2-1二阶、三阶行列式

第一章行列式习题1.1二阶和三阶行列式1．计算下列二阶行列式．()12112-=4(1)5--=()222111x x x x -++22(1)(1)x x x x =-++-321x x =--【分析】考查二阶行列式的计算公式2．计算下列三阶行列式．()1251312204--1301113113123024204===()2a bcb c a c a b 11()1()011b c b ca b c c a a b c c b a ca b a b b c=++=++----333()3c b a c a b c abc a b c a b b c --=++=-----【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式3．当x 取何值时，3140010x x x¹．【解析】31210214040(24)0241010x x x x x x xxxx x且===-【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式习题1.2排列1．求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性．()14132；()41324t =，为偶排列()2542316；()5423169t =，为奇排列()3()()246213521n n -L L ．()()()(1)2462135212n n n n t +-=L L ，4142443n k k n k k =++⎧⎨=+⎩或时，为奇排列或时，为偶排列【分析】考查逆序数的计算及奇偶排列的概念*2．设排列12n i i i L 的逆序数为k ，求排列121n n i i i i -L 的逆序数．【解析】考虑第m 个数(m=1,2,...,n-1)，它与后面n-m 个数的每一个数都有一个“序”，这个序要么是“顺序”，要么是“逆序”。

这样全部的“序”共有：（n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1)/2个。

12n i i i L 逆序数是k ，那么排列121n n i i i i -L 的逆序是n(n-1)/2-k 【分析】考查逆序概念习题1.3n 阶行列式1．写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项．【解析】1123344211233244;a a a a a a a a +-【分析】行列式的定义2．在5阶行列式中，下列各项应取什么符号？()11523314254a a a a a ；()152********,+a a a a a 取“”t =()22132441355a a a a a ；()21324413552,+a a a a a 取“”t =()34153122435a a a a a ．()41531224355,a a a a a 取“-”t =【分析】行列式的定义3．设一个n 阶行列式中等于零的元素的个数大于2n n -，试证明该行列式为零．【解析】N 阶行列式共有2n 个元素，等于零的元素的个数大于2n n -，则非零元素个数小于n 个，即一定出现一个0行，则行列式值为0.【分析】行列式的定义4．用行列式的定义计算下列行列式．()1010000200001000n n -L LM M M LML L (23(1)1)112231,11(1)(1)!n n n n n a a a a n τ----=-=- ()2()()1111121211000n n n n a a a a a a --L L MLM M L(1)((1)21)212(1)112(1)1(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=- 【分析】行列式的定义和主次对角线行列式的结论5．设()11121314212223243132333441424344x a a a a a x a a a f x a a x a a a a a x a --=--，求()f x 中3x 的系数．【解析】根据行列式的定义，3x 系数只能来自于一项11223344()()()()x a x a x a x a ----，即11223344()a a a a -+++【分析】行列式的定义习题1.4n 阶行列式的性质1．用行列式的性质计算下列行列式．()1a x x x x b x xx x c x+++000000a x x x x x x b x xb x x x b x x a x b xc xx c x x x c x x c +=+++=++++2()()()a b x c x x bcx abc ab ac bc x=++-+=+++【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+展开定理+三角化方法()22464273271014543443342721621-1321122331299001003279001003270100327190010044310000116100001169001006210029400294c c r r c c c c r r +----===121000011601003272940000000294r r «=-=-【分析】行列式性质+行列式性质+三角化方法()3ab ac aebd cd debf cf ef---1111111111110020204111020002abcdef abcdef abcdef abcdef---=-==-=-【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+行列式性质+三角化方法2．将下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值．()1111111111111022281111002211110002-==-----【分析】三角化方法的计算()222401120112011204135413505550111221031233123048304832051205102110211----------=-=-=---------112011201120111011101111010102500047001800180031003100025---------=-=-=-=----------【分析】三角化方法的计算3．计算下列行列式．()111100[(1)][(1)]100x a a aa a a a x a x a x a x n a x n a a a x ax x a-=+-=+--L LL L L L M M L M M M L M M M L M L LL 1[(1)]()n x n a x a -=+--10111011120201600022002200220004----=-=-=-----()33312()02()2()0x y x y y x yx yy x y x x y x y x y x y x y xx yxy x yx++-+=+-=+=-+--+--【分析】各行或各列元素之和相等的行列式的计算4．计算下列行列式()112311110010010na a a a L L LM M M LM L ，其中0,2,3,,.i a i n ¹=L 122123211111000110000nn n n a a a a a a a a a a a ---ç==---ççL L L L L LM M M LML 【分析】箭型行列式计算()212111111111111na a a +++L LM M M LML ，其中0,1,2,,.i a i n ¹=L 111121211212211111111100000100000n n n nna aa a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-ç===++++çç-L LL L L L L M M M LMM M M L M L L 【分析】利用性质变换为箭型行列式计算5．证明()33by az bz ax bx ayx y z bx ayby az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++．