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第七章 应力应变关系

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第七章 力学性质(高分子材料的变形特点与金属材料的变形特点)

第七章 力学性质(高分子材料的变形特点与金属材料的变形特点)

第七章
力学性质
本章重点内容
1.高分子材料的变形特点与金属材料的变形特点的 比较.
1.1金属材料的变形特点及其微观解释.
1.2高分子材料的变形特点.
2.几个重要概念.
弹性变形 塑性变形 拉伸应力 真 应 力
屈服 真应变
弹性变形:
材料的变形过程中如果应力与应变成比例则称为弹性变形.
塑性变形:
对于大多数金属材料来说,其弹性变形不足其应变的0.005, 当变形超过这一数值,则应力与应变不再服从胡克定律,即发
滑移系来满足各晶粒变形是相互协调的要求。
本章总结
金属应力应变与高分子材料的应力应变特点的比较. 金属材料应力应变的微观解释.(特点并给出解释)
弹性变形的主要特征是：
• （1）理想的弹性变形是可逆变形，加载时变形， 卸载时变形消失并恢复原状。
• （2）金属、陶瓷和部分高分子材料不论是加载或 卸载时，只要在弹性变形范围内，其应力与应变 之间都保持单值线性函数关系，即服从虎克 （Hooke）定律： 在正应力下，s = Ee， 在切应力下，t =Gg， 式中，s，t分别为正应力和切应力；e，g分别 为正应变和切应变；E，G分别为弹性模量（杨氏
真应变:
如果无体积变化的情况下真应变与真应力的关系为: εT=ln(1+ε)
弹性变形的本质
• 弹性变形是指外力去除后能够完全恢复的那部分变形， 可从原子间结合力的角度来了解它的物理本质。
• 原子处于平衡位置时，其原子间距为r0，位能U处于 最低位置，相互作用力为零，这是最稳定的状态。当 原子受力后将偏离其平衡位置，原子间距增大时将产 生引力；原子间距减小时将产生斥力。这样，外力去 除后，原子都会恢复其原来的平衡位置，所产生的变 形便完全消失，这就是弹性变形。
高分子物理——聚合物的屈服与断裂

高分子物理——聚合物的屈服与断裂


一、玻璃态高聚物的拉伸
（1）屈服点
应力达到一个极大值，屈服应力 （2）断裂方式(材料破坏有二种方式)
脆性断裂：屈服点之前发生的断裂
断裂表面光滑
不出现屈服
韧性断裂：在材料屈服之后的断裂(明显屈
服点和颈缩现象)
北京理工大学
断裂表面粗糙
（3）应变软化和应变硬化
应变软化：在拉伸过程中，应力随应变的增 大而下降


PVC在室温、图中表明的应变速率下测得的应力-应变曲线
随着拉伸速度提高，聚合物的模量增加，屈 服应力、断裂强度增加，断裂伸长率减少
• 柔性很大的链在冷却成玻璃态时，分子 之间堆砌得很紧密，在玻璃态时链段运 动很困难，要使链段运动需要很大的外 力，甚至超过材料的强度，刚性大，冷 却时堆砌松散，分子间相互作用力小， 链段活动余地较大，这种高聚物在玻璃 态时具有强迫高弹而不脆，脆点低， Tb,Tg间隔大，另外如果刚性太大，链段 不能运动，也不出现高弹形变。
0 exp(
RT )
对于某一种高聚物存在一个特征温度（Tb），只 要温度低于Tb，玻璃态高聚物就不能发展强迫高 弹形变。玻璃态高聚物只有处在Tb到Tg的温度范 围内，才能在外力作用下实现强迫高弹形变。
北京理工大学
外力 E a 拉伸速率 0 exp( ) 结构 RT 柔性高分子链：在玻璃态时呈现脆性。Tb≈Tg 刚性高分子链：较刚性：易出现受（强）迫 高弹性，脆点较低，Tb与Tg间隔较大。 高刚性：链段运动更加困难，Tb与Tg也很接 近。 分子量 分子量较小时，在玻璃态堆砌较紧密，呈现 脆性，Tb~Tg较接近。 当分子量增加到一定程度以后，Tb与Tg差距拉 大，直到达到临界值 北京理工大学
（B）受（强）迫高弹形变:材料在屈服后出现了
第三强度理论.

