2014广州一模数学学科分析报告

2014届高三“一模”数学科成绩分析及后一阶段备考建议1 近年来我市数学高考情况科目年份全省平均分我市平均分对比我市平均分在全省排名全省前100名我市所占人数备注200777.8581.27+3.42第7名最高148分；最低137分。

共129人。

2人从2011年起，顺德从佛山市分离出来，单独排名。

200870.5871.86+1.28第8名最高149分；最低139分。

共149人.5人最高文科数学200968.7473.03+4.29第7名149分；最低139分。

共129人。

25人201081.6287.53+5.91第5名最高146分；最低140分。

共141人。

18人201168.1877.68+9.5第1名最高136分；最低125分。

共137人。

13人201274.1987.53+13.34第1名最高150分；最低144分。

共118人。

16人201377.55约92.1约+14.55年报上未公布理科数学200784.7384.83+0.1第10名最高150分；最低138分。

共131人3人从2011年起，顺德从佛山市分离出来，单独排名。

200884.4384.17-0.26第8名最高149分；最低145分。

共120人2人200971.8873.80+1.92第8名最高149分；最低141分。

共125人。

7人201094.2596.53+2.28第6名最高148分；最低141分。

共179人。

7人第7最高147分；最低131201179.3883.47+4.09名分。

共109人。

8人201292.5698.06+5.5第5名最高150分；最低142分。

共139人。

8人201390.72约97.72约+7年报上未公布2 2014届高三“一模”情况文科数学（全体）序号学校考生数最高分平均分离均率>=140>=130>=120>=110>=100>=901东莞中学318142106.945.95118611462242822东莞一中42013597.633.270728972033133实验中学44913390.623.640118801742924高级中学47713493.828.0404291122193365松山湖学校27613592.125.650264497167石6中学38112180.810.330018451157常平中学47713476.8 4.8701536851688万江中学45012968.7-6.220013179虎门中学43014762.4-14.8423351110厚街中学47211569.3-5.4600053210311塘厦中学44411862.8-14.330002912东莞二中29311465.5-10.6300021313东莞四中53411266.4-9.400031314东莞五中50310956.1-23.380000615莞六中50412173.1-0.2300163016东莞七中46611468.2-6.8500041917东莞八中25311463.5-13.340001818东莞十中2799754.9-25.020000019麻涌中学40611467.6-7.70003620长安中学2609946.4-36.650000021济川中学26410762.1-15.230000522南城中学13211165-11.2500012大朗中23学24010854.3-25.850000424大岭山中学16011561-16.80002225东华高级63714588.120.274388113521531526光明中学49814580.810.32212235511218127虎门外语10414499.836.171721395528英才学校10211372.9-0.560001729翰林学校18913474.4 1.570210172630南开实验10413073.30.101141431光正实验15911957.7-21.2700049明32学校10612869-5.760013633石竹学校16012561-16.720013934水霖学校14210552.5-28.320000335全市1136414773.3　109930184617313127理科数学（全体）序号学校考生数最高分平均分离均率>=140>=130>=120>=110>=100>=901东莞中学584148.0110.329.684451543234585362东莞一中662135.0102.620.65010762474155303实验中学667136.096.613.5608391553374754高级中学580138.0104.522.910965215394514松山湖5校371137.0102.520.5207331152223086石龙中学545141.083.0-2.431111541102147常平中学539132.085.10.11029561422528万江中学502119.079.9-6.020*********9虎门中学450128.066.8-21.390018328110厚街中学295124.077.7-8.66004135110411塘厦中学458117.071.1-16.390005259512东莞二中268118.068.8-19.060005134413东莞四中473127.077.0-9.40002652125东14五中299122.066.0-22.330014154315东莞六中577129.083.8-1.4200114713125016东莞七中234117.071.3-16.210003205117东莞八中426123.068.8-19.130017297618东莞十中164115.059.6-29.900001319麻涌中学389117.073.7-13.2900012409520长安中学150115.063.3-25.590002112821济川中学190118.070.0-17.6800010174122南城中学144117.069.8-17.86000192723朗中学232117.052.0-38.83000251624大岭山中学155116.063.9-24.870004122325东华高级857147.0103.721.91137018635152166226光明中学716138.091.77.820124214428141827虎门外语191142.0103.321.5317378111714528英才学校142125.085.10.0700414316729翰林学校320134.085.90.9906175010815830南开实验240134.089.8 5.590182877133光正31实验165130.073.5-13.6201515325532明珠学校155126.075.4-11.380018295733石竹学校195127.075.5-11.240037306034水霖学校181125.067.3-20.82001102843　全市13028148.085.0　201917472112406962033 对下一阶段备考工作的几点建议3.1 下阶段备考的指导思想巩固——巩固前阶段复习成果，把巩固“三基”放在首位．完善——通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识与方法的网络体系．综合——在训练上，减少单一知识点大训练，增强知识的连接点，增加知识交汇点的题目，加大题目的综合性和灵活性．提高——培养思维能力、概括能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，尤其要进一步提升读题能力、运算能力（数据处理能力，尤其是字母运算和分类讨论）、空间想象能力、逻辑推理能力．3.2 具体建议3.2.1 狠抓落实，加强跟踪，及时反馈▲课堂教学中，应根据学生的接受情况，及时调整教学策略与方式，并及时解决学生在课堂学习中出现的问题。

