一个不等式链的应用

高中4个基本不等式链在高中数学学习中，基本不等式链是重要的概念之一。

它们是一系列基本不等式的组合，可以帮助我们解决各种数学问题。

本文将介绍高中阶段常见的4个基本不等式链，并探讨其应用。

1. 一次不等式链一次不等式链是最基本的不等式链形式。

它由一次不等式构成，即形如ax+b>0的不等式，其中a和b为实数，且a不等于零。

该类不等式链在解决实数范围内的一元一次不等式问题时非常有用。

例如，对于不等式3x + 4 > 0，可以通过求解一次不等式链来确定不等式的解集。

2. 二次不等式链二次不等式链由二次不等式构成，即形如ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b和c为实数，且a不等于零。

二次不等式链常用于解决实数范围内的一元二次不等式问题。

通过分析二次函数的图像并结合一次不等式的解法，可以确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 -4 < 0，可以通过解二次不等式链来求解。

3. 绝对值不等式链绝对值不等式链由绝对值不等式构成，即形如|ax + b| > c的不等式，其中a、b和c为实数，且a不等于零。

绝对值不等式链常用于解决实数范围内的一元绝对值不等式问题。

通过分析绝对值函数的性质及符号的变化情况，可以确定不等式的解集。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，可以通过解绝对值不等式链来求解。

4. 分式不等式链分式不等式链由分式不等式构成，即形如f(x) > 0或f(x) < 0的不等式，其中f(x)为一个分式函数。

分式不等式链常用于解决实数范围内的分式不等式问题。

通过分析分式函数的性质及分母和分子的正负情况，可以确定不等式的解集。

例如，对于不等式(x - 2)/(x + 1) > 0，可以通过解分式不等式链来求解。

综上所述，高中阶段的数学学习中，我们经常遇到不等式问题。

掌握基本不等式链的概念和应用方法，可以帮助我们解决各种不等式问题。

一次不等式链、二次不等式链、绝对值不等式链和分式不等式链是常见的不等式链形式，通过对不等式的拆解和分析，我们能够准确求解不等式的解集。

高中数学：一个不等式链的应用
已知a，b为正数，求证：，当且仅当a＝b时等号成立。

此不等式链含有6个不等式：
①
②
③
④
⑤
⑥
这些不等式就是同学们熟悉的均值不等式及其变化，但在解题中常常被忽视，若能灵活运用，则会给解题带来很多方便，现举例说明。

例1、某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价
q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价，第二次再提价，其中。

则经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？
解析：设该商品原价为a，两次提价后的价格按甲、乙、丙三种方案的次序依次为，则：
∵，由不等式②得：
∴
故丙方案提价的幅度最大。

例2、已知a，b，c均为正数，求证：。

证明：由不等式③，得：
，。

上述不等式相加得，。

例3、甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。

如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）
A. 甲先到教室
B. 乙先到教室
C. 两人同时到教室
D. 不确定
解析：设从寝室到教室的路程是s，甲（乙）跑步和步行的速度分别为a，b，
甲、乙两人所用时间分别为，则：
，
由不等式④，得（a≠b），所以，故选B。

例4、求证：在直径为d的圆内接矩形中，面积最大的是正
方形，这个正方形的面积等于。

证明：设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则
由不等式⑥，得。

当且仅当时等号成立，故。

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▍。

一个经典的函数不等式链在高考大题中的应用武汉大学 兰老师导数是研究函数图像和性质的重要工具，是历年高考的热点。

尤其是利用导数证明不等式是高考考查的重点和学生解答的难点。

因此，对高考中的一些典型模型进行深入研究显得尤为重要。

函数ln(1)y x =+是高中教材中的重要模型，同时也是历年高考考查的核心内容。

本文介绍以ln(1)y x =+为主体的不等式链及其在高考中的应用。

1 函数不等式链及证明下面简单介绍下此函数不等式链并对其进行证明。

引 理 当0x ≥时，()211ln 1(1)1221x x x x x x x x ≤≤+≤+−≤+++. 证 明：（1）11(1)21x x x +−≤+； 令11()(1)21F x x x x =−+−+，则211'()22(1)F x x =++，当0x ≥时，'()0F x >， 故()F x 在[)0,+∞上单调递增，又因为()(0)0F x F ≥=，所以在[)0,+∞上()0F x ≥恒成立。