第三强度理论.

第七章 应力和应变分析 强度理论§7.1应力状态概述过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态§7.2二向和三向应力状态的实例§7.3二向应力状态分析—解析法1．任意斜截面上的应力在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。

在外法线n 和切线t 上列平衡方程αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+0s i n )s i n (c o s )s i n (=-+αασαατdA dA y yxαασααττsin )cos (cos )cos (dA dA dA x xya --0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=，ααα2sin cos sin 2=简化两个平衡方程，得ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=xyτyxτnαtατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=2．极值应力将正应力公式对α取导数，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=ατασσασα2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数0=ασαd d ，则 02cos 2sin 200=+-ατασσxy yxyx xytg σστα--=220上式有两个解：即0α和 900±α。

在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。

且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。

求得最大或最小正应力为22min max )2(2xy y x yx τσσσσσσ+-±+=⎭⎬⎫ 0α代入剪力公式，0ατ为零。

这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。

应力应变测量PPT课件

应力应变测量PPT课件


Ⅳ
66.6 59.7 -55.4 -55.0 26.6 23.2 -49.5 -47.7
/ -1.3 -0.5 -1.2 -48.2 -34.4 81.6 89.5 155.2 136.2 48.4 48.5 -22.9 -20.8 -60.8 -64.8 10.2 3.9
Ⅴ
-8.5 -7.7 -2.8 -2.9 -10.6 -10.0 -3.8 -1.2 -1.3 -1.1 -33.1 -32.8 71.7 70.8 -9.4 -7.8 -15.2 -15.8 -6.7 -8.4 3.8 3.7 -18.3 -19.5 4.0 14.3
扭（转）矩作用下，正应力分布如图7-10所示
第14页/共29页
其测点1，2，3，4的正应力分别为：
然3后根4、据
测
量
得
到
的
1
N
，求1 得 2获 得3
4
2 、 断 面4 内
力
：
My
1 2
3
4
4
Mz
1
2
3
4
4
1
2
3
4
4
第15页/共29页
（3）结论： 断面角点处没有剪应力存在，属单向应力状态，该 正应
仅有较大的正应力，而且 有 较 M大y 2的 3剪 2应力。 四、应力合成与强度校核（略讲） 通常用第四强度理论进行校核
第19页/共29页
§7-4 起重机金属结构应力测量
一、金属结构应力测量的任务 应力、应变测量应用任务：（测量目的和任务） 1．校核性测量：验证结构强度（刚度）是否满足理
论计算要求。例如，新产品鉴定性检测。 2．改进性测量（节约化）：产品改进，确定安全储
7-第七章 应力状态分析 强度理论.

7-第七章 应力状态分析 强度理论.

第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。

2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。

3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。

三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。

3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。

xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。

设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。

第七章 应力、应变及温度监测

第七章 应力、应变及温度监测

目录第七章应力、应变及温度监测 (166)第一节应变监测 (166)一、差动电阻式应变计 (166)二、弦式应变计 (167)三、应变计安装 (168)第二节接缝和位移监测 (173)一、差动电阻式测缝计（位移计） (173)二、弦式测缝计（位移计） (174)三、电位器式测缝计（位移计） (175)四、仪器安装 (176)第三节钢筋应力与钢板应力监测 (178)一、差动电阻式钢筋计 (178)二、振弦式钢筋计 (179)三、钢筋计安装 (180)第四节压力监测 (183)一、混凝土压应力计 (183)二、土压力计 (187)第五节锚索（锚杆）荷载监测 (195)一、仪器结构 (195)二、工作原理 (195)三、锚索测力计的安装埋设 (195)四、关于仪器的现场率定 (197)第六节温度监测 (198)一、电阻温度计 (198)二、电阻温度计的使用 (199)第七节仪器的验收、保管与电缆接长 (199)一、验收与保管 (199)二、电缆接长与电缆安装 (200)第八节数据读取 (201)一、人工测量 (201)二、自动测量 (201)第七章应力、应变及温度监测第一节应变监测为了解岩土工程和其他混凝土建筑物的应力分布情况，工程上一般通过安装埋设应变计用于监测建筑物的应变，再通过力学计算来求得应力分布，因而应变计是安全监测的重要手段之一。

