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《大学物理I 》答题纸
第九章
第九章真空中的静电场
g R 2 I
Eg2 rL= ，即:
选择题
[B ]1 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线， 电荷线密度分别
为+ （xv 0）和一（x > 0），贝U Oxy 坐标平面上点（0, a ）处的场强E 为 y 水
(0, a)
(C)
i - (D)
i j -
4
a
4
a
【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在 （0, a ）处产生的场强大小 E +、E -大小为： E E 1
_ ，方向如图。 Q °a 矢量叠加后，合场强大小为: +
E 合 ，方向如图。 2 0a
:B ] 2半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距轴线的距离r 的关系曲线为:
【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆 柱面（半径为r ,高度为L ）为高斯面，据Guass 定理： R 时，
有:
Eg2 rL=
即:
R 时，有:
[C ] 3如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的 A 角上，则通过侧面abed
的电场强度通量等于:
【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使 A 处于大立方体的中
心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。 由Gauss 定理知，通过该高斯面
的电通量为 q 。再据对称性可知，通过侧面
abcd 的电场强度通量等于
[C ] 5已知某电场的电场线分布情况如图所示.现观察 到一负电荷从
M 点移到N 点?有人根据这个图作出下列几点结论, 其中哪点是正确的？
(A)电场强度 E M v E N . (B)电势U M V U N . (C)电势能 W M V W N . (D)电场力的功 A >0.
【提示】：静电力做负功，电势能增加。
二.填空题
1已知空气的击穿场强为 30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为 势零
点，则这球壳能达到的最高电势是 1.5 106
V .
【提示】：球壳电势为：V —
4
R
(A)
D : 4 q 4
a
在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点
q
8 °a
，贝U M 点的电势为
(B)
+q
(C)
(D)
8
o
a
【提示】：
V M
P
v v
M E 0
q 8
a
(A)
(B )
12 o
(C)
24 0
(D )
48 o
q
---- 。
24 0
1 m ,以无限远处为电
球壳表面处的场强为:
R 2
2在点电荷+ q和一q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S i、S2> S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别是：
q
2 = 0 , q
1 = , 3 = —
00
【提示】：直接由高斯定理得到。
3半径为R的半球面置于场强为E的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示?则通过该半球面的电场强度通量为R2E .
【提示】： E S EgdS R2E
4两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别
为+ 和+ 2 ，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：
3 3
E A=, E B=, E c= （设方向向右为正）?
2 0 2 0 2 0
【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。
5电荷分别为q i, q2, q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点
上，如图所示.圆半径为R,贝U b点处的电势U =
1 _ .._
-（何 q2 ◎）.
8 o R
【提示】：设无穷远处为电势零点，则点电荷在空间任一点
产生的电势为：V,8为点电荷q到场点P的距离。题中b点的电势为q i、q2、q3
4 o「p
在该点独自产生电势的代数和。
6真空中电荷分别为q i和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作
用电势能W=鱼坠.（设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零）
4 o r
【提示】：电荷系统的相互作用电势能，即建立该电荷系统，外力所作的功。固定将q2从无限远处移到指定位置处，外力克服电场力所作的功为：
q1q1q2
qzM V ） q2（10）也
4 0r 4 0r
三.计算题
+ +2
I ■
ABC
q1,
1将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为
，四分之
一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强.
【解】：在0点建立坐标系如图所示。 半无限长直线 A O 在0点产生的场强:
四分之一圆弧段在 0点产生的场强:
E 3
由场强叠加原理，0点合场强为:
，边长a = 0.1 m ,位于图中所示位置.已知空间的场强分 常量b = 1000 N/(C ? m).试求通过该高斯面的电通量.
2a
【解】：通过x = a 处平面1的电场强度通量
1
= - E 1 S 1= - b a '
通过x = 2a 处平面2的电场强度通量
2
= E 2 S? = b a 3
其它平面的电场强度通量都为零.因而通过该高斯面的总电场强度通量为 =1+ 2 = b a 3- b a 3 = b
a 3 =1 N ? m 2/C
3带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线密度为 =0Sin ，式中0为一常数， 为半
径R 与x 轴所成的夹角，如图所示.试求环心
0处的电场强度.
O
O
O O
O O
O O
A
1
2
E 1
y E 2
巳7
半无限长直线B O 在0点产生的场强：
o
R
E 2
4 o R
o
R
E i
E 2
E 3
2真空中一立方体形的高斯面 布为： E x =bx , E y =0 , E z =0.