故0x ≥时，11(1)21x x x +−≤+恒成立。

（2）()11ln 1(1)21x x x +≤+−+; 令11()(1)ln(1)21G x x x x =+−−++，则22'()2(1)x G x x =+。

当0x ≥时，'()0G x ≥,故()G x 在[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0G x G ≥=,则在[)0,+∞上()0G x >恒成立，故0x ≥时，()11ln 1(1)21x x x +≤+−+恒成立。

（3）()2ln 12xx x ≤++； 令()2()ln 12x W x x x =+−+，则22'()(1)(2)x W x x x =++。

当0x ≥时，'()0W x ≥恒成立，故()W x 在[)0,+∞上单调递增，又因为()(0)0W x W ≥=,所以在[)0,+∞上()0W x ≥恒成立。

以下是四个常见的均值不等式链公式：
1. 算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其算术均值（所有数之和除以个数）不小于其几何均值（所有数的乘积开n 次方，n为数的个数）。

例如：对于非负实数a和b，有(a + b) / 2 ≥√(ab)。

2. 算术均值-平方均值不等式（AM-QM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其算术均值不小于其平方均值（所有数的平方和除以个数再开根号）。

例如：对于非负实数a和b，有(a + b) / 2 ≥√[(a^2 + b^2) / 2]。

3. 平方均值-几何均值不等式（QM-GM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其平方均值不小于其几何均值。