从使用环境看，应变计使用相当广泛，即适用于长期埋设在水工建筑物或其它建筑物内部，也可以埋设在基岩、浆砌块石结构或模型试件内。

配合无应力计桶还可作为无应力计使用。

从工作原理上分，国内工程最常用的应变计有差动电阻式应变计和钢弦式应变计两种。

一、差动电阻式应变计1. 仪器结构差阻式系列应变计主要由电阻感应组件、外壳及引出电缆密封室三个主要部分构成，下图所示为250mm标距应变计的结构示意图。

图7-1 250mm标距差阻式应变计结构示意图图中电阻感应组件主要由两根专门的差动变化的电阻钢丝与相关的安装件组成。

塑性应力应变关系

塑性应力应变关系


z
z
ϕLeabharlann ij m(7.2—13) (7.2—14)
ε = ϕ ⋅τ ,
xy
xy
ε = ϕ ⋅τ ,
yz
yz
ε zx = ϕ ⋅τ zx
如果认为在整个变形过程中材料不可压缩，泊松比ν = 0.5 ，则 K 0 = 0 ，式(7.2—13) 简化为：
ε ij = ϕ (σ ij − δ σij m ) = ϕ ⋅ sij
（7.1—10）
可见，服从广义胡克定律的各向同性线弹性材料，其应力莫尔圆与应变莫尔圆在几何
上是相似的，应力罗代参数 µ σ 等于应变罗代参数 µ ε 。等效应力与等效应变之间也有简 单关系。由等效应力定义式得：
σ= 1 2
(σ 1
−σ
)2
2
+ (σ
2
−σ 3)2
+ (σ
3
−σ1)2
= 2G 2
(ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2
+
eP ij
+ δ ij ε m
=
1 2G
s ij
+
φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δσ ij m
=
1+φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δ ijσ m
(7.2—12)
令 1+φ 2G
=ϕ
， 1− 2ν E
=
K 0 ，式(7.2—12)可改写成汉基理论的常用表达式：
ε ij = ϕs ij + K 0 δ ij σ m
求解小弹塑性变形问题，等同于求解某一非线性弹性力学问题，因此获得了广泛的应用。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论

第七章 应力状态、应变分析和强度理论


§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135

y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
【材料成型原理——锻压】第七章 真实应力应变曲线

【材料成型原理——锻压】第七章 真实应力应变曲线

点b’处没有极大值，b’点以后的曲线仍是上升的。这说明材料抵抗 塑性变形的能力随应变的增加而增加，就是不断的产生硬化，所以 真实应力－应变曲线有时也称硬化曲线。
7.3.拉伸真实应力-应变曲线塑性失稳点的特性
如某一瞬间的轴向力为P，试样断面积为F，真实 应力为S，则有：
因为
故
P SF
ln l ln F0 ,可得如下关系式
铝合金，青铜，镍等，则没有明显的屈服点，这时的屈
服应力规定用
时的应力表示。
0.2%
试样在屈服点以上继续拉伸，应力随变形程度的增加
而上升，直到最大拉力点b，这时的条件应力即强度极 限。 b点以后继续拉伸，试样断面出现局部收缩，形成 所谓缩颈。此后，应力逐渐减小，曲线下降，直至k点 发生断裂。
下面介绍一下材料的另一个特性——包申格效应
式中 l —试样的瞬时长度； dl —瞬时的长度改变量。
l l 当试样从
拉伸至
0
时1 ，总的真实应变为
l l1d l1 dl ln 1
l l0
l0 l
0
在出现缩颈以前，试样处于均匀拉伸状态，因此上述三种应变
间存在以下关系
ln l1 l0
ln(l0
l0
l
)
ln(1
（*) ）
或 e 1
7.1 拉伸图和条件应力－应变曲线 1.拉伸图及条件应力－应变曲线
下图所示为退火低碳钢的拉伸图。图的纵坐标表示载 荷，横坐标表示标距的伸长。
将拉伸图的纵坐标除以试样原始断面积，即得条件应力
0
P P0
将拉伸图的横坐标除以试样标距长度，即得相对伸长
l
l0
根据上两式可由拉伸图作出条件应力－应变曲线。
S B n
材料力学第七章(2)