【解】：在 处取电荷元，其电荷
为
它在0点产生的场强为
在x 、y 轴上的二个分量
对各分量分别求和：
sin cos d 4 o R 0
4如图所示，在电矩为 p 的电偶极子的电场中，将一电荷为 q 的点电荷从A 点沿半径 为R 的圆弧（圆心与电偶极子中心重合， R>>电偶极子正负电荷之间距离 ）移到B 点，求此过 程中电场力所作的功.
【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势
U p r / 4 o r 3
式中r 为从电偶极子中心到场点的矢径. 于是知：A 、B 两点电势分别为
U A p/4 o R 2
U B p/ 4 o R 2
p p
q 从A 移到B 电场力作功（与路径无关）为
A q U A U
B qp/ 2
°
R 2
5图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为
E y ——
si n 2 d
y
4 o R o o
8 o R
E E x i E y j
o .
8 o R j
dq = dl = o Rsin d
dq o si nd d E 2 4 o R 4 o R
dE x = — dEcos dE y =
，球层内表面
第第九九章章 导导体体和和电电介介质质中中的的静静电电场场 引言： 一、导体、电介质、半导体 导体：导电性能很好的材料；例如：各种金属、电解质溶液。 电介质（绝缘体）：导电性能很差的材料；例如：云母、胶木等。 半导体:导电性能介于导体和绝缘体之间的材料； 二、本章内容简介 三、本章重点和难点 1. 重点 （1）导体的静电平衡性质； （2）空腔导体及静电屏蔽； （3）电容、电容器； 2. 难点 导体静电平衡下电场强度矢量、电势和电荷分布的计算； 第一节 静电场中的导体 一、静电感应 静电平衡 1. 静电感应 （1）金属导体的电结构 从微观角度来看，金属导体是由带正电的晶格点阵和自由电子构成，晶格不动，相当于骨架，而自由电子可自由运动，充满整个导体，是公有化的。例如：金属铜中的自由电子密度为： () 328108-?=m n Cu 。 当没有外电场时，导体中的正负电荷等量均匀分布，宏观上呈电中性。 （2）静电感应 当导体处于外电场E 0中时，电子受力后作定向运动，引起导体中电荷的重新分布。结果在导体一侧因电子的堆积而出现负电荷，在另 一侧因相对缺少负电荷而出现正电荷。这就是静电感应现象，出现的电荷叫感应电荷。 2. 静电平衡 不管导体原来是否带电和有无外电场的作用，导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动的状态称为导体的静电平衡状态。
（a ）自由电子定向运动 （b ）静电平衡状态 3. 静电平衡条件（静电平衡态下导体的电性质） （1）导体内部任何一点处的电场强度为零；导体表面处电场强度的方向，都与 导体表面垂直。 （2）在静电平衡时，导体内上的电势处处相等，导体是一个等势体。 证明： 假设导体表面电场强度有切向分量，即0≠τE ，则自由电子将沿导体表 面有宏观定向运动，导体未达到静电平衡状态，和命题条件矛盾。 因为00==τE E ，内，所以0,0==τd dU dl dU ，即导体为等势体，导体表面为等势 面。 二、静电平衡时导体上电荷的分布 1. 实心导体 （1）处于静电平衡态的实心导体，其内部各处净电荷为零，电荷只能分布于导体外表面。 证明：在导体内包围P 点作闭合曲面S ，由静电平衡条件 =内E ，所以由高斯定理： ==?? ∑S q S d E ε内内 ，得0 =∑内q 。 （2）处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷面密度与表面邻近处场强大小成正比。 证明：在导体表面任取无限小面积元ΔS ，认为它是电荷分布均匀的带电平面，电荷面密度为σ，作高斯面（如图：扁平圆柱面），轴线与表面垂直，Δl 很小，由高斯定理： 2 cos 0εσπ S S E S E S S E S d E S d E S d E S d E S ?= ?=?+??+?=?+?+?=??? ??表侧表表侧 表下底 内上底 由此得 表E 0εσ=，即n E 0 εσ=表 (9-1) 注意和结论： ★ 表E ∝σ； ★ n 为导体表面的外法线方向单位矢量； ★ 表E 由导体上及导体外全部电荷所产生的合场强，而非仅由导体表面该 点处的电荷面密度所产生。 例如：孤立的半径为R 的均匀带电球面，球面外邻近处P 点的场强大小为 02 04εσ πε= = R q E P 由整个球面上电荷共同产生。 带电球附近有点电荷q 1时，同一P 点处的场强由球面上原有电荷q 和点
姓名 学号 《大学物理I 》答题纸 第九章 第九章真空中的静电场 g R 2 I Eg2 rL= ，即: 选择题 [B ]1 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线， 电荷线密度分别 为+ （xv 0）和一（x > 0），贝U Oxy 坐标平面上点（0, a ）处的场强E 为 y 水 (0, a) (C) i - (D) i j - 4 a 4 a 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在 （0, a ）处产生的场强大小 E +、E -大小为： E E 1 _ ，方向如图。 Q °a 矢量叠加后，合场强大小为: + E 合 ，方向如图。 2 0a :B ] 2半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距轴线的距离r 的关系曲线为: 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆 柱面（半径为r ,高度为L ）为高斯面，据Guass 定理： R 时， 有: Eg2 rL= 即: R 时，有:
[C ] 3如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的 A 角上，则通过侧面abed 的电场强度通量等于: 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使 A 处于大立方体的中 心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。 由Gauss 定理知，通过该高斯面 的电通量为 q 。再据对称性可知，通过侧面 abcd 的电场强度通量等于 [C ] 5已知某电场的电场线分布情况如图所示.现观察 到一负电荷从 M 点移到N 点?有人根据这个图作出下列几点结论, 其中哪点是正确的？ (A)电场强度 E M v E N . (B)电势U M V U N . (C)电势能 W M V W N . (D)电场力的功 A >0. 【提示】：静电力做负功，电势能增加。 二.填空题 1已知空气的击穿场强为 30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为 势零 点，则这球壳能达到的最高电势是 1.5 106 V . 【提示】：球壳电势为：V — 4 R (A) D : 4 q 4 a 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 q 8 °a ，贝U M 点的电势为 (B) +q (C) (D) 8 o a 【提示】： V M P v v M E 0 q 8 a (A) (B ) 12 o (C) 24 0 (D ) 48 o q ---- 。 24 0 1 m ,以无限远处为电 球壳表面处的场强为: R 2
第09章-静电场
第九章 静电场 填空题 1. 一半径为R 的金属空心球壳均匀带电，电荷面密度为σ。 设无穷远处为电势零点，则球内任意一点的电势U ＝_____，电场强度E =_____。0 /R σε， 2. 一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距离增加，则二极板间场强________，电容________． (填增大或减小或不变) 不变， 减小 3. 一正点电荷带电量q ，A 、B 、C 三点到点电荷距离分别为A r 、B r 、C r 。若选B 点的电势为零， 则Ａ点的电势为_____________，Ｃ点的电势为____________。 2 00 11 ( )44B A r A r A B q q V dr r r r πεπε==-? 2 001144B C r C r B C q q V dr r r r πεπε?? ==-- ??? ? 4. 一均匀静电场，电场强度()j i E ? ??600400+= V ·m - 1，则点a (3,2)和点b (1,0) 之间的电势差U ab ＝________． (点的坐标x ,y 以米计) －2×103 V 5、一个不带电的金属球壳的内、外半径分别为R 1和R 2，今在中心处放置一电荷为q 的点电荷，则球壳的电势U =____________． 2 04R q επ 6、由一根绝缘细线围成的边长为l 的正方形线框，使它均匀带电，其电荷线密度为λ，则在正方形中心处的电场强度的大小E ＝______．0 7. 一半径为R 的均匀带电球面，带有电荷Q ． 若规定该球面上电势值为零．则 q ⊕ A B C g g g
学科素养提升 科学思维1 三个自由点电荷的平衡问题 1.条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。 2.规律 “三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。 “两同夹异”——正负电荷相互间隔。 “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。 “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 三个点电荷的电荷量满足q 1q 3＝q 1q 2＋q 2q 3。 [例1] 在真空中有两个相距r 的点电荷A 和B ，带电荷量分别为q 1＝－q ，q 2＝4q 。 (1)若A 、B 固定，在什么位置放入第三个点电荷q 3，可使之处于平衡状态？平衡条件中对q 3的电荷量及正负有无要求？ (2)若以上三个点电荷皆可自由移动，要使它们都处于平衡状态，对q 3的电荷量及电性有何要求？ 解析 (1)q 3受力平衡，必须和q 1、q 2在同一条直线上，因为q 1、q 2带异号电荷，所以q 3不可能在它们中间。再根据库仑定律，库仑力和距离的平方成反比，可推知q 3应该在q 1、q 2的连线上，q 1的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示。 设q 3离q 1的距离是x ，根据库仑定律和平衡条件列式 k q 3q 1x 2－k q 3q 2（x ＋r ）2 ＝0 将q 1、q 2的已知量代入得x ＝r ，对q 3的电性和电荷量均没有要求。 (2)要使三个电荷都处于平衡状态，就对q 3的电性和电荷量都有要求，首先q 3不
能是一个负电荷，若是负电荷，q 1、q 2都不能平衡，也不能处在它们中间或q 2的外侧，设q 3离q 1的距离是x 。根据库仑定律和平衡条件列式如下： 对q 3：k q 3q 1x 2－k q 3q 2（x ＋r ） 2＝0 对q 1：k q 1q 3x 2－k q 1q 2r 2＝0 解上述两方程得q 3＝4q ，x ＝r 。 答案 (1)在q 1的外侧距离为r 处，对q 3的电性和电荷量均没有要求 (2)电荷量为4q 带正电 方法归纳 三个电荷均处于平衡状态，每个电荷所受另外两个电荷的静电力等大反向，相互抵消；三个电荷一定处在同一条直线上，且必定是两同一异，异种电荷的电荷量最小且位于中间，距离两同种电荷中较小的电荷较近。 科学思维2 巧用“对称法”解电场的叠加问题 1.技巧：对称法求电场强度时常利用中心对称、轴对称等。 2.方法 (1)确定对称性——是电荷对称，还是相对电荷对称。 (2)确定某对称点的电场强度——常利用公式E ＝k Q r 2来确定电场强度大小。 (3)确定对称点的合电场强度——根据对称性确定两电荷在对称点的合场强，或者某电荷在另一对称点的场强，再利用矢量合成的方法求合场强。 [例2] 下列选项中的各14圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀 分布，各14圆环间彼此绝缘。坐标原点O 处电场强度最大的是( ) 解析 设带电荷量为q 的14圆环在O 点处产生的场强大小分别为E 0，根据对称性
