随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布4.学生版

概率与统计中的随机变量与分布类型总结概率与统计是数学领域中非常重要的一个分支，它涉及到随机事件的发生概率和数据的分析与推断。

其中，随机变量与分布类型是概率与统计的核心概念之一。

本文将对概率与统计中的随机变量和常见的分布类型进行总结。

一、随机变量随机变量是概率论与统计学中的重要概念，表示随机试验结果的数值化表达。

随机变量可以是离散型也可以是连续型的。

1. 离散型随机变量离散型随机变量取有限个或可数个数值，其概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）表示。

例如，投掷一枚骰子得到的点数可以表示为一个离散型随机变量，其取值范围为1到6。

2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表示。

例如，某汽车在一小时内的速度可以表示为一个连续型随机变量。

二、常见的分布类型随机变量的分布类型描述了各种随机变量的特征和分布规律。

在概率与统计中，存在许多常见的分布类型，包括以下几种。

1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的离散型分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如投硬币、掷骰子等。

伯努利分布的概率质量函数为： P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)其中，p表示事件发生的概率，k为0或1。

2. 二项分布二项分布是一种离散型分布，描述了进行n次独立的伯努利试验中成功次数的概率。

二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验次数，k表示成功次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。

3. 正态分布正态分布是一种连续型分布，也被称为高斯分布。

正态分布是自然界中许多现象的近似分布，具有重要的理论和实际应用。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差。

圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机 量的分布列一 般 地 ， 离 散 型 随 机 量 X 可 能 取 的x 1 , x 2 , , x i ,, x n ， X 取 每 一 个 x i (i1,2, , n) 的 概 率P( Xx i ) p i ， 称以下表格Xx 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n Pp 1p 2⋯p i⋯p n随机 量 X 的概率分布列， 称X 的分布列 .离散型随机 量的分布列具有下述两个性 ：（ 1） P i ≥ 0, i1,2, , n （ 2） p 1 p 2 p n 11．两点分布如果随机 量X 的分布列X1P 1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率 .2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的 N 件 品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品， 事件X k 生的概率 ：P( X k ) C M k C N n k M , k 0,1,2,3,..., mC nN 随机 量 X 的概率分布列如下：X1 ⋯ mPC M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1M⋯C M m C N n m MC N nC N nC N n其中 mmin M , n , 且nN , M N , n, M , N N * 。

注：超几何分布的模型是不放回抽 二、条件概率一般地， A,B 两个事件 , 且 P( A)0 ,称P(B | A)P( AB )在事件 A 生的条件下 , 事件 B 生的条件概率 .P( A)0≤ P(B | A) ≤ 1如果 B 和 C 互斥，那么 P[( B U C ) | A] P( B | A) P(C | A)三、 相互独立事件A ，B 两个事件， 如果事件 A 是否 生 事件 B 生的概率没有影响( 即 P( AB) P( A)P( B) ), 称事件 A 与事件B 相互独立。

即 A 、 B 相互独立P( AB) P( A) P(B)一般地，如果事件A ,A , ⋯,A n 两两相互独立，那么n 个事件同 生的概率，等于每个事件 生的概率的 ，12即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 ) P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、 n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中，记A i是“第i次试验的结果” ，显然， P( A1 A2A n ) P( A1 )P( A2 )P( A n )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在 n次独立重复中，事件 A生的次数 X，在每次中事件 A生的概率 p，那么在 n次独立重复中，事件 A 恰好生 k次的概率P( X k ) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q 1 p) ，而称p为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则P( X k ) C n k p k (1 p)n k， k 0,1,2, ,nX01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ~ B(n, p) ，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 E( X ) x1 p1 x2 p2x i p i x n p n为X 的数学期望或均值，简称为期望 . 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y 也是变量Y ax1 b ax2 b ⋯ax i b ⋯ax n bP p1 p2⋯p ⋯pi n则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1 p 0 (1 p)p 3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 DX ( x1 E (X )) 2 p1 ( x2 E( X )) 2 p2 (x n E ( X 并称DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X ) p(1 p)2．若X ~ B(n, p)，则D ( X )np(1 p)3．D ( aX b)a2 D ( X )即若 X 服从两点分布，则E( X )p。