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2±C ．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则c b为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C 3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++=4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制２成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个， 则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是A ．=a bB ．⊥a bC ．λ=a b ()0λ>D ．ab8．设a ，b ，m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 ． 10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为 ． 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．12．设α为锐角，若cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 侧（左）视图图3俯视图爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ３13．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB =3a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （1）求实数a 的值；（2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立． （1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的PEABCD 图4O 1C 1D DE1A 1B４中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF A C ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ． （注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 20．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为35，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上． 21．（本小题满分14分）已知函数()()221e x f x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可C爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ５根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 23 4 5 6 7 8答案 A B A D B C D A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 11 12131415答案23421020112-1-或5- 23三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即302a+=． 解得3a =（2）方法1：由（1）得()sin 3f x x x =．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 32x x=+-22sin 23cos 3cos 2x x x x =++-６2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π． 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增， 即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 方法2：由（1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ， 所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ７即ππππ36k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =． 所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=． 所以ξ的分布列为所以19613252525E ξ=⨯+⨯=．ξ 1 3P1925625８18．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：（1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111A C B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111A C DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF A C ⊥． （2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BHAE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FGBH ，则FGAE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）延长EF ，DB ，设EFDB M =，连结AM ，则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ， 因为FB AM ⊥，FB BN B =， 所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ． 所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，23=，1D ABCD EF 1A1B1C MN1D ABCD EF 1A1B1C 1DABCDE F 1A1B 1C G H爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ９所以22MB a =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=， 所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯ ()222222222a aa a ⎛=+-⨯⨯⨯- ⎝⎭213a =． 即13AM a =． 因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯， 所以222sin13521321313a a AB MB BN a AMa⨯⨯⨯===．所以2222121371331339FN BF BN a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以6cos 7BN FNB FN ∠==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．空间向量法：（1）证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,,C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11,,0AC a a =-，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 因为221100AC EF a a =-++=， 所以11AC EF ⊥．1D ABC D EF 1A1B1C xyz１０所以11EF A C ⊥．（2）解：设()0,,G a h ，因为平面11ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 平面AEGF AE =，平面11BCC B 平面AEGF FG =，所以FGAE ．所以存在实数λ，使得FG AE λ=． 因为1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以1λ=，56h a =． 所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=． 故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． （3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １１()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法： （1）、（2）给分同推理论证法． （3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 19．（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）1D ABC DEF 1A1B1C xyz１２解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯， 即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯， 即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立．②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218kk k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立． 所以当6n ≥时，n n b a >． 方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １３则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦ ()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22354.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得5a =．１４（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ， 因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭． 所以()00433ty x =-． 因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-． 所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-． 设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １５得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在． 设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=． 因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--． 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④①② ③１６因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．） 21．（本小题满分1）（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()()221e x f x x x =-+，所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e xx =-(1)(1)e x x x =+-． 当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞． 当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-． （2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由（1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s ts s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩也就是方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根． 设2()(1)e (1)xg x x x x =-->，则2()(1)e 1xg x x '=--． 设()h x =2()(1)e 1xg x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增． 因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数； 当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １７所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”．。

