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线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。
先来说说啥是差分方程。
简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。
就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。
比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。
这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。
咱们来仔细瞅瞅它的公式。
一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。
求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。
拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。
再说说特征根法。
先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。
我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。
”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。
小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。
二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。
一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。
求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。
在实际应用中，差分方程可太有用啦。
比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。
总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。
差分方程笔记
差分方程是一种数学工具，它可以帮助我们研究某些重要类型的函数。
它表示不同值之间的变化，并且可以定义函数的行为。
因此，差分方程在数学中有广泛的应用。
差分方程的定义是，给定一个函数f（x），它表示不同x值之间的变化，可以通过求解关于x的微分方程来解释这种变化。
因此，差分方程可以用来表示一个函数的行为。
微分方程的求解过程可以分为三个步骤：求函数的微分，求微分方程的解，并确定解的精确类型。
第一步，我们首先要求函数的微分，也就是求斜率。
微分可以理解为一个函数的变化速度。
它用来描述函数的变化率。
在求解微分方程的解之前，我们需要根据所求的函数定义其格式，使用基本的微积分定理来解决它。
根据函数的特征，我们可以求出微分方程的一般解，其中包含一个或多个未知数。
最后，我们可以求出函数的定积分。
定积分可以用来求出函数的精确表达，从而确定解的精确类型，并可以详细了解函数的行为。
以上就是求解差分方程的基础知识。
差分方程经常用于研究常见的函数，这些函数经常用于解决实际的问题。
例如，电子电路和机器人控制系统都有利用差分方程研究的应用。
因此，差分方程的研究是数学中重要的一个领域。
它的研究可以帮助我们解决许多实际问题，这些问题通常很复杂，需要我们深入探索。
此外，差分方程也可以应用于计算机科学和工程研究中。
总而言之，差分方程在数学中有广泛的应用，它可以用来帮助我们解决实际问题，可以让我们更好地理解函数的行为，也可以用于计算机科学和工程领域中的研究，因此它受到了广泛的认可。
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
[离散时间信号处理学习笔记]4.线性常系数差分⽅程本⽂主要从离散时间系统的⾓度来讨论线性常系数差分⽅程，不过其中也不可避免地涉及到数学⽅⾯的分析，因此在阅读本⽂章之前，如果对线性常系数差分⽅程在数学上有⼀定的认识，将更有助于理解本⽂的相关内容。
推荐阅读：累加器系统这⾥从累加器来引⼊差分⽅程这⼀概念。
累加器系统定义为y[n]=n∑k=−∞x[k]从上⾯定义的式⼦可以得到y[n−1]=n−1∑k=−∞x[k]等号两边相减得到y[n]−y[n−1]=x[n]从累加器的定义上来说，当前输出与前⼀个输出的差值确实为当前的输⼊。
换⼀个⾓度来说，当前的输出等于前⼀个输出与当前输⼊的和y[n]=y[n−1]+x[n]这种当前的值的计算会⽤到前⾯已算出的值的差分⽅程就是差分⽅程的递推表⽰（迭代法）。
这种差分⽅程的递推表⽰使得系统实现更为简单，在离散时间系统的实现中经常⽤到。
累加器系统的递推差分⽅程⽅框图如下表⽰滑动平滑系统滑动平滑系统的定义是y[n]=1M1+M2+1M2∑k=−M1x[n−k]令M1=0以使系统称为因果的。
那么该系统的定义变为y[n]=1M2+1M2∑k=0x[n−k]单位脉冲响应为h[n]=1M2+1(δ[n]–δ[n−M2−1])∗u[n]可以看到式⼦中分为三个部分：衰减器、样本延迟、累加器。
表⽰成⽅框图如下线性时不变系统中的⼀个重要的⼦系统是由这样⼀些系统组成，这些系统的输⼊x[n]和输出y[n]满⾜N阶线性常系数差分⽅程，其形式为N∑k=0a k y[n−k]=M∑m=0b m x[n−m]线性常系数差分⽅程的求解线性常系数差分⽅程的解可以分为两部分y[n]=y p[n]+y h[n]其中y p[n]为特解，y h[n]为齐次解，我们这⾥就齐次解简单展开说明。