高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型高考数学知识点精讲：常见随机变量的分布类型在高考数学中，随机变量的分布类型是一个重要的知识点，理解和掌握这些分布类型对于解决概率相关的问题至关重要。

下面我们就来详细讲解一下常见的随机变量分布类型。

首先，我们来认识一下什么是随机变量。

简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来。

比如说掷骰子，我们可以定义随机变量 X 为骰子掷出的点数，那么 X 可能取值 1、2、3、4、5、6。

常见的随机变量分布类型主要有以下几种：一、离散型随机变量的分布1、两点分布两点分布是最简单的一种离散型随机变量分布。

比如抛一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，那么这个随机变量就服从两点分布。

其概率分布为 P(X ＝ 1) ＝ p，P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，其中 0 ＜ p ＜ 1 。

2、二项分布二项分布在实际生活中有很多应用。

比如进行n 次独立重复的试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功的概率为 p ，失败的概率为 1 p 。

那么成功的次数 X 就服从二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。

二项分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。

举个例子，假设一批产品的次品率为 02，从这批产品中随机抽取10 个，那么抽到次品个数 X 就服从二项分布 B(10, 02) 。

3、超几何分布超几何分布与二项分布有点类似，但适用的场景略有不同。

超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 就是超几何分布。

超几何分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／C(N, n) 。

比如说在一个有 50 个球，其中 20 个红球，30 个白球的盒子中，随机抽取 10 个球，红球的个数 X 就服从超几何分布。

一、离散型随机量的分布列一般地，离散型随机量X 可能取的x1 , x2 , , x i , , x n，X取每一个x i (i 1,2,, n) 的概率P( X x i ) p i，称以下表格X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n随机量X 的概率分布列，称X 的分布列 .离散型随机量的分布列具有下述两个性：（ 1）P i≥0, i1,2, , n （2） p1p2p n11．两点分布如果随机量X 的分布列X01P1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率.2．超几何分布一般地，在含有 M件次品的 N件品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，事件X k 生的概率：P( X k)C M k C N n k M, k0,1,2,3,..., mC N n随机量 X 的概率分布列如下：X01⋯mC0C n 0C1C n 1C m C n mP M N M M N M⋯M N MC N n C N n C N n其中 m min M , n ,且n N, M N ,n,M , N N *。

注：超几何分布的模型是不放回抽二、条件概率一般地， A,B 两个事件 , 且P( A)P( AB)0 ,称 P( B | A)在事件 A 生的条件下 , 事件 B 生的条P( A)件概率 .0 ≤ P(B | A) ≤ 1如果 B 和 C互斥，那么P[( B U C ) | A] P(B | A) P(C | A)三、 相互独立事件A ，B 两个事件， 如果事件 A 是否 生 事件 B 生的概率没有影响( 即 P( AB)P( A) P(B) ), 称事件A 与事件B 相互独立。