材料力学第七章(2)


e3 ＝
23

E
s 1 ＋s 2
例题 7-3
已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线应变ex ＝240× 10-6，y 方向的线应变ey=-160 × 10-6，试求该点处x 和y截面上的正应力sx和sy，并求自由表面法线的线应变ez。 已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比＝0.3。
需要注意的是，题文中给出了x和y方向的线应变，并 未说明在xy平面内无切应变，故不能把求得的sx和sy认为 是主应力。

27
例题 7-3
有人认为，根据e'=-e，所以有
e z (e x e y ) 0.3( 240 10 160 10 )
6 6
24 10 6
3
2、主应力已知条件下任意斜截面的应力
（1）平行于z轴方向的斜截面的应力 y
s2
s2
s1
z
s1
x
s1
s3
s
s3
s2
t
s2
s3
（2）平行于x、y轴方向的斜截面的应力
s2
t
s1
2015/12/6 3
s1
s3
O
s3
s2
s1
4
s
s
t
I
s3
s2
II
s2
III
s1
s s1
s3
在s-t平面内，代表任意斜截面的应力的点 或位于应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域 内。
前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6个独立 的应力分量： sx 、sy 、sz 、txy 、 tyz 、tzx；与之相应 的有6个独立的应变 分量：ex、ey 、ez、 gxy 、gyz 、gzx。
第七章 应力状态与应变状态分析

第七章 应力状态与应变状态分析


§7–１ 应力状态的概念
铸铁
P P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
2、State of stress at a point：
There are countless sections through a point. The gathering of stresses in all sections is called the state of stress at this point. 3、Element：Element— Delegate of a point in the member. It is a infinitesimal geometric body enveloping the studied point. In common use it is a correctitude cubic
A
P
sx
A
sx
t yx
P
M x
sx
tzx
B
z
C
txz
sx
C
t xy
六、原始单元体（已知单元体）：
[例1] P 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A P
sx
A
sx t yx
y
B z P M
sx
tzx
C
x
B
txz
sx
C
t ห้องสมุดไป่ตู้y
7、Principal element、principal planes、principal stresses：
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相
离。
证明 : 单元体平衡
sy
y
M
z
0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0

第七章——应力状态分析

8
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin 2
平面应力状 态下斜截面
x
2
y
sin
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xcos2
应力的一般 公式
各变量的方向：正应力以拉应力为正；切应力以企图 使微体沿顺时针方向转动为正；方位角则规定以x轴 为始边、指向逆时针方向者为正。
9
第七章 应力状态分析
7.3 应力圆
10
x y
2
2
0 2
26
第七章 应力状态分析
7.6 各向同性材料的应力、应变关系
27
广义胡克定律
1
1 E
[
1
2
3 ]
2
1 E
[
2
3
1 ]
3
1 E
[
3
1
2 ]
主应力平面对应的应变称为主应变。
28
广义胡克定律
同理可得：
x
1 E
[
x
y
z
]
y
1 E
[
y
z
x
]
z
1 E
[
z
x
y
]
29
例7-4：如图所示应力状态，应力x＝80MPa， x＝ 35MPa， y ＝20MPa， z ＝－40MPa，弹性模量E＝ 200GPa，泊松比＝0.24。试求主应力和主应变的大小，以 及沿着x轴、y轴、Z轴方向的应变。
第七章 应力状态分析
7.1 引言
1
轴向拉伸和压缩 扭转 平面弯曲
2
应力状态的概念
以上研究的都是单向受力或纯剪切时的应力，但是 实际构件中，应力一般会更复杂。