齐次解是假设x[n]=0时求得的y[n]，即有如下齐次差分⽅程N∑k=0a k y h[n−k]=0在求解差分⽅程的过程中，我们会假设y h[n]=Az n然后代⼊上述齐次差分⽅程，整理后得到N∑k=0a k z−k=0求解该⽅程后可以得到N个不同的z值都能满⾜上述⽅程（没有重根的情况下），即z m，m=1,2,⋅⋅⋅,N另外，⽆论A m为什么值，在把y h[n]=A m z n m代⼊到齐次差分⽅程都能得到满⾜，因此y h[n]的解为y h[n]=N∑m=1A m z n m此时z m的值已知，A m未知，那么此时就需要辅助条件来求解A m，辅助条件可以由⼀些特定n点上的特定y[n]值组成，诸如y[−1],y[−2],⋅⋅⋅,y[−N]，然后求解⼀组由N个线性⽅程构成的⽅程组来求得N个特定系数A m。
本材料是关于线性常差分方程基本知识的笔记，参考了两个文献：1、《差分方程》【日】福田武雄著穆鸿基译上海科学技术出版社1962年9月第一版2、《常差分方程》王联、王慕秋著新疆大学出版社1991年2月第一版目录第一节差分第二节和分第三节对步长及定义域的约定第四节阶乘多项式与差分第五节Bernoulli多项式与差分第六节几个公式,例题第七节n阶线性常差分方程的解的结构第八节 Lagrange变易常数法第九节解n阶常系数齐次线性方程的特征根方法第十节常系数对称型线性方程的解第十一节几种特殊常系数非齐次线性方程的解法第一节 差分定义1.1：设函数()x f 的定义域是D ，R D ⊂，R x ∈∆，0≠∆x ，D x ∈∀有D x x ∈∆+，定义算子∆为()()()x f x x f x f -∆+=∆称x ∆是x 的变化步长，()x f ∆是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶差分、阶差、有限差；D x ∈，函数()x f ∆称为D 上的差分函数，简称差分；算子∆是步长为x ∆的差分算子。
定义为()()x x f x f ∆+=E称()x f E 是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶位移；称函数()x f E 是D 上的位移函数，简称位移；算子E 是步长为x ∆的位移算子。
定义算子I 为()()x f x f =I称算子I 为恒等算子。
称函数()xx f ∆∆是D 上的差商函数，简称差商。
约定算子∆与算子E 的步长相等。
注1.1：大写希腊字母∆、E 、I 的小写形式是δ、ε、ι，其英文单词形式是delta /`delt ә/ 、epsilon /ep`sail әn/ 、 iota /ai`әut ә/ 。
若D x ∈∀，有D x x ∈∆+，则N n ∈∀，有D x n x ∈∆+。
定理1.1：算子∆、E 、I 有以下关系：①()()()()()x f x f x f x f I -E =I -E =∆，即I -E =∆。
②()()()()()x f x f x f x f I +∆=I +∆=E ，即I +∆=E 。
③()()()()x f x f E ∆=∆E ，即∆E =E∆。
定理1.2：算子∆、E 是线性算子。
对R b a ∈,，函数()x f 与()x g ，有以下等式()()()()()x g b x f a x bg x af ∆+∆=+∆ ()()()()()x g b x f a x bg x af E +E =+E定义1.2：设N n ∈，作递推定义()()()x f x f x f =I =∆0，()()()x f x f n n ∆∆=∆+1()()()x f x f x f =I =E 0，()()()x f x f n n E E =E +1称()x f n ∆是()x f 在x 处的步长为x ∆的n 阶差分；称()x f n E 是()x f 在x 处的步长为x ∆的n 阶位移；称n ∆是步长为x ∆的n 阶差分算子；称n E 是步长为x ∆的n 阶位移算子。
凡阶数大于1的差分与位移，称为高阶差分与高阶位移。
注1.2：N n m ∈∀,，有()()()()x f x f m n n m ∆E =E ∆。
定理1.3：N n ∈∀，有()()∑=-E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=I -E =∆ni in i nni n 01 ()∑=-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=I +∆=E ni in nni n 0 其中，组合系数()!!i n i n i n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，n i ,,3,2,1,0 =． 证明：用数学归纳法。
定义1.3：设二元函数()y x f ,的定义域是D ，()D y x ∈∀,，有()D y x x ∈∆+,，R x ∈∆，0≠∆x ，记()()()y x f y x x f y x f x ,,,-∆+=∆称()y x f x ,∆是()y x f ,在()y x ,处对x 的步长为x ∆的一阶偏差分。
定理1.4：对函数()x f 与()x g ，有以下等式()()()()()()()g f f g g f f g f g g f g f g f ∆⋅+∆⋅+∆⋅∆=∆⋅+E ⋅∆=∆⋅+E ⋅∆=⋅∆gg g f f g g f E ⋅∆⋅-∆⋅=∆，其中g 与g E 不取零值。
证明：参考类似的求导公式的证明。
定理1.5（Leibniz 法则）：对函数()x f 与()x g ，有()()()()()()()∑∑----∆E ⋅∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆E ⋅∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∆niin in nii n i n nf g i n g f i n g f证明：用数学归纳法。
定义1.4：设函数()x f 的定义域是D ，若D x ∈∀，()()()0=-∆+=∆x f x x f x f ，则称()x f 是D 上的以x ∆为周期的周期函数。