2014年一模情况分析李海维各位校长，各位主任：我想就一模情况谈四个方面的话题：一、本次划线的参考因素和划线结果2013年高考成绩揭晓到现在，有两个方面的新情况必然会牵动全市高中教育多方面的变化：一是2013年二本达线9300多，加上体艺类，全市二本以上达线人数首次突破万人大关；二是2014年一模总体成绩，应届生首次超过往届生。

这两个情况存在着明显的内在联系：去年升入大学的考生多，留下来的往届生就少了，应届生成绩超过往届生符合情理。

这两个情况也说明吕梁的高中教育的内涵发展以及高考情况在经历了一个漫长的量变积累之后，正在发生质的变化。

2013年考入大学的学生多，外因是高校扩招，内因是吕梁高中教育自身的发展。

今年应届生成绩超过往届生，外因仍然是2013年高校扩招，内因是全市高中学校审时度势，改变靠往届生吃饭的决心和内涵发展战略。

由于出现了上述情况，往年的模考“划线”方法就过时了。

本次模考划线，我们更多地比照了2013年的二本以上达线人数。

划线结果是：理科应届420分，上线人数4160人；理科往届430分，上线人数3531人；文科应届490分，上线人数743人；文科往届500分，上线人数916人。

合计上线人数9350人。

与2013年二本以上实际达线人数基本持平。

大家都清楚，往年模考后总是按照高于上一年二本以上实际达线人数几百人确定预期线的，而且高考结果很少低于预期。

那么，本次划线为什么在上线总人数的确定上仅仅保持了与去年持平，没有提出高于去年的预期呢？我们主要是考虑到考生人数减少这一重大因素。

2013年岚县没有参加一模，全市实际参加一模人数是37500人，假如岚县参加的话，全市一模人数应该达到39000人。

而本次参加模考的人数是34800人。

从这两个数字的对比中我们发现：2014年全市参加高考的人数可能会比2013年少4000人左右。

这个情况务必要高度注意：长期计划生育的因素已经反映到高中在校生人数的变化上；高考志愿由往年的主要看第一志愿转变为五六个平行志愿不分彼此，使得往届生的数量由多少年来的年年增加，转变为今年的突然锐减，不少学校已经取消了补习班。

2014年中招模拟考试数学试卷分析一模考试已经结束，现就我县数学考试情况进行简单分析。

希望能给九年级数学教师一点启发。

一、试题主要特点。

（一）试卷结构。

本次数学考试试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

本次的一模考试严格按中招考试的题型、难度、时间要求进行的。

数学题型涵盖有选择题、填空题、解答题。

其中选择题8个每题3分共24分，填空题7个每题3分共21分，解答题8个共75分，共有23个题目。

（二）知识点分布及分值。

从上表可以看出，该试卷覆盖了课标的大部分知识点，考察全面。

重点知识、主干知识重点考查，不单纯追求知识覆盖面。

（三）数学试题具有以下特点：1、严格按照课标要求，无偏题、怪题、死记硬背性的题目。

（1）对数与代数的考察，主要考查学生对概念、法则及运算的理解和运用水平。

（2）对几何与图形的考查，主要考查学生对基本几何事实的理解，空间观念的发展及合情推理能力和初步演绎推理能力的获得，对证明部分的评价，关注学生对证明意义的理解以及证明的过程是不是步步有依据（3）对统计与概念的考查，重点放在考查学生能否具有现实背景的活动中应用统计与概念的知识与技能，是否具有统计观念。

