作BD的垂线CE．求证：BD=2CE．46．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠B=180°．（1）求证：BC=CD；（2）2AE=AB+AD．47．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．48．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．49．如图，已知B、C、E三点共线，分别以BC、CE为边作等边△ABC和等边△CDE，连接BD、AE分别与AC、CD 交于M、N，AE与BD的交点为F．（1）求证：BD=AE；（2）求∠AFB的度数；（3）求证：BM=AN；（4）连接MN，求证：MN∥BC．50．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C 在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．2016-2017学年天津市和平区八年级（上）期中数学复习试卷（全等三角形）参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，每小题0分，满分0分）1．下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】理清全等形以及全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．【解答】解：①中能够完全重合的图形叫做全等形，正确；②中全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③全等三角形的周长相等、面积相等，也正确；④中所有的等边三角形角都是60°，但由于边不相等，所以不能说其全等，④错误；⑤中面积相等的三角形并不一定是全等三角形，⑤中说法错误；故题中①②③说法正确，④⑤说法错误，此题选C．2．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C3．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）A．62°B．38°C．28°D．26°【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE．∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS）．∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．故选C．4．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处【考点】角平分线的性质．【分析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．【解答】解：满足条件的点有一个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．故选A．5．如图，在不等边△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，MP=3，△AMP的面积是6，下列结论：①AM＜PQ+QN，②QP∥AM，③△BMP≌△PQC，④∠QPC+∠MPB=90°，⑤△PQN的周长是7，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】易证△APM≌△APN，根据全等三角形对应边、对应角相等的性质分别对题干中5个结论进行验证，即可解题．【解答】解：①在RT△APM和RT△APN中，，∴RT△APM≌RT△APN（HL），∴AM=AN，∵PQ=AQ，AN=AQ+QN，∴AM=PQ+QN，①错误；②∵RT△APM≌RT△APN，∴∠PAM=∠PAN，∵PQ=QA，∴∠PAQ=∠APQ，∴∠APQ=∠PAM，∴QP∥AM，②正确；③无法证明；④∵∠APQ=∠PAM，∠PAM+∠APM=90°，∴∠APQ+∠APM=90°，∴∠QPC+∠MPB=90°，④正确；⑤∵MP=3，△AMP的面积是6，∴AM=4，∴PQ+QN=4，∵PN=MP=3，∴△PQN的周长是7，⑤正确；故选C．6．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点．上述结论中，正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】角平分线的性质．【分析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．【解答】解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D．7．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC=180°错误，故本小题错误；③在Rt△APM与Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD=AM，同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD=CN，∴AM+CN=AD+CD=AC，故本小题正确；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=∠ACF=∠BPC+∠ABC，∴∠BAC=2∠BPC，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选B．8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则（）A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF【考点】全等三角形的性质；等腰三角形的判定．【分析】根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等的性质得∠FAE=∠FEA，所以AF=EF，再根据BE⊥AD得∠AEB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠ABE=∠BEF，根据等角对等边的性质BF=EF，所以AF=BF．【解答】解：∵AD平分∠BAC，EF∥AC，∴∠FAE=∠CAE=∠AEF，∴AF=EF，∵BE⊥AD，∴∠FAE+∠ABE=90°，∠AEF+∠BEF=90°，∴∠ABE=∠BEF，∴BF=EF，∴AF=BF．故选B．9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.5【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF 的面积转化为三角形DNM的面积来求．【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，∴S△MDGS△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．故选B．10．如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．【解答】解：∵∠B=45°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点D为BC中点，∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，∵∠MDN是直角，∴∠ADF+∠ADE=90°，∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，∴∠ADF=∠BDE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确；∴DE=DF、BE=AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；∵AE=AB﹣BE，CF=AC﹣AF，∴AE=CF，故②正确；∵BE+CF=AF+AE∴BE+CF＞EF，故④错误；综上所述，正确的结论有①②③；故选：C．11．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC；其中正确的判断有（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．①②③④【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】利用角平分线的性质对①②③④进行一一判断，从而求解．【解答】解：①∵AP平分∠BAC∴∠CAP=∠BAP∵PG∥AD∴∠APG=∠CAP∴∠APG=∠BAP∴GA=GP②∵AP平分∠BAC∴P到AC，AB的距离相等∴S△PAC ：S△PAB=AC：AB③∵BE=BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三线合一）④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上∴∠DCP=∠BCP又PG∥AD∴∠FPC=∠DCP∴FP=FC故①②③④都正确．故选D．二、填空题（共15小题，每小题0分，满分0分）12．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，则∠DGB=66°．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠E，再求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠E=105°，∴∠ACF=180°﹣105°=75°，在△ACF和△DGF中，∠D+∠DGB=∠DAC+∠ACF，即25°+∠DGB=16°+75°，解得∠DGB=66°．故答案为：66°．13．已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为3．【考点】全等三角形的性质．【分析】直接利用全等三角形的性质得出3x﹣2=7，2x﹣1=5，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，这两个三角形全等，∴3x﹣2=7，2x﹣1=5，解得：x=3．故答案为：3．14．如图，∠DAB=∠EAC=60°，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是120°．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】首先得出∠DAC=∠EAB，进而利用ASA得出△ADC≌△AEB，进而得出∠E=∠ACD，再利用三角形内角和定理得出∠EAF=∠COF=60°，即可得出答案．【解答】解：∵∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，∴∠DAC=∠EAB，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠E=∠ACD，又∵∠AFE=∠OFC，∴∠EAF=∠COF=60°，∴∠DOE=120°．故答案为：120．15．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．16．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求点B的坐标．【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC=BE，AD=CE，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），∴OC=2，AD=CE=3，OD=6，∴CD=OD﹣OC=4，OE=CE﹣OC=3﹣2=1，∴BE=4，∴则B点的坐标是（1，4）．17．将直角三角形（∠ACB为直角）沿线段CD折叠使B落在B′处，若∠ACB′=50°，则∠ACD 度数为20°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD，又∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+60°=150°，继而即可求出∠BCD的值，又∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵△B′CD时由△BCD翻折得到的，∴∠BCD=∠B′CD，又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，∴∠BCD=70°，又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，∴∠ACD=20°．故答案为：20°18．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的取值范围为PQ≥2．【考点】角平分线的性质．【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ=PD．【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PQ=PD=2，即线段PQ的最小值是2．∴PQ的取值范围为PQ≥2，故答案为PQ≥2．19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）．如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标为（8，3）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．【解答】解：由图知A点的坐标为（3，6），根据旋转中心C，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′的坐标为（8，3）．20．已知∠AOB的平分线上一点C，点C到OA的距离为1.5cm，则点C到OB的距离为 1.5cm．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CD．【解答】解：如图，∵OC是∠AOB的平分线，∴CE=CD，∵点C到OA的距离CD=1.5cm，∴点C到OB的距离CE=1.5cm．故答案为：1.5cm．21．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．【考点】全等三角形的判定．【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．22．已知△ABC中，AB=7cm，AC=4cm，AD是BC边的中线，则AD的长的范围是 1.5＜AD＜5.5．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【分析】延长AD至E，使DE=AD，就可以得出△ADB≌△EDC，就可以得出CE=AB，在△ACE 中，由三角形的三边关系就可以得出结论．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB．∵AC=4cm，∴EB=4cm．∴7﹣4＜AE∠7+4，∴3＜2AD＜11，∴1.5＜AD＜5.5．故答案为：1.5＜AD＜5.5．23．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且CD：AD=2：3，AC=15cm，则点D到AB的距离等于6cm．