2020届广州一模试题解析讲评(选择题部分)

绝密★启用前广东省广州市普通高中2020届高三毕业班下学期综合测试(一) (一模)数学(理)试题(解析版)2020年4月一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的．1.设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（ ）A. M N M ⋂=B. M N N ⋂=C. M N M ⋃=D. M N R ⋃=【答案】A【解析】【分析】由题意{}22,N xx x R =-<<∈，分别计算出M N ⋂、M N ⋃即可得解.【详解】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈， 所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足方程220z +=,则3z =（ ） A. ± B. -C. -D. ± 【答案】D【解析】220z +=,即22z =-,解得z =．所以32()(2)z z z =⋅=⋅-=±,故选D 3.若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点,则实数k 的取值范围是（ ）A. [)3-+∞，B. (]3-∞-，C. ()0+∞，D.()-∞+∞，【答案】D【解析】【分析】由题意得圆心到直线的距离2d =≤,解不等式即可得解.【详解】圆222410x y x y ++-+=的圆心为()1,2-,半径为2,由题意可知圆心到直线的距离2d =≤,化简得2183033k ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭, 故(),k ∈-∞+∞.故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了计算能力,属于基础题. 4.已知1223p x q x +><<：，：,则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-,利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-, 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”；由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”；故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.。

2020年广东省广州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在实数−3，0，5，3中，最小的实数是()A. −3B. 0C. 5D. 32.如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是()A.B.C.D.3.下列计算中，正确的是()A. (a2)3⋅a3=a9B. (a−b)2=a2+2ab−b2C. x2⋅x4=x8D. √2⋅√3=√54.如图，将△ABC沿AB方向平移至△DEF，且AB=5，BD=2，则CF的长度为()A. 4B. 5C. 3D. 25.学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了４０名学生，将结果绘制成了如图所示的统计图，则参加绘画兴趣小组的频数是()。

A. 8B. 9C. 11D. 126.在下列性质中，菱形具有而矩形不具有的性质是()A. 内角和等于360°B. 对角相等C. 对角线平分一组对角D. 邻角互补7.不等式组{2x−1>1−x≤2的解集为()A. x>1B. −2≤x<1C. x≥−2D. 无解8.已知：如图，将∠ABC放置在正方形网格纸中，其中点A、B、C均在格点上，则tan∠ABC的值是()A. 2B. 12C. √52D. 2√559.已知一元二次方程x2−2018x+10092=0的两个根为α，β，则α2β+αβ2=()A. 10093B. 2×10093C. −2×10093D. 3×1009310.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2,1)，直线l与x轴，y轴分别交于点B(−4,0)，C(0,4)，当x轴上的动点P到直线l的距离PE与到点A的距离PA之和最小时，则点E的坐标是()A. (−2,2)B. (−32,52) C. (−12,72) D.(1,0)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.太阳的半径大约为696000000，将数据696000000用科学记数法表示为______．12.已知a<0，b>0，化简√(a−b)2=______．13.分式方程2xx−3=1的解是______．14.如图，已知∠ABC=30°，以O为圆心、2cm为半径作⊙O，使圆心O在BC边上移动，则当OB=______ cm时，⊙O与AB相切．15.一个圆锥的高线长是8cm，底面直径为12cm，则这个圆锥的侧面积是______．16.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=3√5，且∠ECF=45°，则CF的长为__________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.先化简，再求值：a2−2aba−b −b2b−a，其中a=1+√3，b=−1+√3．四、解答题（本大题共8小题，共92.0分）18.计算：√83−2cos60°−(π−2018)0+|1−√4|19.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．(1)求证：BF=CF；(2)若BC=6，DG=4，求FG的长．20.为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动(每人限报一项)，将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次参加比赛的学生人数是______名；(2)把条形统计图补充完整；(3)求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；(4)在C组最优秀的3名同学(1名男生2名女生)和E组最优秀的3名同学(2名男生1名女生)中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．21.已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=3b−ax 的图象交于点(12,2)，求：(1)这两个函数的解析式；(2)两个函数图象另一个交点的坐标．22.某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的54，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．(1)求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？(2)玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具(甲、乙玩具的进货单价不变)，购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？23.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法和证明)如图，已知：△ABC，∠ACB=90°，求作：⊙O，使圆心O在AC边上，且⊙O与AB，BC均相切．24.如图，在平面直角坐标系中．直线y=−x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A(−1,0)，连结AC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P(m,n)是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；(3)如图2，若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．25.如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠A DC，过点B作BM//CD交AD于M，连接CM交DB于N。

2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题一、单选题 1．设集合，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x 1，x 2，…x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A ．x 1，x 2，…x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…x n 的中位数3．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） AB ．13C ．10D4．设等差数列{}an 的前n 项和为Sn ，若则28155a a a +=-,9S =（ ）A ．18B ．36C ．45D ．605．已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A.1225 B.1225-C.2425 D.2425-6．若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2z y x =-的最小值为( ) A.2B.2-C.1D.1-7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A.134B.866C.300D.5008．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A.123x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<9．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A.aB.2aD.210．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( ) A.2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B.2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C.2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D.2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈11．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A.17(1)a r + B.17[(1)(1)]a r r r +-+ C.18(1)a r +D.18[(1)(1)]a r r r+-+ 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞）二、填空题13．已知向量()()3,2,,1a b m =-=．若向量()2//a b b -，则m =_____．14．已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a =__． 15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．16．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为_____．三、解答题17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，⋯⋯第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．18．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值． 19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且22sin 30C C -++=． （1）求角C 的大小； （2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值． 20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，2AB =，BC =PC =E 、H 分别为PA 、AB 的中点．（1）求证：PH AC ⊥； （2）求点P 到平面DEH 的距离．21．已知函数2()f x lnx mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（2）若关于x 的不等式()1F x mx -…恒成立，求整数m 的最小值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值. 23．已知函数()12()f x x x m m R =-++∈. （1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题1. 【答案】B【解析】试题分析：集合，故选B.【考点】集合的交集运算. 2. 【答案】B【解析】根据平均数、标准差、中位数、最值的实际意义逐一判断即可. 【详解】因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 所以，表示一组数据12,,...n x x x 的稳定程度的是方差或标准差．故选B ． 【点睛】本题主要考查平均数、标准差、中位数的实际意义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 3. 【答案】A【解析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可。