【证明】左边by az bz ax bx ayby bz ax bx ay azbz ax bx aybx ayby az bz ax bx by az bz ax ay by az bz axbz ax bx ay by az bz bx ay by az ax bx ay by az+++++++=+++=++++++++++++y bz ax bx ay zbz ax bx ayb x by az bz ax a y by az bz axzbx ay by azx bx ay by az ++++=+++++++++22y bz ax bx zax bx ay y bz ax x z x bx ay b x by az bz a yazbz ax b x by azz a yz bz ax zbx ay by x ay by az z bx ay y xy by az++++=+++=+++++++()223333y bz x z x ay y z x z x y x y z b x byz a y z ax b xy z a yz x a b zx y z bx y x y az z xyxyzy zx=+=+=+【分析】拆项性质+行列式性质6．证明121211221100001000000001n n n n nn n x x x a x a x a x a xa a a a a -------=++++-L L L L M M M L M M LL ．【证明】11c n n nD xD a 展开-=+()22121n n n n n n x xD a a x D a x a ----=++=++()3232123232312312121n n n n n n n n n n n n n nx D a x a x a x D a x a x a x a a x a a x a x a x a ----------=+++==+++=++++=++++L L L L 【分析】展开定理+递推发习题1.5行列式的展开1．求行列式30453221--中元素2和2-的代数余子式．【解析】2的代数余子式：313104(1)003A +=-=；2-的代数余子式：323234(1)2953A +-=-=【分析】余子式、代数余子式的概念2．用降阶法计算下列行列式【分析】拉普拉斯展开定理()211122200000000000000=0000000111111231n n na a a a a a a a a nn ------+L L LL MM M L M M MM M L M M L L LL12(1)(1)n nn a a a =+- 【分析】行列式性质+展开定理3．计算下面行列式222244441111a b c d a b c d a b c d ．【解析】4D 中各列元素均缺少3次方幂的元素，在4D 中添加3次方幂的一行元素，则产生5阶范德蒙行列式，再适当添加一列得：22222333334444411111()ab c d x f x a b c d x a b c d x a b c d x =按最后一列展开，得2341525354555()f x A xA x A x A x A =++++，因为()()()()0f a f b f c f d ====，所以,,,a b c d 为()f x 的四个根，则()()()()()f x k x a x b x c x d =----由根与系数关系有4555Aa b c d A +++=-，而4545(1)A D D +=-=-，55()()()()()()A b a c a d a c b d b d c =------，则()()()()()()()D a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.【分析】克莱姆法则+展开定理4．已知四阶行列式D 中第1行的元素分别为1,2,0,4-，第3行的元素的余子式依次为6,,19,2x ，试求x 的值．【解析】313233346,,19,2A A x A A ==-==-，由展开定理得：162()019(4)(2)0x ⨯+⨯-+⨯+-⨯-=，解得7x =【分析】代数余子式、余子式+展开定理求11121314及11213141．【解析】1112131411111111016110500164241313042463524130635A A A A -----+++===----------1201048428(1)(1)46136313+--=-=--=---11213141112131411521110513131413M M M M A A A A ---+++=-+-=----152142412000424812812081291210912-----==-=-=------【分析】代数余子式、余子式+展开定理的逆运用习题1.6克莱姆法则1．用克莱姆法则求解下列方程组的解12341234123412342326223832242328x x x x x x x x x x x x x x x x ì++-=ïïïï---=ïíï+-+=ïïï-++=-ïî．【解析】1234324,324,648,324,648D D D D D ====-=-，则12341,2,1,2x x x x ===-=-【分析】克莱姆法则2．设1a ，2a ，3a 互不相同，证明方程组123112233222112233000x x x a x a x a x a x a x a x ì++=ïïï++=íïï++=ïïî只有零解．【解析】系数行列式时范德蒙行列式，因为1a ，2a ，3a 互不相同，则系数行列式非零；再由克莱姆法则可知，该齐次方程组只有零解.【分析】克莱姆法则3．当l 为何值时，齐次线性方程组123122334000x x x x x x x l l ì++=ïïï-+=íïï+=ïïî()1只有零解；()2有非零解．当11λλ≠≠-且时，只有零解；当=1=1λλ-或时，有非零解【分析】克莱姆法则自测题1．填空题(每小题10分，共20分)()1行列式103100204199200395301300600=___2000____．()2已知11111111111111D x---=---，则D 中x 的系数是___4-____．2．计算下列行列式：(每小题15分，共30分)()11(1)(1)(2)220000(1)(1)000000n n n n c nn n D αβαββααββα---==-+-展开()212312323411341(1)3452145221211121n n n n n D n n n +==--(1)(1)1231111101111111101111(1)(1)2211110111111111111n n n n n n nnn n n n n n n n-⨯------++==----(1)(2)1122(1)(1)100100(1)(1)(1)(1)(1)221001000n n n n n n n nn n n n n n n ------⨯-++=⋅-=⋅-⋅-⋅(1)12(1)(1)2n n n n n n --+=-⋅⋅(本题15分)已知2231122D yx=，且1112133M M M +-=，1112131A A A ++=，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，(1)i j ij ij A M +=-，试求D 的值．【解析】1112133235M M M x y +-=⇒-=111213114A A A y x ++=⇒=⇒=则行列式的值为14．(本题15分)解线性方程组231234231234231234231234x ax a x a x e x bx b x b x ex cx c x c x e x dx d x d x e⎧+++=⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其中,,,a b c d 互异．【解析】系数行列式非零，由克莱姆法则可知1234,0,0,0x e x x x ====5．(本题20分)证明：11000100,010001n n a b ab a b ab a b a b a b a ba b++++-=¹+-+L L L M M M L M M L ．【解析】上课做为例题已讲过。

