7.3 区间估计

§7.3参数的区间估计一、置信区间的概念设θ是总体X 的未知参数，1ˆθ和2ˆθ是统计量，若对于给定的α（10<<α），有αθθθ-=≤≤1}ˆˆ{21P ，则称]ˆ,ˆ[21θθ是参数θ的置信度为α-1的置信区间．二、单个正态总体的置信区间以下设总体X ～),(2σμN ，n x x x ,,,21 是X 的样本，置信水平为α-1． 1．已知202σσ=时μ的置信区间（1）选用样本函数：nx u /0σμ-=～)1,0(N ；（2）令αα-=≤1}|{|2/u u P ，即αα=>}|{|2/u u P ，有21)(2/αα-=Φu ，反查P .195标准正态分布表，求出2/αu （考试时直接给出）；（3）解不等式2/||αu u ≤，得μ的置信区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα．例1（P .157例7-18）设总体（直径）X ～)06.0,(μN ，样本观测值为1.15,2.15,8.14,9.14,1.15,6.14，求平均直径μ的置信区间：（1）05.0=α；（2）01.0=α．（96.1025.0=u ，576.2005.0=u ）解 已知06.020=σ，6=n ，算得95.14=x ． （1）05.0=α时，96.1025.02/==u u α，196.01.096.1606.096.102/=⨯=⨯=⋅nu σα，μ的置信度为95%的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]146.15,754.14[]196.095.14,196.095.14[=+-=；（2）01.0=α时，576.2005.02/==u u α，2576.01.0576.2606.0576.202/=⨯=⨯=⋅nu σα，μ的置信度为99%的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]2076.15,6924.14[]2576.095.14,2576.095.14[=+-=． 例2（P .157例7-19）设总体（物体重量）X ～)1.0,(2μN ，9=n ，4.15=x ，求物体平均重量μ的0.95置信区间．（96.1025.0=u ）解 1.00=σ，9=n ，4.15=x ，05.0=α，96.1025.02/==u u α，0653.091.096.102/=⨯=⋅nu σα，μ的0.95置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]4653.15,3347.15[]0653.04.15,0653.04.15[=+-=．例3（P .157例7-20）设总体X ～)1,(μN ，为使μ的0.95置信区间长度不超过1.2，样本容量n 应为多大？（96.1025.0=u ）解 10=σ，05.0=α，96.1025.02/==u u α，为使置信区间长度2.1196.12202/≤⨯⨯=⋅nnu σα，只要2.196.12⨯≥n ，1167.102.196.122≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯≥n ，即样本容量至少为11．2．未知2σ时μ的置信区间 （1）选用样本函数：ns x t /μ-=～)1(-n t ；（2）令αα-=-≤1)}1(|{|2/n t t P ，即αα=->)}1(|{|2/n t t P ，有2)}1({2/αα=->n t t P ，查t 分布表，求出)1(2/-n t α（考试时直接给出）；（3）解不等式)1(||2/-≤n t t α，得μ的置信区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n s n t x n s n t x )1(,)1(2/2/αα．例4（P .158例7-21）设总体（寿命）X ～),(2σμN ，σ未知，12=n ，样本观测值为（略），求平均寿命μ的0.95置信区间．（2010.2)11(025.0=t ）解 12=n ，05.0=α，2010.2)11()1(025.02/==-t n t α，算得7092.4=x ，0615.02=s ，1576.00716.02010.2120615.02010.2)1(2/=⨯=⨯=⋅-ns n t α，μ的0.95置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n s n t x n s n t x )1(,)1(2/2/αα]1576.07092.4,1576.07092.4[+-=]8668.4,5516.4[=．3．2σ的置信区间 （1）选用样本函数：222)1(σχsn -=～)1(2-n χ；（2）令αχχχαα-=-≤≤--1)}1()1({22/222/1n n P ，由21)}1({22/12αχχα-=->-n P 和2)}1({22/2αχχα=->n P ，查2χ分布表，求出)1(22/1--n αχ和)1(22/-n αχ（考试时直接给出）；（3）解不等式)1()1(22/222/1-≤≤--n n ααχχχ，得2σ的置信区间： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n sn n s n ααχχ． 注：开方可得σ的置信区间．例5（P .159例7-22）设总体（零件重量）X ～),(2σμN ，9=n ，样本观测值为（略），求总体标准差σ的0.95置信区间．（1797.2)8(2975.0=χ，5345.17)8(2025.0=χ）解 9=n ，05.0=α，1797.2)8()1(2975.022/1==--χχαn ，5345.17)8()1(2025.022/==-χχαn ，算得0325.02=s ，26.00325.08)1(2=⨯=-s n ，2σ的0.95置信区间为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n sn n s n ααχχ]1193.0,0148.0[1797.226.0,5345.1726.0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=（近似值），从而σ的0.95置信区间为]3454.0,1217.0[]1193.0,0148.0[=（近似值．教材答案为[0.1218，0.3454]）．。