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析一、选择题（共12题，共60分）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3]【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），则A∪B＝（﹣1，3]，故选：B．2．设z＝，则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为1．故选：B．3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42A．25B．23C．12D．07【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为，12，故选：C．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．24【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故选：A．5．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），∴点（1，﹣2）在直线上，∴．则该双曲线的离心率为e＝．故选：C．6．已知tanα＝﹣3，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为tanα＝﹣3，则＝cos2α＝＝＝＝．故选：D．7．的展开式中x3的系数为（）A．168B．84C．42D．21【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r x7﹣2r，则令7﹣2r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3的系数为•4＝84，故选：B．8．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：，故排除CD；f（﹣1）＝ln|e﹣2﹣1|+1＝ln（1﹣e﹣2）+lne＝，故排除B．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（）A．B．32πC．36πD．48π【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体A﹣BCD：如图所示：设外接球的半径为r，则：（2r）2＝42+42+42，解得r2＝12，所以：S＝4π×12＝48π．故选：D．10．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，即a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|＝|F2M|+|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值而|F2M|+|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4，故选：B．11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，又∵M为BC中点，∴，∵M为BC中点，∴＝＝＝．故选：D．12．已知定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，∴0＜≤1，解得0＜ω≤3，∴≤ωx﹣≤．①0＜ω≤时，则sin（ω﹣）＝，令g（ω）＝sin（ω﹣）﹣，y＝sin（ω﹣）在（0，]上单调递增，∵g（0）＝﹣＜0，g（）＝1﹣＝＞0，因此存在唯一实数ω，使得sin（ω﹣）＝．②＜ω≤3，sin（ωx﹣）＝1，必须ω＝3，x＝．综上可得：正实数ω的取值个数最多为2个．故选：C．二、填空题（共4题，共20分）13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣3．【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z＝x﹣2y过A时，z取得最小值，由，解得A（1，2），所以z的最小值为z＝1﹣2×2＝﹣3．故答案为：﹣3．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣n，则a6＝63．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，由于S n＝2a n﹣n，①所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n＝2a n﹣1+1，整理得（a n+1）＝2（a n﹣1+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．所以．故答案为：6315．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为．【解答】解：基本事件的总数为，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为．∴该验证码的首位数字是1的概率＝＝．故答案为：．16．已知点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣）（m≠n），若线段MN上的任意一点P都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最大值为．【解答】解：由点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣），可得M，N在直线y＝x﹣上，联立曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3），可得x2＝﹣，无实数解，由y＝+x的导数为y′＝x+1，可得曲线C在x＝﹣1处的切线的斜率为0，可得切线的方程为y＝﹣，即有与直线y＝x﹣的交点E（0，﹣），同样可得曲线C在x＝3处切线的斜率为4，切线的方程为y＝4x﹣，联立直线y＝x﹣，可得交点F（，），此时可设M（0，﹣），N（，），则由图象可得|m﹣n|的最大值为﹣0＝，故答案为：．三、解答题（共70分）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．（1）求cos C；（2）若a cos B+b sin A＝c，，求b．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，所以2ab cos C＝ab sin C，即sin C＝2cos C＞0，sin2C+cos2C＝1，cos C＞0，解可得，cos C＝，（2）∵a cos B+b sin A＝c，由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B），故sin A cos B+sin B sin A＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin A＝cos A，∵A∈（0，π），所以A＝，所以sin B＝sin（A+C）＝sin（）＝＝，由正弦定理可得，b＝＝＝3．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M＝2MC，A1N＝2NA．（1）求证：NC1∥平面BMD；（2）若A1A＝3，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，求二面角N﹣BD﹣M的正弦值．【解答】解：（1）连接BD，AC交于E，取C1M的中点F，连接AF，ME，由C1M＝2MC，A1N＝2NA，故C1F＝AN，以且C1F∥AN，故平行四边形C1F AN，所以C1N∥F A，根据中位线定理，ME∥AF，由ME⊂平面MDB，F A⊄平面MDB，所以F A∥平面MDB，NC1∥F A，故NC1∥平面BMD；（2）AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由DB2＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，由AB2＝AD2+DB2，得AD⊥BD，以D为原点，以DA，DB，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），M（﹣1，，1），N（1，0，1），＝（0，，0），＝（﹣1，，1），＝（1，0，1），设平面MBD的一个法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，0，1），设平面NBD的一个法向量为＝（a，b，c），由，得，由cos＜＞＝，所以二面角N﹣BD﹣M为，正弦值为1．19．已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点P（1，﹣2），直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且．（1）当λ＝3时，求点M的坐标；（2）当＝12时，求直线l的方程．【解答】解：（1）将P（1，﹣2）代入抛物线C：y2＝2px方程，得p＝2，所以C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），设M（x0，y0），当λ＝3时，，可得M（2，2）．（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由．可得（x0+1，y0﹣2）＝（λ，0），所以y0＝2，所以直线l的斜率存在且斜率，设直线l的方程为y＝x+b，联立，消去y，整理得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，△＝（2b﹣4）2﹣4b2＝16﹣16b＞0，可得b＜1，则x1+x2＝4﹣2b，，，所以，解得b＝﹣6，b＝2（舍），所以直线l的方程为y＝x﹣6．方法二：设直线l的方程为x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程组，消去x，整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16m2+16n＞0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，则，则M（2m2+n，2m），由．得（2m2+n+1，2m﹣2）＝（λ，0），所以m＝1，所以直线l的方程为x＝y+n，由△＝16+16n＞0，可得n＞﹣1，由y1y2＝﹣4n，得，所以，解得n＝6或n＝﹣2，（舍去）所以直线l的方程为y＝x﹣6．20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X～B（20，），P（X＝k）＝••，k＝0，1，2， (20)由，得，化简得，解得≤k≤；又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．21.已知函数f（x）＝e x﹣aln（x﹣1）．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f（x）的极值点个数；（2）若函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，证明：+＞a．【解答】解：（1）易知，①若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）无极值点，即此时极值点个数为0；②若a＞0，易知函数y＝e x的图象与的图象有唯一交点M（x0，y0），∴，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有较小值点x0，即此时函数f（x）的极值点个数为1；综上所述，当a≤0时，函数f（x）的极值点个数为0；当a＞0时，函数f（x）的极值点个数为1；（2）证明：∵函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，∴存在为函数f（x）的极值点，由（1）可知，a＞0，且，即，两边取自然对数得1﹣a+e﹣a＞lna，即1+e﹣a﹣lna＞a，要证+＞a，不妨考虑证，又易知e x≥1+x，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴+＞a．22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。

精品解析：2020届⼴东省⼴州市⾼三普通⾼中毕业班综合测试⼀（⼀模）语⽂试题（解析版）2020届⼴州市普通⾼中毕业班综合测试（⼀）语⽂注意事项:1.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、试室号和座位号填写在答题卡上。

2.⽤2B铅笔将考号及试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

作答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤2B铅笔将答题上对应题⽬选项的答案信息点涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使⽤铅笔和涂改液，不按以上要求作答⽆效。

4.考⽣必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡⼀并交回。

⼀、现代⽂阅读（⼀）论述类⽂本阅读阅读下⾯的⽂字，完成下⾯⼩题。

谈及雅与俗的关系，不应把⼆者对⽴起来。

在⽂化欣赏习俗上，存在着雅与俗的认知转换过程。

雅的来源是俗，俗来⾃于社会⽣活的⼀般性经验，在经验升华的基础上，⽂化的习俗不断⾃我总结提升，就成为了愈益成熟并逐步⾛向优雅的⽂化品类，这是⽂化品类形成中的凝聚现象，是由俗⽽雅的过程。

京剧成长经历就验证了这⼀规律，京剧的前⾝只是安徽安庆⼀带⽥野⼭间的⼩腔⼩调，经过不断总结、捶打、磨炼，⼩腔⼩调最终演变为门当齐全、⾓⾊体系完备、唱念做打⼀套⾏当成熟的京剧。