二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。

例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。

二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。

根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。

三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。

例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。

三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。

展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。

根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。

行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。

以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。

2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。

3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。

4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。

总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。

三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。

行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。

行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。

三阶行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、向量分析和微分几何等领域有广泛的应用。

在实际问题中，计算三阶行列式是一种常见的操作。

本文将介绍三阶行列式的计算技巧。

一、三阶行列式的定义ABCDEFGHI根据定义，三阶行列式的计算可以按照如下步骤进行：1.将行列式按行展开。

选择一个行号i，取第i行的元素a[i1]、a[i2]、a[i3]，其中i1、i2、i3是列号。

2.对于每一个选择，计算正负号。

一般的规则是：对于选择右上方元素的情况，取正号；对于选择左下方元素的情况，取负号。

3.将每一个选择的元素相乘，再将所有选择的结果相加。

得到的和就是行列式的值。

例如，对于三阶行列式，123，可以按照如下方式计算：123456789选择第1行，第1列的元素为1，选择右上方元素，取正号。

得到1*(5*9-6*8)=3选择第1行，第2列的元素为2，选择右上方元素，取正号。

得到2*(4*9-6*7)=-6选择第1行，第3列的元素为3，选择右上方元素，取正号。

得到3*(4*8-5*7)=3将三个结果相加，得到3+(-6)+3=0。

因此，该三阶行列式的值为0。

二、三阶行列式的性质1.换行性质：交换行列式的两行，结果变号。

考虑一个三阶行列式，ABC，如果交换第1行和第2行，行列式变为，DEF。

根据定义，交换行后的行列式为-(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。

2.倍增性质：其中一行乘以k倍，行列式的值也乘以k。

考虑一个三阶行列式，ABC，如果将第1行乘以k，行列式变为，kAkBkC。

根据定义，乘以k后的行列式为k^3*(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。

在实际计算中，为了简化计算和减少错误，可以使用一些技巧。

1.判断行列式是否等于0如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于0。

这是因为在展开计算时，相同的元素相乘得到的结果为0。

2.利用换行性质简化计算根据换行性质，交换行列式两行可以改变计算的顺序或者改变符号。

行列式的运算法则公式1.行列式的性质：(1)交换定理：对于n阶行列式，将其行与列调换，则行列式的值不变。

(2)对角线法则：对于n阶行列式，行标和列标的和为偶数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之和；行标和列标的和为奇数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之差。