【考点】勾股定理；角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据比例求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=15cm，CD：AD=2：3，∴CD=15×=6cm，∵∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE=CD=6cm，即点D到AB的距离为6cm．故答案为：．．24．如图，已知BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，S=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长为．【考点】角平分线的性质．【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，设DE=DF=x，×12x+×18x=36，解得x=，即DE=．故答案为：．25．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若：∠1=150°，则∠α的度数为60°．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠1，∠ACB=∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α=∠2，从而得解．【解答】解：∵△ABE≌△ADC≌△ABC，∴∠BAE=∠1=150°，∠ACB=∠E，∴∠2=360°﹣∠1﹣∠BAE=360°﹣150°﹣150°=60°，∴∠DFE=180°﹣∠α﹣∠E，∠AFC=180°﹣∠2﹣∠ACD，∵∠DFE=∠AFC（对顶角相等），∴180°﹣∠α﹣∠E=180°﹣∠2﹣∠ACD，∴∠α=∠2=60°．故答案为：60°．26．如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1=；（2）θn=．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠A1B1O=x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=；同理求得θ2=；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．【解答】解：（1）设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°﹣θ1，∴θ1=；（2）设∠A2B2B1=y，则θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，∴θ2=；…θn=．故答案为：（1）；（2）θn=．三、解答题（共24小题，满分0分）27．如图，已知AB=AC，CE⊥AB，BF⊥AC．求证：BF=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】利用“等边对等角”得到相等的角，再利用AAS证全等，利用全等三角形的性质即可解答．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BEC=∠CFB=90°，在△BEC和△CFB中，∴△BEC≌△CFB（AAS），∴BF=CE．28．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由∠ABC为直角，得到∠CBD也为直角，得到一对角相等，再由AB=CB，BE=BD，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形CBD全等，得证；（2）由AB=BC，且∠ABC为直角，得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC为45°，由∠CAB﹣∠CAE求出∠BAE的度数，根据全等三角形的对应角相等得到∠BAE=∠BCD，即可求出∠BCD的度数．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°，…在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；…（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，…又∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=15°．…∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°．…29．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，根据同角的补角相等求出∠CDF=∠B，然后利用“角角边”证明△CDF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=BE，再利用“HL”证明Rt△ACF和Rt△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后根据AF=AD+DF等量代换即可得证．【解答】证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，∴CE=CF，∵∠B+∠ADC=180°．∠ADC+∠CDF=180°（平角定义），∴∠CDF=∠B，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴DF=BE，在Rt△ACF和Rt△ACE中，，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AE=AF，∵AF=AD+DF，∴AE=AD+BE．30．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】如图，证明DC=DE；进而证明BC=AE，即可解决问题．【解答】证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．31．如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD．（1）若AB=10cm，BC=6cm，求中线BD的取值范围；（2）若AB=8cm，BD=6cm，求BC的取值范围．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，证明△ABD≌△CED，得CE=AB=10cm，在△BCE中，根据三边关系得：4cm＜BE＜16cm，则2cm＜BD＜8cm；（2）同理根据三角形三边关系得：12﹣8＜BC＜12+8，即4cm＜BC＜20cm．【解答】解：（1）如图，延长BD至E，使BD=DE，连接CE，∵D为AC中点，∴AD=DC，在△ABD和△CED中，∵，∴△ABD≌△CED（SAS），∴EC=AB=10，在△BCE中，CE﹣BC＜BE＜CE+BC，10﹣6＜BE＜10+6，∴4＜BE＜16，∴4＜2BD＜16，∴2＜BD＜8；则中线BD的取值范围：2cm＜BD＜8cm；（2）∵AB=8，BD=6，∴CE=AB=8，BE=2BD=12，∴BE﹣EC＜BC＜BE+BC，∴12﹣8＜BC＜12+8，即4＜BC＜20；则BC的取值范围：4cm＜BC＜20cm．32．如图，OC是∠AOB平分线，点P为OC上一点，若∠PDO+∠PEO=180°，试判断PD和PE 大小关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先过点P作PM⊥OA，PN⊥OE，证明△PMD≌△PNE，根据全等三角形的性质即可解决问题．【解答】解：PD=PE．理由：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OE；∵OC平分∠AOB，∴PM=PN；∵∠OEP+∠ODP=180°，∠ODP+∠PDM=180°，∴∠OEP=∠PDM，在△PMD与△PNE中，，∴△PMD≌△PNE（AAS），∴PD=PE．33．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．求证：CF∥DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】利用“HL”证明Rt△ACE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BFD，全等三角形对应边相等可得CE=DF，再利用“边角边”证明△CEF和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CFE=∠DEF，然后利用内错角相等，两直线平行证明即可．【解答】证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴△ACE和△BDF都是直角三角形，在Rt△ACE和Rt△BDF中，，∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），∴∠AEC=∠BFD，CE=DF，在△CEF和△DFE中，，∴△CEF≌△DFE（SAS），∴∠CFE=∠DEF，∴CF∥DE．34．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由已知条件，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．【解答】证明：∵BE平分∠FBC，BE⊥CF，∴BF=BC，∴CE=EF，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°，∴∠F=∠ADB=67.5°，在△ABD和△ACF中，∵，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD=CF，∴BD=2CE．35．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE，EF和CF．求证：（1）AE=CF．（2）AE⊥CF．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CBF即可得出AE=CF；（2）先延长AE交CF于D，根据三角形的内角和得：∠CDE=∠ABC=90°，则AE⊥CF．【解答】证明：（1）如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABC=∠EBF=90°，在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE=CF；（2）如图2，延长AE交CF于D，∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF，∵∠AEB=∠CED，∴∠CDE=∠ABC=90°，∴AD⊥CF，即AE⊥CF．36．如图，已知在△ABC 中，AB＞BC，BD平分∠ABC，P点在BD上一点，连接PA、PC．求证：AB﹣BC＞PA﹣PC．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【分析】要证明AB﹣BC＞PA﹣PC，由于四条线段比较分散，可考虑通过三角形全等把它们集中起来．由于AB＞BC，可在AB上截取BM=BC，证明△BPN与△BPC全等，在三角形AMP中，利用三边关系得到AM与PA、PC的关系，等量代换后得到要证明的关系．【解答】解：在线段BA上截取BM=BC，连接PM．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD在△BMP与△BCP中∴△BMP≌△BCP∴PC=PM．在△AMP中，∵AM＞PA﹣PM，又∵AM=AB﹣BM，BM=BC，PM=PC∴AB﹣BC＞PA﹣PC．37．如图，已知在△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，连接CD并延长至G，使CD=DG，连接AG；延长BE至F，连接AF，使BE=AF．求证：AG=AF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据SAS证明△ADG≌△BDC和△AEF≌△CEB，可以得出结论．【解答】证明：∵D、E分别为AB、AC中点，∴AD=BD，AE=EC，在△ADG和△BDC中，∵，∴△ADG≌△BDC（SAS），∴AG=CB，同理得：△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AG=BC．38．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．。

2016-2017学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题4分）1．把二进制数110111（2）化为十进制数为（）A．51 B．53 C．55 D．572．下面的程序运行后的作用是（）A．输出两个变量A和B的值B．把变量A的值赋给变量B，并输出A和B的值C．把变量B的值赋给变量A，并输出A和B的值D．交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．一个算法的步骤如下：第一步：输入正数m的值；第二步：求出不超过m的最大整数x；第三步：计算y=2x+x；第四步：输出y的值．如果输出y的值为20，则输入的m值只可能是下列各数中的（）A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.45．某校从高中1200名学生中抽取50名学生进行问卷调查，如果采用系统抽样的方法，将这1200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有15，则下列号码中被抽取到的还有（）A．255 B．125 C．75 D．356．甲、乙两位同学期末考试的语文、数学、英语、物理成绩如茎叶图所示，其中甲的一个数据记录模糊，无法辨认，用a来表示，已知两位同学期末考试四科的总分恰好相同，则甲同学四科成绩的中位数为（）A．92 B．92.5 C．93 D．93.57．在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（）A． B．C．D．8．甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则甲输棋的概率为（）A．B．C．D．9．如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）A．B．C．D．10．已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示：则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）A．（1，4）B．（2，5）C．（3，7）D．（4，8）二、填空题（每小题4分）11．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为．12．把118化为六进制数为．13．正整数1260与924的最大公约数为．14．设一组数据51，54，m，57，53的平均数是54，则这组数据的标准差等于．15．某人打靶时连续射击两次，每次中靶的概率都是0.7，则他至少有一次中靶的概率为．三、解答题16．已知一个5次多项式为f（x）=3x5﹣2x4+5x3﹣2.5x2+1.5x﹣0.7，用秦九韶算法求出这个多项式当x=4时的值．17．现有7名学科竞赛优胜者，其中语文学科是A1，A2，数学学科是B1，B2，英语学科是C1，C2，物理学科是D1，从竞赛优胜者中选出3名组成一个代表队，要求每个学科至多选出1名．