区间估计公式区间估计公式是指一种统计方法，用于估计未知参数的范围。

它是根据给定的数据集以及其参数的极限均值推断出的。

这样可以对参数的正确取值作出一个初步的估算。

一、经典区间估计公式1、样本均值估计法根据“大数定律”，当一个随机变量X的抽样样本个数n（→∞）时，X的样本均值的分布收敛到N（μ，σ2/n），可使用样本均值估计法来估计参数μ的值，即令μ = X的样本均数。

2、样本标准差估计法根据中心极限定理，当样本量趋于无穷的时候，样本标准差的分布符合t分布。

令特定的置信度α代替t值，可求得标准差的估计值，即σ^2 '= n·D / (tα/2)^2二、偏态分布估计量偏态分布估计量是一种分布估计法，它采用具备偏态分布特征的数值来估算参数μ和σ。

偏态分布是所有概率分布中最广泛应用的分布之一，它把参数μ和σ拆分成三部分：偏态参数γ，偏度参数ω和尾部形状参数λ。

从而可以从偏态分布中估计出μ、σ和γ、ω、λ的参数值。

三、无偏估计量无偏估计量是另一种用于估算量的分布。

它使用极值法，即按照某种规则，从一系列有限但不受限制的抽样样本中挑选某个值作为未知数的无偏估计值。

最常用的无偏估计量有方差法和方差除以样本数法。

方差估计量是一种比较简单的无偏估计量，它可用以下公式计算：σ^2 = 1 / n*Σ（xi - X）^2其中n是样本量，xi代表每个样本取值，X表示样本均值。

而另一种常用的无偏估计量就是方差除以样本数的方法，它的公式为：σ^2 = Σ（xi - X）^2 / n - 1四、交叉验证法交叉验证是一种分布估计法，它可以用来预测参数μ和σ，以便获得更准确的估算结果。