雅虽来源于俗，但在其俗为雅以后，似于也就形成了与俗相互对⽴的关系。

曾经在⽇常⽣活中创造了⽂化的⼈们，⼜在⼀定程度上失了享受雅的资格。

雅俗间有了距离，甚⾄隔膜，形成了“⾼”与“低”的分隔。

⽐如，⼈们在劳动实践中创造了⽂字，并以⽂字记录思想、情感和经验，但随着⽂字的不断丰富和功能提升，它逐渐离开了⽣活的原初出发点，愈益精致艰深，与⼤众间离。

我们关注雅与俗的转换和关系，其实就是要学会运⽤好⼈类⽂化积累的规律。

俗的积累，造就了雅，但最终雅还是要完成回归⼤众，这就是社会⽂化成长的基本路径，也是检验社会发育程度的标准。

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7},{3,4,5},{1,3,6}U M N ===，则集合{2,7}等于（ ） A. M N ⋂ B.()UM NC.()UM N ⋂D. M N ⋃【答案】B 【解析】 【分析】由已知求出N {3},N {1,3,4,5,6}M M ⋂=⋃=，再求其补集，可判断结果． 【详解】解：由已知：N {3},N {1,3,4,5,6}M M ⋂=⋃= ∴()UM N {1,2,4,5,6,7}⋂=，(){2,7}U M N ⋃=故选：B【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题． 2. 某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（ ） A. 42人 B. 84人C. 126 人D. 196人【答案】A 【解析】 【分析】设高中抽取人数为x ，根据条件，建立比例关系进行求解即可． 【详解】解：设高中抽取人数为x 则7040002400x=，得42x = 故选：A【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题.3. 直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】A【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【详解】解：圆方程可整理为22(1)(2)4x y ++-=，则圆心(1,2)-，半径2r ，直线恒过点(0,1)因为(0,1)在圆内，所以直线与圆相交 故选：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题.4. 已知函数ln ,0()0xx x f x e x ⎧=⎨≤⎩＞,，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（ ） A. 4 B. 2C.12D.14【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值． 【详解】解：因为ln ,0()0x x x f x e x ⎧=⎨≤⎩＞,11ln 44f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭；1ln 41144f fe ⎡⎤⎛⎫∴== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：D【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值，属于基础题．5. 已知向量(2,1),(,2)a b x ==-，若2a b a b +=-，则实数x 的值为（ ） A.49B.12C.94D. 2【答案】C 【解析】由向量a 和向量b 的坐标求出向量a b +和向量2a b -的坐标，再利用2a b a b +=-，即可求出x 的值．【详解】解：∵向量(2,1),(,2)a b x ==- ∴(2,1),2(4,4)a b x a b x +=+--=- ∵2a b a b +=-∴2222(2)(1)(4)4x x ++-=-+，解得94x = 故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模长公式，是基础题． 6. 如图所示，给出的是计算111124622++++值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A. i ＞9B. i ＞10C. i ＞11D. i ＞12【答案】C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s 的值，模拟循环过程可得条件．【详解】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：0,2,1s n i ===不满足条件，第1圈：10,4,22s n i =+== 不满足条件，第2圈：11,6,324s n i =+== 不满足条件，第3圈：111,8,4246s n i =++== … 依此类推不满足条件，第10圈：1111,22,1124620s n i =+++⋯+== 不满足条件，第11圈：11111,24,122462022s n i =+++++== 此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：11?i >． 故选：C【点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础题． 7. 设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合三角函数的图象与性质可得12min22Tx x π-==，即可得解. 【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期2412T ππ==，()1f x 、()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值，所以12min22Tx x π-==. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.8. 刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ）A.2πB.32πC.3πD.3π【答案】C 【解析】 【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为3603012︒=︒ 则圆内接正十二边形的面积为：11211sin 3032⨯⨯⨯⨯=︒ 圆的面积为21ππ⨯=，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是3π．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二边形的面积，是基础题． 9. 已知1sin cos ,05αααπ-=<<，则cos2=α（ ） A. 725-B.725C.2425D. 2425-【答案】A 【解析】 【分析】 把1sin cos 5αα-=平方可得2sin cos αα的值，从而求得sin cos αα+的值，再利用二倍角的余弦公式求得22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=--+的值．【详解】解：1sin cos ,05αααπ-=<<，∴平方可得：12412sin cos ,2sin cos 02525αααα-==> α为锐角．7sin cos 5αα∴+==== 22177cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )5525ααααααα∴=-=--+=-⨯=-故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，考查了转化思想，属于中档题.10. 已知点()00,P x y 在曲线32:1C y x x =-+上移动，曲线C 在点P 处的切线的斜率为k ，若1,213k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则0x 的取值范围是（ ）A. 75,37⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 7,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. [7,9]-【答案】B【分析】先求出321y x x =-+的导数，然后求出曲线C 在点()00,P x y 处的切线斜率k ，再根据1,213k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出0x 的取值范围．【详解】解：由321y x x =-+，得232y x x '=-则曲线C 在点()00,P x y 处的切线的斜率为0200'|32x x k y x x ===-20011,21,32,2133k x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即20020032322113x x x x ⎧≤⎪⎨≥---⎪⎩∴0733x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,． 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.11. 已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ）A.54B.43C.53D. 2【答案】C 【解析】 【分析】延长2F A 交1F P 于点Q ，由题意结合平面几何知识可得2F A AQ =，2PF PQ =，进而可得11222OA FQ F P F P a ==-=，结合双曲线的性质即可得223850c ac a -+=，即可得解.【详解】延长2F A 交1F P 于点Q ，PA 平分12F PF ∠，2F A PA ⊥，∴2F A AQ =，2PF PQ =，又12FO OF =，∴11222OA FQ F P F P a ==-=， 122b F F OA =-，∴22b c a =-，又222+=a b c ，∴()22222a c a c +-=，化简得223850c ac a -+=，∴23850e e -+=，解得53e =或1e =（舍去）.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.12. 在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 7π B. 8πC.163πD.283π【答案】D 【解析】 【分析】如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值．【详解】解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数22z =-．则24z z +=_____． 【答案】1i -- 【解析】 【分析】利用复数乘方运算和加法法则即可得出．【详解】解：22221122z i i ⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭()2422()1z zi ∴==-=-241z z i ∴+=--故答案为：1i --【点睛】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．14. 已知函数()f x=(0,)+∞上有最小值4，则实数k ＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由函数在(0,)+∞上有最小值可知，k ＞0，再由基本不等式即可求得k 的值．【详解】解：依题意，0k >，则()f x=≥，当且仅当x k =时，等号成立则4=，解得4k =． 故答案为：4．【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题． 15. 已知直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a ⊥b ；②若α⊥β，则a ⊥b ：③若α⊥β，则a ∥b ：④若a ∥b ，则α⊥β；⑤若a ⊥b 则α∥β，其中正确命题的序号是_____． 【答案】①④． 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于①，由a ⊥平面α，α∥β，得a ⊥β，又直线b ⊂平面β，∴a ⊥b ，故①正确；对于②，由a ⊥平面α，α⊥β，得a ∥β或a ⊂β，而直线b ⊂平面β，∴a 与b 的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a ⊥平面α，α⊥β，得a ∥β或a ⊂β，而直线b ⊂平面β，∴a 与b 的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a ⊥平面α，a ∥b ，得b ⊥平面α，又直线b ⊂平面β，∴α⊥β，故④正确； 对于⑤，由a ⊥平面α，a ⊥b ，得b ∥α或b ⊂α，又直线b ⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．【点睛】本题考查命题的真假判断，空间中直线与平面，直线与直线，平面与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 16. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠BAC ＝∠ADC 2π=，∠ABC 6π=，∠ADB 12=π，则tan ∠ACD ＝_____．33-． 【解析】 【分析】设∠ACD ＝θ，AC ＝1，则AD ＝sinθ，进一步可得12BAD ABD ππθθ∠=-∠=-，，再利用正弦定理可得sin 3sinsin 1212θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【详解】解：不妨设∠ACD ＝θ，AC ＝1，则AD ＝sinθ 在△ABD 中，22BAD ππθπθ∠=+-=-，∠ADB 12=π，则12ABD πθ∠=-在△ABD 中，由正弦定理得sin sin AD ABABD ADB =∠∠，即sin 3sin sin 1212θππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴sinsin 3sin cos cos sin 121212πππθθθ⎫=-⎪⎭ ∴sin3sin 3cos 121212πππθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴2sinsincoscossin 3cos 61261212πππππθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴2cossin cos 412ππθθ=，∴312tan 442cos 4πθπ===．． 【点睛】本题涉及了正弦定理，三角恒等变换等基础知识点，考查化简能力，构造能力以及计算能力，属于较难题目．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17. 