辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学1.4.2微积分基本定理教学案理新人教B版选修2_2

人教版高中选修(B版)2-21.4.2微积分基本定理课程设计一、课程背景微积分是数学的重要分支，对于学习自然科学和工程学科有着至关重要的作用。

在高中阶段，微积分是数学必修内容，也是高考数学的重点和难点。

而在选修课程中，微积分更是占据了很大的比重，且难度相对较高。

本文设计了人教版高中选修(B版)2-21.4.2微积分基本定理课程，旨在帮助学生更好地掌握微积分的基本定理，提高其数学素养和解题能力。

二、课程目标1.理解微积分的基本知识和基本定理。

2.掌握微积分基本定理的应用方法，解决实际问题。

3.通过本课程的学习，提高学生的数学素养和解题能力。

三、课程内容3.1 微积分基本概念回顾通过复习微积分的基本概念，对微积分有一个整体的认识和理解。

3.2 微积分基本定理理解微积分的基本定理，包括牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理，并通过例题进行讲解，让学生能够掌握其应用方法。

3.3 微积分基本公式介绍微积分中的一些基本公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分公式等，并通过例题进行讲解，让学生掌握其应用方法。

介绍微积分在实际问题中的应用，如曲线长度计算、定积分求解物体质心和重心、体积和表面积计算等，通过例题进行讲解，让学生掌握其应用方法。

四、课程重点微积分基本定理是本课程的重点，学生需要理解其含义，并掌握其应用方法。

同时，微积分的应用也是本课程的重点之一，学生需要掌握如何将微积分方法应用于实际问题的求解中。

五、课程难点微积分基本定理的应用是本课程的难点，学生需要运用基本定理解决实际问题并进行综合运用。

六、教学方法本课程采用讲解、例题演练和课堂讨论相结合的教学方法。

首先进行知识点的讲解和概述，然后通过例题演示和讲解，让学生能够将所学知识运用到实际问题的求解中。

最后通过课堂讨论和作业练习，巩固学生所学知识，提高其解题能力。

七、教学过程7.1 微积分基本概念回顾•概念回顾：导数、微分、积分•讲解导数、微分、积分的概念和定义7.2 微积分基本定理•基本定理的含义•讲解牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理•示范范例：经典题目实例演练•基本公式的介绍•通过例题进行演示和讲解7.4 微积分的应用•经典实例的讲解：曲线长度计算、定积分求解物体质心和重心、体积和表面积计算•案例实践：综合应用进行例题演示八、课程作业1.理解微积分基本理论，总结基本概念和定义，并构思相应的例子。

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1。

4。

2 微积分基本定理1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点）2．能用微积分基本定理求定积分．（难点)3．能用定积分解决有关的问题．[基础·初探]教材整理微积分基本定理阅读教材P40~P41，完成下列问题．1．F′(x)从a到b的积分等于F（x）在两端点的取值之__________。

2．如果F′(x）＝f（x），且f（x）在［a，b]上可积,则错误!f(x)d x＝____________________.其中F（x)叫做f(x）的一个__________．由于[F（x)＋c]′＝f(x），F(x）＋c也是f(x）的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在［a，b］上的改变量F(b)－F（a）简记作F(x）错误!.因此，微积分基本定理可以写成形式：____________________。

【答案】 1.差 2.F(b）－F(a) 原函数错误!f（x）d x＝F(x)错误!＝F（b）－F（a）1．判断(正确的打“√”，错误的打“×")(1）微积分基本定理中，被积函数f(x）是原函数F（x)的导数．（）(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．（ ) 【答案】 （1）√ (2)√ (3）√2．若a ＝错误!(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( ） A ．f （x )＝x －2 B ．f （x )＝x －2＋C C ．f (x )＝错误!x 2－2x ＋CD ．f (x ）＝x 2－2x【解析】 由微积分基本定理知，f ′(x )＝x －2，∵错误!′＝x －2，∴选C 。

1 2.1.1合情推理（归纳推理）【教学目标】理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法；通过本节的学习，掌握归纳法和类比法的步骤，体会逻辑推理的严谨性；体会数学在现实生活中的应用.【教学重点】归纳推理的概念 【教学难点】利用归纳推理进行简单的推理一、课前预习：（阅读教材53—54页，完成知识点填空）1.根据______或______已知事实（ ）得出_____________，这种思维方式称为 。

推理都是由________和________两部分组成，推理可分为_________与______________ __________________________________的推理叫做合情推理。