交叉验证首先将样本随机分为若干组，然后在每一组中利用其他组的信息来估计参数。

估计出的参数值在另外一组中进行验证，以期往复进行，直到每个组都意义数次验证。

然后再求出每次验证的参数的平均值以求得参数的最终估计值。

五、bootstrap法bootstrap是一种分布估计的方法，它可以用来估计三种不同的参数：均值、标准差和相关系数等。

区间估计的原理及应用
区间估计是统计推断的一种方法，用于估计一个参数的值，同时给出一个估计的范围。

区间估计的原理是基于样本统计量的分布，通过计算样本统计量的标准误差和置信水平，确定一个包含真实参数值的估计区间。

区间估计的应用非常广泛。

在科学研究中，我们常常需要对某个参数进行估计，例如人口比例、平均值、方差等。

通过区间估计，我们可以给出一个置信区间，表示我们对真实参数值的估计，并给出一个误差范围。

这在调查研究、医学研究、经济学研究等领域具有重要意义。

另外，区间估计还可以用于判断两组数据的差异是否显著。

通过计算两个样本的差异的置信区间，我们可以判断是否存在显著差异。

这在实验设计、比较研究等场景下非常常见。

总之，区间估计是一种重要的统计推断方法，它能够帮助我们对参数进行估计，并给出一个估计的范围，从而增加我们对真实情况的了解和判断能力。

区间估计知识点总结区间估计的基本概念区间估计是一种用来估计参数未知真值范围的统计方法。

在假设条件下，利用样本的信息来推断总体参数，并给出一个区间，该区间包含了总体参数真值的一个估计范围。

例如，我们可以用区间估计的方法来估计总体均值、方差、比例等参数的取值范围。

区间估计的优点与点估计相比，区间估计有以下几个优点：1. 提供了参数真值的估计范围，更具有实际应用的意义。

点估计只给出了一个具体的数值，而区间估计可以反映出参数的不确定性。

2. 能够控制估计的置信水平。

在区间估计中，我们可以通过置信水平来控制估计的精度和可靠性，这使得我们可以根据需求来选择合适的置信水平。

区间估计的步骤区间估计的步骤一般包括以下几个方面：1. 确定总体分布类型。

在进行区间估计之前，我们需要对总体的分布类型进行研究，以确定区间估计的方法和技巧。

2. 挑选合适的估计方法。

不同类型的参数估计需要采用不同的估计方法，如均值的区间估计可以使用t分布、z分布或者Bootstrap方法。

因此，在进行区间估计时，需要挑选合适的估计方法。

3. 计算置信区间。

根据所选的估计方法和数据样本，我们可以计算出置信区间的上下限，从而得到参数的估计范围。

区间估计的常用方法在统计学中，常用的区间估计方法有以下几种：1. 正态分布的区间估计。

当总体服从正态分布时，我们可以使用z分布来进行参数估计。

例如，对正态总体的均值进行区间估计时，我们可以使用z分布的方法来计算置信区间。

2. t分布的区间估计。

当总体服从t分布时，我们可以使用t分布来进行参数估计。

常见的例子包括小样本的均值估计和相关系数的区间估计。

3. Bootstrap方法。

Bootstrap方法是一种非参数估计方法，它通过对原始样本进行重抽样，得到估计量的抽样分布，从而计算出参数的置信区间。

区间估计的应用区间估计作为统计推断的重要方法，在各个领域都有着广泛的应用。

在医学、社会科学、经济学和工程学等领域中，人们常常需要对总体参数进行估计，在这些领域中，区间估计可以提供参数估计的可靠性和精度，为决策提供支持。

简述区间估计的概念
区间估计是一种统计学方法,用于估计某个参数或变量的取值范围。

在概率论和统计学中,区间估计是指给定一些样本数据,计算一个区间,这个区间应该是一个合理的范围,能够覆盖数据的大多数情况。

在区间估计中,我们通常选择一个中心点作为估计值,然后根据样本数据计算出两个点之间的误差范围。

这个误差范围就是区间的边界,也就是估计值和实际值之间的范围。

区间估计的应用场景非常广泛,例如在医学研究中,医生可以使用区间估计来估计患者某种疾病的概率;在金融领域中,投资者可以使用区间估计来估计某个股票的价格趋势。

除了计算区间外,还有一些常见的方法可以用来进行区间估计,例如最大似然估计、贝叶斯区间估计、参数估计和区间生成器等。

这些方法可以根据具体情况选择使用。

拓展:
区间估计的优点是能够给出一个合理的范围,能够反映数据的大多数情况,并且不需要对数据进行精确预测。

但是,区间估计也有一些局限性,例如可能会受到样本量、数据分布、噪声等因素的影响。

因此,在进行区间估计时,需要结合具体情况进行判断。

区间估计的基本原理和步骤区间估计是统计推断中的一种方法，用于估计总体参数的区间范围。

其基本原理和步骤如下：一、基本原理：二、步骤：1.确定参数类型和样本分布：在进行区间估计之前，需要明确要估计的总体参数类型，例如均值、方差、比例等。

同时，需要确保样本数据来自一个合理的总体分布，通常假设样本数据满足正态分布。

2.选择置信水平：置信水平表示对于重复抽样所得的区间估计，其中包含总体参数真实值的概率。

常用的置信水平有95%和99%。

选择置信水平时需要考虑实际应用需求和可接受的误差范围。

3.计算标准误差：标准误差是样本统计量与总体参数之间的标准差，可以用来度量估计量的精确程度。

常见的标准误差计算方式包括对均值的标准误、对比例的标准误和对方差的标准误。

4.确定抽样分布：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的抽样分布会接近正态分布。

可以利用这个性质来进行参数估计。

5.计算置信区间：根据所选择的置信水平和抽样分布中的临界值，计算出估计参数的上限和下限，形成估计的置信区间。

具体计算方法与总体参数类型相关，如均值的置信区间计算通常基于样本均值和标准误差。

6.解读结果：得到置信区间后，应根据具体情况对结果进行解读和分析。

通常，置信区间越窄，说明估计结果越准确；置信区间不包含需要估计的参数真实值，说明估计结果不准确。

7.检验假设：在一些情况下，需要通过检验假设来验证估计结果的可靠性。

例如，对于均值的区间估计，可以通过假设检验来判断区间估计是否显著不等于一些特定值。

总结：区间估计是统计推断中重要的一种方法，它能够通过样本数据给出总体参数的一个估计区间，并提供了对估计精确性的度量。

在实际应用中，选择合适的置信水平、计算标准误差、确定抽样分布以及解读结果都是关键步骤，需要结合具体问题进行合理的选择和判断。