例如：对于非负实数a和b，有√[(a^2 + b^2) / 2] ≥√(ab)。

4. 算术均值-谐均值不等式（AM-HM不等式）：
对于正实数集合中的任意一组数，其算术均值不小于其谐均值（倒数的算术均值的倒数）。

例如：对于正实数a和b，有(a + b) / 2 ≥2 / (1/a + 1/b)。

这些均值不等式链公式在数学推导和证明中经常被使用，并且在解决各种问题时具有广泛的应用。

一个不等式链推广的统一巧证等式链推广是一种有效的数学表达方式，它可以帮助学生从基本的数学不等式推广更抽象的概念。

例如，如果学生知道一个不等式，例如x<2，他们可以使用等式链推广来推广出更复杂的不等式，例如x<6，x<8，等等。

使用等式链推广可以帮助学生更好地理解数学概念，培养他们的逻辑思维能力，并提高他们的数学技能。

等式链推广的统一证明是一种通用的策略，可以用来证明一连串的不等式。

基本上，它是从一个初始不等式出发，然后逐步推广出一系列不等式，使得等式链成为一个整体。

这需要学生有效地使用逻辑推理，记住前面已经推广出来的不等式，并加以利用。

例如，学生可以从一个初始不等式x<2出发，然后用逻辑推理推广出x<3，x<4，x<5等不等式。

其实，学生可以更进一步，比如将x<2推广到x<4，x<6，x<8等不等式，这就需要学生发挥他们的创造性和灵活性，把一个不等式推广到一系列不等式。

此外，学生还可以在等式链推广的统一证明中使用反证法，以证明一系列不等式的有效性。

反证法是指，首先假设一个不同的结论，然后证明这个结论错误，这就是证明原结论正确的一种方法。

例如，如果学生想要证明x<2，x<4，x<6，x<8等一系列不等式，他们可以首先假设x<2错误，然后证明x<2错误的推论，从而证明一系列不等式的有效性。

总之，等式链推广的统一证明是一种有效的数学表达方式，可以帮助学生从一个初始不等式推广更抽象的概念，培养他们的逻辑思维能力，并提高他们的数学技能。

此外，学生还可以利用反证法来证明一系列不等式的有效性，这需要他们发挥创造性和灵活性。

总而言之，学生可以通过等式链推广的统一证明来推广更复杂的数学概念，并有效地提高他们的数学技能。

关键词：基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式授之以鱼，不如授之以渔。

1均值不等式链基本不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。

注：算术平均数---2b a +；几何平均数---ab ；调和平均数---b a ab ba +=+2112；平方平均数---222b a +。

证明1：（代数法）（1）ab ba ab b a b a b a ≥+⇒≥+⇒≥-⇒>>220)(002，； （2）ab abb a ab ab b a ab b a ≤+⇒≤+⇒>≥+21202ab ba ≤+⇒112； （3）224)(22)(2222222222222ba b a b a b a b a ab b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒++≥+⇒≥+； 综上，2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。

证明2：（几何法）如图，b a AB b BC a AC +===，，，以AB 为直径作圆O ，则 图1：ab DC b a OD =+=，2，⇒≤OD DC 2ba ab +≤； 图2：b a ab OD DC DE ab DC +===22，，⇒≤DC DE ab ba ab≤+2； 图3：2222b a GC b a OC +=-=，，⇒≤GC OG 2222b a b a +≤+； 综上，2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。

AGB界首一中 2011-01问题是思考的结果，是创造的开始。

2证明3：（几何法）作梯形ABCD ，使CD BC AD B BC AD =+︒=∠，，90//，令)(a b b BC a AD >==，，，F E 、分别是CD AB 、的中点，过E 作CD EG ⊥于G ，过G 作AB GH ⊥于H ，在EB 上截取2ab EN -=，则F E 、分别是CD AB 、的中点，2ab EF +=⇒， ED 平分ADC ∠ab AB EA EG ===⇒21， b a DG BC CG AD GH b a GC DG BC GC DA DG +⋅+⋅=⇒=⇒==，，即b a abGH +=2， 2a b EN -=222b a NF +=⇒， 显然，FN EF EG GH <<<，∴22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ 当“b a =”时，22222b a b a ab b a ab +=+==+。

对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a bab a b+->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln ,badx b a b a x a b=->-+ò① 又1ln ln abAUTPaS dx ab a x==-ò曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， ()11111222AUTP ABCDb aS ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形，根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b ab a ab--<， ② 另外，ABQXABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b aab 骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+， 即()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . 例2 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+ 2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L ()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.2()2202ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用例3 设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．2.3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例4 设数列{}n a 的通项111123na n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b ab a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+． 2.4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 5 （2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ， ()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123na n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意； 综上，λ的最小值是12．（2)当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ ()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n骣÷ç--<+÷ç÷ç桫- 将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5()0ln ln b aab b a b a->>>-的应用例7 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌- 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。