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足n n a n S =-，设1n n b a =-． （1）求123,,a a a ；（2）判断数列{}n b 是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列{}n a 的前n 项和S n ． 【答案】（1）123137,,248a a a ===；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3） 112nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）n n a n S =-，可得111a a =-，解得122122a a a ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭，解得23331342a a a ⎛⎫⋅=-++ ⎪⎝⎭，解得3a ；（2）,2n n a n S n =-≥时，111n n a n S --=--，相减可得：()11112n n a a --=-，可得：112n n b b -=．即可得出结论；（3）由（2）可得：12nnb⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1n na b=+，可得n nS n a=-.【详解】解：（1）11,1n na n S a a=-∴=-，解得112a=．22122a a⎛⎫=-+⎪⎝⎭，解得234a=．3331342a a⎛⎫=-++⎪⎝⎭，解得378a=．（2）,2n na n S n=-≥时，111n na n S--=--，相减可得：121n na a-=+，变形为：()11112n na a--=-由1n nb a=-．可得：112n nb b-=．11112b a=-=-∴数列{}n b是等比数列，首项为12-，公比为12．（3）由（2）可得：1111222n nnb-⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则1112nn na b⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭．112nn nS n a n⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的前几项，判断等比数列，以及求数列的和，属于中档题．18. 如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH BD⊥；（2）设点B 到平面AED 的距离为h 1，点E 到平面ABD 的距离为h 2，求12h h 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【解析】【分析】（1）在图1中，证明BD ⊥AC ，ED ∥BC ，则在图2中，有12DH ED HB BC ==，得DH 13BD ==然后证明△BAD ∽△AHD ，可得∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ；（2）由V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，得12ABD AEDh S h S=，分别求出三角形ABD 与三角形AED 的面积得答案．【详解】（1）证明：在图1中，∵△ABC 为等边三角形，且D 为边AC 的中点，∴BD ⊥AC ， 在△BCD 中，BD⊥CD ，BC ＝2，CD ＝1，∴BD = ∵D 、E 分别为边AC 、AB 的中点，∴ED ∥BC ， 在图2中，有12DH ED HB BC ==，∴DH 13BD == 在Rt△BAD 中，BD =AD ＝1， 在△BAD 和△AHD 中，∵DB DADA DH==BDA ＝∠ADH ∴△BAD ∽△AHD ．∴∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ； （2）解：∵V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，∴121133AED ABD S h S h ⋅=⋅，则12ABD AEDh S h S=．∵△AED 是边长为1的等边三角形，∴4AEDS=． 在Rt△ABD 中，BD =AD ＝1，则AB =∴2ABDS=，则1226 3hh．【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，等体积法的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．19. 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：第x天 1 2 3 4 5日产卵数y（个） 6 12 25 49 95对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．51i i x =∑521ii x=∑()51ln ii y =∑()51ln iii x y =⋅∑15 55 15.94 54.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y 关于x 的回归方程为a bxy e +=（其中e 为自然对数的底数），求实数a ，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e 6，e 8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v 1，μ1），（v 2，μ2），…，（v n ，μn ），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i n i i v u nv u v nvβ==∑-⋅=∑-，ˆˆu v αβ=-⋅．【答案】（1）a ≈1.1，b ≈0.7；（2）35【解析】 【分析】 （1）根据y ＝e a +bx，两边取自然对数得lny ＝a +bx ，再利用线性回归方程求出a 、b 的值； （2）根据y ＝e1.1+0.7x，由e 6＜e1.1+0.7x＜e 8求得x 的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（1）因为y ＝e a +bx ，两边取自然对数，得lny ＝a +bx ， 令m ＝x ，n ＝lny ，得n ＝a +bm ； 因为21515.9454.755 6.9355ˆ0.693555310b -⨯⨯===-⨯； 所以0.7b ≈；因为15.94ˆˆ0.73 1.0885an bm =-=-⨯=； 所以a ≈1.1；即a ≈1.1，b ≈0.7； （2）根据（1）得y ＝e1.1+0.7x，由e 6＜e 1.1+0.7x ＜e 8，得7＜x 697＜； 所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期； 从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,10),(9,10)共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A ， 则63()105P A ==； 所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为35． 【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法以及古典概型概率的计算，也考查了运算求解能力，属于中档题．20. 已知⊙M 过点A ，且与⊙N ：22(16x y ++=内切，设⊙M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）设直线l 不经过点(0,1)B 且与曲线C 相交于P ，Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为14-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，直线l 过定点(0,0) 【解析】 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C 的轨迹方程；（2）设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，解得交点P ，同理可得Q 的坐标，考虑P ，Q 的关系，运用对称性可得定点．【详解】解：（1）设⊙M 的半径为R ，因为圆M 过A ，且与圆N 相切 所以||,||4R AM MN R ==-，即4MN MA +=， 由||4NA <，所以M 的轨迹为以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），则2a ＝4，且c ==所以a ＝2，b ＝1，所以曲线C 的方程为24x +y 2＝1；（2）由题意可得直线BP ，BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为y ＝kx +1，联立椭圆方程2244x y +=， 可得()221480kx kx ++=，解得12280,14kx x k==-+ 则222814,1414k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为直线BQ 的斜率为14k-，所以同理可得222814,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为P ，Q 关于原点对称，（或求得直线l 的方程为2418k y x k-=）所以直线l 过定点(0,0)【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题．21. 已知函数()()(0)bxf x x a e b =+≠的最大值为1e，且曲线()y f x =在x ＝0处的切线与直线2y x =-平行（其中e 为自然对数的底数）． （1）求实数a ，b 的值；（2）如果120x x <<，且()()12f x f x =，求证：1233x x +>． 【答案】（1）0,1a b ==-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x ＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为1e列出关于a ，b 的方程组求解；（2）利用()()12f x f x =找到12,x x 的关系式2121x xx x e -=，然后引入21t x x =-，构造关于t的函数，将123x x +转换成关于t 的函数，求最值即可． 【详解】解：（1）由已知()(1)bxf x bx ab e '=++．则易知(0)11,0f ab ab '=+=∴=，又因为0b ≠，故a ＝0． 此时可得()(0),()(1)bxbxf x xe b f x bx e =≠'=+． ①若b ＞0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '<递减； 当1x b>-时，()0,()f x f x '>递增． 此时，函数()f x 有最小值，无最大值． ②若b ＜0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '>递增；当1x b>-时，()0,()f x f x '<递减． 此时1111()max f x f e b b e -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得1b =-． 所以0,1a b ==-即为所求．（2）由120x x <<，且()()12f x f x =得：1212x x x x e e =． ∴2211121x x x x x e x x e e -==．设21(0)t x x t =->，则11te x x t -=可得1211t t t t te x x e e ==--，，所以要证1233x x +>，即证3311tt t t te e e +--＞．∵t ＞0，所以10t e ->，所以即证(3)330tt e t -++>． 设()(3)33(0)tg t t e t t =-++>，则()(2)3tg t t e '=-+． 令()(2)3th t t e =-+，则()(1)th t t e '=-当(0,1)t ∈时，()0,()h t h t '<递减；当(1,)t ∈+∞时，()0,()h t h t '>递增． 所以()(1)30h t h e ≥=->，即()0g t '>，所以()g t 在(0,)+∞上递增． 所以()(0)0g t g >=．1233x x ∴+>．【点睛】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值，以及利用导数研究双变量问题，同时考查学生利用转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想解决问题的能力．属于较难的题目．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为x cos y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)．（1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，x ≤（2）5【解析】 【分析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解.【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C参数方程为 x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，又322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以x ≤所以2C的普通方程为(22133x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220 133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为x ≤3c =时直线与2C 相切， 所以min AB ==. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()36f x x x a =-+-， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【解析】 【分析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解.【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<；当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-+-<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a x x ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，. 【点睛】本题查了绝对值不等式的求解和含绝对值恒成立问题的求解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.。