2、考查基础知识的题目简单，充分体现《课标》理念：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

”3、选拔性的题目（即区分度大的题目或难题）分散在各种题型中。

从整张试卷，不仅后面大题有区分度，而前面的选择题、填空题中也有一定的区分度。

一般8个选择题中，有5—6个送分题，1—2个选拔性题目，7个填空题中有3—4个送分题，1—2个中档题，有1—2个选拔性题目，同样8个大题中有2—4个送分题。

3—4个中挡题。

有1—2个难度较大的题目，每一种题型学生均可得到分，但得满分也不容易。

4、大题分几个小题，由易到难，有利于不同程度的学生充分发挥自己的数学潜能。

顺利完成各自的目标。

5、试题的背景更贴近学生的生活，在学生熟悉的生活背景下提出问题，充分考察学生运用所学知识解决实际问题的能力。

2014年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i 是虚数单位，若2(i)34i m +=-，则实数m 的值为（ ）．A ．2-B ．2±C ．D ．2【答案】A【解答】解：∵2(i)34i m +=-， ∴222i i 34i m m ++=-， 即22i 134i m m +-=-， ∴22413m m =-⎧⎨-=⎩，解得2m =-，故选A ．2．（5分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为（ ）． A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C【答案】B【解答】解：在ABC △中， ∵2C B =，∴sin sin 22sin cos C B B B ==， 即2cos c b B =，则2cos cB b=． 故选B ．3．（5分）圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）．A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．22(1)(2)1x y ++-=C ．22(2)(1)1x y ++-=D ．22(1)(2)1x y -++=【答案】A【解答】解：∵点(,)P x y 关于直线y x =对称的点为(,)P y x '， ∴(1,2)关于直线y x =对称的点为(2,1)，∴圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=． 故选A ．4．（5分）若函数()f x R ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．]([,22,)-∞-+∞UD ．[]2,2-【答案】D【解答】解：函数()f x R ， 则210x ax ++≥恒成立，即240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]2,2-，故选D ． 5．（5分）某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图的频率分布直方图．样本数据分组为[5060)，，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个，则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有（ ）．A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个【答案】B【解答】解：由频率分布直方图知：抽取分数在[80,100]范围内的频率为(0.0250.015)100.4+⨯=， 又在[80,100]范围内的数据有16个，∴样本容量16400.4==个， ∵分数在[90,100]范围内的频率为0.015100.15⨯=， ∴在[90,100]范围内的频数为0.15406⨯=个． 故选B ．6．（5分）已知集合{|A x x =∈Z 且3}2x∈-Z ，则集合A 中的元素个数为（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解答】解：∵{|A x x =∈Z 且{}3}=1,1,3,52x∈--Z ， ∴集合A 中的元素有4个． 答案C ．7．（5分）设a r ，b r 是两个非零向量，则使||||a b a b ⋅=r r r r成立的一个必要非充分条件是（ ）．A ．a b =r rB ．a b r r ⊥C ．(0)a b λλ=>r rD ．a b r r ∥【答案】D【解答】解：∵a r ，b r 是两个非零向量，则||||a b a b ⋅=r r r r ， ∴||||cos ,||||a b a b a b a b ⋅==r r r r r r r r ，∴cos ,1a b =r r，∴,0a b =r r． ∴a b r r ∥． a r ，b r 是两个非零向量，则使||||a b a b ⋅=r r r r成立的一个必要非充分条件是a b r r ∥．故选D ． 8．（5分）设a ，b ，m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅L ，(mod10)a b ≡，则b 的值可以是（ ）． A ．2011 B ．2012 C ．2013 D ．2014【答案】A【解答】解：∵0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅L ，2020122202020202012312C 2C 2C +==++++L （），∴203a =．∵13个位是3，23个位是9，33个位是7，43个位是1，53个位是3，L ∴203个位是1，若(mod10)a b ≡，则b 的个位也是1．故选A ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）若不等式||1x a -<的解集为{}3|1x x <<，则实数a 的值为__________． 【答案】2【解答】解：∵||1x a -<， ∴11x a -<-<， ∴11a x a -<<+，∴不等式||1x a -<的解集为{}1|1x a x a -<<+， ∵不等式||1x a -<的解集为{}3|1x x <<， ∴11a -=且13a +=， 解得：2a =． 故答案为：2．10．（5分）执行如图的程序框图，若输出7S =，则输入*()k k ∈N 的值为__________．【答案】3【解答】解：由程序框图知，程序第一次运行1n =，11021S -=+=； 第二次运行112n =+=，1123S =+=； 第三次运行3n =，121227S =++=． ∵输出7S =，∴程序运行终止时3n =， 又不满足条件n k <时输出S ， ∴3k =，故答案为：3． 11．（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是__________．正主()视图侧左()视图俯视图【答案】4【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面， 3， ∵底面为菱形，对角线互相垂直平分，∴底面面积124142S =⨯⨯⨯=，∴几何体的体积14343V =⨯⨯=．故答案为：4．12．（5分）设α为锐角，若π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ __________．【解答】解：∵α为锐角，π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭为正数，∴π6α+是锐角，π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴πππsin sin 1264αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππsin cos cos sin 6464αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355=-=，．13．（5分）在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a ++=-，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =__________． 