2020年7月1日理科考试研究•数学版.15 .一个有赵的不等式裢及其启用张彩霞(高台县第一中学甘肃张掖734300)摘要：本文探析了一个不等式链的形成及应用，并以微观映射宏观.在教学活动中，教师要善于立足基础，从教材出发归纳知识、整合知识和应用知识，丰富和发展学生的认知结构，提升数学解题思维和自信，这也有助于学生学科素 养的训练和达成.关键词：不等式链；形成；变形；应用波利亚说:“好问题同某种蘑菇有些相似,它们都 是成对地生长,找到一个以后，你应当在周围找找，很 可能在附近就有几个.”本文对复习过程中遇到的一 个不等式链的形成做一些总结,并对它的应用及变形 应用也做了分析，旨在诱发新的解题思路，使一些不 等式的证明思路更自然、更有趣.1不等式链的形成l.i英1时，7^"-备矣冬（a ； - ~L )矣％ -1，当且仅当■Jx 2 x文=1时“=”成立证明先证^■(* -丄）矣* - 1.2 x(x - \ )2 ^0<^>x 2 -2x ^ - 1 <=>2x 2 -2x ^x 2 - l <=>2x(x - l ) ^x 2 -1.两边同除以2尤,得+(尤-丄•）- 1，当且仅当尤1 x 1时“=”成立.再证在-去$+(^2x因为d ，所以;c -130.且有:t + 1 彡+ 1)(无 一 1)彡2(尤 一 1 )▲<=>-\ ^2(x - \ ) J x .两边同除以»当且仅当尤=1时成立1.2 I n i $尤一1，当且仅当x = l 时“=”成立曲线:K = ln A ：U >0)在点（1，0)处的切线方程是y =%-1，由曲线与切线的相对位置关系，得出这个不 等式，这样便于记忆和应用.（证明过程略）1.3 %彡1时，lm :当且仅当无=1，时“=”成立证明令等价于证Ir U 2幻21n ^ ^^ — —<^21ni — t ■¥ — ^0.t t构造函数，令 A (t ) =21nt -<++，则 Y (t ) = + -1 -+=-(丄-1)2«0.t t所以A (0在h [1，+〇〇 )时是减函数.所以 /i (尤）$/z (1) = 0<=>21n f - f$ 0<=>21n f $ f-—<=>lnr.tt所以:r 彡丨时，ln .r 彡v ^-^r 是成立的.由此暂得结论，x 彡1时，丄）心-1，当且仅当a : = 1时“=”成立.x作者简介：张彩霞（1969 -)，女，甘肃高台人，本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教学.• 16 •理科考试研究•数学版2020年7月1日1. 4 1 一 —<1似<尤 一 1),当且仅当 A ：二 1 时x“=”成立证明因为lrw 矣*-1，将;t 的位置赋值为1，得 In — ^ — — 1 <=> — \nx ^ — — 1 <=>ln % ^ 1 ——X X X Xx -i -i , 、1、—彡---7(x ^\ ).X X + 1在1 - —S l n x 两边同乘以:c U 多1 )得 a : - 1至此得到结论链时，x — [-\ ^2(x -\)T ^^\X + 1XX + 1^：\nx^：/x - ——)彡尤一1 $尤1似，当且仅当 a :y * 2 ^=i 时“=”成立.2不等式(上-/丨矣1似矣在-X + IXx1J x备(％ -丄）彡x - 1 〇ln .x ( %彡1 )的应用2x给*赋值为1 +n + 1,得出一个数列不等式由此又得结论时，^|矣^"=丨-丄《X + 1 X X■(尤-丄）彡x - 1彡：dm :，当且仅当x =在2 %1时“=”成立.1.成立丄彡1),当且仅当x = i 时“=”x x -\-i证明（尤一 1)2 >0<=>尤2 - 2尤> 一 1 <=>2尤2 - 2尤多尤21 <=>2 (x 2 - x ) ^ x 2 - \ ^>2x (x -\)^(x + \)(x -\)2(x -\)xx + 1T 彡 ％ + 11.6 2-h -1)矣1似，当且仅当尤=1时“=”成立X +1由上面的探究与ltl *的大小是什么X + 1关系？