即 A 、 B 相互独立 P( AB)P( A) P(B)一般地，如果事件 A ,A, ⋯,An 两两相互独立，那么n 个事件同 生的概率，等于每个事件 生的概12率的 ，即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 )P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件 ：指同一次 中的两个事件不可能同 生；(2) 相互独立事件 ：指在不同 下的两个事件互不影响. 四、 n 次独立重复一般地，在相同条件下，重复做的n 次 称 n 次独立重复 .在 n 次独立重复 中，A i 是“第 i 次 的 果” ， 然， P( A 1 A 2A n ) P( A 1 ) P( A 2 ) P( A n )“相同条件下”等价于各次 的 果不会受其他 的影响注 : 独立重复 模型 足以下三方面特征第一：每次 是在同 条件下 行；第二：各次 中的事件是相互独立的；第三：每次 都只有两种 果，即事件要么 生，要么不 生.n 次独立重复 的公式：一般地，在 次独立重复 中， 事件生的次数X ，在每次 中事件 生的概率，那么在 次nAApn独立重复 中，事件恰好 生 k 次的概率AP( Xk) C n k p k (1 p)n kC n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q1 p) ，而称 p 成功概率 .五、二 分布一般地，在 n 次独立重复 中，用X 表示事件 A 生的次数， 每次 中事件A 生的概率p ，P( Xk) C n k p k (1 p)n k ， k 0,1,2, , nX1⋯ k ⋯nPC n 0 p 0q n C n 1 p 1q n 1 ⋯ C n k p k q n k ⋯C n n p n q 0此 称随机 量 X 服从二 分布， 作 X ~ B(n, p) ，并称 p 成功概率 .六、离散随机 量的均 （数学期望）一般地，随机 量 X 的概率分布列X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n则称 E( X ) x1 p1x2 p2x i p i x n p n为 X 的数学期望或均值，简称为期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y也是变量Y ax 1 b ax 2 b ⋯ ax i b ⋯ ax n bP p1p2⋯p⋯pni则EY aE ( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1p0 (1p)p即若 X 服从两点分布，则E( X )p3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n则称 DX(x1E( X )) 2 p1 (x2E( X ))2 p2( x n E( X )) 2 p n为随机变量 X的方差.并称 DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X )p(1p) 2．若X ~ B(n, p)，则D ( X ) np(1p) 3．D (aX b)a2 D( X )。