2020年广东省广州市荔湾区中考语文一模试卷一、单选题（本大题共5小题，共15.0分）1.下列词语中，每对加点字的读音相同的一项是（）A. 粗犷．/心旷．神怡斗．篷/气冲斗．牛B. 着．落/不着．痕迹默契．/锲．而不舍C. 瞭．望/眼花缭．乱拮据．/引经据．典D. 应和．/随声附和．炫．耀/目眩．神迷2.下列选项中字形全对的一项是（）A. 谣言锲而不舍B. 秩序徽不足道C. 繁琐大廷广众D. 烦燥侮人不倦3.依次填入下面句子横线处的词语，最恰当的一项是（）莲是一种深受人们喜爱的水生植物：它有袅娜可爱的茎叶，有娇嫩_____的花，有_____的清香；它的果实（莲子）和茎（藕）都是食物中的佳品。

从遥远的古代，莲在我国各地就被广泛种植，给祖国大地增添了清丽柔和的_____。

A. 雅致感人肺腑色彩B. 精致沁人心脾色彩C. 精致感人肺腑色调D. 雅致沁人心脾色调4.下列句子没有语病的一项是（）A. 脱贫是我国今年全面建成小康社会必须完成的硬任务。

B. 2019年国庆前夕，中国女排辉煌取得了十一连胜的战绩。

C. 科学研究表明：人们在生活中获取的信息，约85%左右是靠视觉得到的。

D. 只要充分保护私权，才能全面保障和维护公民的切身利益。

5.结合语境，将下列句子填入横线处，顺序最恰当的一项是（）历数那些改变世界面貌的伟大发明，大多是先在世博会上登台亮相，此后才风靡全球的。

_____然而科学理论如果不从实验室的象牙塔中转化为面向市场的实用技术，将永远无法变成生产力并造福人类。

①因此世博会很大程度上是发明家和企业家的舞台。

②有个引人注目的现象，电报、电话、电灯、留声机、无线电的发明者都是早期世博会最耀眼的明星。

③至于电究竟为何物，那是法拉第、赫兹、汤姆逊和麦克斯韦们的事。

④但莫尔斯、贝尔、爱迪生、马可尼们所关心的只是如何“让电流干活”。

A. ①②③④B. ②③①④C. ②④③①D. ④②①③二、多选题（本大题共1小题，共2.0分）6.根据课本，下列古诗文默写正确的两项是（）A. 重岩叠障，隐天蔽日，自非亭午夜分，不见曦月。

2020年广州市荔湾区中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）“广州电视课堂”上线以来备受欢迎，截至2020年3月29日，累计约有7183900人次观看，7183900用科学记数法表示为（）A．7.1839×107B．7.1839×106C．71.839×105D．71.839×106 2．（3分）“千年一遇的对称日”2020年2月2日，用数字书写为“20200202”，如图下列说法正确的是（）A．中心对称图形B．既是轴对称图形，又是中心对称图形C．轴对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．a2•a3＝a6C．（ab2）2＝ab4D．5a4b÷ab＝5a34．（3分）如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）5．A．m≤4 B．m＞4 C．m＜4且m≠0 D．m＜46．（3分）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+1的图象上，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定7．（3分）扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（）A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm8．（3分）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，若AD＝1，BD＝AC＝3，则AE的长是（）A．1 B．C．D．29．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5 D．5.510．（3分）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△B n B n﹣1'B n+1的面积为S n＝（）A．（）n B．（）n﹣1C．2n D．2n﹣1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为．13．计算：（π﹣）0+（）2＝．14．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是．15．如图，一个无底的圆锥铁片，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则制作这样一个无底圆锥需要铁片平方米（结果保留π）．16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．先化简再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1．18．如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．19．如图：已知：点A（﹣4，0），B（0，3）分别是x、y轴上的两点．（1）用尺规作图作出△ABO的外接圆⊙P；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求出⊙P向上平移几个单位后与x轴相切．20．“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数直方图和扇形统计图：（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．21．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B 品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2.1元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共8000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于3000元．则最少购进B品牌口罩多少个？22．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）点P在x轴上，如果S△ABP＝3，求点P的坐标．23．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A 作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA＝5，sin∠BAE＝，求AF的长．24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，已知A、B、C是⊙O上的三点，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）求证：⊙O的半径R＝AB；（2）如图2，若点D是∠BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC．①探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由；②若AB＝3，点C'与C关于AD对称，连接C'D，点E是C'D的中点，当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．解：7183900＝7.1839×106．故选：B．2．解：用数字书写为“20200202”，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选：A．3．解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、（ab2）2＝a2b4，故此选项错误；D、5a4b÷ab＝5a3，故此选项正确；故选：D．4．解：如图：正方形的面积为4×4＝16，阴影部分占5份，飞镖落在阴影区域的概率是；故选：C．5．解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣4，c＝m，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m＞0，解得m＜4．故选：D．6．解：当x＝2时，y1＝（x﹣2）2+1＝1；当x＝﹣1时，y2＝（x﹣2）2+1＝10；∵10＞1，∴y1＜y2．故选：A．7．解：∵S扇形＝lr，∴120π＝•10π•r，∴r＝24（cm）；故选：B．8．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴，∵AD＝1，BD＝AC＝3，∴AB＝1+3＝4，∴，∴AE＝，故选：C．9．解：设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝＝4.8，故选：B．10．解：直线l1：y＝x+1与x轴正半轴夹角45°，由题意可知B′0B1∥x轴，B1′B2∥x轴，…，B n′B n+1∥x轴，B′0B2∥y轴，B′1B3∥y轴，…，B′n﹣1B n+1∥y轴，∴△B1B0B2；…；△B n B n﹣1'B n+1都是直角三角形，∴B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，B n+1B′n＝B n B n﹣1′由直线l1：y＝x+1可知，B0（﹣1，0），B1（0，1），∴OB0＝1，∴B1B0′＝，B2B1′＝2，…，B n B n﹣1'＝n，∴△B n B n﹣1'B n+1的面积为S n＝（n）2＝2n﹣1故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞2 ．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解：根据二次根式的意义以及分式的意义可知：x﹣2＞0，所以，x＞2，故答案为：x＞2．12．已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为 5 ．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为已知多边形的内角和为540°，所以可列方程求解．解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．13．计算：（π﹣）0+（）2＝ 3 ．【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．解：原式＝1+2＝3．故答案为：3．14．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是m＜．【分析】考查反比例函数图象的特点，当k＞0时，图象在一三象限，k＜0时，图象在二四象限解答．解：当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，图象位于一、三象限，此时k＞0，所以1﹣2m＞0，解不等式得m＜．故答案为：m＜．15．如图，一个无底的圆锥铁片，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则制作这样一个无底圆锥需要铁片60π平方米（结果保留π）．【分析】本题就是求圆锥铁片的侧面积．由圆锥高为8，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，利用解直角三角形得出BO的长，再由勾股定理求得圆锥的母线长后，利用圆锥的侧面面积公式求出．解：∵AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，∴tanα＝＝＝，∴BO＝6，∴AB＝＝10，根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×6×10＝60π（平方米），故答案为：60π．16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为3．