（1）求B1被选中的概率；（2）求代表队中有物理优胜者的概率．18．和谐高级中学共有学生570名，各班级人数如表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级学生的概率是．（1）求x，y的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取114名学生，应分别在各年级抽取多少名？19．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．20．一组数据如表：（1）画出散点图；（2）根据下面提供的参考公式，求出回归直线方程，并估计当x=8时，y的值．（参考公式： ==， =﹣）2016-2017学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分）1．把二进制数110111（2）化为十进制数为（）A．51 B．53 C．55 D．57【考点】EM：进位制．【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．【解答】解：110111（2）=1×20+1×21+1×22+1×24+1×25=1+2+4+16+32=55．故选：C．2．下面的程序运行后的作用是（）A．输出两个变量A和B的值B．把变量A的值赋给变量B，并输出A和B的值C．把变量B的值赋给变量A，并输出A和B的值D．交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值【考点】E5：顺序结构．【分析】顺序执行程序，可得程序的功能，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序运行后的作用是交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值．故选：D．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=17时满足条件k＞16，退出循环，输出S的值为3，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1不满足条件k＞16，执行循环体，满足条件S＜4，S=2，k=3不满足条件k＞16，执行循环体，满足条件S＜4，S=3，k=5不满足条件k＞16，执行循环体，满足条件S＜4，S=4，k=7不满足条件k＞16，执行循环体，不满足条件S＜4，S=2，k=9不满足条件k＞16，执行循环体，满足条件S＜4，S=3，k=11不满足条件k＞16，执行循环体，满足条件S＜4，S=4，k=13不满足条件k＞16，执行循环体，不满足条件S＜4，S=2，k=15不满足条件k＞16，执行循环体，满足条件S＜4，S=3，k=17满足条件k＞16，退出循环，输出S的值为3．故选：B．4．一个算法的步骤如下：第一步：输入正数m的值；第二步：求出不超过m的最大整数x；第三步：计算y=2x+x；第四步：输出y的值．如果输出y的值为20，则输入的m值只可能是下列各数中的（）A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4【考点】EA：伪代码．【分析】由算法可知：20=2x+x，解得：x=4，结合x=4是不超过m的最大整数，结合选项即可得解．【解答】解：由算法可知：20=2x+x，x是整数．解得：x=4，由于x=4是不超过m的最大整数，结合选项可得m=4.2．故选：B．5．某校从高中1200名学生中抽取50名学生进行问卷调查，如果采用系统抽样的方法，将这1200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有15，则下列号码中被抽取到的还有（）A．255 B．125 C．75 D．35【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔，然后进行计算即可．【解答】解：根据系统抽样得样本间隔为1200÷50=24，已知被抽取到的号码有15，则其他抽取的号码为15+24（n﹣1）=24n﹣9，则当n=11时，号码为24×11﹣9=255，故选：A6．甲、乙两位同学期末考试的语文、数学、英语、物理成绩如茎叶图所示，其中甲的一个数据记录模糊，无法辨认，用a来表示，已知两位同学期末考试四科的总分恰好相同，则甲同学四科成绩的中位数为（）A．92 B．92.5 C．93 D．93.5【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图，两位同学的总分相等，建立方程关系求出a=2，结合中位数的定义进行求解即可．【解答】解：∵两位同学期末考试四科的总分恰好相同，∴由茎叶图得87+90+94+95+a=89+85+96+98，即a=2，则甲的中位数为=93，故选：C7．在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（）A． B．C．D．【考点】BI：散点图．【分析】根据在两个变量的散点图中，样本点成带状分布，这两个变量具有线性相关关系，而正相关关系的散点图是从左下角向右上角变化，由此判断得出正确的结论．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；对于B、是相关关系，但是负相关关系，不符合题意；对于C、所示的散点图中，样本点不成带状分布，则这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意；对于D、是相关关系，且是正相关关系，符合题意；故选：D．8．甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则甲输棋的概率为（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】解：∵甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，∴甲输棋的概率：p=1﹣=．故选：A．9．如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，得正方形边长为2，E到AB的距离大于时满足题意，由几何概型公式计算可得答案【解答】解：如图，正方形边长为2，E到AB的距离大于时，△ABE的面积大于，易得E在长宽分别为2，的矩形内，又正方形面积为4，由几何概型的公式得到△ABE的面积大于的概率为；故选C．10．已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示：则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）A．（1，4）B．（2，5）C．（3，7）D．（4，8）【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点得出结论．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1+3.5+5.5+7+8）=5，∴回归直线方程=bx+a过样本中心点（2，5）．故选：B．二、填空题（每小题4分）11．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为31 ．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1S=3不满足条件S﹣n＞8，执行循环体，n=3，S=7不满足条件S﹣n＞8，执行循环体，n=7，S=15不满足条件S﹣n＞8，执行循环体，n=15，S=31满足条件S﹣n＞8，退出循环，输出S的值为31．故答案为：31．12．把118化为六进制数为314（6）．【考点】EM：进位制．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以k，然后将商继续除以k，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：118÷6=19，余数是4，19÷6=3，余数是1，3÷6=0，余数是3．故118（10）=314（6）．故答案为：314（6）．13．正整数1260与924的最大公约数为84 ．【考点】WE：用辗转相除计算最大公约数．【分析】利用辗转相除法即可得出．【解答】解：1260=924+336，924=336×2+252，336=252+84．252=84×3．∴正整数1260与924的最大公约数为84．故答案为：84．14．设一组数据51，54，m，57，53的平均数是54，则这组数据的标准差等于 2 ．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数的定义求出m的值，再计算这组数据的方差与标准差．【解答】解：数据51，54，m，57，53的平均数是54，即×（51+54+m+57+53）=54，解得m=55，所以这组数据的方差为s2=×[（51﹣54）2+（54﹣54）2+（55﹣54）2+（57﹣54）2+（53﹣54）2]=4，标准差为s=2．故答案为：2．15．某人打靶时连续射击两次，每次中靶的概率都是0.7，则他至少有一次中靶的概率为0.91 ．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】他至少有一次中靶的对立事件是他两次都不中靶，由此利用对立事件概率计算公式能求出他至少有一次中靶的概率．【解答】解：某人打靶时连续射击两次，每次中靶的概率都是0.7，他至少有一次中靶的对立事件是他两次都不中靶，∴他至少有一次中靶的概率为：p=1﹣（1﹣0.7）（1﹣0.7）=0.91．故答案为：0.91．三、解答题16．已知一个5次多项式为f（x）=3x5﹣2x4+5x3﹣2.5x2+1.5x﹣0.7，用秦九韶算法求出这个多项式当x=4时的值．【考点】EL：秦九韶算法．【分析】f（x）=3x5﹣2x4+5x3﹣2.5x2+1.5x﹣0.7=（（（（3x﹣2）x+5）x﹣2.5）x+1.5）x﹣0.7，利用（k=1，2，…，n）进而得出．【解答】解：f（x）=3x5﹣2x4+5x3﹣2.5x2+1.5x﹣0.7=（（（（3x﹣2）x+5）x﹣2.5）x+1.5）x ﹣0.7，v0=3，v1=3×4﹣2=10，v2=10×4+5=45，v3=45×4﹣2.5=177.5，v4=177.5×4+1.5=711.5，v5=711.5×4﹣0.7=2845.3．17．现有7名学科竞赛优胜者，其中语文学科是A1，A2，数学学科是B1，B2，英语学科是C1，C2，物理学科是D1，从竞赛优胜者中选出3名组成一个代表队，要求每个学科至多选出1名．（1）求B1被选中的概率；（2）求代表队中有物理优胜者的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）从7名学科竞赛优胜者中选出3名组成一个代表队，利用列举法求出全部可能的结果有20种，其中B1被选中的有8种，由此能求出B1被选中的概率．（2）利用列举法求出代表者中有物理优胜者的结果有12种，由此能求出代表队中有物理优胜者的概率．【解答】解：（1）从7名学科竞赛优胜者中选出3名组成一个代表队，全部可能的结果有：{A1，B1，C1}，{A1，B1，C2}，{A1，B1，D1}，{A1，B2，C1}，{A1，B2，C2}，{A1，B2，D1}，{A1，C1，D1}，{A1，C2，D1}，{A2，B1，C1}，{A2，B1，C2}，{A2，B1，D1}，{A2，B2，C1}，{A2，B2，C2}，A2，B2，D1}，{A2，C1，D1}，{A2，C2，D1}，{B1，C1，D1}，{B1，C2，D1}，{B2，C1，D1}，{B2，C2，D1}，共有20种，其中B1被选中的有：{A1，B1，C1}，{A1，B1，C2}，{A1，B1，D1}，{A2，B1，C1}，{A2，B1，C2}，{A2，B1，D1}，{B1，C1，D1}，{B1，C2，D1}，共8种，∴B1被选中的概率P1=．（2）代表者中有物理优胜者的结果有：{A1，B1，D1}，{A1，B2，D1}，{A1，C1，D1}，{A1，C2，D1}，{A2，B1，D1}，{A2，B2，D1}，{A2，C1，D1}，{A2，C2，D1}，{B1，C1，D1}，{B1，C2，D1}，{B2，C1，D1}，{B2，C2，D1}，共12种，∴代表队中有物理优胜者的概率P2==．18．和谐高级中学共有学生570名，各班级人数如表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级学生的概率是．（1）求x，y的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取114名学生，应分别在各年级抽取多少名？【考点】B3：分层抽样方法．【分析】（1）根据条件先计算高二年级的学生数，根据条件进行求解计算即可．（2）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得高二年级共有学生570×=190（名），则x=190﹣（48+49+47）=46，∵高三年级有学生44+47+46+45=180（名），∴高一年级共有学生570﹣=200（名），则y=200﹣（52+51+48）=49．（2）由（1）知，高一年级共有学生200名，高二年级共有学生190名，高三年级共有学生180名，先用分层抽样的方法在全校抽取114名学生，则高一抽取人数为×200=40，则高二抽取人数为×190=38，则高三抽取人数为×180=36，则分别在高一，高二，高三抽取40，38，36名．19．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图能求出100名学生中参加实践活动的时间在6～10小时内的人数．（2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，由此能求出这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值；由（0.04+0.12+0.15+a+0.05）×2=1，求出a=0.14，由此利用频率分布直方图能求出这100名学生参加实践活动时间的中位数和平均数．【解答】解：（1）依题意，100名学生中参加实践活动的时间在6～10小时内的人数为：100×[1﹣（0.04+0.12+0.05）×2]=58，即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数为58．（2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时，由（0.04+0.12+0.15+a+0.05）×2=1，解得a=0.14，则6+，即这100名学生参加实践活动时间的中位数为7.2小时，这100名学生参加实践活动时间的平均数为：0.04×2×3+0.12×2×5+0.15×2×7+0.14×2×9+0.05×2×11=7.16小时．20．一组数据如表：（1）画出散点图；（2）根据下面提供的参考公式，求出回归直线方程，并估计当x=8时，y的值．（参考公式： ==， =﹣）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表中数据画出散点图即可；（2）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程，计算x=8时的值．【解答】解：（1）根据表中数据，画出散点图如图所示；（2）计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（1.3+1.9+2.5+2.7+3.6）=2.4，x i y i=1×1.3+2×1.9+3×2.5+4×2.7+5×3.6=41.4，=12+22+32+42+52=55，∴===0.54，=﹣=2.4﹣0.54×3=0.78；∴回归直线方程为=0.54x+0.78，当x=8时， =0.54×8+0.78=5.1．。