______________和____________是数学中常见的合情推理.根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的____________都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称_______）.5.归纳推理的一般步骤：1. ；2. .二、课上学习：例1.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，结论______________.例2.参照教材54—55页两个例题，完成下列问题（1）=+321 ；=++33321 ；=+++3334321 ；=++++333354321猜想：=++++333...321n （2）=+==+n n n n n a a a a a a 猜测它的通项公式：并且中，数列,1111（3）已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=，2223sin 5sin 65sin 1252++=。

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 .三、课后练习：教材55页探索与研究：归纳凸多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系.。

3.1.1—3.1.2复数的概念【教学目标】了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数的单位i 的运算规律及复数相等的充要条件；经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求。

【教学重点】复数的概念 【教学难点】虚数单位i 的性质一、课前预习：（阅读教材82--85页，完成知识点填空）1.思考：我们知道，对于实系数一元二次方程02=++c bx ax ，当042<-ac b 时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？2.引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：(1) 2i ＝ ； (2)实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律 ．3. i 的周期性：i 4n+1= , i 4n+2= , i 4n+3= , i 4n=4.复数的一般形式： ，其中 叫复数z 的实部， 叫复数z 的虚部.5. 叫做复数集，一般用字母C 表示。

自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 以及复数集C 之间的关系5.复数的分类：复数),(R b a bi a z ∈+=6.复数相等：如果两个复数的 对应相等，则这两个复数相等.即：若R d c b a ∈,,,，则 ⇔+=+di c bi a ，特别地，⇔=+0bi a ★复数的引入，实现了人们的一个理想： .二、课上学习：例1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。

,72+,72i ,2i (),31-i ,293i -例2.（参照84页例1，自主完成）实数m 取什么值时，复数i m m m z )1()1(-+-=是(1)实数 (2)纯虚数？ (3)虚数？例3. （参照85页例2，自主完成）已知i y y i x )3(12--=+-）（ ，其中R y x ∈, ， 求y x ,.三、课后练习：1.若C c b a ∈,,，则 0)()(22=-+-c b b a 是c b a ==的（ ）．A ．充要条件B ．充分但不必要条件C ．必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.复数i x x x x )2()252(22-++++为虚数，则实数x 满足( ) A.21-=x B. 21-=x 或2-=x C. 2-≠x D . 2-≠x 且1≠x4.以23-i 的虚部为实部，以i i 232+ 的实部为虚部的复数是 ．5.若方程02)2(2=++++mi x i m x 至少有一个实数根，试求实数m 的值.6.已知R m ∈，复数i m m m m m z )32(1)2(2-++-+=，当m 为何值时，(1)R z ∈; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)i z 421-=.。

1.3.1 二项式定理【教学目标】①理解用组合的知识推导二项式定理,②理解通项的意义并会灵活应用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同;③会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.④充分体验归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

【教学重点】二项式定理及通项公式的掌握及运用【教学难点】二项式定理及通项公式的掌握及运用课前预习二项式定理：________________________________________________等式右边的多项式叫做()n a b +的______________.()n a b +的二项展开式中一共有______项，其中各项系数____________叫做展开式的_________.展开式中的___________项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第______项，即______________叫二项展开式的通项公式.._________2210=+++n n n n n n x C x C x C C课上学习求52)232(x x -的展开式. 已知二项式10)323(x x -，求 展开式第四项的二项式系数；展开式第四项的系数；第四项.若nx x )21(4+的前三项的系数成等差数列.求展开式中含x 的一次幂的项,并说出示第几项；展开式里所有x 的有理项.例4、求92)21(x x -的展开式中的常数项例5、求52)23(++x x 展开式中含x 的项例6、(1)求证95555+能被8整除； （2）求1089除以88的余数三、课后练习1.n b a 2)(+的二项展开式的项数是（ ）n A 2. 12.+n B 12.-n C )1(2.+n D 2.n x x )1(-展开式的第四项x 的幂指数为3，则n 等于（ ） 8.A 9.B 10.C 11.D 3.n x x )12(3+的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为（ ） 8.A 9.B 10.C 7.D4.在103)1)(1(x x +-的展开式中，5x 的系数是（ ）297.-A 252.-B 297.C 207.D 5.203)212(-x 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ） 4.A 项 5.B 项 6.C 项 7.D 项6.)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x 等于（ ） 5.x A 1.5-x B 1.5+x C 1)1.(5--x D 证明19910-能被100整除.8.求)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x在102)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 的系数是 ____________6)(c b a ++的展开式中，含c b a 23的系数是（ ）60.A 20.B 200.C 36.D11.求605.1精确到0.01的近似值.。