应力状态


为了分析失效的原因，需要研究通过一点不同方向 面上应力相互间的关系。 ——应力状态分析。 ——建立复杂受力时强度设计准则的基础。
本章的主要内容： 1、首先介绍应力状态的基本概念； ——应力应变分析 2、以此为基础建立复杂受力时的失效判据与强度设计准则； ——强度理论
第一节
应力状态概述
一、什么是应力状态，为什么要研究应力状态
yx
sx+ sy 2
应力圆
2.应力圆的画法
y
sy

t
yx
(
sx- sy 2
)2 + t 2 xy
R
sx
t xy
x
c
b(s y , t yx )
a (s x , t xy )

x y 2
3、几种对应关系
1）点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一 方向上的正应力和切应力。

sy
t
k ( a , a )
s 30 = t 30 =
sx+ sy 2 sx- sy 2
+
sx- sy 2
cos 2a - t xy sin 2a = 102 MPa
sin 2a + t xy cos 2a = 22 MPa
2）求主应力值及主方向
s ¢= 1 + 2 2 sx+ sy 1 sⅱ = 2 2
sⅱ 0 =
s 1 = 105MPa ，s 2 =0 MPa ，s 3 = - 65MPa
二、应力状态分析的基本方法：
为描述一点的应力状态，围绕所考察的点做一个三对面互相 垂直的六面体，当各边边长足够小时，六面体便趋向于点。
——微元。
由于微元是平衡的，微元的任一局部也必然平衡，当微元 三对面上的应力已知时，由平衡条件就可确定任意方向面上的 应力。

疲劳强度讲义77

第七章 局部应力-应变法估算构件疲劳寿命名义应力法的不足：1． 用弹性力学计算名义应力，当构件危险点发生屈服时，误差较大。

2． 修正系数和试验曲线使用多，使用条件难以完全吻合，造成误差。

60年代中期出现了局部应力-应变法，综合了在这之前疲劳问题研究的成果(材料的循环应变特性等)，是一种在概念上和方法上全新的构件寿命估算方法。

其主要内容包括：1． 材料的疲劳特性，在循环应力作用下，认为循环塑性变形是造成疲劳损伤的根本原因，在低周疲劳问题中，用应变描述材料的疲劳现象要比用应力描述来得更加直接，其中应用了材料的记忆特性。

2． 载荷计数采用雨流计数法。

3． 局部应力-应变分析。

常用近似方法（如诺伯法）计算。

4． 损伤累积及寿命预测（估算）。

损伤累积一般用线性叠加的方法，当损伤累积达1时，认为材料发生破坏，所对应的循环次数就是估算的寿命。

一、局部应力-应变分析目的：回答如何计算局部应力和应变问题。

最好的方法是弹塑性有限元，但普遍使用不方便，且费时。

工程中主要使用简单适用的近似方法，如诺伯（Neuber ）法,修正诺伯法、线性应变法、斯托维尔（Stowell ）法等。

1．诺伯法缺口根部附近的局部应力常常超过材料的弹性极限，如果用名义应力乘以理论应力集中系数的方法求根部的实际应力，误差很大。

（1）假设1961年，诺伯提出一个在弹塑性状态下的通用系数式：''εσσαK K =或''2εσσαK K = 式中：σα---理论应力集中系数；'σK ---真实应力集中系数，nK σσσ='，n σσ,分别为缺口根部的真实应力和名义应力。

'εK ---真实应变系数，e K εε='，e ,ε分别为缺口根部的真实应变和名义应变。

得：en εσσασ∙=2或 σεσασ=e n 2 一般来讲，名义应力和名义应变都是处于弹性状态，故可用虎克定律求出：E e nσ=，带入上式，有：σεσασ=E n22上式的意义：1.表明，缺口根部的真实应力与应变的乘积可以通过理论应力集中系数和名义应力求出。

材料力学课后答案

材料力学课后答案材料力学是研究材料内部力学性质和行为的学科，它是材料科学与工程学的重要基础课程之一。

通过学习材料力学，我们可以了解材料的力学性能和行为，为材料的设计、加工和应用提供理论基础和指导。

在课堂学习之外，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面是一些材料力学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 什么是应力？应变？它们之间的关系是什么？答，应力是单位面积上的力，通常用σ表示，其公式为σ=F/A，其中F为作用在物体上的力，A为物体的受力面积。