静电场及其应用 一、单选题（本大题共12小题，共48.0分） 1.如图所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接 触．把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开， 则() A. 此时A带正电，B带负电 B. 此时A电势低，B电势高 C. 移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合 D. 先分开A、B，再移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合 2.相距为L的点电荷A，B带电荷量分别为+4q和?q，如图所示，今引入第三个点电荷C，使三 个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是() A. -q，在A左侧距A为L处 C. B. -2q，在A左侧距A为L/2处 +4q，在B右侧距B为L处 D. +2q，在B右侧距B为3L/2处 3.两个质量分别是m1、m2的小球(可视为质点)，各用丝线悬挂在同一点， 当两球分别带同种电荷，且电荷量分别为q1、q2时，两丝线张开一定的角 度θ1、θ2，如图所示，此时两个小球处于同一水平面上，若θ1>θ2则一定 A. m1>m2 B. q1>q2 C. m1 A. 库仑定律适用于点电荷，也适用于一切带电体 B. 根据F=k q1q2 r2 ，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大 C. 若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力 D. 所有带电体的电荷量一定等于元电荷的整数倍 6.真空中两个完全相同、带等量异种电荷的金属小球A和B(可视为点电荷)，分别固定在两处，它 们之间的静电力为F。用一个不带电的同样金属球C先后与A，B球接触，然后移开球C，此时A，B球间的静电力为 A. F 8B. F 4 C. 3F 8 D. F 2 7.有关电场强度的理解，下述说法正确的是() A. 由E=F q 可知，电场强度E跟放入的电荷q所受的电场力F成正比 B. 当电场中存在试探电荷时，电荷周围才出现电场这种特殊的物质，才存在电场强度 C. 由E=k Q r2 可知，在离点电荷很近的地方，r接近于零，电场强度为无穷大 D. 电场强度是反映电场本身特性的物理量，与是否存在试探电荷无关 8.如图所示的各电场中，A、B两点电场强度相同的是() A. B. C. D. 9.如图所示，真空中xOy平面直角坐标系上的ABC三点构成等 边三角形，边长L，将电荷量均为q的两个正点电荷分别固定 在A、B点，已知静电力常量为k，则E C大小为 A. √3kq L2B. 2√3kq L2 C. kq L2 D. 2kq L2 10.如图，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场(图中未画出)，电场强度大小为 E。坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形。若将 两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点时，C点处的电 场强度恰好为零。则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为 () 第九章 静电场中的导体和电介质 9-1 把一厚度为d 的无限大金属板置于电场强度为0E 的匀强电场中，0 E 与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度． 分析 对于有导体存在的静电场问题，首先由静电 平衡条件分析放入静电场后导体上电荷的重新分布情况，再计算空间电场和电势的分布． 本题中，将金属板放入均匀电场后，由于静电感应，平板两面带上等值异号感应电荷．忽略边缘效应，两带电面可视为平行的无限大均匀带电平面． 解 设平板两表面的感应电荷面密度分别为σ'和 σ'-，如图9-1所示．由例题8-7结果知，带感应电荷 的两表面视为带等量异号电荷的无限大平行平面，在导体中产生的场强为0 εσ' ='E ，方向与0E 相反，由场强叠加原理，平板中任一点的总场强为 00εσ'- ='-=E E E E 根据静电平衡条件，金属板中场强0=E ，代入上式得 00 0=' - εσE 则 00εσE ='， 00εσE -='- 结果与板的厚度无关． 9-2 一金属球壳的内外半径分别为R 1和R 2，在球壳内距球心为d 处有一电荷量为q 的点电荷，（1）试描述此时电荷分布情况及球心O 处电势；（2）将 球壳接地后，以上问题的答案；（3）如原来球壳所带电荷量为Q ，（1）、（2）的答案如何改变． 分析 当导体内达到静电平衡后，应用高斯定理可以确定导体上电荷重新分布的情况，然后用电势叠加原理求电势． 解 （1）按照静电平衡条件，导体内部 0=E ， 在球壳内外表面间作同心高斯球面，应用高斯定理，可知球壳内表面上应有q -的感应电荷，为非均匀分布，如图9-2所示．根据电荷守恒定律和高斯定理，球壳外表面上有+q 的感应电荷，且均匀分布． 点电荷q 在O 点产生的电势为 d q V 0= πε41 球壳内外表面上的感应电荷q -和+q 无论分布情况如何，到球心距离分别为 R 1和R 2，电势叠加原理表达式为标量求和，所以在O 点产生的电势分别为 1 24R q V 0- =πε 234R q V 0= πε O 点电势为 2 1 321444R q R q d q V V V V 000+ - = ++=πεπεπε 1 11( 42 1R R d q +-= πε （2）将球壳接地后，外球面上的感应电荷消失，球面上电荷分布不变，得 )11(4121R d q V V V -= +=0πε （3）如果原来球壳带电量为Q ，达静电平衡后外球面上电荷Q +q 均匀分布， 一． 选择题 [ B ]1 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别 为＋λ(x ＜0)和－λ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E ? 为 (A) 0． (B) i a ? 02ελπ． (C) i a ?04ελπ． (D) ()j i a ? ?+π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： E E +-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε= 合，方向如图。 ［ B ］2 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面，据Guass 定理： S E dS=i i q ε∑?v v g ? r R ≤时，有：20 r 2rL= L E ρππεg g ，即：0=r 2E ρεg r R >时，有：20R 2rL= L E ρππεg g ，即：2 0R =2r E ρεg ［ C ］3 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 ［ D ］4 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? v v g ［ C ］5 已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度E M ＜E N ． (B) 电势U M ＜U N ． (C) 电势能W M ＜W N ． (D) 电场力的功A ＞0． 【提示】：静电力做负功，电势能增加。 二．填空题 1 已知空气的击穿场强为30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为1 m ，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5?106V ． 【提示】：球壳电势为：04Q V R πε= 球壳表面处的场强为：200 4Q E R σεπε== 第九章真空中的静电场 选择题 [B ]1 图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+ （xv 0）和一（x> 0），贝U Oxy坐标平面上点（0, a）处的场强E为 y水 (0, a) (C) i - (D) i j - 4 0a 4 0a 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线 在 （0, a）处产生的场强大小E+、E-大小为： E E 1_ ，方向如图。 Q °a 矢量叠加后，合场强大小为: + E合，方向如 图。 2 0a :B ] 2半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小 E与距轴线的距离r的关系曲线为: 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆 柱面（半径为r,高度为L）为高斯面，据Guass 定 理： R时， 有: Eg2 rL= 2 | 彗丄，即: R时， 有: g R21 Eg2 rL= ， 即: [C : 3如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的 的电场强度通量等于 q (A) 6 0 (C X 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使 A 处于大立方体的中 心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。 由Gauss 定理知，通过该高斯面 的电通量为 q 。再据对称性可知，通过侧面 abcd 的电场强度通量等于 [C ] 5已知某电场的电场线分布情况如图所示.现观察 到一负电荷从 M 点移到N 点?有人根据这个图作出下列几点结论, 其中哪点是正确的？ (A)电场强度E M v E N . (C)电势能W M V W N . 二.填空题 【提示】：静电力做负功, 电势能增加。 A 角上，则通过侧面abed q ---- 。 24 0 (A) D : 4 q 4 a 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 q 8 a ,贝U M 点的电势为 (B) +q (C) q 4 a (D) 8 q 0a 【提示】：V M P v v M E 0 q 8 a (B)电势 U M v U N . (D)电场力的功A >0. 1已知空气的击穿场强为 势零点，则这球壳能达到的最高电势是 【提示】：球壳电势为：V - 4 球壳表面处的场强为： E — 0 30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为 1.5 106V . Q 0R Q 4 R 2 0 1 m ,以无限远处为电 第9章 真空中的静电场 习题解答 9－5 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零。 解：设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。 在圆弧上取一弧元d s =R d φ，所带的电量为 d q = λd s 在圆心处产生的场强的大小为 2200d d d d 44q s E k r R R λλ?πεπε=== 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ 总场强为 2/2 0/2 cos d 4x E R πθθ λ?? πε--= ?2/2 0/2 sin 4R πθθλ? πε--= 0sin 22 R λθ πε= 方向沿着x 轴正向。 再计算两根半无限长带电直线在圆心O 产生的场强． 根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为 04E R λ πε'= 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为 02cos cos 2 22 x E E R θ λθ πε''== 方向沿着x 轴负向 当O 点合场强为零时，必有x x E E '=，可得 tan θ/2 = 1 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2 9－6 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。试求 平板所在平面内，离薄板边缘距离为a 的P 点处的场强。 解： 建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为 d λ = σd x 根据直线带电线的场强公式 02E r λ πε= 得带电直线在P 点产生的场强为 00d d d 22(/2) x E r b a x λ σπεπε= = +- 其方向沿x 轴正向。 由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总为 /2 0/2 1 d 2/2b b E x b a x σπε-= +-? /2 /2 ln(/2)2b b b a x σ πε--=+-0ln(1)2b a σπε= + ① 场强方向沿x 轴正向。 