天津市部分区2016~2017学年度第二学期期末试卷七年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在，，，，，，，，中是无理数的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【参考答案】B【考查内容】无理数【解析思路】无理数包括三方面的数：①化简之后含的式子；②开方开不尽的方根；③无限不循环小数2、如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（）A. a-5＜b-5B. 5-a＜5-bC.＞D.＞【参考答案】B【考查内容】不等式的性质【解析思路】①不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以一个不为0的正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘或除以一个不为0的负数，不等号的方向改变。

3、下列四个命题中是真命题的是（）A.内错角相等B.如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角C.在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互垂直【参考答案】C【考查内容】命题与定理【解析思路】利用学习过的有关性质、定义及定理进行判断后即可得到正确的结论。

4、如果P（m，1-3m）在第四象限，那么m的取值范围是（）A.0＜m＜B.＜＜C.m＜0D.＞【参考答案】D【考查内容】坐标、不等式组【解析思路】根据点P在第四象限内横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式组求解即可。

5.下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A.对长江水质情况的调查B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C.对某班45名学生身高情况的调查D.对某批灯泡使用寿命的调查【参考答案】C【考查内容】全面调查与抽样调查【解析思路】由普查得带的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间比较多，而抽样调查的到的调查结果比较近似。

6.在扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为72°，则这个扇形所表示的区域占总体区域的（）A.10%B.20%C.30%D.50%【参考答案】B【考查内容】扇形统计图【解析思路】利用扇形的圆心角是72°，这个扇形所表示的占总体面积的百分比就是圆心角所占的百分比，即可求出答案。

2016-2017 学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题1、某工厂 A ， B， C 三个车间共生产2000 个机器部件，此中 A 车间生产800 个， B 车间生产 600 个， C 车间生产600 个，要从中抽取一个容量为50 的样本，记这项检查为①：某学校高中一年级15 名男篮运动员，要从中选出 3 人参加会谈会，记这项检查为②，则达成①、②这两项检查宜采纳的抽样方法挨次是（）A 、分层抽样系统抽样B、分层抽样简单随机抽样C、系统抽样简单随机抽样D、简单随机抽样分层抽样2、以下图的茎叶图记录了甲、乙两组各7 名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的均匀数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n﹣ m 的值是（）A、﹣ 2B、﹣ 1C、 0D、 13、给出以下三对事件：①某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”；②甲、乙两人各射击 1 次，“起码有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有 2 个红球和 2 和黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．此中属于互斥事件的个数为（）A 、 0B、 1C、 2D、 34、口袋中装有一些大小同样的红球和黑球，从中拿出 2 个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则拿出的 2 个球中恰巧一个红球一个黑球的概率是（）A 、B、C、D、5、若 x， y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、﹣ 5B、 1C、D、 36、在△ ABC 中， a，b， c 分别是三个内角A， B， C 的对边， b=1， c=，∠ B=30°，则a 的值为（）A、1或2B、 1C、 2D、7、阅读如图的程序框图，运转相应的程序，则输出S 的值为（）A、B、C、D、8、若 a， b，c， d∈ R，则以下结论正确的选项是（）A 、若 a＞ b，则 a2＞ b2B、若 a＞ b，c＞ d，则 ac＞ bdC、若 a＜ b＜0，则＜D、若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜0，则＜9、从某高中随机选用 5 名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：身高 x（ cm） 160 165 170 175 180体重y（ kg）63 66 70 72 74依据如表可得回归方程=0.56x+ ，据此模型可预告身高为172cm 的高一男生的体重为（）A 、B、C、D、10、设数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈ N*），则S5等于（）A、85B、 255C、 341D、 1023二、填空题11、把二进制数110101（2）转变为十进制数为________．12、阅读如图的程序框图，运转相应的程序，则输出 a 的值是________．13、已知 {a n} 是等差数列， S n为其前 n 项和，若 a6=5，S4=12a4，则公差d的值为________．14、在 [﹣ 5， 5]上随机的取一个数a，则事件“不等式 x2+ax+a ≥0对随意实数x 恒成立”发生的概率为 ________．15、已知 a＞0， b＞ 0，且a与 3b的等比中项，若+2恒成立，则实数是 3 ≥2m+3mm 的取值范围是 ________．三、解答题16、为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N 的样本，整理获得的数据作出了频次散布表和频次散布直方图如图：分组频数频次[17.5 ，20） 10[20，225） 50，25） a b[25，） 40 c，30] 20共计N 1（Ⅰ）求出表中N 及 a， b， c 的值；（Ⅱ）求频次散布直方图中 d 的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试预计这件产品的质量少于25 千克的概率．17、在锐角△ ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A ，B，C 的对边，若 2asinB=b．（Ⅰ）求 A ；（Ⅱ）若a=，△ ABC的面积为，求△ ABC的周长．18、某校高一年级的 A ，B ， C 三个班共有学生120 人，为检查他们的体育锻炼状况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5， 6 名学生进行检查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从 C 班抽取学生的编号挨次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这 6 名学生中随机抽取 2 名做进一步的数据剖析．（i ）列出全部可能抽取的结果；（ii ）设 A 为事件“编号为 C1和 C2的 2 名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．2 *），数列 {b n} 是首项为 4 的正项19、已知数列 {a n} 的前 n 项和 S n知足 S n= n + n（ n∈ N等比数列，且 2b2 ， b3﹣ 3， b2+2 成等差数列．（Ⅰ）求数列 {a n} ， {b n} 的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n?b n（ n∈ N*），求数列 {c n} 的前 n 项和 T n．20、已知函数 f （ x） =x2+ax+1 （a∈ R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（ x）＜ 3 的解集；（Ⅱ）当0＜ x＜ 2 时，不等式f（x）＞ 0 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅲ）求对于x 的不等式 f （ x）﹣a2﹣ 1＞0 的解集．答案分析部分一、 <b > 选择题 </b>1、【答案】 B【考点】分层抽样方法，系统抽样方法【分析】【解答】解：①个体有了显然了差别，因此采纳分层抽样法，②个体没有差别且总数不多可简单随机抽样法．应选 B．【剖析】从整体的个体有无差别和总数能否比许多下手选择抽样方法．2、【答案】 D【考点】茎叶图【分析】【解答】解：由茎叶图，得：甲组学生成绩的均匀数：m= =88 ，乙组学生成绩的中位数：n=89，n﹣ m=89 ﹣ 88=1．应选： D．【剖析】由茎叶图，先求出甲组学生成绩的均匀数m，再求出乙组学生成绩的中位数n，由此能求出n﹣ m 的值．3、【答案】 C【考点】互斥事件与对峙事件【分析】【解答】解：在①中，某人射击 1 次，“射中7 环”与“射中8 环”不可以同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击 1 次，“起码有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有 2 个红球和 2 和黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不可以同时发生，是互斥事件，故③正确．应选： C．【剖析】利用互斥事件的定义直接求解．4、【答案】 B【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】【解答】解：设口袋中装有一些大小同样的红球和黑球的个数分别为a， b，∵从中拿出 2 个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，∴，解得 a=4，b=2 ，∴拿出的 2 个球中恰巧一个红球一个黑球的概率：p==．应选： B．【剖析】设口袋中装有一些大小同样的红球和黑球的个数分别为a， b，由从中拿出 2 个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，列出方程组，求出a， b，由此能求出拿出的 2 个球中恰巧一个红球一个黑球的概率．5、【答案】 C【考点】简单线性规划【分析】【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分），由z=2x+y得y=﹣ 2x+z ，平移直线y=﹣ 2x+z ，由图象可知当直线y=﹣ 2x+z 经过点 A 时，直线 y= ﹣ 2x+z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，解得 A （1，），代入目标函数z=2x+y 得 z=2×1+=．即目标函数z=2x+y 的最大值为．应选： C．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．6、【答案】 A【考点】正弦定理【分析】【解答】解：由余弦定理可得b2=a2+c 2﹣2accos30°，∵b=1，c=，B=30°，∴1=a2+3 ﹣ 2a××=a2+3﹣ 3a，∴a2﹣3a+2=0 ，解得 a=1 或 a=2，应选： A．【剖析】利用余弦定理成立方程即可求出 a 的值．7、【答案】 B【考点】程序框图【分析】【解答】解：模拟程序的运转，可得程序框图的功能是利用循环构造计算并输出变量S=1+++的值，因为：S=1+++==．应选： B．【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S=1+ ++的值，利用等比数列的乞降公式可得答案．8、【答案】 D【考点】不等关系与不等式【分析】【解答】解：对于A：若 a=0， b=﹣ 1，则不知足，对于B：若a=1，b=﹣1，c=0，d=﹣ 2，则不知足，对于 C：若 a=﹣ 2， b=﹣ 1，则不知足，对于 D ：若 a＞ b＞0， c＜ d＜ 0，则 ac＜bd，两边同除以cd 获得＜．应选： D【剖析】举反例判断 A ， B， C，依据不等式的性质判断 D9、【答案】 A【考点】线性回归方程【分析】【解答】解：依据已知数据，计算= ×（ 160+165+170+175+180 ） =170 ，=×（ 63+66+70+72+74 ） =69，回归系数=﹣=69 ﹣0.56 ×170=﹣，∴y 与x 的线性回归方程为=0.56x ﹣；把 x=172 代入线性回归方程中，计算 =0.56 ×172﹣ 26.2=70.12 ，∴预计该男生的体重为70.12kg ．应选： A ．【剖析】依据已知数据计算、，求出回归系数，写出回归方程，把x=172 代入线性回归方程计算的值即可．10、【答案】 C【考点】数列递推式【分析】【解答】解：∵数列{a n} 的前n 项和为S n ， a1+a2=5， a n+1=3S n+1（ n∈N *），∴a2=3a1+1 ，∴ a1+3a1+1=5 ，解得a1=1， a2=4， a3=3S2 +1=3（ 1+4） +1=16 ，a4=3S3+1=3 （ 1+4+16 ） +1=64，a5=3S4+1=3 （ 1+4+16+64 ） +1=256，∴S5=1+4+16+64+256=341 ．应选： C．【剖析】推导出 a1=1，a2=4，由此利用递推公式挨次求出a3，a4，a5，从而能求出S5的值．二、 <b > 填空题 </b>11、【答案】 53【考点】整除的定义【分析】【解答】解： 110101（2） =1+1 ×22 +1×24+1×25=53故答案为：53．【剖析】二进制变换为十进制方法：按权相加法，马上二进制每位上的数乘以权（即该数位上的 1 表示 2 的多少次方），而后相加之和即是十进制数，据此解答即可．12、【答案】 9【考点】程序框图【分析】【解答】解：模拟程序的运转，可得a=1， b=9知足条件 a＜b，履行循环体， a=5， b=7知足条件 a＜b，履行循环体， a=9， b=5不知足条件 a＜ b，退出循环，输出 a 的值为 9．故答案为： 9．【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．13、【答案】【考点】等差数列的前n 项和【分析】【解答】解：∵ {a n} 是等差数列， S n为其前 n 项和， a6=5， S4=12a4 ，∴，解得， d= ．∴公差 d 的值为．故答案为：．【剖析】利用等差数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，由此能求出公差 d 的值．