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等比数列的前n项和(二)课时目标1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝a1(1－q n) 1－q＝a1－a n q1－q；当q＝1时，S n＝na1.2．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．(3)若{a n}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则S偶S奇＝q.3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于()A．33 B．72 C．84 D．189答案C解析由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)答案D解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．3．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( ) A.158或 5 B.3116或 5 C.3116 D.158答案 C解析 若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q， 解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n}是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)． 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30答案 C解析 q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10) ＝10×(1＋3)＝40.6．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元 答案 B解析 设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1. 二、填空题7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13. 8．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝ ________________________________________________________________________.答案 63解析 方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 4)1－q ＝48 ①a 1(1－q 8)1－q ＝60 ②由②÷①得1＋q 4＝54，∴q 4＝14 ③将③代入①得a 11－q＝64， ∴S 12＝a 1(1－q 12)1－q＝64(1－143)＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n＋S 2n ， 所以S 12＝(S 8－S 4)2S 4＋S 8＝(60－48)248＋60＝63. 9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 729解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)．10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________．答案 (1＋q )12－1解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从优质试题年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以优质试题年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问优质试题年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3. 故优质试题年最多出口12.3吨．12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在优质试题年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在优质试题年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n >13， 于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732. 两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 65732，即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8. 所以到优质试题年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.能力提升13．有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 8⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a 解析 用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a ，加水后浓度为⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2， 依次类推：a 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 8，a 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 9. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 8⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a . 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题．。
2.5等比数列的前n项和（2)一、选择题1．数列a n＝错误!，其前n项之和为错误!,则项数n为（)A．12 B．11 C．10 D．9答案：D2．已知等比数列｛a n｝的首项为1，公比为q,前n项和为S n，则数列错误!的前n项和为（）A.错误!B．S n q n－1C．S n q1－n D.错误!解析：数列错误!的首项为1，公比为错误!,它的前n项和为T n＝错误!＝错误!，又S n＝错误!,所以T n＝错误!·S n＝q1－n·S n.答案：C3．数列{a n}的通项公式a n＝错误!,则该数列的前________项之和等于9。
（）A．99 B．98 C．97 D．96解析：a n＝错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝（错误!－错误!)＋(错误!－错误!）＋…＋（错误!－错误!)＝错误!－1.令错误!－1＝9⇒n＋1＝100，所以n＝99.答案：A4．数列错误!，错误!,错误!，…，错误!，…的前n项和为（）A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!解析：因为错误!＝错误!错误!,得前n项和S n＝错误!(错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!)＝错误!错误!＝错误!。
答案:B5．已知数列｛a n}的前n项和为S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3),则S15＋S22－S31的值是（）A．13 B．－76 C．46 D．76解析：S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.答案：B二、填空题6．求和:1错误!＋3错误!＋5错误!＋…＋错误!＝______________．解析：S n＋1＝［1＋3＋…＋(2n＋1)］＋错误!＝n2＋2n＋2－错误!错误!.答案：n2＋2n＋2－错误!错误!7．已知数列｛a n｝的通项公式为a n＝log2(n2＋3)－2,那么log23是这个数列的第________项．解析:令a n＝log23⇒log2（n2＋3)－2＝log23⇒n2＋3＝12，所以n2＝9,n＝3。
第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习目标：1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1－qn1－q，它可以变形为S n ＝－a 11－q·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．思考：在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的取值是什么？[提示] 由题{a n }是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为13，∴k ＝－13.2．等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n－A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q . ②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．思考：在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，如何求S 6的值？ [提示] S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80，∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.[基础自测]1．思考辨析(1)等比数列{a n }共2n 项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q ＝2.( )(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1－1，则a ＝1.( )(3)若数列{a n }为等比数列，则a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．( ) (4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S 3，S 6，S 9成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×提示：(1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．2．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________. 2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.] 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.【导学号：91432227】(－2)n －1[当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，所以a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， 所以{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.]4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35，即a 5＋b 5＝35.][合 作 探 究·攻 重 难]等比数列前n 项和公式的函数特征应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )【导学号：91432228】A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n＝a ，∴数列{a n }是等比数列．] ）已知）若数列q n－，其中跟踪训练1．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.－13 [显然q ≠1， 此时应有S n ＝A (q n－1)， 又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.]等比数列前n 项和性质的应用[探究问题]1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？提示：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n， ∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m .同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍组成等比数列．2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？ 提示：由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q .(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21 D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________【导学号：91432229】思路探究：(1)由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列求解．(2)利用S 偶S 奇＝q ，及S 2n ＝S 奇＋S 偶求解． (1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21. ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28. (2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2.又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.]母题探究：1.(变条件)将例题(1)中的条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”求S 4n 的值．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－x ，－x2＝x －y －，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30.2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q ＝3，S 80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128”求此等比数列的项数．[解] 设等比数列为{a n }，项数为2n ，一个项数为2n 的等比数列中，S 偶S 奇＝q .则q ＝12， 又a n 和a n ＋1为中间两项，则a n ＋a n ＋1＝3128，即a 1q n －1＋a 1q n＝3128，又a 1＝12，q ＝12，∴12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3128⇒12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝3128⇒n ＝6. ∴项数为2n ＝12. 则此等比数列的项数为12.分组求和法已知数列{a n }构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n 项和恰为a n ，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n 项和，数列{a n }的通项公式求出后，计算其前n 项和S n 就容易多了． [解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…a n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝34(2n －1)＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.2．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .【导学号：91432230】[解] S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝n n ＋2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3A [设S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，∴S 10－S 5＝－k .由S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，∴S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.]2．等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则数列a 3，a 6，a 9，…，a 3n ，…的前n 项和为( )【导学号：91432231】A.a 1－q 2n1－qB.a 1－q 3n1－q 3C.a 3－q 3n 1－q3D.a 2－q 2n1－qC [等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a 3，a 6，…，a 3n 是等比数列，且首项为a 3，公比为a 6a 3＝q 3，再用等比数列的前n 项和公式求解，即S n ＝a 3－q 3n1－q3，故答案为C 项．]3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. －63 [通解 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32.所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.优解 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－－261－2＝－63.]4．数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为________.【导学号：91432232】n －1＋12n [通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12n＝1－12n∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ＝n －1＋12n .]5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值． [解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列． 由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2， 故S 4n －S 4n －4＝2n(n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。