9－7 有一半径为r 的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处的电场强度。 解: 如图所示，在球面上任取一面元 ?θθd d sin d 2r S =，其上带电量为 ?θθσσd d sin d d 2r S q =?=，电荷元q d 在球心处产生的场强的大小为 2 2020d d sin 41d 41 d r r r q E ? θθσπεπε== 方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向 竖直向下，其大小为 20 2 04 d cos sin 4d cos d εσ θθθπεσ?θπ π = ===???E E E z 9－10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 2 > R 1)，带有等量异号电 荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强。 解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。 （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以 E = 0，（r < R 1） （2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl 穿过高斯面的电通量为 第9章 静电场 9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T ，重力mg 以及库仑力F 的作用，则有mg T =θcos 和F T =θsin ,∴θmgtg F =,由于θ很小，故 l x mg mg mg x q F 2sin tg 41 220=≈==θθπε ∴ 3 /1022? ?? ? ??m g l q πε 9-2 设q 1,q 2在C 点的场强分别为1E 和2E ，则有 1 1 q 方向沿∴ C 设E 的方向与CB 的夹角为α，则有 ?===--7.337 .28 .11211 tg E E tg α 9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元l q d d λ=，它在圆心O 处的场强为 2 01d 41d R l E λπε= ，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两 带电圆弧中对应电荷元在圆心O 处产生的d E 1和d E 2在x 方向分量相 互抵消。 习题9-1图 习题9-3图 0=∴x E ，圆心O 处场强E 的y 分量为 ??? ? ??-= ==??2312sin d 412sin d 41202 6 2 6 0R R R R l E y πελθθ λπεθλπεπ π 方向沿y 轴正向。 9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d 1的P 点为坐标原点,x 轴向右为正。设带电细棒电荷元x q d d λ=至P 点的距离x ，它在P 点的场强大小为 2 0d 41d x x E P λπε= 方向沿x 轴正向 各电荷元在P 点产生的场强方向相同，于是 ? ?-+-= =1 1)(20d 41 d d L d P P x x E E πε 方向沿x （2Q 点距离为r ，电荷元在Q 以E x =0, 因θθθπθθd csc d d ,d 2d ,csc d 2 2222= -=?? ? ? ? - ==x ctg tg x r ∴ θθπελ θλπεd sin d 4sin d 41d 202 == r x E y )c o s (c o s d 4d s i n d 4d 212 0202 1 θθπελθθπελθθ -== =??y y E E 其中 2 2 2 22 2 2 1) 2/(d 2/c o s , ) 2/(d 2/c o s L L L L +- =+= θθ 习题9-4图（a ） 习题9-4图（b ） 章末检测 (时间：90分钟 满分100分) 一、选择题(本大题共11个小题，共66分。在每小题所给的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～11题有多项符合题目要求，每小题满分6分。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。) 1.如图所示的电场中，一带电质点从P 点沿着电场线方向运动，若只受静电力作用，质点加速度逐渐增大的是( ) 解析 电场线疏密表示电场强度的大小。A 选项中电场强度减小；B 选项中电场强度增大；C 选项中电场强度不变；D 选项中电场强度先增大后减小，再由a ＝F m ＝qE m 知，a ∝E 。故本题选B 。 答案 B 2.一负电荷从电场中A 点由静止释放，只受静电力作用，沿电场线运动到B 点，它运动的速度—时间图像如图所示，则A 、B 两点所在区域的电场线分布情况可能是( ) 解析 由速度—时间图像可知，负电荷做加速度逐渐增大的加速运动，再由电场线的分布特点可知C 选项正确。 答案 C 3.(2018·全国卷Ⅰ，16)如图，三个固定的带电小球a 、b 和c ，相互间的距离分别为ab ＝5 cm ，bc ＝3 cm ，ca ＝4 cm 。小球c 所受库仑力的合力的方向平行于a 、b 的连线。设小球a 、b 所带电荷量的比值的绝对值为k ，则( ) A.a 、b 的电荷同号，k ＝169 B.a 、b 的电荷异号，k ＝16 9 C.a 、b 的电荷同号，k ＝64 27 D.a 、b 的电荷异号，k ＝64 27 解析 如果a 、b 带同种电荷，则a 、b 两小球对c 的作用力均为斥力或引力，此时c 在垂直于a 、b 连线的方向上的合力一定不为零，因此a 、b 不可能带同种电荷，A 、C 错误；若a 、b 带异种电荷，假设a 对c 的作用力 为斥力，则b 对c 的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c 所受库仑力的合力方向平行于a 、b 的连线，则F a 、F b 在垂直于a 、b 连线的方向上的合力为零，由几何关系可 知F a F b ＝1tan α＝43，又由库仑定律得F a F b ＝??????q a q b ·r 2bc r 2ac ，联立解得k ＝|q a q b |＝6427 ，B 错误，D 正确。 