排列、组合、二项式定理部分高考题(2013·福建)满足},2,1,0,1{,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对),(b a 的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．102.(2013·山东)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A ．243B ．252C ．261D ．279（2013·四川） 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20(2012·新课标)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ）A. 12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种5.(2013·新课标II)已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-6.(2013·新课标1)设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = （ ）A ．5B ．6C ．7D ．87.(2013·大纲)()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是 （ ） A ．56 B ．84 C ．112 D ．1688.(2013·上海春季高考)10(1)x +的二项展开式中的一项是 （ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x 9错误！未指定书签。

.(2013·辽宁)使得()3n x n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．710.(2013·陕西)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,0,1)(6x x x x x x f , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为A ．-20B ．20C ．-15D ．1511错误！未指定书签。

11.1.1--1.1.2 平均变化率、瞬时速度与导数【教学目标】1.了解函数的平均变化率的概念,会求函数的平均变化率,知道函数的瞬时速度的概念2.理解导数的概念，能利用导数的定义求导数.3.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程【教学重点】导数 【教学难点】导数一、课前预习：（阅读教材3、4页，填写相关知识点）1.已知函数)(x f y =，10,x x 是定义域内不同的两点，令=∆x _______,01y y y -=∆= = ，则当0≠∆x 时，比值 =xy ∆∆称作函数)(x f y =在区间 的平均变化率．．．．．. 思考教材第5页练习A ：第1题；练习B ：第1题2.一般地，物体运动路程与时间的关系是)(t f s =，从0t 到t t ∆+0这段时间内，物体运动的平均速度是=0v = .所以平均速度0v 就是函数)(t f 在区间 的 . 当0→∆t 时__________趋近于 ，这个常数称为0t 时刻的3.设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数)(x f y =相应地有增量y ∆=________.如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫做函数的 ）有极限（即x y ∆∆无限趋近于某个常数），我们就把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x =处的导数，记做_________，于是可写作 或 =)(0x f '.4.如果函数)(x f y =在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的 ，从而构成了一个新的函数)(x f '，称为)(x f y =的 ，记作： 或 ( ) . 导函数通常简称为 .二、课上学习例1：（1）求2x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.（2）求x y 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率（00≠x ）.例2：（1）2)1(-=x y ，求).2(),0(),(f f x f '''（2）利用导数定义求12+=x y 的导数.三、课后练习1.在函数变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ）A.0<∆xB.0>∆xC.0=∆xD.0≠∆x2.函数在某一点的导数是（ ）A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比B.一个函数C.一个常数，不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间 的平均变化率3.在曲线12+=x y 的图象上取一点(1，2)及附近一点(1+x ∆，2+y ∆)，则x y∆∆为( ) A. 21+∆+∆x x B. 21-∆-∆x x C. 2+∆x D.21+∆-∆x x4.一质点运动的方程为235t s -=，则在一段时间[1，1＋t ∆]内相应的平均速度为( )A. 3∆t +6B.-3 ∆t +6C. 3∆t-6D.-3 ∆t-65.)(x f 在0x x =处可导，则h h x f h x f h 2)()(lim 000--+→( )A.与h x ,0有关B.仅与0x 有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与0x 无关D.与h x ,0均无关拓展延伸：若2)(0='x f ,则h h x f h xf h 2)()(lim 000--+→=____________。

微积分基本定理教学设计辽宁省建昌县高级中学王怡课题微积分基本定理教材人教B版《数学》选修2-2课时 1课时教学目标1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．重点2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．难点3．理解定积分的几何意义与性质．易混点重点与难点：教学重点：了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．教学难点：掌握定积分的概念，会用定义求定积分．教学方法1．教学方法的选择：1．自主探究法、比较法2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解。

教学准备多媒体教学过程（一）回顾与思考1．导数的几何意义2．函数的求导法则3．还有其它方法吗？学生思考、并举手回答。

（引出课题）（二）新知探究阅读教材第40---41页，完成下列问题：1．F′从a到b的积分等于F在两端点的取值之__________2．如果F′＝f，且f在[a，b]上可积，则错误!f d＝_______其中F叫做f的一个__________．由于[F＋c]′＝f，F＋c也是f的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量Fb－Fa简记作F错误!因此，微积分基本定理可以写成形式：____________________1．判断正确的打“√”，错误的打“×”1微积分基本定理中，被积函数f是原函数F的导数．2应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为03应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．2．若a＝错误!－2d，则被积函数的原函数为A．f＝－2B．f＝－2＋CC．f＝错误!2－2＋C D．f＝2－2预习完成后，请将你的疑问记录，并与同学们探讨交流：疑问：______________________________________________解惑：______________________________________________类型一：利用微积分基本定理求定积分1定积分错误!2＋ed的值为A．e＋2B．e＋1 C．e D．e－12求下列定积分．①错误!2＋2＋3d=___________ ②错误!in2错误!d=___________（教师引导，学生总结）1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限类型二：求分段函数的定积分例二：计算下列定积分：1f＝错误!求错误!f d；2错误!|2－1|d（教师引导，学生总结）求分段函数的定积分应注意：1．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．2．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解[再练一题]2．计算定积分：错误!|2＋3|＋|3－2|d（三）练习巩固：学生练习：1．下列值等于1的是d＋1d1d 错误!d2．错误!in ＋co d的值是A．0C．2D．4（四）课堂小结：通过本节课的学习，你应该1．理解并掌握微积分基本定理．重点、易混点2．能用微积分基本定理求定积分．难点3．能用定积分解决有关的问题．自我反思：我还有这些不足：__________________________________我的课下提升方案：_________________________________（五）作业：43页练习B 3,4,5题。