2.行列式的递推公式：(1)二阶行列式：对于2阶行列式，行列式的值等于左上角元素乘以右下角元素，减去右上角元素乘以左下角元素。

(2)三阶行列式：对于3阶行列式，行列式的值等于三个主对角线上元素的乘积之和，减去三个副对角线上元素的乘积之和。

3.行列式的初等变换：(1)行(列)交换：交换两行(列)，行列式的值不变。

(2)行(列)倍乘：将其中一行(列)的元素乘以k，行列式的值乘以k。

(3)行(列)倍加：将其中一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。

4.行列式的倍数的性质：(1)行(列)成比例：若有两行(列)是成比例的，则行列式的值为0。

(2)带公因子：若行(列)中存在公因子，可提出公因子，行列式的值等于公因子乘以去掉公因子的行列式的值。

5.行列式的秩：(1)非零行列式：对于非零行列式，如果有r行(列)成线性相关，则行列式的值为0。

(2)对角行列式：对于对角行列式，主对角线上的元素均不为0，则行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。

6.行列式的乘改定义：(1) 行列式的乘积定义：两个行列式A和B的乘积定义为C=AB，其中C的元素为C_ij = ∑(A_i1*B_1j)，即A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

(2)顺序可交换：行列式的乘法满足顺序可交换，即AB=BA。

7.行列式的乘积规则：(1)两个行列式的乘积的维数：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB的维数为m×p。

(2)AB的行列式的值：如果AB的行列式的值存在，且A的行行列式的值不为0，B的列行列式的值不为0，则AB的行列式的值等于A的行列式的值乘以B的行列式的值。

课 题第一章行列式 §1.1二阶与三阶行列式-§1.3 n 阶行列式的定义教学内容二阶与三阶行列式，全排列与逆序数，n 阶行列式的定义教学目标 理解n 阶行列式的定义；掌握几个特殊行列式的求法。

教学重点 n 阶行列式的定义教学难点 n 阶行列式的定义双语教学内容、安排 行列式：determinant ；对角线法则：diagonal rule ；全排列：total permutation教学手段、措施行列式是研究方程组解的问题的重要工具之一。

本次课主要介绍行列式的定义。

教学过程及教学设计备注 第一章 行列式（determinant ）§1.1二阶与三阶行列式一、 二阶行列式（determinants of order two ） 引例 解二元线性方程组1112121222(1)(2)a x a yb a x a y b +=⎧⎨+=⎩解：利用消元法解得122122*********b a a b x a a a a -=-，112211211221221a b a b x a a a a -=-于是得定义：规定11222112a a a a -为二阶行列式，并记为22211211a a a a 。

注意：①元素ij a )2,1;2,1(==j i ，i 称行标，j 称列标。

（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）本节要求掌握二、三阶行列式定义，及对角线法则。

②对角线法则求2112221122211211a a a a a a a a -=。

③D a a a a a a a a =-=2112221122211211，1222121212221D a b a b b a a b ==-，2221111211211D b a b a a b b a ==- 。

例1 解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=-1212232121x x x x 解：由于2412123,1411212,07122321-===-=≠=-=D D D 故3,22211-====DDx D D x 。