应变是物体单位长度的形变，通常用ε表示，其公式为ε=ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。

应力和应变之间的关系由杨氏模量E来描述，公式为σ=Eε。

2. 什么是弹性模量？它有哪些类型？答，弹性模量是描述材料在弹性阶段的刚度和变形能力的物理量。

常见的弹性模量包括杨氏模量、剪切模量、泊松比等。

3. 什么是拉伸、压缩、剪切？答，拉伸是指物体在外力作用下沿着其长度方向发生的形变；压缩是指物体在外力作用下沿着其长度方向发生的缩短形变；剪切是指物体在外力作用下沿着其平面内部发生的相对位移形变。

4. 什么是胶性变形？塑性变形？答，胶性变形是指材料在受力作用下发生的可逆形变，即在去除外力后，材料可以恢复到原来的形状；塑性变形是指材料在受力作用下发生的不可逆形变，即在去除外力后，材料无法完全恢复到原来的形状。

5. 什么是材料的疲劳破坏？有哪些影响因素？答，材料的疲劳破坏是指在交变应力作用下，材料在循环载荷下发生的破坏。

影响因素包括应力幅值、载荷次数、材料的强度和韧性等。

以上是对材料力学课后习题的部分答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握材料力学的知识。

在学习过程中，要多做习题、多思考、多讨论，相信通过努力，一定能够取得好成绩。

第七章 应力 应变状态分析

薄板：在厚度方向应力为0；厚体：很厚，在厚度方向应变为0。
§7-6 平面应变状态应变分析
（本章平面应力状态是重点） 点的应力状态：过某点各微截面的应力情况 应变状态：某点在不同方位的应变情况 平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内 平面应力与平面应变状态对比：
方向应变(正应变和剪应变)
方向应力(正应力和剪应力) 为零，应力不为零
一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这 对平面) 二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的平面)可画平面图 (单位厚度应力) 三、符号规定：
方位角
，(从
轴)逆时针正 正应力
：拉为正
剪应力 ：使顺时针转正 四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡
微三角块平衡 五、结果
六、已知 ，求 ，
到E。 三、最大应变与主应变
1.应变极值及方位
2.主应变：
方位的正应变，由应变圆，它总是存在。
表示。 3.适用范围： 应变圆：纯几何角度推导，小变形，与材料性质无关。 应力圆：线性、非线性(因为推导没用到材料常数和胡克定律)。 4.P221例7-6，代公式，自学(
不好测)
求 , 的公式中，包含 三个量，如反过来要求 ，可先测三个方向 ，联立方程求解。
略去高阶微量 代入广义胡克定律
3.体积与形状改变比能 应变比能能够分解为体积改变比能与形状改变比能之和 体积改变比能等于与之体积应变相等的三向等应力单元体(其应力 为 的应变比能，故
代入（1） 形状改变比能 二、非主应力微体 1.复杂应力状态下应变比能
2.纯剪应力状态引起的体积应变为零 非主应力微体的剪应力可看作三个纯剪应力状态的叠加 3.体积与形状应变比能 由2，可知
圆柱体内第三主应力mpa1535010300假定圆柱体膨胀塞满凹座0002102000002mpa153mpa43mpa1531778复合材料的应力应变关系选讲复合材料种类繁多长纤维短纤维颗粒增强金属基树脂本书仅介绍长纤维树脂基复合材料正交各向异性有三个互相垂直的对称面横观各向同性一正轴物理方程轴1纤维纵向轴2纤维横向构成直角坐标系轴123称为材料主轴1