注1.3：① 设()x p 是D 上的周期函数，对D 上的任意函数()x f ，按定理1.4，有()()()()()x f x p x f x p ∆⋅=⋅∆。
② 设()x p 1与()x p 2是D 上的周期函数，R b a ∈,，则()()x bp x ap 21+也是D 上的周期函数。
定理 1.6：设函数()x f 的定义域是D ，()x f 是D 上的周期函数的充分必要条件是，D x ∈∀，()()x f x f =E 。
推论1.6.1：设函数()x f 的定义域是N ，1=∆x ，则()x f 是N 上的周期函数的充分必要条件是，()x f 是N 上的常值函数。
定理1.7：对D 上的函数()x f 与()x g ，若D x ∈∀，()()x g x f ∆=∆，则()x f 与()x g 只相差D 上的一个周期函数。
即存在D 上的周期函数()x p ，满足()()()x p x g x f +=。
第二节 和分定义2.1：若D x ∈∀，D 上的函数()x f 与()x F 有以下关系()()x f xx F =∆∆，或，()()x x f x F ∆=∆ 即，()x f 是()x F 在D 上的差商函数，则称()x F 是()x f 在D 上的步长为x ∆的和分函数，简称和分。
注2.1：设()x F 1与()x F 2是()x f 在D 上的任意两个和分，按定义，有()()()x x f x F x F ∆=∆=∆21，按定理1.7，()x F 1与()x F 2只相差D 上的一个周期函数。
所以，设()x F 是()x f 的一个和分，()x p 是D 上的任意一个周期函数，则()()x p x F +就代表()x f 在D 上的任意一个和分。
定义2.2：如上，记()()()x p x F x x f +=∆∑，称()∑∆x x f 是()x f 在D 上的步长为x ∆的不定和分。
注2.2：在文献1中，作者用符号“”表示和分。
在文献2中，作者用“∑”表示和分。
定理2.1：对函数f ，g ，不定和分有以下性质 ①R b a ∈,，()∑∑∑∆+∆=∆+x g b x f a x bg af②设p 是周期函数，∑∑∆=∆x f p x pf③()()∑∑∆∆⋅E -⋅=∆∆⋅x f g g f x g f定义2.3：设()x F 是()x f 在D 上的和分，()x p 是D 上的任意一个周期函数，则()()x p x F +就代表()x f 的任意一个和分，D a ∈，N n ∈，D b x n a ∈=∆+，记()()()()()()()()()a F b F a p a F b p b F x x f ba-=+-+=∆∑称()∑∆bax x f 是()x f 在[]b a ,上的步长为x ∆的定和分。
a 是定和分下限，b 是定和分上限。
约定()()()()()a F b F abx F a b x x f x x f b a-==∆=∆∑∑注2.3：①作为一个记号，在()∑∆x x f ，()∑∆b ax x f ，()abx x f ∑∆中的x ∆不能换成数值，也不能省略。
②按差商与和分的定义，有()()()()()x x i a f x i a F x i a F x i a F ∆∆+=∆+-∆++=∆+∆1， ,3,2,1,0=i ，所以，()()()()()()()()()()()()∑∑∑∆+-=∆=∆+=∆∆-+++∆++=-∆+=-=∆x n a an i baxx f x i a f x x n a f x a f a f a F x n a F a F b F x x f 11 可见，定和分是有限求和运算。
③设Z t s ∈,，s ≤t ，函数()x f 的定义域是Z ，()x F 是()x f 的和分，步长1=∆x ，则()()()()()∑∑∑+-==∆=-+=+=101t sst i tsi x x f s F t F i t f i f可见，有限求和运算是定和分。
第三节 对步长及定义域的约定记1∆是步长等于1的差分算子，在D 上的差分()()()x f x x f x f -∆+=∆中作代换x y x ∆=，记()()()y g x y f x f =∆=，有()()()()n y g x n y f x n x f +=∆+=∆+()()()()()()()y g y g y g x y f x y f x f 111∆=-+=∆+-∆+=∆可见，1∆可以代换∆。
为方便，约定所论差分与位移的步长都等于1。
从步长等于1的约定。
设函数()x f 的定义域是D ，记()()n r n x f =+，N n ∈，则函数()x r 的定义域是N ，有()()()()010r r r x f -=∆=∆()()()()∑∑∑∑∆==+=∆-=-=+nn i n i n x xx x r i r i x f x x f 011可见，()x r 的定义域是N 可以代换()x f 的定义域是D 。
为方便，约定所论函数定义域为N 。
定理3.1：设函数()x f 的定义域是N ，N n ∈，有()()()()()0000f i n f f n f ni i n nn∑=-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=I +∆=E =定理3.2：设函数()x f 的定义域是N ，N n k ∈,，1≤k ≤n ，有()()()j f k j n f i n n f kkn j k i i ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑-=-=010110定理3.3：设函数()x f 的定义域是N ，N n k j ∈,,，1≤k ≤n ，j ≤k ，有()()()∑∑+-=-=∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆jk n s kk j i i is f j k s n f j i n n f 01110以上三个定理称为“离散的泰勒（Taylor ）公式”，可用数学归纳法证明。