答案 D 4.均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB 上均匀分布正电荷，总电荷量为q ，球面半径为R ，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M 、N 两点，OM ＝ON ＝2R 。已知M 点的场强大小为E ，则N 点的场强大小为( ) A.kq 2R 2－E B.kq 4R 2 C. kq 4R 2－E D. kq 4R 2＋E 解析 完整球壳在M 点产生电场的场强为k 2q （2R ）2＝kq 2R 2， 根据电场叠加原理，右半球壳在M 点产生电场的场强为kq 2R 2－E ，根据对称性，左半球壳在N 点产生的电场的场强为kq 2R 2－E ，选 项A 正确。 答案 A 5.有一接地的导体球壳，如图所示，球心处放一点电荷q ，达到静电平衡时，则( ) A.q 的电荷量变化时，球壳外电场随之改变 B.q 在球壳外产生的电场强度为零 C.球壳内、外表面的电荷在壳外的合场强为零 D.q 与球壳内表面的电荷在壳外的合场强为零 解析 当导体球壳接地时，壳内电荷在壳外表面所产生的感应电荷流入大地，这时壳内电荷 第九章 真空中的静电场 一． 选择题 [ B ]1 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别 为＋(x ＜0)和－ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： 022E E a πε+-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε= 合，方向如图。 ［ B ］2 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为： ^ 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面，据Guass 定理： S E dS= i i q ε∑? r R ≤时，有：20 r 2rL= L E ρππε，即：0=r 2E ρε O +λ -λx y (0, a ) E O r (C) E ∝1/r R E O r (A) E ∝1/r E O r (B) E ∝1/r R E O r (D) E ∝1/r E + ^ E 合 +λ -λ x y (0, a ) r R >时，有：20R 2rL= L E ρππε，即：2 0R =2r E ρε ［ C ］3 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 0 6εq ． (B) 012εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面 的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 ［ D ］4 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． < (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［ C ］5 已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的 (A) 电场强度E M ＜E N ． (B) 电势U M ＜U N ． (C) 电势能W M ＜W N ． (D) 电场力的功A ＞0． 【提示】：静电力做负功，电势能增加。 — 二．填空题 1 已知空气的击穿场强为30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为1 m ，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是106V ． 【提示】：球壳电势为：04Q V R πε= ： A b c a q a a +q P M -q M N 新人教版必修第三册第九章库仑定律电场电场强度第1课时电场强度巩固 作业 一、选择题 1.下列四个选项中的各点电荷互不影响且所带电荷量的绝对值均相同,电荷的电性以及在坐标系中的位置已经标出。则坐标原点O处电场强度最大的是( ) 2.如图所示,中子内有一个电荷量为+e的上夸克和两个电荷量为-e的下夸克,三个夸克都分布在半径为r的同一圆周上,则三个夸克在圆心处产生的电场强度大小为(深度解析) A. B. C. D. 3.如图所示,O是半径为R的正六边形外接圆的圆心,在正六边形的一个顶点放置一电荷量为+q的点电荷,其余顶点分别放置电荷量均为-q的点电荷。则圆心O处的场强大小为( ) A. B. C. D.0 4.下列选项中的各圆环大小相同,所带电荷量已在图中标出,且电荷均匀分布,各圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是( ) 5.如图所示,正方形线框由边长为L的粗细均匀的绝缘棒组成,O是线框的中心,线框上均匀地分布着正电荷,现在线框上侧中点A处取下足够短的带电荷量为q的一小段,将其沿OA连线延长线向上移动的距离到B点处,若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变,则此时O点的电场强度大小为( ) A.k B.k C.k D.k 6.电荷量为+Q的点电荷和接地金属板MN附近的电场线分布如图所示,点电荷与金属板相距为2d,图中P点到金属板和点电荷的距离均为d。已知P点的电场强度为E0,则金属板上的电荷在P点处产生的电场强度E的大小为( ) A.0 B.E0- C. D. 6.关于电场和电场线,下列说法正确的是() A.电场和电场线都是客观存在的 B.没有画电场线的地方不存在电场 C.电场线的方向即带电粒子的运动方向 D.电场线越密,电场强度越大 7.(多选)下列关于电场线的说法中正确的是( ) A.电场线不是实际存在的线,而是为了形象地描述电场而假想的线 B.越靠近正点电荷,电场线越密,电场强度越大,越靠近负点电荷,电场线越稀,电场强度越小 C.相邻两条电场线间的空白处,电场强度必定为零 D.同一电场的电场线在电场中不相交 8.如图所示,A、B为正点电荷形成的电场中的两点,下列说法正确的是( ) A.A、B两点场强大小相等 B.A、B两点场强方向不相同 C.正点电荷在A点所受的静电力方向向右 D.