【答案】20112-【解答】解：∵11a =，111n n a a ++=-， ∴212a =-，312112a =-=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，411(2)1a =-=-+，512a =-，L∴数列{}n a 是以3为周期的数列， 又3123131222S a a a =++=--=-，∴20142013201432013201167111222S S a ⎛⎫=+=⨯-+=-+=- ⎪⎝⎭．故答案为：20112-．三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题） 14．（5分）在极坐标系中，直线(sin cos )a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若||AB =a 的值为__________． 【答案】1-或5-【解答】解：直线(sin cos )a ρθθ-=即0x y a -+=；曲线2cos 4sin ρθθ=-即22cos 4sin ρρθρθ=-，即22 240x y x y ++=-，即22(1)(2)5x y -++=，表示以(1,2)C -设圆心到直线的距离为d ，则d再根据点到直线的距离公式可得d解得1a =-，或5a =-， 故答案为：1-或5-．（几何证明选讲选做题）15．如图，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为__________．【答案】2 3【解答】解：作直线CF，连结BF，∴CF PC⊥，∴90PCB BCF∠+∠=︒，∵CF是直径，∴90BCF F∠+∠=︒，∴PCB F∠=∠，∵F A∠=∠，∴PCB A∠=∠，∴PCB PAC△∽△，∴23 PC PBPA PC==，∵PCE PCB A∠=∠=∠，CPE APD∠=∠，∴PCE PAD△∽△，∴23 PE PCPD PA==．故答案为：23．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数()sin cosf x x a x=+的图象经过点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭．（1）求实数a的值．（2）设2()()2[]g x f x=-，求函数()g x的最小正周期与单调递增区间．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴π03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即02a =，解得a（2）由（1）得()sin f x x x =． ∴2()()2[]g x f x =-2(sin )2x x =-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos2x x +122cos22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ ππ2sin 2cos cos2sin 66x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴函数的最小正周期为2ππ2=． ∵函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令πππ2π22π262k x k -++≤≤，k ∈Z ，求得ππππ36k x k -+≤≤，∴函数的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．17．（12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率．（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）． 【答案】见解析．【解答】解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ， 由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足113232()56[1()][1()]253()()10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪=⎪⎩解得21()2P A =，33()5P A =． ∴乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3． ∵123123(3)()()P P A A A P ξ==+，123123)))[)][)][)(((1(1(1(]P A P A P A P A P A P A =+---213312525525=⨯⨯+⨯⨯ 625=． ∴619(1)1(3)12525P P ξξ==-==-=． ∴ξ的分布列为∵1963713252525E ξ=⨯+⨯=．18．（14分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF AC ⊥．（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长． （3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．D ABCE F A 1B 1D 1C 1【答案】见解析．【解答】（1）证明：连结11B D ，BD ， ∵四边形1111A B C D 是正方形，∴1111B D AC ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，∵1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， ∴111AC DD ⊥．∵1111B D DD D =I ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ， ∴11AC ⊥平面11BB D D ． ∵EF ⊂平面11BB D D ， ∴11EF AC ⊥．（2）解：以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则(,0,0)A a ，1,(0,)A a a ，10,(,)C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11(,,0)AC a a =-u u u u r ，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ． 设(0,,)G a h ，∵平面11ADD A ∥平面11BCC B ，平面11ADD A I 平面AEGF AE =， 平面11BCC B I 平面AEGF FG =，∴存在实数λ，使得FG AE λ=u u u r u u u r． ∵1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，∴11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴1λ=，56h a =．∴115166C G CC CG a a a =-=-=．∴当116C G a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ．设(,,)n x y z =r是平面AEF 的法向量，则00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即102103ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-． 所以(3,2,6)n =-r是平面AEF 的一个法向量． 而1(0,0,)DD a =u u u u r是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则6cos 7θ==．故平面AEF 与平面PQ 所成二面角的余弦值为67．C 1D 1B 1A 1F EC B AD19．（14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式．（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n C a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．（注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 【答案】见解析．