第一章 行 列 式行列式是线性代数的基础.本章将介绍 n 阶行列式的定义、性质、计算及其应用（克莱姆法则）等内容.§1.1 n 阶行列式的概念1. 二阶行列式、三阶行列式定义1 用记号11122122a a a a表示 11221221a a a a -，称为二阶行列式.即11122122a a a a=11221221a a a a - （1.1）说明 记忆方式为：实线所连接两个元素的乘积减去虚线所连接两个元素的乘积:.定义2 用记号111213212223313233a a a a aa a aa表示112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---,称为三阶行列式，即111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---(1.2) 说明 记忆方法为：各实线所连接三个元素的乘积是其正项，各虚线所连接三个元素的乘积是其负项.或说明 行列式的对角线法只适用于二阶、三阶行列式.. 2. n 阶行列式1）排列与逆序定义3 由1,2,…，n 组成的不重复的每一种确定次序的排列称为一个n 级排列. 如132是三级排列，23154是五级排列.定义4 在n 级排列12n x x x 中，若有较大的数p x 排在较小的数q x 前面，称p x 和q x 构成一个逆序.在n 级排列中逆序的总数称逆序数，记为()12n N i i i ，简记为N .定义5 若排列12n x x x 的逆序数N 是奇数，则称该排列为奇排列，若N 是偶数，则称该排列为偶排列.例如在排列23154中，2，3在1前面，5在4前面，逆序数为()23154002013N =++++=，即3N =，是奇排列.又如排列12n ，逆序数()120000N n =+++= ，即0N =，是偶排列. 2)对换定义 在排列中，将任意两元素对调，其余不动，称为对换. 将相邻两个元素对换，称为相邻对换.如在排列23154中，将3,5对调得到25134，记为（3,5）. 定理1 任一排列经一次对换后奇偶改变. 证 先证相邻对换情形.设排列为almb ，其中,a b 表示除元素,l m 外的元素.经对换为amlb .比较前后两次的逆序数.因为,a b 中原元素的次序没有变，且,l m 与,a b 中原元素也没有变，仅改变,l m 的次序，所以新排列与原排列增加一个逆序（当l m <）或减少一个逆序（当m l <）.再证一般情形.现原排列为12t alk k k mb ,经对调,l m 后为新排列12t amk k k lb .比较这两个排列的逆序数.因为l 与12t k k k 作t 次相邻对换得12t ak k k lmb ,再经1t +次相邻对换得12t amk k k lb ,总共作21t +次相邻对换将原排列得新排列，所以由原排列作了奇数次改变得到新排列，故奇偶性相反。

1计算行列式的值行列式是线性代数中一个重要的概念，表示为一个矩阵的一种特殊的数值。

行列式的值可以用来衡量矩阵的性质和对多个线性方程组的解的影响。

本文将从行列式的定义、计算方法以及应用等方面进行详细介绍。

总字数约为1200字。

一、行列式的定义行列式是一个矩阵的一个数值。

若A是一个n阶方阵，则称A的行列式为n阶行列式，记作，A，或det(A)。

行列式的值是一个标量。

二、行列式的计算方法1.二阶行列式对于一个2阶矩阵A：A=，abc其行列式的计算方法是ad-bc。

2.三阶行列式对于一个3阶矩阵A：A=，abcdegh其行列式的计算方法是：adg + beh + cfi - ceg - bdi - afh。

3.高阶行列式对于n阶行列式，计算方法是利用行列式的性质进行展开。

可以按行展开，也可以按列展开。

具体展开方法可以利用代数余子式和代数余子式的代数余子式等方法进行计算。

三、行列式的性质行列式有一些重要的性质，包括：1.行列式的转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。

2.行列式的两行（列）互换，行列式取反。

3.行列式中的行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变。

4.行列式中的行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变。

5.行列式的两行（列）成比例，行列式为0。

四、行列式的应用行列式在线性代数中具有广泛的应用，包括：1.解线性方程组：通过行列式的值可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。

2.判断矩阵可逆性：若一个n阶矩阵的行列式为0，则该矩阵不可逆；反之，若行列式不为0，则矩阵可逆。

3.计算逆矩阵：通过行列式的计算可以求得矩阵的逆矩阵。

4.计算向量的内积和外积：通过行列式的计算可以求解向量的内积和外积。

5.计算平面和体积：通过行列式的计算可以求得平面和体积的大小。

总结：本文从行列式的定义、计算方法、性质和应用等方面对行列式进行了详细介绍。

行列式作为线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

对于求解线性方程组、判断矩阵可逆性、计算逆矩阵、求解向量的内积和外积以及计算平面和体积等问题都有重要的作用。