第四章应力与应变关系

材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。

本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。

一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。

根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。

正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。

正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。

切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。

体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。

二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。

根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。

线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。

线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。

体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。

三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。

根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。

弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。

常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。

杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。

剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。

泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。

4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。

由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。

前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。

第四章应力和应变关系内容介绍 知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系 弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系 各向同性弹性体的应力和应变关系 应变表示的各向同性本构关系如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，称为等温过程。

设等温过程中，输入物体的单位体积热量为d Q ，熵的增量为d S ，对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律，有因为 ，d Q=TdS ， 所以， Q=TS 。

上式中，T 为绝对温度，TS 为输入单位体积的热能。

代入公式可得所以 。

上式中，E 0为物体单位体积的内能，TS 为输入的热能，即U 0=E 0 - TS 。

所以在等温条件下，功能公式仍然成立。

上述公式是从热力学第一和第二定律出发得到的，因此它不受变形的大小和材料的性质的限制。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。

因此根据齐次函数的欧拉定理，可得即用张量表示，写作设物体的体积为V ，整个物体的应变能为 。

由于应变能函数的存在，通过格林公式就可求出应力。

本节将通过应变能的推导应力和应变的一般关系。

若将应力表达为应变的函数，则应力和应变关系的一般表达式为这里的函数f i （i =1，2,…，6）取决于材料自身的物理特性。

对于均匀的各向同性材料，单向拉伸或压缩时，应力应变关系可以通过实验直接确定。

但是对于复杂的应力状态，即使是各向同性的材料，也很难通过实验直接确定其关系。

这里不去讨论如何建立一般条件下的应力应变关系，仅考虑弹性范围内的小变形问题。

对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。

例如将的第一式展开，可得上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。

如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。

第四章 应力应变关系前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。

应力分析仅用到力的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。

这些都没有涉及到所研究物体的材料性质。

本章开始将研究材料的性质。

这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系，显示出材料的力学性能。

下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡克定律。

作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。

§4-1 低碳钢的拉伸试验在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。

事实上，在第一章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。

它描述了很大一类材料在小变形范围，在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。

低碳钢Q235是工程上常用的金属材料。

这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。

有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的理论。

固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。

力学家也已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。

材料力学作为固体力学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。

为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力学性质。

这种试验通常是在常温（室温）下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试验。

5l d =一、低碳钢拉伸试验按照我国的国家标准 “金属拉伸试验试样” （GB6397－86），将试件按规定做成标准的尺寸。

图4－1所示是一根中间直径为d 的圆杆型试件，两端的直径比中间部分大，以便于在试验机夹头上夹持。

试件中间取一段长度为l 的等直部分作为标距。

对圆截面标准试件，规定标距l 与直径d 的关系为 ，或，分别称为10倍试件和5倍试件。

试件也可制成截面为矩形的平板型，平板试件的10倍与5倍试件的标距分别为10l d==l和l =，其中A 为试件的横截面面积。

第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。

这样，物体的弹性常数从21个变为13个。

若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。

第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。

由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。

应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。

对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。

对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。

分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。

二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。

知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。

借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。

本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。

根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。