第七章：应力状态、强度理论


s
2 2
s
2 3
2 s1s 2
s 3s 2
s1s 3 )
1 t 2 0 (t )2 2 0 0 t (t ))
2E
s1
1 t 2
E
G
E
21
)
§7–6 强度理论及其相当应力
强度理论：是关于“材料发生强度破坏或失效”的假设
材料的破坏形式： ⑴ 脆性断裂 如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂 ⑵ 塑性屈服 如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形
sx
t 绕研究对象顺时针转为正；
y
txy
逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
Fn 0
n s dA (t xydAcos )sin (s xdAcos ) cos t (t yxdAsin ) cos (s ydAsin )sin 0
容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×10-6，若已知容器平均 直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25
试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
s1 sm
p p
p
x
l
图a
D
y
xp
AO
B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7–1 概述 §7–2 平面应力状态的应力分析.主应力 §7–3 空间应力状态的概念
§7–4 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
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∆t = (1 − 0.9288)t 0 = 0.285mm
7.5 应力应变顺序对应规律
塑性变形时，当主应力顺序σ 1 > σ 2 > σ 不变，且应变主轴方向 3 不变时，则主应变的顺序与主应力顺序相对应，即 这种规律称为应力应变顺序对应关系
ε1 > ε 2 > ε 3 ε1 > 0, ε 3 < 0
1、Levy-Mises理论 、 理论 材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总 的应变增量
材料符合Mises屈服准则
σ e =σ s
每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合
y
塑性变形时体积不变
d ε x + d ε y + d ε z = dε 1 + dε 2 + dε 3 = 0 dε ij = dε ij' dε ij = dε ij'
τ xy ε xy = 2G τ yz ε yx = 2G τ ε zx = zx 2G
1 − 2v εm = σm E
1 +ν 1 ' (σ x − σ m ) = εx = εx − εm = σ x' E 2G 1 ' εy = σ y' 2G 1 ' εz = σ z' 2G
1 σe = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy 2 + τ yz 2 + τ zx 2 ) 2
∴ 2σ e 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy 2 + τ yz 2 + τ zx 2 )
第七章 应力应变关系
塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系，其数学表达式称为 本构方程或物理方程。
主要内容： 主要内容：
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 弹性变形时的应力应变关系 塑性变形时应力应变关系特点 增量理论 全量理论 应力应变顺序对应规律
7.1 弹性变形时的应力应变关系
虎克定律 E：弹性模量
σx −σy
=
dε y - dε z
σy −σz
dε z - dε x = = dλ σz −σx
d ε x = d λ (σ x − σ m )
dε x − dε y = dλ (σ x − σ m − σ y + σ m ) = dλ (σ x − σ y )
(dε x − dε y ) = (σ x − σ y ) dλ
v
G= E 2(1 + v)
：泊松比
σ = Eε τ = 2Gγ 2G
广义虎克定律
剪切模量
1 ε x = [σ x − v(σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − v(σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z − v(σ x + σ y )] E
例题：两端封闭的薄壁筒，直径为400mm，壁厚为4mm，承受内压100个 大气压，从而产生塑性变形，如果材料的应力-应变曲线为 ，σ e = 80ε e 0.25kg / mm 试求壁厚的减少量。 解：由于： σ θ =
pr pr ,σ z = ,σ r = 0 t 2t
所以：
pr 1 pr pr σm = ( + + 0) = 3 t 2t 2t
σm = (
pr 1 pr pr + + 0) = 3 t 2t 2t
′ σθ =
由增量理论：
pr pr ′ = 0, σ ρ = − ′ ,σ z 2t 2t
'
dε ij = dλσ ij