负点电荷在B点所受的静电力方向向右 9.真空中,两点电荷A、B产生的电场的电场线分布如图所示。下列说法正确的是( ) A.A、B为等量同种电荷 B.O点的场强为0 C.O点的电场强度比P点的电场强度大 D.O点与P点的电场强度方向相同 10.两平行带电金属板之间及周围的电场线分布如图所示,图中A、B两点的电场强度大小分别为E A和E B,则( ) 一． 选择题 [ B ]1 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别 为＋λ(x ＜0)和－λ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0．(B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】 ：左侧与右侧半无限长带电直线在(0 ，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： E E +-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε= 合，方向如图。 ［B ］ 2 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆 柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面，据Guass 定理： S E dS= i i q ε∑? r R ≤时，有：20 r 2rL= L E ρππε，即：0 = r 2E ρε r R >时，有：20R 2rL= L E ρππε，即：2 0R =2r E ρε ［C ］3 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的 电场强度通量等于： (A)0 6εq ． (B) 012εq ． (C) 024εq ．(D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中 心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 ［D ］4 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点，则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［C ］5 已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一 负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度E M ＜E N ． (B)电势U M ＜U N ． (C)电势能W M ＜W N ． (D)电场力的功A ＞0． 【提示】：静电力做负功，电势能增加。 二．填空题 1 已知空气的击穿场强为30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为1 m ，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5?106V ． 【提示】：球壳电势为：04Q V R πε= 球壳表面处的场强为：200 4Q E R σεπε= = 2 在点电荷＋q 和－q 的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S 1、S 2、S 3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别是： Φ1＝ q ε，Φ2＝0，Φ3＝0 q ε- ． 【提示】：直接由高斯定理得到。 3 半径为R 的半球面置于场强为E 的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示．则通过该半球面的电场强度通量为2 R E π． 【提示】：2E S E dS R E πψ= =? 4 两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为 ＋σ和＋2 σ，如图所示，则A 、B 、C 三个区域的电场强度分别为：E A ＝032σε- ，E B ＝02σε-，E C ＝0 32σε (设方向向右为正)． 1 2 3 +σ +2σ A B C 一． 选择题 [ B ]1 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别 为＋λ(x ＜0)和－λ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： E E +-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε= 合，方向如图。 ［ B ］2 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面，据Guass 定理： S E dS=i i q ε∑? r R ≤时，有：20 r 2rL=L E ρππε ，即：0=r 2E ρε r R >时，有：20R 2rL=L E ρππε ，即：2 0R =2r E ρε ［ C ］3 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 ［ D ］4 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［ C ］5 已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度E M ＜E N ． (B) 电势U M ＜U N ． (C) 电势能W M ＜W N ． (D) 电场力的功A ＞0． 【提示】：静电力做负功，电势能增加。 二．填空题 1 已知空气的击穿场强为30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为1 m ，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5?106V ． 【提示】：球壳电势为：04Q V R πε= 球壳表面处的场强为：200 4Q E R σεπε==《物理学基本教程》课后答案 第九章 静电场中的导体和电介质
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