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB 时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∴PE＝AP，∵∠DAF＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝6＝3，∴DF＝3，∵AP+PD＝PE+PD，∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，∴AP+PD的最小值为3．故答案为：3．三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．先化简再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1．【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而把a的值代入得出答案．解：原式＝1﹣÷＝1﹣•＝1﹣＝＝，当a＝﹣1时，原式＝＝．18．如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．【分析】证出FE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出FE＝AB，FE∥AB，得出∠EFC＝∠BAC＝90°，得出∠DAF＝∠EFC，AD＝FE，证明△ADF≌△FEC得出DF＝EC，即可得出结论．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝90°，∵点E，F分别是边BC，AC的中点，∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，∴FE＝AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠EFC，∵AD＝AB，∴AD＝FE，在△ADF和△FEC中，，∴△ADF≌△FEC（SAS），∴DF＝EC，∴DF＝BE．19．如图：已知：点A（﹣4，0），B（0，3）分别是x、y轴上的两点．（1）用尺规作图作出△ABO的外接圆⊙P；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求出⊙P向上平移几个单位后与x轴相切．【分析】（1）用尺规作图作出OA和OB的垂直平分线，即可作出△ABO的外接圆⊙P；（2）根据A（﹣4，0），B（0，3）可以求出圆P的半径进而可求出⊙P向上平移1个单位后与x轴相切．解：（1）如图，即为△ABO的外接圆⊙P；（2）∵点A（﹣4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∴⊙P的半径为2.5，即PD＝2.5，∵PC是AB的中点，C是OA的中点，∴PC＝OB＝1.5，∴CD＝PD﹣PC＝1．所以⊙P向上平移1个单位后与x轴相切．20．“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数直方图和扇形统计图：（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、C、D组人数求出E的人数即可补全图形；（2）用360°乘以E组人数所占比例即可得；（3）画树状图得出所有等可能结果数，再根据概率公式求解可得．解：（1）本次比赛参赛选手总人数为9÷25%＝36（人），则E组人数为36﹣（4+7+11+9）＝5（人），补全直方图如下：（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×＝50°．（3）由题意知E组中男生有3人，女生有2人，画图如下：共有20种等可能结果，其中恰好选中两名女生的有2种，所以恰好选中两名女生的概率为＝．21．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B 品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2.1元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共8000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于3000元．则最少购进B品牌口罩多少个？【分析】（1）求A、B两种品牌的口罩进价分别为多少元，可设A种品牌的口罩每个进价为x元，根据题意列出方程解方程．（2）先设B种品牌口罩购进m件，根据全部出售后所获利润不低于3000元列出不等式求解即可．解：（1）设A种品牌的口罩每个的进价为x元，根据题意得：，解得x＝1.8，经检验x＝1.8是原方程的解，x+1.8＝2.5（元），答：A种品牌的口罩每个的进价为1.8元，B种品牌的口罩每个的进价为2.5元．（2）设购进B种品牌的口罩m个，根据题意得，（2.1﹣1.8）（8000﹣m）+（3﹣2.5）m≥3000，解得m≥3000，∵m为整数，∴m的最小值为3000．答：最少购进种品牌的口罩3000个．22．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）点P在x轴上，如果S△ABP＝3，求点P的坐标．【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ABP＝3，即可得出|x﹣|＝2，解之即可得出结论．解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）经过点A（﹣，2），∴m＝﹣1．∴双曲线的表达式为y＝﹣．∵点B（n，﹣1）在双曲线y＝﹣上，∴点B的坐标为（1，﹣1）．∵直线y＝kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），∴，解得，∴直线的表达式为y＝﹣2x+1；（2）当y＝﹣2x+1＝0时，x＝，∴点C（，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ABP＝3，A（﹣，2），B（1，﹣1），∴×3|x﹣|＝3，即|x﹣|＝2，解得：x1＝﹣，x2＝．∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．23．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A 作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA＝5，sin∠BAE＝，求AF的长．【分析】（1）连接OE，证明△AOC≌△EOC（SAS），得出∠CAO＝∠CEO，∠CAO＝90°，则∠CEO＝90°，结论得证；（2）过点D作DH⊥AB于点H，求出OD，DH，证明△BDH∽△BFA，由比例线段可求出AF 的长．解：（1）证明：连接OE，∵OA＝OE，OD⊥AE，∴∠AOD＝∠EOD，∵OC＝OC，∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO＝∠CEO，∵CA为⊙O的切线，∴∠CAO＝90°，∴∠CEO＝90°，即OE⊥CE，∴CE与⊙O相切；（2）过点D作DH⊥AB于点H，∵OA＝5，sin∠BAE＝，∴在Rt△ADO中，sin∠DAO＝，∴OD＝∴AD＝＝2，∵S△ADO＝×OD×AD＝OA×OH，∴DH＝＝2，∴OH＝＝1，∴BH＝5+1＝6，∵DH⊥AB，AF⊥AB，∴DH∥AF，∴△BDH∽△BFA，∴，∴，∴AF＝．24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH＝OC＝3，即可求得OD的长；（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF＝∠EDF，由于tan∠ECF ＝＝＝，即可求得tan∠FDE＝；②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED＝45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°，求得直线CE的解析式为y＝﹣x+3，即可设出直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，直线DG2的解析式为y＝2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F的纵坐标为3，把y＝3代入y＝﹣x2+x+3得，3＝﹣x2+x+3；解得x＝0或x＝4，∴F（4，3）∴OH＝4，∵∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠EDH＝90°，∴∠OCD＝∠EDH，在△OCD和△HDE中，，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH＝OC＝3，∴OD＝4﹣3＝1；（3）①如图3，连接CE，DF，△OCD≌△HDE，∴HE＝OD＝1，∵BF＝OC＝3，∴EF＝3﹣1＝2，∵∠CDE＝∠CFE＝90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF＝∠EDF，在RT△CEF中，∵CF＝OH＝4，∴tan∠ECF＝＝＝，∴tan∠FDE＝；②如图4，连接CE，∵CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CED＝45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°∵EH＝1，OH＝4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝﹣x+3，设直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，∵D（1，0），∴0＝﹣×1+m，解得m＝，∴直线DG1的解析式为y＝﹣x+，当x＝4时，y＝﹣+＝﹣，∴G1（4，﹣）；设直线DG2的解析式为y＝2x+n，∵D（1，0），∴0＝2×1+n，解得n＝﹣2，∴直线DG2的解析式为y＝2x﹣2，当x＝4时，y＝2×4﹣2＝6，∴G2（4，6）；综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°，点G的坐标为（4，﹣）或（4，6）．25．证明：（1）如图1，连接OA，OB，OC，∵AB＝AC，OB＝OA，OA＝OC，∴△OAB≌△OCA（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，又∵∠BAC＝120°，∴∠OAB＝60°＝∠OAC，∴△ABO是等边三角形，∴⊙O的半径R＝AB；（2）CD+BD＝AD，理由如下：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACH，过点A作AN⊥CH于N，∴BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120°，∠ABD＝∠ACH，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴点D，点C，点H三点共线，∵AD＝AH，∠DAH＝120°，AN⊥CH，∴∠AHD＝∠ADH＝30°，HN＝DN＝DH，∴AD＝2AN，DN＝AN，∴HD＝2AN＝AD，∴CD+CH＝CD+BD＝AD；（3）如图3，连接BC，过点A作AM⊥BC于M，连接CC'，CE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AM⊥BC，AB＝3，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴AM＝，BM＝AM＝，∵∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ADC＝∠ABC＝30°，∴∠ADB＝∠ADC，∴点C关于AD对称点C'在BD上，∴CD＝C'D，又∵∠CDC'＝60°，∴△CDC'是等边三角形，∵点E是C'D的中点，∴CE⊥BD，∴点E在以BC为直径的圆上，当点B与点D重合时，∵E'M＝BM＝CM，∴∠BME'＝60°，当点D与点C重合时，点E也与点C重合，∴点E的运动路径长＝＝2π．。