因为在 时，0矣 W'1) =2(a： + 1「2) =2(1x + 1x + 1^ ) = 2 -斗 < 2，而 lnx 彡0，且在► + 〇〇 时，1x + \In %—► + 〇〇，由此猜想，~~p ^-^ln A ：.x + \证明要证以-尤--,-1)矣1似<=>1似-2(尤一,1)彡〇〇X +1X + \\nx +---- - 2 ^0.x + 1构造函数，令g U ) =4x + 12A/1 \ 2-2,则 g 'U )(% + 1) -Ax _ (% - 1 V ^0.X( A ： + 1 ) 2 x(x + \ )2 x(x + l )^所以g U )在I G [1，+ W )时是增函数• 所以 g (：〇1) =0•即 1似+-^-2&0〇^二^矣1似.X + 1 X + 1t v #-11 2 * / » 1 \ n7 < —T < ^~TT < ln(1 + —) < ,----I n + 1 n + i I n + I n n + \n-n + \x z I *. . an 、1a + 1 , / a + 1 x 1了（------- —t ) < — < -----In (------)T <z nn + 1nn nI n + 112 , /t 1 x l---7---r < ln ( 1 +—)< /——--,、^、^ +1 2n + \n\ nn + \ 2 n< —(1n + 12. 1 In %- 1 <;dnx 的应用例1 (2018年全国ID 卷）设/U )二1似-1 + 1(:>〇)，证明:*e (l , +»)时，1 <:I n A ：< x .\nx证明因为％ e ( 1，+ 〇〇 )时，lm : > 0，要证1 <<尤，只需证lm < % - 1 < a j I i u 成立.这正是上面的结论，居然直接出现在高考题中，足见其应用的重要性.2.2 ln(l +丄）〈丄的应用nn例2(2017年全国m 卷）已知函数/U ) =x -l-一，设meAT ,且对任意正整数…，（1 +士）（1 +$)•..( 1 +士）<m ，，求 的最小值-解析令J = (l +|)(1 +表)…(1 +表)，探究t的取值情况.因为 I r U =ln(l + 了）+ln(l + p ) + …+ ln(l +丄）<冬+人+ ".+丄=1 -丄 <1 = Ine ，2"222V2"所以《<啦(1 + 士)(1 +♦)•••( 1 +表)<e .2020年7月1日理科考试研究•数学版•17 •而(1 ++)(1 + ♦) + (1 +表)>2,又因为故m的最小值是3.2.3 ln(1 + 丄)<士•(丄+ —L p)的应用n I n n+ 1例3 (2010年湖北卷）求证:1 + 士+ ++…+—> ln(n+ 1)n彡1yn e N* ).n2(n+ 1)证明因为ln(l +丄）<j(丄+ —丨7)，n Z n n+ 1所以丨n(n+ l) - lrm<+(丄+—^) •给/i的位置依次赋值为1，2，3，…，则（ln2 - lnl) + (ln3 - ln2) + ." + [ln(n + l) - In n] < 士 (1 + 士) +士(士+知+•••+士(士+士)_则 ln(n+l) <+[1 +2(++士+•••+丄)+-^]，2 23 n n+1则 1++ 1) < 2 +( 2 + 3 +... +7)十^^.贝yin(fi+l)<1+•••++)12(n+l)2*则 In(n+ 1) + 7<1^ … -、、*,a+ 丁 + …+ —•2 2(汀+ 1) 23 n贝l j In(n+ 1) +2(7m y<1+T+y + *,, + ,2.4 ln(1 + —) < /— —--7的应用n A/n n+ 1例 4 求证：i>[(l + 丄 )•证明因为ln(l +丄）—L T,所以[ln(l + 丄）]2< 丄-一n n n+ \给n的位置依次赋值为1,2,3,…，则1 2 121[ln(l+[ln(l…+ [ln(l<(+_知+(士-知 +…+ (士 _；^)-所以f(i +丄)«=i L n2.5一1"TClnU +丄）〈丄的应用n+ \n n例5 任意；i E W+，求证：ln2<+ •••+— < ln3.n+ 3 3n证明因为-:ln(l + 丄）<丄，所以----<\n(n+ \) - \nn<—.n+ 1n同理，~^r<ln(n+2) -ln(n+ l) < ^yn-\-2< ln(/i+ 3 ) - In(^i+2) < ^n + rn+2.1< ln3n- In(3n- 1) < ^3/i- 1n+2n-~-~-<ln(3n+ l) -ln3n<^~.in+ 13n上面共(2n+ 1)个同向不等式，左边前2〃个不等111式相加，得 ，•，|n+ 1n+1n+.