概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。

随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。

本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。

一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。

1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。

常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。

2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。

通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。

常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。

二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。

1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。

分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。

2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。

概率函数的性质包括：非负性、归一性。

三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。

1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。

2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。

1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示：X 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．两点分布又称01-布又称为伯努利分布．⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N MnNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，知识内容超几何分布M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到由式0111()C CCC nn n k kn k nn nnn nq p pq pq p q p q--+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．【例1】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新球的个数的期望值是 ．【考点】超几何分布 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】超几何分布，472.810⨯=． 【答案】2.8；【例2】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设答对的试题数为ξ，则ξ服从参数为1065，，的超几何分布，因此由公式知他答对题数的期望为56310E ξ⨯==． 故他得分的期望值为20360⨯=分． 【答案】60．【例3】 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设女性委员的人数为X ，则X 服从参数为(835)，，的超几何分布，其概率分布典例分析为1153010(0)(1)(2)(3)56565656P X P X P X P X ========，，，， 期望3515()88E X ⨯==，方差25(85)(83)3225()0.50228(81)448D X ⨯-⨯-⨯==≈⨯-． 【答案】概率分布：1153010(0)(1)(2)(3)56565656P X P X P X P X ========，，，，期望：158，方差：0.5022．【例4】 在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη，的期望值及方差．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】抽取样本连续抽取3次，也可认为一次抽取3个，所以ξ服从参数为1223，，的超几何分布．η服从参数为12103，，的超几何分布．且3ξη+=． 于是223153(123)2(122)153122212(121)44E E E D ξηξξ⨯-⨯-===-===-，，， 215(1)44D D ηξ=-=． 【答案】15152244E E D ξηξ===，，，1544D η=．【例5】 某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．021120232323222555C C C C C C 361(0)(1)(2)C 10C 10C 10P X P X P X =========，，． 012X =，，时他所获得的钱数分别为100150200，，． 因此他获得钱数的期望值为：100(0)150(1)200(2)140P X P X P X =+=+==元．方法二：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．由公式知22455EX ⨯==． 因此他获得钱数的期望值为：4410050(2)14055⨯+⨯-=元．【答案】140．【例6】 某人有一张100元与4张10元，他从中随机地取出2张给孙儿、孙女，每人一张，求孙儿获得钱数的期望值．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一：设他取出100元的张数为X ，则X 服从参数为512，，的超几何分布．021114142255C C C C 64(0)(1)C 10C 10P X P X ======，． 01X =，时他所取出的钱数分别为20110，．因此他取出钱数的期望值为：20(0)110(1)124456P X P X =+==+=．孙儿获得钱数的期望值为156282⋅=．方法二：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为512，，的超几何分布．由公式知12255EX ⨯==．因此他取出钱数的期望值为：2210010(2)5655⨯+⨯-=元．【答案】56．【例7】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．⑴ 求X 的分布列；⑵ 求X 的数学期望与方差；⑶ 求“所选3人中女生人数1X ≤”的概率．【考点】超几何分布【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ X 可能取的值为012，，．32436C C ()012C k kP X k k -⋅===，，，． 所以，X 的分布列为⑵ 由⑴，X 的数学期望为()0121555E X =⨯+⨯+⨯=；（注：X 服从参数为632，，的超几何分布，故由公式得32()16E X ⨯==） 2221312()(01)(11)(21)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=；⑶ 由⑴，“所选3人中女生人数1X ≤”的概率为4(1)(0)(1)5P X P X P X ==+==≤．【答案】⑴X 的分布列为⑵ ()1E X =；()5D X =； ⑶45．【例8】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．⑴ 求甲答对试题数X 的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【考点】超几何分布【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ 依题意，X 可能取的值为0123，，，，364310C C ()0123C k k P X k k -⋅===，，，，． 甲答对试题数X 的分布列如下：甲答对试题数X 的数学期望119()01233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 222291939191()01235305105256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1425=；（注：X 服从参数为1063，，的超几何分布，故由公式得369()105E X ⨯==）⑵ 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则112()263P A =+=，213828310C C C 565614()C 12015P B ++===． 因为事件A 、B 相互独立， 法一： ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为2141()()()1131545P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅==--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1441()14545P P A B =-⋅=-=． 法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++211142144431531531545=⨯+⨯+⨯=．【答案】⑴ 甲答对试题数的分布列如下：9()5E X =．()D X =25；⑵ 45．【例9】 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．【考点】超几何分布 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2008年，浙江高考【解析】⑴设袋中白球的个数为x ，则“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”的概率为：210210C 71C 9x --=，解得5x =．即白球有5个．设从袋中任意摸出3个球，得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ服从参数为1053，，的超几何分布．因此数学期望为：351.510E ξ⨯==．⑵设袋中有n 个球，则由题意其中黑球个数为25n ，因此5*n k k =∈N ≥5()．设从袋中任意摸出2个球，得到黑球的个数为X ，则X 服从参数为225n n ，，的超几何分布．因此020.40.62C C(1)1(0)1Cn nnP X P X=-==-≥．要证020.40.62C C71C10n nn-≤，只需证20.62C3C10nn≥，即0.6(0.61)3(1)10n nn n--≥，只需证0.6(0.61)103(1)n n-⨯-≥，该式化简后即为n≥5，这是成立的．因此从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．又已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是77910>，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．【答案】⑴ 1.5Eξ=．⑵设袋中有n个球，则由题意其中黑球个数为25n，因此5*n k k=∈N≥5()．设从袋中任意摸出2个球，得到黑球的个数为X，则X服从参数为225n n，，的超几何分布．因此020.40.62C C(1)1(0)1Cn nnP X P X=-==-≥．要证020.40.62C C71C10n nn-≤，只需证20.62C3C10nn≥，即0.6(0.61)3(1)10n nn n--≥，只需证0.6(0.61)103(1)n n-⨯-≥，该式化简后即为n≥5，这是成立的．因此从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．又已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是77910>，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．。