1.4.2微积分基本定理【教学目标】1.通过实例直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分，体会微积分定理的优越性；2.体会导数与定积分的关系，感受极限的思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定理的应用 【教学难点】定理的推导 一、课前预习：（阅读教材40—41页）微积分定理：如果 ，且)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=ba dx x f )( .其中)(x F 叫做)(x f 的一个 .一般地，原函数在],[b a 上的改变量)()(a F b F -简记作 ，因此，微积分定理可以写成形式：⎰=badx x f )( 二、课上学习：（※参照教材42页完成下列例题） 例1.求值：（1）⎰πsin xdx（2）⎰π20sin xdx思考：曲线x y sin =与x 轴在区间],0[π，]2,0[π上所围成的图形面积分别是多少？ ※几种典型的曲边梯形面积的求法：1.()[,]()0y f x a b f x =≥若在上有， 曲边梯形的面积为：2. ()[,]()0y f x a b f x =≤若在上有，曲边梯形的面积为：3.(),()[,]()()y f x y g x a b f x g x ==≥若在上有，阴影部分的面积为：例2.计算（1）dxx⎰912 （2）⎰+212)1(dxx运用微积分定理说明：dxx f dx x f ba⎰⎰=ab)(-)( ；⎰=badx x f )(⎰⎰+bccadxx f dx x f )()(（b c a <<） 三、课后练习：1.[2013·北京] 直线l 过抛物线C ：y x 42=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 2.[2013·湖南] 若92=⎰dx x T则常数T 的值为________．3.[2013·江西] 若⎰=2121dxx s ，⎰=2121dx x s ，⎰=213dx e s x ，则321,,s s s 的大小关系为.4.[2012年福建]如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为5.[2012年高考（江西理）]计算定积分121(sin)x x dx-+=⎰___________.。

1.4.2 微积分基本定理【教课目的】 1.经过实例直观认识微积分基本定理的含义，会求简单的定积分，领会微积分定理的优胜性； 2.领会导数与定积分的关系，感觉极限的思想； 3.渗透“质量互变、对峙一致”的看法 . 【教课要点】定理的应用 【教课难点】定理的推导 一、课前预习：（阅读教材 40—41 页） 微积分定理：假如，且 f ( x) 在 [ a, b] 上可积，则b.此中 F (x) 叫做 f ( x) 的一个.f (x)dxa一般地，原函数在 [ a,b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作，所以，微积分定理能够写成形式：bf ( x)dxa二、课上学习：（※参照教材 42 页达成以下例题） 例 1.求值：（ 1）sin xdx 2sin xdx（ ）2思虑：曲线 y sin x 与 x 轴在区间 [0, ] ， [ 0,2 ] 上所围成的图形面积分别是多少？※几种典型的曲边梯形面积的求法：1. 若 y f ( x )在 [a, b]上有 f ( x ) 0 ， 曲边梯形的面积为：2. 若 y f ( x )在[ a, b]上有 f ( x ) 0 ，曲边梯形的面积为：3. 若 y f ( x ), y g(x )在 [a, b]上有 f ( x ) g( x) ，暗影部分的面积为： 例 2.计算（ 1）9 2dx（2）2 (x 2 1)dx1x1babcb f (x)dx运用微积分定理说明：f ( x)dx- f ( x)dx ；f ( x)dxf ( x)dxcabaa（ a c b ）三、课后练习：1.[2013 ·北京 ] 直线 l 过抛物线 C ： x 2 4 y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于2.[2013 Tx 2 dx 9 则常数 T 的值为 ________．湖·南] 若 03.[2013 江·西 ] 若 s 12 2 dx ， s 221 2 x dx ，则 s 1 , s 2 , s 3 的大小关系1 xdx ， s 31 e1x.为4.[2012 年福建 ] 如下图 , 在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P , 则点 P 恰巧取自暗影部分的概率为12sin x)dx__5. [2012 年高考（江西理） ]计算定积分 ( x1_________.。