\nn=ln3 ；右边后2〃个不等式相加，得1n+2n<ln3n+ -^+ 1n+ \n+ 2 n+ 33n+ 1>ln(3^ + l) - ln(n+ l) = Inn+2n n+ l所以 l n^1 =lr^3I iL+1H=lnn+1 L n+1 J[^M+3]^n 的增函数.所以丨n彡In= ln2.1+1综上所得时>21+-L,+n+ \n+ 2n+ 3+厂< ln3成立.i n2.6+丄）的应用+ 1n例6 求证:l n(n+l)>了十了+ …+^.证明因为ln U+t)>2~^I,1所以 ln(/i+ 1) - Inn•I n + 1给n的位置依次赋值为1，2,3，•••，则(ln2 - lnl) + (ln3 - ln2 ) + ••• + [In(n + 1)-l n n]>y+_+ ...+_所以1n(" + 1)H+，_，+^7T.在*e(0，l)时，有3x x+ \2< ~Z~(xX.18 •理科考试研究•数学版2020年7月1日学知识的形成过程和解题思路的分析探索过程，才能帮助学生提升能力，走出“题海战参考文献：[1] 吴燕梅.利用“切线”处理函数中两类不等式问题[J].中学数学研究,2017(02) :43 - 45.[2] 邵继享.关于ln x的两个不等式在解高考压轴题中的应用[J].中学数学研究,2013(12) :13-14.(收稿日期=2020 -03 -22)看似无圆卖则有圆“圆”来如此—例谈一类隐形圆问题的求解策略张刚(宿州应用技术学校安徽宿州234000)摘要：有些几何问题从表面看似乎与圆没有关系，但是,如果我们深入分析题干条件，深挖题目隐含条件，善于联想与构造，适时建立符合题意的各类辅助圆，再利用圆中几何性质，结合题目其他已知条件，就可以让隐形圆浮出“水面”，真正实现化隐为显、化难为易的解题效果.本文通过例举几类隐形圆问题，从解决这类问题的一般策略入手进行分析，达到举一反三之效.关键词：隐形圆；几何问题；求解策略1构造方程，式中有圆有些数学问题，看似问题与圆无关，但由于圆的 方程灵活多变、形式多样，因此准确把握题干数量关 系，通过分析等价转化，构造出符合题意的圆方程的 适当形式，再借助圆和平面几何知识就可以进行处理.例1在平面直角坐标系中，动圆（：：（；(- 3)2 + (7-6)2^2(其中『2-62<9)截；(轴所得的弦 长恒为4.若过点0作圆C的一条切线，切点为P，则 点户到直线+ y - 10 = 0的距离的最大值为______•解析设动圆与^轴交于点过点C(3,6)作x轴的垂线C//，垂足为点//,连接CP,OC，CM，如图1所示.在m厶CWM中，由勾股定理，知ICMI2 = IO/I2 + \HM\2M r2 =b2 +4JP b2-r2 =-4.在R t A O P C中，由勾股定理，知丨OP|= 71P C12 - I C P12= V9+b2 -7=^5.可见，点P到原点的距离是义.因此点P在以点〇为圆心、半径长为^的动圆V+y2=5上，如图2所示.因为点〇到直线+y-10=0的距离是=A T T所以点P到直线2；c+y- 10 =0的距离的最大值 dm a^l/5 +^5 =%/5.例2已知圆+y-=4与ac轴负半轴的交点 为 <点尸在直线上，过点P作圆0 的切线，切点为且|P/1| =2 |P7l,求实数n的取值1、/~1,2(戈—1) -!一)^y/x - — <I n A：<-----1—<x- \ < x\nx.x^x + \以上应用只是诸多应用中的“冰山一角大家知道，高考数学试题很多都是源于教材但高于教材，命 题遵循的是在继承中创新，但也不回避已经考过的题 型.因此在高考复习中，教师要立足教材，新知识要及 时纳人已有的知识系统中，逐步构建条理化、有序化 和网格化的知识体系，课堂教学要重视向学生展示数作者简介：张刚（1981 -)，男，安徽宿州人，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学教学研究.。