所以：
pr pr dε θ = dε z = dε ρ = :0:− = 1 : 0 : −1 2t 2t
7.4 全量理论
9 dε e 2 = 2σ e 2 dλ 2 2
∴
3 dε e dλ = 2 σe
2 1 ' dε x = σ x dλ = (σ x − σ m )dλ = [σ x − (σ y + σ z )]dλ 3 2 dε e 1 [σ x − (σ y + σ z )] = 2 σe dε e 1 [σ y − (σ z + σ x )] dε y = σe 2 dε e 1 [σ z − (σ x + σ y )] dε z = σe 2 3dε e 3dε e 3dε e τ xy dε yz = τ yz dε zx = τ zx dε xy = 2σ e 2σ e 2σ e
2、Prandtl-Reuss理论-塑性增量方程 Prandtl-Reuss理论理论
总应变增量由弹、塑性两部分组成：
dε ij = dε ij + dε ij
p
e
p 3 dε P e σ ij' dε ij = dλσ ij' = 2 σe dε e = 1 dσ ' + 1-2ν dσ δ ——Hook定律求微分 m ij ij 2G ij E
' ε x' ε y ε z' ε xy ε yz ε zx 1 = ' = ' = = = = ' σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx 2G
比列及差比形式：
ε x − ε y ε y − ε z ε z − ε x ε xy ε yz ε zx 1 = = = = = = σ x − σ y σ y − σ z σ z − σ x τ xy τ yz τ zx 2G
I
F
'
后继屈服轨迹
J εD a) ε, γ b) E A C σ
不同加载路线的应力与应变
a ) 应力—应变曲线
b ) 屈服轨迹
τ D B I
初始屈服轨迹
F (σ f , τ f )
F'
J
后继屈服轨迹
O
E
A
C σ
b)
τ D B I
初始屈服轨迹
F (σ f , τ f )
F'
J
后继屈服轨迹
O
E
A
C σ
由应力-应变曲线：
σ e = 80ε e 0.25 kg / mm
εe = (
由全量理论：
σe
80
)4 = (
25 3 4 ) 80
t 3 εe ' 3 εe 3 ε r = ln = ⋅ σ r = ⋅ × 25 = εe t0 2 σ e 2 25 3 2
所以：
t = t0 exp(−
3 εe ) 2 =t 0 (−0.0743) = 0.9288t 0 = 3.72mm
ห้องสมุดไป่ตู้
σ 2≥ ≤
σ1 + σ 3
2
ε2 ≥ 0 ≤
中间关系
顺序对应关系和中间关系统称为应力应变对应规律 其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断
σ1 > σ 2 > σ 3
(σ 1 − σ m ) > (σ 2 − σ m ) > (σ 3 − σ m )
根据Levy-Mises方程
d ε1 dε 2 dε3 = = = dλ (σ 1 − σ m ) (σ 2 − σ m ) (σ 3 − σ m )
1 dε ij' = dλσ ij' + 2G dσ ij' 1 1-2ν → dε ij = dλσ ij' + dσ ij' + dσ mδ ij 2G E dε = 1-2ν dσ m m E
σ 3'
π面
dε ijp
S
增量理论特点： 增量理论特点：
O
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论 的差别在于前者考虑弹性变形而后者 不考虑 都指出了塑性应变增量与应变偏量之 间的关系 整个变形由各个瞬时变形累加而得， 能表达加载过程的历史对变形的影响， 能反映出复杂的加载情况 卸载时仍按虎克定律求解
7.2 塑性变形时应力应变关系特点
体积不变，泊松比v=0.5
应力、应变为非线性关系
全量应变与应力主轴不一定重合
塑性变化不可逆——无单值一一对应 关系——与加载路径有关
对于应变硬化材料，卸载后的屈服应 力比初始屈服应力高
τ σ, τ C σS A D O τS B O εC D B
初始屈服轨迹
F (σ f ,τ f )
广义虎克定律改写为：
结论：在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者与球应 结论： 力分量成正比，后者与偏差应力分量成正比，写成张量形式：
弹性变形时的应力应变关系的特点：
应力与应变完全成线性关系，即应 力主轴与全量应变主轴重合 弹性变形是可逆的，与应变历史 （加载过程无关），应力与应变之 间存在统一的单值关系 弹性变形时，应力张量使物体产生 体积变化，泊松比小于0.5
由于初始应变为零的变形过程，可视为几 d ε1 > d ε 2 > d ε 3 个阶段组成，在时间间隔t1中，应变增量为
d ε1 t 2 = (σ 1 − σ m ) t 2 d λ2 d ε1 t1 = (σ 1 − σ m ) t1 d λ1 d ε 2 t1 = (σ 2 − σ m ) t1 d λ1 在时间间隔t2中 d ε 2 t 2 = (σ 2 − σ m ) t 2 d λ2 d ε 3 t 2 = (σ 3 − σ m ) t 2 d λ2 d ε 3 t1 = (σ 3 − σ m ) t1 d λ1 d ε1 tn = (σ 1 − σ m ) tn d λn 在时间间隔tn中 d ε 2 tn = (σ 2 − σ m ) tn d λn d ε 3 tn = (σ 3 − σ m ) tn d λn