1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示：X 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．知识内容二项分布我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到由式0111()CC CC nn n k kn k nn nnn nq p pq pq p q p q--+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．二项分布的概率计算【例1】 已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于 ．【例2】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ）A ．827B ．6481C ．49D ．89【例3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例4】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4， 则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例5】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例6】 从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）． 【例7】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.9728典例分析【例8】设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于6581，求事件A在一次试验中发生的概率．【例9】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例10】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数 的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例11】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例12】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例13】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．【例14】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．【例15】一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？【例16】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p．⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．【例17】设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1tp eλ-=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．【例18】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例19】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【例20】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j+．【例21】某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例22】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，求至少有两位乘客在20层下的概率．【例23】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()k k n≤次红球的概率．【例24】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．【例25】A B，是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）【例26】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）【例27】若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1n n∈N，≥）【例28】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．【例29】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．【例30】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？二项分布的期望与方差【例31】已知(100.8)D X．E X与()~，求()X B，【例32】已知~()D X=，则n与p的值分别为（）E X=，() 1.6X B n p，，()8A．10和0.8B．20和0.4C．10和0.2D．100和0.8【例33】已知随机变量X服从参数为60.4E X=，，的二项分布，则它的期望()方差()D X=．【例34】已知随机变量X服从二项分布，且() 2.4Eξ=，() 1.44Dξ=，则二项分布的参数n，p的值分别为，．【例35】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是．【例36】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．40【例37】某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．(1)-p p-B．np C．n D．(1) np p【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）【例39】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．40【例40】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求()E X．【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121 352，，．⑴现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差．【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．【例45】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．【例46】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．【例47】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【例48】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．【例49】设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）【例50】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．【例51】某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利?【例52】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．⑴ 求小球落入A 袋中的概率()P A ；⑵ 在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望．【例53】 一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分．⑴ 求拿4次至少得2分的概率；⑵ 求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．【例54】 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中，11a =，(2345)k a k =，，，出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345a a a a a ξ=++++，当程序运行一次时， ⑴ 求3ξ=的概率； ⑵ 求ξ的概率分布和期望．【例55】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min．⑴求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；⑵求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望．。

随机变量及其分布列.几类典型的随机分布一、离散型随机变量及其分布列随机变量是指在试验中可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的。

离散型随机变量是指所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量。

离散型随机变量常用大写字母X,Y表示。

离散型随机变量的分布列是将所有可能的取值与对应的概率列出的表格。

二、几类典型的随机分布1.两点分布二点分布是指随机变量X的分布列为X:1，P:pq，其中p 为0~1之间的参数，q为1-p。

伯努利试验只有两种可能结果的随机试验，因此又称为伯努利分布。

2.超几何分布超几何分布是指有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中含有这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C(n,m)C(M,m)/C(N,n)。

超几何分布只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列。

3.二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，事件A不发生的概率为q=1-p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)。

其中p为事件A发生的概率，k为事件A发生的次数，n为试验的总次数。

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然后对每段话进行小幅度改写。

对于二项分布，当一个试验重复进行n次，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p时，事件发生k次的概率可以用公式P(n,k) = n。

/ (k!(n-k)!) * p^k * q^(n-k)来计算。

这个公式可以展开成X的分布列，其中X表示事件发生的次数。

因为每个值都可以对应到表中的某个项，所以我们称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。

二项分布的均值和方差可以用公式E(X) = np和D(X) = npq(q=1-p)来计算。

正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。

随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。

理解和掌握随机变量及其分布对于解决各种概率问题至关重要。

下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解相关知识点。

一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点对应到一个实数。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

例如，抛一枚硬币，出现正面记为 1，出现反面记为 0，这里定义的变量就是一个离散型随机变量。

二、离散型随机变量及其分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。

常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。

例题 1：一批产品的次品率为 01，从中有放回地抽取 10 次，每次取一件，求抽到次品数 X 的概率分布。

解：这是一个二项分布问题，其中 n ＝ 10，p ＝ 01。

P(X ＝ k) ＝ C(10, k) × 01^k × 09^（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10知识点：二项分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) ，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。

例题 2：某商店每月销售某种商品的数量服从泊松分布，平均每月销售 5 件。

求每月销售 3 件的概率。

解：设每月销售的商品数量为 X，λ ＝ 5P(X ＝ 3) ＝（e^（－5) × 5^3) ／ 3!知识点：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ) × λ^k)／ k! ，其中λ 是平均发生的次数。

三、连续型随机变量及其分布连续型随机变量的取值是连续的区间。

常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布等。

例题 3：设随机变量 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，求 X 的概率密度函数。

解：概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a) ，a ≤ x ≤ b ；f(x) ＝ 0 ，其他。