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择題（共12小题）1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．π2B．πC．2πD．4π6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B﹣APQC的体积是（）A．16V B．29V C．13V D．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．478．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B 两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A．8B．6C．5D．49．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5＝4，若S n≥4a n+8（n∈N*），则n的最小值为（）A．8B．9C．10D．1110．已知点P（x0，y0）是曲线C：y＝x3﹣x2+1上的点，曲线C在点P处的切线与y＝8x﹣11平行，则（）A．x0＝2B．x0=−43C．x0＝2或x0=−43D．x0＝﹣2或x0=4311．已知O为坐标原点，设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．54B．43C．53D．212．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（ ） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．14．在（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ ．15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为 ．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a 1m ＞0，则1a 1+9m的最小值为 ．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3．（1）求角C 的大小；（2）求b +2a 的最大值．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表； 平均每月进行训练的天数xx ≤5 5＜x ＜20x ≥20 人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E （Y ）．19．如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，将△AED 沿ED 折起，使得AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（x ﹣4）e x ﹣3+x 2﹣6x ，g （x ）＝（a −13）x ﹣1﹣lnx ． （1）求函数f （x ）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max {m ，n }表示m ，n 中的最大值，f ′（x ）为f （x ）的导函数，设函数h （x ）＝max {f ′（x ），g （x ）}，若h （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：1n+1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln 3（n ∈N*）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R【分析】求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．解：∵集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1，x∈R}＝M，M∪N＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}＝N．故选：A．2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i【分析】先求复数z，再求z3即可解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选：D．3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【分析】整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=|−k−1|√1+k≤2，解不等式即可解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，则圆心到直线的距离d=|−k−1|√1+k≤2，整理得3k2﹣2k+3≥0，因为△＝4﹣36＜0，故不等式恒成立，所以k∈（﹣∞，+∞），故选：D．4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解出不等式p，即可判断出关系．解：p：|x+1|＞2，解得：x＞1，或x＜﹣3．q：2＜x＜3，则q⇒p，但是p无法推出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．5．设函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．π2B．πC．2πD．4π【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．解：函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，T 2=12×2π12=2π；故选：C．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B﹣APQC的体积是（）A．16V B．29V C．13V D．79V【分析】由题意画出图形，过P作PG∥AB交BB1于G，连接GQ，由等体积法可得V B﹣APQC=2 3V ABC−PQG，再由已知得到V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，即可得出．解：如图，过P作PG∥AB交BB1于G，连接GQ，在三棱柱ABC﹣PQG中，由等积法可得V B﹣APQC=23V ABC−PQG，∵AP=13AA1，CQ=13CC1，∴V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，∴V B−APQG=23V ABC−PQG=23×13V ABC−A1B1C1=29V．故选：B．7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．47【分析】基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P =m n=108252=37． 故选：C ．8．已知直线l ：y ＝x ﹣2与x 轴的交点为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB 中点到抛物线准线的距离为（ ） A ．8B ．6C ．5D ．4【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB 的中点的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C ：y 2＝2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y ＝x ﹣2，经过抛物线的焦点坐标，可得P ＝4，抛物线方程为：y 2＝8x由题意可得：{y 2=8xy =x −2，可得x 2﹣12x +4＝0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2＝8． 故选：A ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，若S n ≥4a n +8（n ∈N *），则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，可得：13+d +13+4d ＝4，解得d =23，所以S n =n 3+n(n −1)×13=n23，a n =13+(n −1)×23=2n−13， S n ≥4a n +8（n ∈N *），可得：n 23≥8n−43+8，可得：n 2﹣8n ﹣20≥0，解得n ≥10或n ≤﹣2（舍去）， 所以n 的最小值为10． 故选：C ．10．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（ ）A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=43【分析】先求出y ＝x 3﹣x 2+1的导数，得到曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线斜率k ，然后根据曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行得到关于x 0的方程，解方程得到x 0的值，再检验得到符合条件的x 0．解：由y ＝x 3﹣x 2+1，得y '＝3x 2﹣2x ，则曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率为k =y′|x=x 0=3x 02−2x 0， ∵曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，∴3x02−2x0=8，∴x0＝2或x=−43，∵当x0＝2时，切线和y＝8x﹣11重合，∴x=−4 3．故选：B．11．已知O为坐标原点，设双曲线C：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．54B．43C．53D．2【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a 再由a，b，c的关系求出离心率．解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e=53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e=5 3，故选：C．12．已知函数f(x)={−x2−x+1，x＜0x2−x+1，x≥0，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．4039【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1={−x2−x，x＜0x2−x，x≥0与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个交点，∵T=2πω=2π2020π=11010且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1又∵g（x）＝f（x）﹣1={−x2−x，x＜0x2−x，x≥0∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（12）=12，g（x）min＝g（−12）=−12且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T=11010∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）=40402×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为√3π3，表面积为3π．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3．再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V=13×π×12×√3=√3π3；表面积S=π×12+12×2π×1×2=3π．故答案为：√3π3；3π．14．在（ax+1x）（x2﹣1）5的展开式中，x3的系数为15，则实数a＝5．【分析】先求得（x2﹣1）5的展开式的通项公式，再列出含x3的系数的关于a的方程，最后求出a．解：∵（x2﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r（x2）5﹣r•（﹣1）r＝（﹣1）r•C5rx10﹣2r，r＝0，1， (5)∴（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中含x 3的系数为a ×（﹣1）4×C 54+C53•（﹣1）3＝5a ﹣10．又∵5a ﹣10＝15，∴a ＝5． 故答案为：5．15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为 ﹣10 ．【分析】根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可．解：单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，即|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→•e 2→=1×1×cos π3=12；又向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，所以（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+k e 2→）＝|e 1→+2e 2→|×|2e 1→+k e 2→|cos5π6，即2×12+（4+k ）×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×（−√32）； 8+5k =−√21•√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)， 解得k ＝﹣10，所以实数k 的值为﹣10．