14、【答案】【考点】几何概型【分析】【解答】解：由已知不等式x2+ax+a ≥0对随意实数 x 恒成立，因此△ =a2﹣ 4a≤0，解答 0≤a≤4，，因此在[﹣5，5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x 2+ax+a ≥0对随意实数 x 恒成立 ”发生的概率为： ；故答案为：．【剖析】第一求出使不等式 x 2+ax+a ≥0对随意实数 x 恒成立的 a 的范围，利用区间长度比求概率．15、【答案】 [ ﹣ 3， ]【考点】 函数恒成立问题【分析】【解答】解： a ＞ 0 ，b ＞ 0，且 是3a 与 3b 的等比中项， 可得 3a ?3b =（）2，即有 a+b=1，+ =（ a+b ）（ + ） =1+4++ ≥ 5+2=5+4=9 ，当且仅当 b=2a=时，获得等号，即最小值为9．22由 + ≥2m +3m 恒成立，可得 2m+3m ≤9，解得﹣ 3≤m ≤ ．故答案为： [﹣ 3，] ．【剖析】 运用等比中项的定义，可得 a+b=1， + =（ a+b ）（ + ）=1+4+ + ，运用基本不等式可得最小值 9，再由不等式恒成立可得 2m 2+3m ≤9，解不等式可得 m 的范围．三、 <b > 解答题 </b>16、【答案】 解：（Ⅰ）由频次散布表得： ，解得 N=200 ， a=80，， c=0.2 ．（Ⅱ）由频次散布表得[25，）频次为，∴d==0.08 ．（Ⅲ）由频次散布表知产品的质量许多于25 千克的频次为 0.2+0.1=0.3 ，∴从该产品中随机抽取一件，预计这件产品的质量少于25 千克的概率p=1﹣．【考点】频次散布表，频次散布直方图【分析】【剖析】（Ⅰ）依据频次 =，由频次散布表能求出表中N 及 a， b， c 的值．（Ⅱ）由频次散布表得[25 ，）频次为，由此能求出频次散布图中的 d 的值．（Ⅲ）由频次散布表知产品的质量许多于25 千克的频次为，从该产品中随机抽取一件，由此能预计这件产品的质量少于25 千克的概率．17、【答案】解：（Ⅰ）∵解：在△ ABC 中，若b=2asinB ，可得sinB=2sinAsinB ，∴由 sinB ≠0，可得 sinA=，∵A 为锐角，∴A=60°．（Ⅱ）∵ A=60°． a=，△ ABC的面积为=bcsinA=bc，∴b c=6 ，∴由余弦定理可得：7=b2+c2﹣ bc=（ b+c）2﹣ 3bc=（ b+c）2﹣ 18，∴解得： b+c=5，∴△ ABC 的周长 l=a+b+c=+5．【考点】正弦定理【分析】【剖析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinB=2sinAsinB ，联合 sinB ≠0，可求sinA=，联合 A 为锐角，可求 A 的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求bc=6，从而利用余弦定理可求b+c=5 ，即可得解△ABC 的周长．18、【答案】解：（Ⅰ）∵高一年级的 A ，B ， C 三个班共有学生120 人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4， 5， 6 名学生进行检查．∴A 班有学生：=32 人，B 班有学生：=40 人，C 班有学生：（Ⅱ）（ i ）记从=48 人．C 班抽取学生的编号挨次为C1 ， C2 ， C3 ， C4 ， C5 ， C6 ，现从这 6 名学生中随机抽取 2 名做进一步的数据剖析，基本领件总数有15 个，分别为：{C 1 ， C2} ，{C 1 ， C3} ，{C 1 ， C4}， {C 1 ， C5} ，{C 1 ， C6} ，{C 2 ， C3}，{C 2 ， C4} ，{C 2 ， C5}，{C 2 ， C6} ，{ }，{C3 ， C5}，{C 3 ， C6} ，{C 4 ， C5} ，{C 4 ， C6}，{C5，C6}．（i i ） A 为事件“编号为 C1和 C2的 2 名学生中恰有一人被抽到”，则事件 A 包括的基本领件个数为 8，分别为：{C1， C3}，{C1 ， C4} ，{C 1， C5}， {C 1， C6} ，{C 2 ， C3}，{C 2， C4}，{C2， C5}，{C2 ， C6}，∴事件 A 发生的概率 p= ．【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率【分析】【剖析】（Ⅰ）由高一年级的 A ，B ， C 三个班共有学生120 人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取 4 ，5， 6 名学生进行检查，能求出 A ，B ， C 三个班各有学生多少人．（Ⅱ）（i）利用列举法能求出全部可能抽取的结果．（ii）A “ C1 和C2为事件编号为的 2 名学生中恰有一人被抽到”，利用列举法求失事件 A 包括的基本领件个数，由此能求出事件 A 发生的概率．19、【答案】解：（Ⅰ）∵数列 {a n} 的前 n 项和 S n知足 S n=2 *），∴ a1=S1= n + n（ n∈N=5，当 n≥2时， a n=S n﹣ S n﹣1=（）﹣[] =3n+2，当 n=1 时，上式成立，∴数列{an}的通项公式为a n=3n+2．∵数列 {b n} 是首项为 4 的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，∴，解得 q=2 ．∴数列 {b n} 的通项公式n﹣1 n+1．b n=4×2 =2（Ⅱ）∵ c n=a n?b n=（ 3n+2 ）?2n+1=（ 6n+4） ?2n ，∴数列 {c n} 的前 n 项和：2×2 3 nT n=10 ×2+16 ×2 +22 + +（6n+4）×2 ，①2T n=10 ×22+16 ×23 +22 ×23+ +（ 6n+4）×2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=20+6 （22 +23+ +2n）﹣（ 6n+4）×2n+1=20+6 ×﹣（6n+4）×2n+1=﹣4﹣（ 6n﹣ 2）×2n+1，∴T n=（ 6n﹣ 2）×2n+1+4．【考点】数列的乞降，数列递推式【分析】【剖析】（Ⅰ）由数列 {a n} 的前 n 项和 S n知足 S n=n2+n（ n∈ N *），获得 a1=S1=5 ，当 n≥2时， a n=S n﹣ S n﹣1=3n+2 ，由此能求出数列{a n} 的通项公式；由数列{b n} 是首项为 4 的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，利用等比数列通项公式、等差数列性质列出方程，求出公比，由此能求出数列{b n} 的通项公式．（Ⅱ）由 c n=a n?b n=（ 3n+2）?2n+1= （6n+4 ） ?2n ，利用错位相减法能求出数列{c n} 的前 n 项和．20、【答案】解：（Ⅰ）当 a= 时，不等式f（ x）＜ 3，即为2 2 x + x+1 ＜ 3，即 3x +x﹣4＜ 0，解得﹣＜x＜ 1，则原不等式的解集为（﹣，1）；（Ⅱ）当0＜ x＜ 2 时，不等式f（x）＞ 0 恒成立，即有x 2+ax+1 ＞ 0在 0＜ x＜ 2 恒成立，即为﹣ a＜x+ 在 0＜ x＜ 2 恒成立，由 y= x+ 的导数为 y′= ﹣，可得函数y 在（ 0，）递减，（，2）递加，则 y=x+的最小值为2=，即有﹣a＜，解得a＞﹣；（Ⅲ）f（ x）﹣a2﹣ 1＞ 0，即为 3x2+2ax ﹣ a2＞0，即（ x+a）（ 3x﹣ a）＞ 0，当 a=0 时，即为 x2＞ 0，解集为 {x|x ≠0}；当 a＞ 0 时，＞﹣ a，解集为{x|x ＞或 x＜﹣ a} ；当 a＜ 0 时，＜﹣ a，解集为{x|x ＜或 x＞﹣ a} ．【考点】函数恒成立问题，一元二次不等式的解法【分析】【剖析】（Ⅰ）化简为二次不等式的一般式，解不等式即可获得所求解集；（Ⅱ）由题意可得x2+ax+1 ＞0 在 0＜ x＜ 2 恒成立，即为﹣a＜x+ 在 0＜ x＜2 恒成立，求出y= x+ 的导数，单一区间，可得最小值，即可获得 a 的范围；（Ⅲ）f（ x）﹣a2﹣1＞0，即为 3x2+2ax ﹣ a2＞ 0，即（ x+a）（ 3x﹣ a）＞ 0，对 a 议论， a=0，a＞ 0， a＜0，由二次不等式的解法，即可获得所求解集．。

2016－2017学年度第一学期期末考试试题一、细心选一选.（每小题3分，共30分）1．在下列各式的计算中，正确的是 （ ）．A ．5x 3·（-2x 2）=-10x 5B ．4m 2n-5mn 2 = -m 2nC ．(-a)3÷(-a) =-a 2D ．3a+2b=5ab2．点M 1（a-1，5）和M 2(2,b-1)关于x 轴对称,则a,b 的值分别为（ ）．A ．3，－2B ．－3，2C ．4，－3D ．3，－4 3．下列图案是轴对称图形的有 （ ）．A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列说法正确的是( )．A ．等腰三角形任意一边的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形的一边不可以是另一边的两倍D ．等腰三角形的两底角相等5．如图所示,下列图中具有稳定性的是( )．6．下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）．A ． a=2，b=3，c=8B ．a=7，b=6，c=13C ． a=12，b=14，c=18D ．a=4，b=5，c=67．下列多项式中，能直接用完全平方公式因式分解的是（ ）．A. x 2+2xy- y 2B. -x 2+2xy+ y 2C. x 2+xy+ y 2D. 42x -xy+y 28．在△ABC 和△DEF 中，给出下列四组条件：（1） AB=DE, BC=EF, AC=DF（2） AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF （3）∠B=∠E , BC=EF, ∠C=∠FDC B A（4） AB=DE, AC=DF, ∠B=∠E 其中能使△ABC ≌△DEF 的条件共有 ( ).A.1组B.2组C.3组D.4组9．已知 a=833， b=1625, c=3219, 则有（ ）.A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b10．如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A 的平分线交BC 于D ．过C 点作CG ⊥AB 于G, 交AD 于E, 过D 点作DF ⊥AB 于F.下列结论：（1）∠CED=∠CDE （2）∠ADF=2∠FDB （3）CE=DF （4）△AEC 的面积与△AEG 的面积比等于AC:AG其中正确的结论是（ ）.A ．（1）（3）（4）B ．（2）（3）C ．(2) (3)（4）D ．(1)(2)(3)(4)二、耐心填一填.（每小题3分，共30分）11．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m ，这个数用科学记数法表示为__________ m. 12. 如果把分式yx x＋2中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值 ． 13.已知ab=1，m =a ＋11+b＋11 ,则m 2016的值是 . 14．如果一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1260°，那么这个多 边形为 边形．15．如图，若△ACD 的周长为19cm , DE为AB 边的垂直平分线,则 AC+BC= cm.16．若（x-1）0-2(3x-6)-2有意义，则x 的取值范围是 .17．如图，在直角△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，将AB 边沿AD 折叠， 发现B 的对应点E 正好在AC 的垂 直平分线上，则∠C= .18．如图，在△ABC 中,∠A=50°，点D 、E 分别在AB ，AC 上，EF 平分∠CED ，DF 平分∠BDE ，则 ∠F = ．19．已知等腰△ABC ，AB=AC,现将△ABC 折叠，使A 、B 两点重合，折痕所在的直 线与直线AC 的夹角为40°，则∠B 的 度数为 ．E DCBAGFEDCBAF EDC BA EDCBA20．如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 在AB 上，过点D 作DE ⊥AC 于E ，在BC 上取一点F ， 且点F 在DE 的垂直平分线上，连接DF ， 若∠C=2∠BFD ，BD=5，CE=11，则BC 的 长为 ． 三、用心答一答.（60分） 21．（9分）(1) 分解因式： 8xy+ (2x-y)2（2）先化简，再求值：(a+b)2- b(2a+b)- 4b ，其中a=-2， b=-43；（3）先化简，再求值：（4482＋－＋x x x -x －21）÷xx x 232－＋，其中 x=-222．（6分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长为1，点A 、点B 和点C 在小正方形的顶点上， 请在图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：（1）在图1中画出以A 、B 、C 和D 为顶点的四边形，此四边形为轴 对称图形，并画出一条直线将此四边形分割为两个等腰三角形；（2）在图2中画出以A 、B 、C 和E 为顶点的四边形，此四边形为 轴对称图形，并画出此四边形的对称轴； （3）两个轴对称图形不全等．FEDCB A图1图223．（9分）已知关于x 的方程21＋＋x x - 1-x x = ）（＋1-)2(x x a的解是正数， 求a 的取值范围.24．(6分) 如图，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，点E 、F 分别在BC ，AC 上，BE=CF,AE 与BF 交于点G.（1）求∠AGB 的度数；（2）连接DG,求证：DG=AG+BG.25．（10分）百姓果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完；由于水果畅销，第二次购买时，每千克进价比第一次提高10%，用1452元所购买的数量比第一次多20kg ，以每千克9元出售100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果. （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这次销售中，总体是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？G F E DC B A26．（10分）（1）已知3x =4y =5z ，求yx y z 5332＋－的值．（2）已知6122－－－x x x =2＋x A +3－x B，其中A 、B 为常数， 求2A+5B 的值．（3）已知 x+y+z ≠0，a 、b 、c 均不为0，且zy x＋=a, x z y ＋=b ， yx z ＋=c 求证：a a ＋1+b b ＋1+cc ＋1=127．（10分）如图1，AD//BC,AB ⊥BC 于B ，∠DCB=75°，以CD 为边的等边△DCE 的另一顶点E在线段AB 上.（1）求∠ADE 的度数； （2）求证：AB=BC ；（3）如图2，若F 为线段CD 上一点，∠FBC=30°，求DF:FC 的值.D图1E CBA D图2FE CBA。