【解答】解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以10(1)2n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616623220268b a -==>=⨯+=，不等式显然成立．②假设当(6)n k k =≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有12222(28)2(1)8(26)2(1)8k k k k k k -=⨯+=++++>++>．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立．所以当6n ≥时，n n b a >．方法2：因为当6n ≥时112(28)(11)(28)n n n n b a n n ---=-+=+-+ 01211111(C C C C )(28)n n n n n n -----=++++-+L 012321111111(C C C C C C )(28)n n n n n n n n n n ---------+++++-+≥ 0121112(C C C )(28)n n n n ---=++-+ 236(4)(6)0n n n n n =-=-+->-， 所以当6n ≥时，n n b a >．所以5n ≤时，22222222123123n n nS c c c c b b b b =++++=++++L L 024222222n -=++++L1414n-=-1(41)3n =-． 当5n >时，2222123n nS c c c c =++++L ， 22222212567()()n b b b a a a =+++++++L L 52221(41)464)(74()3[(])4n =-+++++++L 2223414678(67)1[(6(5))]n n n =+++++++++-L L222222[()(34141212532(67)64(]5))n n n =++++++++++++--L L L(1)(21)(6)(5)3414553264(5)62n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，321(41),53424218679,533n n n S n n n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩≤．20．（14分）已知双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=u u u u r u u u u r ． （1）求实数a 的值．（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值．（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足||||||||PM MH PN HN =，证明点H 恒在一条定直线上． 【答案】见解析．【解答】（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得224c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得a（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点2)(3,0F ． 设点5,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，00)(,Q x y ， 因为220PF QF ⋅=u u u u r u u u u r ，所以0053,(3,)03t x y ⎛⎫--⋅--= ⎪⎝⎭， 所以004(3)3ty x =-． 因为点00)(,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即22004(5)5y x =-． 所以220000002200000044(5)(3)4535555333PQ OQ x x y t y y ty k k x x x x x x -----⋅=⋅===---． 所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45． （3）证明：设点(,)H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点11)(,M x y ，22)(,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即22114(5)5y x =-，22224(5)5y x =-． 设||||||||PM MH PN HN λ==，则PM PN MH HNλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 即1122112255,1,133(,)(,)x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩， 整理，得121212125(1)31(1)(1)x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得2221222212x x y y λλ⎧-=⎪⎨⎪-⎩将22114(5)5y x =-，22224(5)5y x =-代入⑥， 得2221224451x x y λλ-=⨯--．⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．21．（14分）已知函数2()(21)e x f x x x -=+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）定义：若函数()h x 在区间[](,)s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在(1,)+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解答】解：（1）因为2()(21)e x f x x x -=+，所以22()(22)e (21)e (1)e (1)(1)e x x x x f x x x x x x x '=-++==+---． 当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞． 当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为(1,1)-． 所以函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-． （2）假设函数()f x 在(1,)+∞上存在“域同区间”,1)[](s t s t <<， 由（1）知函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，所以()()f s s f t t =⎧⎨=⎩即22(1)e (1)e s t s s t t ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩， 也就是方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e (1)x g x x x x --=>，则2()(1)e 1x g x x -'=-． 设2()()(1)e 1x h x g x x '==--，则2()(21)e x h x x x '=+-． 因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 因为(1)10h =-<，2(2)3e 10h =->，即存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0)(0h x =．当0)(1,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在0(1,)x 上是减函数； 当0(),x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在0(),x +∞上是增函数． 因为(1)10g =-<，0)((1)0g x g <<，2(2)e 20g =->， 所以函数()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在(1,)+∞上不存在“域同区间”．故答案为：（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-． （2）函数()f x 在(1,)+∞上不存在“域同区间”．。