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a 1m ＞0，则1a 1+9m的最小值为 16 ．【分析】通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019＝﹣1009，即可求出结论．解：由已知，a 2+a 3＝﹣2；a 4+a 5＝4； a 6+a 7＝﹣6； ⋮a 2018+a 2019＝﹣2018；将上述等式左右分别相加，得S 2019﹣a 1＝﹣2018+1008＝﹣1010； 将S 2019＝a 1﹣1010代入等式m +S 2019＝﹣1009，得m +a 1＝1；∵a 1m ＞0，故都为正数； ∴1a 1+9m=（1a 1+9m ）（m +a 1）＝10+m a 1+9a 1m ≥10+2√ma 1⋅9a1m =16；当且仅当m ＝3a 1 即m =34，a 1=14时等号成立； 故答案为：16．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3．（1）求角C 的大小；（2）求b+2a的最大值．【分析】（1）根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC=12，由此即可求得C；（2）易知b=2sinB=2sin(A+π3)，再由三角恒等变换可得b+2a=2√7sin(A+Φ)，结合A∈(0，2π3)，可知sin（A+ϕ）max＝1，由此求得b+2a的最大值．解：（1）由题意及正弦定理可得：abca+b−c=√3由余弦定理得：a2+b2﹣c2＝2ab•cos C，所以cosC=a2+b 2−c22ab=12，又C为△ABC内角，∴C=π3；（2）由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，又因为A+B+C＝π，所以b=2sinB=2sin(A+π3 )，所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+√3cosA+4sinA=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+ϕ)，且tanϕ=√35，又因为A∈(0，2π3 )，所以sin（A+ϕ）max＝1，所以b+2a≤2√7，即b+2a的最大值为2√7．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E（Y）．【分析】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．求出P(x≥20)=25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可．（2）由题意得：x＜20的人：12×34=9；x≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～H（3，3，12），求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．由表可知P(x≥20)=25100，所以P(A)=C42(14)2(1−14)2=27128．（2）由题意得：x＜20的人：12×34=9；x≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～H（3，3，12）P(Y=0)=C93C123=84220，P(Y=1)=C92C31C123=108220，P(Y=2)=C91C32C123=27220，P(Y=3)=C33C123=1220，所以Y的分布列为：Y0123P84220108220272201220Y的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34．19．如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE 交于点H．（1）求证：AH⊥平面BCDE；（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【分析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥BD，即可证明CD⊥平面ABD．推出CD⊥AH，同理AH ⊥BE，即可证明AH⊥平面BCDE．（2）过D作Dz⊥平面BCDE，DB为x轴，DC为y轴，Dz为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED的法向量，平面AEB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AE﹣D的余弦值即可．【解答】（1）证明：由题意，AD＝CD＝1，BD=CE=√3，又因为AB⊥AD，所以AB=√BD2−AD2=√3−1=√2=AC，所以AC2＝AD2+CD2，即AD⊥CD又因为CD⊥BD，且BD∩AD＝D，所以CD⊥平面ABD．所以CD⊥AH，同理AH⊥BE，CD与BE是相交直线，所以AH⊥平面BCDE．（2）解：如图，过D作Dz⊥平面BCDE，DB为x轴，DC为y轴，Dz为z轴，建立空间直角坐标系所以D（0，0，0），B(√3，0，0)，E(√32，−12，0)，设点A（a，0，b）由AD=1，AB=√2得{a2+b2=1(a−√3)2+b2=2，解得：a=√33，b=√63，所以A(√33，0，√63)，所以AE→=(√36，−12，−√63)，AB→=(2√33，0，−√63)，DA→=(√33，0，√63)，设平面AED的法向量为n1→=(x1，y1，z1)，所以{AE→⋅n1→=0DA→⋅n1→=0⟹{x1=√3y1+2√2z1x1+√2z1=0，取z1＝﹣1，得n1→=(√2，√6，−1)，同理可得平面AEB的法向量n2→=(1，−√3，√2)，所以cos ＜n 1→，n 2→≥n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=−√33， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值为−√33．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2＞b 2﹣1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．解：（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD |+|MN |＝|ND |＝4，在⊙M 中，|MD |＝|MA |所以|MA |+|MN |＝4， 所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），所以{k PB ⋅k QB =y 0x 0−2⋅−yx 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√33或{x 0=2y 0=0(舍)， 所以l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得（1+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣4＝0， △＝（8kb ）2﹣4（1+4k 2）（4b 2﹣4）＝64k 2﹣16b 2+16＞0， 所以4k 2＞b 2﹣1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb 1+4k2；x 1x 2=4b 2−41+4k2，k PB ⋅k QB =y1x 1−2⋅y2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x1x2+kb(x1+x2)+b2x1x2−2(x1+x2)+4=k24b2−41+4k2−8k2b21+4k2+b24b2−41+4k2−2−8kb1+4k2+4=b 2−4k2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k+b≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b=−23k，所以b2−1=(−23k)2−1＜4k2，所以b=−23k成立，所以y=kx−23k=k(x−23)，当x=23时，y＝0，所以l过(23，0)综上所述l过定点，且点坐标为(23，0)21．已知函数f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，g（x）＝（a−13）x﹣1﹣lnx．（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f′（x）为f（x）的导函数，设函数h（x）＝max{f′（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3（n∈一、选择题*）．【分析】（1）求出导函数，通过f′（x）＝0得x＝3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．（2）通过h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．（3）设m（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），利用函数的导数推出e x＞x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．解：（1）因为f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，所以f′（x）＝（x﹣3）e x﹣3+2x﹣6＝（x﹣3）（e x﹣3+2），令f′（x）＝0得x＝3当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增当0＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）单调递增区间为（3，+∞）；f（x）单调递减区间为（0，3）．（2）由（1）知f′（x）＝（x﹣3）（e x﹣3+2），当x≥3时f’（x）≥0恒成立，故h（x）≥0恒成立当x＜3时，f’（x）＜0，又因为h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，所以g（x）≥0在（0，3）上恒成立所以(a−13)x−1−lnx≥0，即a−13≥1+lnxx在（0，3）上恒成立令F(x)=1+lnxx，则a−13≥F(x)max，F’(x)=1−(lnx+1)x2=−lnxx2，令F’（x）＝0得x＝1，易得F（x）在（0，1）上单增，在[1，3）上单减，所以F（x）max ＝F（1）＝1，所以a−13≥1，即a≥43综上可得a≥43，（3）设m（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则m′（x）＝e x﹣1＞0，所以m（x）在（0，+∞）上单增，所以m（x）＞m（0）＝0，即e x＞x+1所以e1n+1n+1+1n+1+⋯+13n=e 1n⋅e1n+1⋅e 1n+2⋯e 13n＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n 3n−1⋅3n+13n＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t （t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．解：（1）由题可得：C 1的普通方程为2x ﹣y ﹣5＝0又因为C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ，两边平方可得{x 2=3cos 2θy 2=3sin 2θ2，所以C 2的普通方程为x 23−y 23=1，且x ≤−√3．（2）由题意，设C 1的平行直线2x ﹣y +c ＝0联立{2x −y +c =0x 23−y 23=1消元可得：3x 2+4cx +c 2+3＝0所以△＝4c 2﹣36＝0， 解得c ＝±3又因为x ≤−√3， 经检验可知c ＝3时与C 2相切，所以|AB|min =√2+(−1)=8√55． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f （x ）＜3的解集即可；（2）f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立，等价于|x +a |＜5﹣x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．解：（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|={−4x +5，x ＜−1−2x +7，−1≤x ≤24x −5，x ＞2；当x ＜﹣1时，由f （x ）＜3得﹣4x +5＜3，解得x ＞12（不合题意，舍去）；当﹣1≤x ≤2时，由f （x ）＜3得﹣2x +7＜3，解得x ＞2（不合题意，舍去）； 当x ＞2时，由f （x ）＜3得4x ﹣5＜3，解得x ＜2（不合题意，舍去）； 所以不等式f （x ）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意x∈[−4，−32]成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以{|x+a|＜5−x 5−x＞0，所以{x−5＜x+ax+a＜5−x，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意x∈[−4，−32]成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。