2016-2017学年天津市和平区高一(上)期末数学试卷一.选择题：每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的1.(5分)cos等于()A.﹣B.﹣C.D.2.(5分)已知＝2,则tanα的值为()A. B.﹣ C. D.﹣3.(5分)函数f(x)＝sin(＋)(x∈R)的最小正周期是()A. B.πC.2π D.4π4.(5分)为了得到周期y＝sin(2x＋)的图象,只需把函数y＝sin(2x﹣)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度5.(5分)设平面向量＝(5,3),＝(1,﹣2),则﹣2等于()A.(3,7)B.(7,7)C.(7,1)D.(3,1)6.(5分)若平面向量与的夹角为120°,＝(,﹣),||＝2,则|2﹣|等于()A. B.2 C.4 D.127.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,＝(3,2),＝(﹣1,2),则•等于()A.1B.6C.﹣7D.78.(5分)已知sinα＋cosα＝,则sin2α的值为()A. B.± C.﹣ D.09.(5分)计算cos•cos的结果等于()A. B. C.﹣ D.﹣10.(5分)已知α,β∈(0,),且满足sinα＝,cosβ＝,则α＋β的值为()A. B. C. D.或二.填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.(4分)函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在[0,]上单调递增,且在这个区间上的最大值是,则ω的值为.12.(4分)已知向量＝(﹣1,2),＝(2,﹣3),若向量λ＋与向量＝(﹣4,7)共线,则λ的值为.13.(4分)已知函数y＝3cos(x＋φ)﹣1的图象关于直线x＝对称,其中φ∈[0,π],则φ的值为.14.(4分)若tanα＝2,tanβ＝,则tan(α﹣β)等于.15.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝2,若点E为BC的中点,点F在CD上,•＝6,则•的值为三.解答题(本大题5小题,共40分)16.(6分)已知向量与共线,＝(1,﹣2),•＝﹣10(Ⅰ)求向量的坐标;(Ⅱ)若＝(6,﹣7),求|＋|17.(8分)已知函数f(x)＝cos2x＋2sinx(Ⅰ)求f(﹣)的值;(Ⅱ)求f(x)的值域.18.(8分)已知sinα＝,α∈(,π)(Ⅰ)求sin(α﹣)的值;(Ⅱ)求tan2α的值.19.(8分)已知＝(1,2),＝(﹣2,6)(Ⅰ)求与的夹角θ;(Ⅱ)若与共线,且﹣与垂直,求.20.(10分)已知函数f(x)＝sinx(2cosx﹣sinx)＋1 (Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.2016-2017学年天津市和平区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的1.(5分)cos等于()A.﹣B.﹣C.D.【解答】解：cos＝cos(2π﹣)＝cos＝.故选：C.2.(5分)已知＝2,则tanα的值为()A. B.﹣ C. D.﹣【解答】解：∵＝＝2,则tanα＝﹣,故选：B.3.(5分)函数f(x)＝sin(＋)(x∈R)的最小正周期是()A. B.πC.2π D.4π【解答】解：函数f(x)＝sin(＋)(x∈R)的最小正周期是：T＝＝＝4π.故选：D.4.(5分)为了得到周期y＝sin(2x＋)的图象,只需把函数y＝sin(2x﹣)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解答】解：∵y＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)﹣],∴只需把函数y＝sin(2x﹣)的图象向左平移个单位长度即可得到y＝sin(2x ＋)的图象.故选：A.5.(5分)设平面向量＝(5,3),＝(1,﹣2),则﹣2等于()A.(3,7)B.(7,7)C.(7,1)D.(3,1)【解答】解：∵平面向量＝(5,3),＝(1,﹣2),∴﹣2＝(5,3)﹣(2,﹣4)＝(3,7).故选：A.6.(5分)若平面向量与的夹角为120°,＝(,﹣),||＝2,则|2﹣|等于()A. B.2 C.4 D.12【解答】解：∵平面向量与的夹角为120°,＝(,﹣),||＝2,∴||＝1,∴＝||•||•cos120°＝1×2×＝﹣1,∴|2﹣|2＝4||2＋||2﹣4＝4＋4﹣4×(﹣1)＝12,∴|2﹣|＝2故选：B7.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,＝(3,2),＝(﹣1,2),则•等于()A.1B.6C.﹣7D.7【解答】解：∵＝＋＝(3,2),＝﹣＝(﹣1,2),∴2＝(2,4),∴＝(1,2),∴•＝(3,2)•(1,2)＝3＋4＝7,故选：D8.(5分)已知sinα＋cosα＝,则sin2α的值为()A. B.± C.﹣ D.0【解答】解：∵sinα＋cosα＝,平方可得1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝,则sin2α＝﹣,故选：C.9.(5分)计算cos•cos的结果等于()A. B. C.﹣ D.﹣【解答】解：cos•cos＝cos•＝﹣sin•cos＝﹣sin ＝﹣.故选：D.10.(5分)已知α,β∈(0,),且满足sinα＝,cosβ＝,则α＋β的值为()A. B. C. D.或【解答】解：由α,β∈(0,),sinα＝,cosβ＝,∴cosα＞0,sinβ＞0,cosα＝,sinβ＝,∴cos(α＋β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝,由α,β∈(0,)可得0＜α＋β＜π,∴α＋β＝.故选：A.二.填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.(4分)函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在[0,]上单调递增,且在这个区间上的最大值是,则ω的值为.【解答】解：∵函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在[0,]上单调递增,∴≤.再根据在这个区间上f(x)的最大值是,可得ω•＝,则ω＝,故答案为：.12.(4分)已知向量＝(﹣1,2),＝(2,﹣3),若向量λ＋与向量＝(﹣4,7)共线,则λ的值为﹣2.【解答】解：向量＝(﹣1,2),＝(2,﹣3),向量λ＋＝(﹣λ＋2,2λ﹣3),向量λ＋与向量＝(﹣4,7)共线,可得：﹣7λ＋14＝﹣8λ＋12,解得λ＝﹣2.故答案为：﹣2.13.(4分)已知函数y＝3cos(x＋φ)﹣1的图象关于直线x＝对称,其中φ∈[0,π],则φ的值为.【解答】解：∵函数y＝3cos(x＋φ)﹣1的图象关于直线x＝对称,其中φ∈[0,π],∴＋φ＝kπ,即φ＝kπ﹣,k∈Z,则φ的最小正值为,故答案为：.14.(4分)若tanα＝2,tanβ＝,则tan(α﹣β)等于.【解答】解：∵tanα＝2,tanβ＝,∴tan(α﹣β)＝＝＝.故答案为：.15.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝2,若点E为BC的中点,点F在CD上,•＝6,则•的值为﹣1【解答】解：以A为原点,AB为x轴、AD为y轴建系如图,∵AB＝3,BC＝2,∴A(0,0),B(3,0),C(3,2),D(0,2),∵点E为BC的中点,∴E(3,1),∵点F在CD上,∴可设F(x,2),∴＝(3,0),＝(x,2),∵•＝6,∴3x＝6,解得x＝2,∴F(2,2),∴＝(﹣1,2),∵＝(3,1),∴•＝﹣3＋2＝﹣1,故答案为：﹣1三.解答题(本大题5小题,共40分)16.(6分)已知向量与共线,＝(1,﹣2),•＝﹣10(Ⅰ)求向量的坐标;(Ⅱ)若＝(6,﹣7),求|＋|【解答】解：(Ⅰ)∵向量与共线,＝(1,﹣2),∴可设＝λ＝(λ,﹣2λ),∵•＝﹣10,∴λ＋4λ＝﹣10,解得λ＝﹣2,∴(﹣2,4),(Ⅱ)∵＝(6,﹣7),∴＋＝(4,﹣3),∴|＋|＝＝5.17.(8分)已知函数f(x)＝cos2x＋2sinx(Ⅰ)求f(﹣)的值;(Ⅱ)求f(x)的值域.【解答】解：函数f(x)＝cos2x＋2sinx,(Ⅰ)f(﹣)＝cos(﹣)＋2sin(﹣)＝＋2×(﹣)＝﹣;(Ⅱ)f(x)＝(1﹣2sin2x)＋2sinx＝﹣2＋,∴当x＝＋2kπ或x＝＋2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值;当x＝﹣＋2kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值﹣3;∴f(x)的值域是[﹣3,].18.(8分)已知sinα＝,α∈(,π)(Ⅰ)求sin(α﹣)的值;(Ⅱ)求tan2α的值.【解答】解：(Ⅰ)∵sinα＝,α∈(,π),∴.∴sin(α﹣)＝＝;(Ⅱ)∵,∴tan2α＝.19.(8分)已知＝(1,2),＝(﹣2,6)(Ⅰ)求与的夹角θ;(Ⅱ)若与共线,且﹣与垂直,求.【解答】解：(Ⅰ)∵＝(1,2),＝(﹣2,6),∴||＝＝,||＝＝2,＝﹣2＋12＝10,∴cosθ＝＝＝,∴θ＝45°(Ⅱ)∵与共线,∴可设＝λ＝(﹣2λ,6λ),∴﹣＝(1＋2λ,2﹣6λ),∵﹣与垂直,∴(1＋2λ)＋2(2﹣6λ)＝0,解得λ＝,∴＝(﹣1,3)20.(10分)已知函数f(x)＝sinx(2cosx﹣sinx)＋1(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)＝sinx(2cosx﹣sinx)＋1＝2sinxcosx﹣2sin2x＋1＝(2sinxcosx)＋(1﹣2sin2x)＝sin2x＋cos2x＝2(sin2x＋cos2x)＝2sin(2x＋),∴f(x)的最小正周期T＝＝π;(Ⅱ)令z＝2x＋,则函数y＝2sinz在区间[﹣＋2kπ,＋2kπ],k∈Z上单调递增;令﹣＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ,k∈Z,解得﹣＋kπ≤x≤＋kπ,k∈Z,令A＝[﹣,],B＝[﹣＋kπ,＋kπ],k∈Z,则A∩B＝[﹣,];∴当x∈[﹣,]时,f(x)在区间[﹣,]上单调递增,在区间[,]上的单调递减.。

天津市红桥区2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个空间几何体是（）A．长方体B．球C．圆锥 D．圆柱2．（4分）集合A={1，2}，B={3，4，5}，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（）A．B．C．D．3．（4分）不等式组的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|0＜x＜1} D．{x|0＜x＜3}4．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．38+2πB．38﹣2πC．38﹣πD．385．（4分）如果实数a，b满足a＜b＜0，那么（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＜b26．（4分）把黑、红、白各1张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件7．（4分）在区间[﹣，]上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lg x≥2B．6的最大值是2C．的最小值是2D．当x∈（0，π）时，sin x≥5二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．（4分）已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为．10．（4分）设f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集为．11．（4分）若x∈（1，+∞），则y=x的最小值是．12．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．13．（4分）设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是．三、解答题（共4小题，满分48分）14．（12分）（Ⅰ）求不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集（用集合或区间表示）（Ⅱ）求不等式|x﹣3|＜1的解集（用集合或区间表示）15．（12分）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．16．（12分）某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．17．（12分）关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【参考答案】一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D【解析】根据几何体的三视图中，主视图与侧视图相同，都是相等的矩形，俯视图是圆，得出该几何体是竖立的圆柱．故选D．2．D【解析】集合A={1，2}，B={3，4，5}，从A，B中各取一个数，基本事件总数n=2×3=6，这两数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共有2个，∴这两数之和等于5的概率p=．故选D．3．C【解析】∵，∴，∴0＜x＜1，即不等式的解集是{x|0＜x＜1}，故选C．4．D【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体．表面积应为长方体表面积减去圆柱底面积，再加上圆柱侧面积．长方体长宽高分别为4，3，1，其表面积为（4×3+4×1+3×1）×2=38圆柱底面半径为1，高为1圆柱底面积为2×π×12=2π，侧面积为2π×1×1=2π所以所求的表面积为38﹣2π+2π=38故选D.5．C【解析】∵a＜b＜0，给a，b，c赋予特殊值，即a=﹣2，b=﹣1，c=0选项A、B、D都不正确故选C．6．B【解析】把黑、红、白各1张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选B．7．A【解析】在区间[﹣，]上随机取一个数x，等于区间长度为π，cos x的值介于0到之间的x范围为[，﹣]∪[，]．区间长度为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选A．8．D【解析】选项A，lg x可能为负值，故lgx+≥2错误；选项B，6﹣x﹣=6﹣（x+），而x+≥2 =4，或x+≤﹣2 =﹣4，故6﹣（x+）≤2，故B正确；选项C，==+≥2，当且仅当=即=1时取等号，此时x2=﹣3，故等号取不到，故＞2，取不到2，故错误；选项D，当x∈（0，π）时，sin x＞0，由基本不等式可得sin x+≥2 =4，sin x取不到2 故不正确．故选D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．48π【解析】设球的半径为r，则4πr2=48π，∴r=2，∴圆柱的底面半径为2，高为4，∴圆柱的侧面积S=2×=48π．故答案为48π．10．{x|1＜x＜2或x＞}【解析】不等式f（x）＞2⇔①或②由①得1＜x＜2，由②得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞}故答案为{x|1＜x＜2或x＞}11．5【解析】∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0，∴y=x+=x﹣1++1≥2 +1=4+1=5，当且仅当x=3时取等号，∴y=x+的最小值是5，故答案为5．12．8【解析】由已知三视图得到几何体为正四棱锥，侧面是底面边长为2高为2 的三角形，所以侧面积为4×=8；故答案为8．13．a≤0或a≥6【解析】|x﹣a|＜1⇔a﹣1＜x＜a+1，则A={x|a﹣1＜x＜a+1}，若A∩B=∅，则必有a+1≤1或a﹣1≥5，解可得，a≤0或a≥6；故a的取值范围是a≤0或a≥6．故答案为a≤0或a≥6.三、解答题（共4小题，满分48分）14．解：（Ⅰ）不等式﹣x2﹣2x+3＜0可化为x2+2x﹣3＞0，…（2分）即（x+3）（x﹣1）＞0，解得或x＜﹣3或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}；（Ⅱ）不等式|x﹣3|＜1可化为﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4，所以不等式的解集为{x|2＜x＜4}．15．解：（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1，即m+n=0.45．由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得．所以m=0.45﹣0.1=0.35．（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种．记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）故所求概率为．16．解：（1）由已知，x，y满足的数学关系式为：即该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分：（2）设利润为z万元，则目标函数为z=3x+2y．将其变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．因为x，y满足约束条件，所以当直线z=3x+2y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大，解方程组得点M的坐标（3，2），∴z max=3×3+2×2=13．答：生产A种产品3吨、B种产品2吨时，利润最大为13万元．17．解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．。

2016-2017学年天津市红桥区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个空间几何体是（）A．长方体B．球C．圆锥 D．圆柱2．集合A={1，2}，B={3，4，5}，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（）A．B．C．D．3．不等式组的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|0＜x＜1} D．{x|0＜x＜3}4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．38+2πB．38﹣2πC．38﹣πD．385．如果实数a，b满足a＜b＜0，那么（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＜b26．把黑、红、白各1张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件 B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件7．在区间[﹣，]上随机取一个数x ，cosx 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列结论正确的是（ ）A ．当x ＞0且x ≠1时，lgx≥2B ．6的最大值是2C ．的最小值是2D ．当x ∈（0，π）时，sinx ≥5二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为 ．10．设f （x ）=，则不等式f （x ）＞2的解集为 ．11．若x ∈（1，+∞），则y=x 的最小值是 ．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 ．13．设集合A={x||x ﹣a|＜1，x ∈R}，B={x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A ∩B=∅，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共4小题，满分48分）14．（Ⅰ）求不等式﹣x 2﹣2x+3＜0的解集（用集合或区间表示） （Ⅱ）求不等式|x ﹣3|＜1的解集（用集合或区间表示）15．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．16．某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．2016-2017学年天津市红桥区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个空间几何体是（）A．长方体B．球C．圆锥 D．圆柱【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的三视图，即可得出该几何体是什么图形．【解答】解：根据几何体的三视图中，主视图与侧视图相同，都是相等的矩形，俯视图是圆，得出该几何体是竖立的圆柱．故选：D．2．集合A={1，2}，B={3，4，5}，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=2×3=6，再利用列举法求出这两数之和等于5包含的基本事件个数，由此能求出这两数之和等于5的概率．【解答】解：集合A={1，2}，B={3，4，5}，从A，B中各取一个数，基本事件总数n=2×3=6，这两数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共有2个，∴这两数之和等于5的概率p=．故选：D．3．不等式组的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|0＜x＜1} D．{x|0＜x＜3}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】求出各个不等式的解集，取交集即可．【解答】解：∵，∴，∴0＜x＜1，即不等式的解集是{x|0＜x＜1}，故选：C．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．38+2πB．38﹣2πC．38﹣πD．38【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体，根据数据计算表面积即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体．表面积应为长方体表面积减去圆柱底面积，再加上圆柱侧面积．长方体长宽高分别为4，3，1，其表面积为（4×3+4×1+3×1）×2=38圆柱底面半径为1，高为1圆柱底面积为2×π×12=2π，侧面积为2π×1×1=2π所以所求的表面积为38﹣2π+2π=38 故选D5．如果实数a ，b 满足a ＜b ＜0，那么（ ）A ．a ﹣b ＞0B ．ac ＜bcC ．D ．a 2＜b 2【考点】71：不等关系与不等式．【分析】根据a ＜b ＜0，给a ，b ，c 赋予特殊值，即a=﹣2，b=﹣1，c=0，代入即可判定选项真假．【解答】解：∵a ＜b ＜0，给a ，b ，c 赋予特殊值，即a=﹣2，b=﹣1，c=0 选项A 、B 、D 都不正确 故选C ．6．把黑、红、白各1张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．必然事件 【考点】C4：互斥事件与对立事件．【分析】事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，从而得到事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件． 【解答】解：把黑、红、白各1张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生， ∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件． 故选：B ．7．在区间[﹣，]上随机取一个数x ，cosx 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】CF ：几何概型．【分析】本题是几何概型，首先求出满足cosx ∈（0，）的x 范围，利用区间长度比求概率．【解答】解：在区间[﹣，]上随机取一个数x，等于区间长度为π，cosx的值介于0到之间的x范围为[，﹣]∪[，]．区间长度为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选A．8．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx≥2 B．6的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx≥5【考点】7F：基本不等式．【分析】由基本不等式的规律，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，lgx可能为负值，故lgx+≥2错误；选项B，6﹣x﹣=6﹣（x+），而x+≥2 =4，或x+≤﹣2 =﹣4，故6﹣（x+）≤2，故B正确；选项C， ==+≥2，当且仅当=即=1时取等号，此时x2=﹣3，故等号取不到，故＞2，取不到2，故错误；选项D，当x∈（0，π）时，sinx＞0，由基本不等式可得sinx+≥2 =4，sinx取不到2 故不正确．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为48π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据球的表面积计算半径，得出圆柱的底面半径个高，代入侧面积公式计算．【解答】解：设球的半径为r，则4πr2=48π，∴r=2，∴圆柱的底面半径为2，高为4，∴圆柱的侧面积S=2×=48π．故答案为：48π．10．设f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞} ．【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；7E：其他不等式的解法．【分析】先分两段分别解不等式，最后所求将不等式解集合并即可【解答】解：不等式f（x）＞2⇔①或②由①得1＜x＜2，由②得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞}故答案为{x|1＜x＜2或x＞}11．若x∈（1，+∞），则y=x的最小值是 5 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0，∴y=x+=x﹣1++1≥2 +1=4+1=5，当且仅当x=3时取等号，∴y=x+的最小值是5，故答案为：5．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为8 ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体为正四棱锥，侧面是底面边长为2高为2 的三角形，因此就是侧面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体为正四棱锥，侧面是底面边长为2高为2 的三角形，所以侧面积为4×=8；故答案为：8．13．设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是a≤0或a≥6 ．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】解绝对值不等式|x﹣a|＜1可得集合A，进而分析可得若A∩B=∅，则必有a+1＜1或a﹣1＞5，解可得答案．【解答】解：|x﹣a|＜1⇔a﹣1＜x＜a+1，则A={x|a﹣1＜x＜a+1}，若A∩B=∅，则必有a+1≤1或a﹣1≥5，解可得，a≤0或a≥6；故a的取值范围是a≤0或a≥6．故答案为a≤0或a≥6三、解答题（共4小题，满分48分）14．（Ⅰ）求不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集（用集合或区间表示）（Ⅱ）求不等式|x﹣3|＜1的解集（用集合或区间表示）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法步骤求解即可；（Ⅱ）利用绝对值的定义化简不等式，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式﹣x2﹣2x+3＜0可化为x2+2x﹣3＞0，…即（x+3）（x﹣1）＞0，…解得或x＜﹣3或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}；…（Ⅱ）不等式|x﹣3|＜1可化为﹣1＜x﹣3＜1，…解得2＜x＜4，所以不等式的解集为{x|2＜x＜4}．…15．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下后求出m．（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．【解答】解：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1，即 m+n=0.45．…由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得．…所以m=0.45﹣0.1=0.35．…（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个， 记作y 1，y 2．从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x 1，x 2），（x 1，x 3），（x 1，y 1），（x 1，y 2），（x 2，x 3），（x 2，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 1），（x 3，y 2），（y 1，y 2） 共计10种．…记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”．则A 包含的基本事件为（x 1，x 2），（x 1，x 3），（x 2，x 3），（y 1，y 2）共4个．…故所求概率为．…16．某单位生产A 、B 两种产品，需要资金和场地，生产每吨A 种产品和生产每吨B 种产品所需资金和场地的数据如表所示：现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A 种产品可获利润3万元；生产每吨B 种产品可获利润2万元，分别用x ，y 表示计划生产A 、B 两种产品的吨数．（1）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A 、B 两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．【考点】7D ：简单线性规划的应用．【分析】（1）利用已知条件直接列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）写出目标函数，利用线性规划的知识，求解目标函数的最值即可．【解答】解：（1）由已知，x ，y 满足的数学关系式为：即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分：（2）设利润为z万元，则目标函数为z=3x+2y．将其变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．因为x，y满足约束条件，所以当直线z=3x+2y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大，解方程组得点M的坐标（3，2），∴z max=3×3+2×2=13．答：生产A种产品3吨、B种产品2吨时，利润最大为13万元．17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】74：一元二次不等式的解法；3W：二次函数的性质．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时， =﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．。

2016-2017学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一.选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1．cos等于（）A．﹣B．﹣ C．D．2．已知=2，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．为了得到周期y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．设平面向量=（5，3），=（1，﹣2），则﹣2等于（）A．（3，7） B．（7，7） C．（7，1） D．（3，1）6．若平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，则|2﹣|等于（）A．B．2 C．4 D．127．如图，在平行四边形ABCD中，=（3，2），=（﹣1，2），则•等于（）A．1 B．6 C．﹣7 D．78．已知sinα+cosα=，则sin2α的值为（）A．B．± C．﹣ D．09．计算cos•cos的结果等于（）A．B．C．﹣ D．﹣10．已知α，β∈（0，），且满足sinα=，cosβ=，则α+β的值为（）A．B．C． D．或二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，且在这个区间上的最大值是，则ω的值为．12．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），若向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，则λ的值为．13．已知函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，则φ的值为．14．若tanα=2，tanβ=，则tan（α﹣β）等于．15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，若点E为BC的中点，点F在CD上，•=6，则•的值为三.解答题（本大题5小题，共40分）16．已知向量与共线，=（1，﹣2），•=﹣10（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）若=（6，﹣7），求|+|17．已知函数f（x）=cos2x+2sinx（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）求f（x）的值域．18．已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．19．已知=（1，2），=（﹣2，6）（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）若与共线，且﹣与垂直，求．20．已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．2016-2017学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1．cos等于（）A．﹣B．﹣ C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：cos=cos（2π﹣）=cos=．故选：C．2．已知=2，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵==2，则tanα=﹣，故选：B．3．函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的最小正周期是T=，写出答案即可．【解答】解：函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是：T===4π．故选：D．4．为了得到周期y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由于sin（2x+）=sin[2（x+）﹣]，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵y=sin（2x+）=sin[2（x+）﹣]，∴只需把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度即可得到y=sin （2x+）的图象．故选：A．5．设平面向量=（5，3），=（1，﹣2），则﹣2等于（）A．（3，7） B．（7，7） C．（7，1） D．（3，1）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算法则求解．【解答】解：∵平面向量=（5，3），=（1，﹣2），∴﹣2=（5，3）﹣（2，﹣4）=（3，7）．故选：A．6．若平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，则|2﹣|等于（）A．B．2 C．4 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的模，以及向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，∴||=1，∴=||•||•cos120°=1×2×=﹣1，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4=4+4﹣4×（﹣1）=12，∴|2﹣|=2故选：B7．如图，在平行四边形ABCD中，=（3，2），=（﹣1，2），则•等于（）A．1 B．6 C．﹣7 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用平行四边形的性质，表示出向量，从而求出数量积【解答】解：∵=+=（3，2），=﹣=（﹣1，2），∴2=（2，4），∴=（1，2），∴•=（3，2）•（1，2）=3+4=7，故选：D8．已知sinα+cosα=，则sin2α的值为（）A．B．± C．﹣ D．0【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α的值．【解答】解：∵sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，则sin2α=﹣，故选：C．9．计算cos•cos的结果等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接利用三角函数的诱导公式以及二倍角的正弦函数求解即可．【解答】解：cos•cos=cos•=﹣sin•cos=﹣sin=﹣．故选：D．10．已知α，β∈（0，），且满足sinα=，cosβ=，则α+β的值为（）A．B．C． D．或【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角和的余弦公式求得cos（α+β），则α+β的值可求．【解答】解：由α，β∈（0，），sinα=，cosβ=，∴cosα＞0，sinβ＞0，cosα=，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，由α，β∈（0，）可得0＜α+β＜π，∴α+β=．故选：A．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，且在这个区间上的最大值是，则ω的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得≤，且ω•=，由此求得ω的值．【解答】解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，∴≤．再根据在这个区间上f（x）的最大值是，可得ω•=，则ω=，故答案为：．12．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），若向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，则λ的值为﹣2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用已知向量表示向量λ+，然后利用向量共线列出方程求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），向量λ+=（﹣λ+2，2λ﹣3），向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，可得：﹣7λ+14=﹣8λ+12，解得λ=﹣2．故答案为：﹣2．13．已知函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，则φ的值为．【考点】余弦函数的图象．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，由此求得φ的最小正值．【解答】解：∵函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，则φ的最小正值为，故答案为：．14．若tanα=2，tanβ=，则tan（α﹣β）等于．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=，∴tan（α﹣β）===．故答案为：．15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，若点E为BC的中点，点F在CD上，•=6，则•的值为﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系，利用向量的坐标形式计算即可．【解答】解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，∵AB=3，BC=2，∴A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，2），∵点E为BC的中点，∴E（3，1），∵点F在CD上，∴可设F（x，2），∴=（3，0），=（x，2），∵•=6，∴3x=6，解得x=2，∴F（2，2），∴=（﹣1，2），∵=（3，1），∴•=﹣3+2=﹣1，故答案为：﹣1三.解答题（本大题5小题，共40分）16．已知向量与共线，=（1，﹣2），•=﹣10（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）若=（6，﹣7），求|+|【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据向量共线和向量的数量积公式，即可求出，（Ⅱ）根据向量的坐标运算和的模，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵向量与共线，=（1，﹣2），∴可设=λ=（λ，﹣2λ），∵•=﹣10，∴λ+4λ=﹣10，解得λ=﹣2，∴（﹣2，4），（Ⅱ）∵=（6，﹣7），∴+=（4，﹣3），∴|+|==5．17．已知函数f（x）=cos2x+2sinx（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）求f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）根据函数解析式计算f（﹣）即可；（Ⅱ）化f（x）为sinx的二次函数，利用三角函数的有界性和二次函数的性质求出f（x）的最值即可．【解答】解：函数f（x）=cos2x+2sinx，（Ⅰ）f（﹣）=cos（﹣）+2sin（﹣）=+2×（﹣）=﹣；（Ⅱ）f（x）=（1﹣2sin2x）+2sinx=﹣2+，∴当x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值；当x=﹣+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣3；∴f（x）的值域是[﹣3，]．18．已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出c osα的值，再由正弦函数的和差化积公式计算得答案；（Ⅱ）由sinα，cosα的值求出tanα的值，然后代入正切函数的二倍角公式计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=，α∈（，π），∴．∴sin（α﹣）==；（Ⅱ）∵，∴tan2α=．19．已知=（1，2），=（﹣2，6）（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）若与共线，且﹣与垂直，求．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由向量的夹角公式计算即可，（Ⅱ）根据共线和向量垂直即可求出．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（﹣2，6），∴||==，||==2，=﹣2+12=10，∴cosθ===，∴θ=45°（Ⅱ）∵与共线，∴可设=λ=（﹣2λ，6λ），∴﹣=（1+2λ，2﹣6λ），∵﹣与垂直，∴（1+2λ）+2（2﹣6λ）=0，解得λ=，∴=（﹣1，3）20．已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期T即可；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，求出f（x）在区间[﹣，]上单调递增，[，]上的单调递减．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1=2sinxcosx﹣2sin2x+1=（2sinxcosx）+（1﹣2sin2x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）令z=2x+，则函数y=2sinz在区间[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z上单调递增；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，令A=[﹣，]，B=[﹣+kπ， +kπ]，k ∈Z ，则A ∩B=[﹣，]；∴当x ∈[﹣，]时，f （x ）在区间[﹣，]上单调递增，在区间[，]上的单调递减．2017年2月7日。