第8讲 和倍问题(第1课时)

第8讲倍数问题◆理解抽屉原理的本质。

◆学会运用抽屉原理解题。

在我们日常生活中会遇到很多的数学问题。

这些问题可谓是包罗万象，丰富多彩，因此我们在解决这些问题的时候一定要弄清事物之间的特殊关系，抓住其本质特征，从而顺利解决，这一讲，我们来研究倍数问题。

倍数问题主要研究“已知两数的和（差）以及一个数与另一个数之间的倍数关系，求两数”这类问题。

通常我们要弄清两个或两个以上量的和是多少，差是多少，以及它们之间的倍数是多少。

我们可以先确定一个数量为1的倍数，这样另一个数量就相当于它的几倍，然后根据这两个数量的倍数关系，确定和（差）与1倍数关系，求得1倍数，再求几倍数。

对于有些复杂的问题，我们还要灵活晕红转化思想将它们转化成简单的倍数问题来解答。

【例题1】学校买来足球和排球共36个，其中排球的个数是足球的3倍，学校买来足球和排球各多少个?【拓展1】小明和小亮共有邮票45张，小明的邮票张数是小亮的4倍，他们各有多少张邮票?【例题2】小飞的科技书比故事书少14本，故事书是科技书的3倍，小飞有多少本科技书和故事书?【拓展2】(2008年第六届“走美杯”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题) 两个整数，差为16，一个是另一个的5倍。

这两个数分别是多少?【例题3】小明和小亮两人集邮，他们一共有110张邮票，小明的邮票张数比小亮的2倍少10张。

小明和小亮的邮票分别有多少张?【拓展3】（杭州市上城区小学生数学竞赛试题）四、五年级共有学生165人，四年级学生比五年级学生的2倍还少6人，四、五年级各有学生多少人?【例题4】小张有存款5400元，小王有存款3800元。

两人各取出同样多的钱后，小张的存款时小王的3倍。

取款后两人各有存款多少元钱?【拓展4】小红有11支铅笔，小芳有16支铅笔，两人分别用去同样多的铅笔后，小芳的铅笔支数是小红的2倍，现在两人各有多少支铅笔?【例题5】(武汉市“走向北大杯”数学思维水平竞赛试题)哥哥与弟弟每人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟一支，两人就一样多；如果弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍。

内容：和倍问题倍数应用题基本数类形及数量关系：倍数应用题的数量名称：多倍数、1倍数、倍数例：故事书的本数是科技书本数的3倍1、求一个数是另一个数的几倍是多少，用除法。

关系式：多倍数÷1倍数=倍数例：8是4的几倍？8÷4=22、已知一个数，求这个数的几倍，用乘法。

关系式：1倍数×倍数=多倍数例：8的4倍是多少？8×4=323、已知一个数几倍是多少，求这个数，用除法。

关系式：多倍数÷倍数=1倍数例：一个数的4倍是8，求这个数是多少？8÷4=2练习：1、20的4倍是多少？什么数的8倍是160？32的3倍是多少？一个数的7倍是105，这个数是多少？252是4的几倍？54的6倍加上464的和是多少？一个数的5倍是70，那么这个数的8倍是多少？2、小明今年9岁了，妈妈的年龄正好是小明的4倍，妈妈的年龄是多少岁？4、饲养小组养的鸡的只数是兔的5倍，已知养鸡120只，养兔多少只？5、一个长方形，长是27米，是宽的3倍，这个长方形的周长是多少？6、书店运进一批儿童读物，其中故事书有135本，科技书的本数比故事书的3倍还多20本，书店运进科技书多少本？7、甲的钱数正好是乙的一半已知的钱数是40元，求甲乙二人一共有多少元？看图填空。

乙数是甲数的（）倍，乙数比甲数多（）倍，甲乙两数的和是甲数的（）倍，乙数比甲数多（），甲数是（），乙数是（），甲乙两数的和是（）。

例1、学校美术小组共有36名同学，其中女同学人数是男同学的3倍，求男、女同学各有多少人？列式计算：36÷（3＋1）=36÷4=9（人）9×3=27（人）或36－9=27（人）答：男生9人，女生27人。

和÷（倍数＋1）=1倍数和－1倍数=多倍数或：1倍数×倍数=多倍数练习（先画出线段图，再列式解答）1、果园里有梨树和苹果树一共40棵，苹果树的棵数是梨树的4倍，苹果树和梨树各多少棵？2、学校生物兴趣小组一共饲养白兔和黑兔54只，白兔只数是黑兔只数的2倍，求白兔和黑兔各有多少只？3、学校体育室有篮球、足球共48个，篮球的个数比足球多2倍，两种球各有多少个？4、甲乙二人共有90元钱，甲的钱数正好是乙的一半，二人各有多少元钱？5、小明和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄比小明的年龄多3倍，求小明和妈妈各多少岁？6、学校组织三、四年级186名同学去博物馆参观四年级去的人数是三年级的2倍，三、四年级各去多少人？8、块长方形木块，长比宽多2倍，周长是88厘米，这块木板的长和宽各是多少？9、红红和兰兰一起叠纸鹤，她们2小时共叠了64只，已知红红每小时叠的只数是兰兰的3倍，问红红、兰兰每小时各叠多少只红鹤？10、先队员种柳树和杨树共96棵，杨树的棵数是柳树的3倍，两种树各种了多少棵？11、。

第八讲和倍问题知识结构：已知大小两个数的和，又知道大数是小数的n倍，求大、小数各是多少的应用题，通常叫做和倍应用题。

解题技巧：和÷（倍数＋1）=1倍数（小数）小数×倍数=大数或是和－小数=大数方法探究：例1.学校买来排球和篮球共135个，其中排球的个数是篮球的4倍。

学校买来排球和篮球各是多少钱？例2.小丽和妈妈的年龄加在一起是52岁，妈妈的年龄是小丽年龄的4倍多2岁，妈妈现在多少岁？例3.在一道没有余数的除法算式中，被除数与除数的和是900，商是8，被除数和除数各是多少？例4.小丽有红、黄、白三种颜色的珠子共54粒，红珠子的粒数是黄珠子的2倍，白珠子的粒数是黄珠子的3倍，三种颜色的珠子各多少粒？例5.大商集团运进小天鹅洗衣机和长虹洗衣机共450台，已知运进的小天鹅洗衣机比长虹洗衣机多3倍，两种洗衣机各运进多少台？随堂训练;1.王刚家养的公鸡和母鸡一共35只，公鸡的只数是母鸡的4倍。

公鸡和母鸡各有多少只？2.有两堆棋子共43枚，第一堆比第二堆的3倍少5枚。

两堆棋子各有多少枚？3.两数相除的商是5，被除数、除数、商的和是23，被除数和除数各是多少？4.甲、乙两辆汽车同时从车站向相反的方向开出，3小时行驶了270千米，甲的速度是乙的2倍，甲、乙两车的速度各是多少？5.师徒两人共同工作4小时，一共生产600个零件，已知师傅的工作效率是徒弟的2倍，师徒两人每小时各生产了多少个零件？6.第一工程队有78人，第二工程队有82人。

由于工作需要，要使第一工程队的人数是第二工程队的3倍，那么必须从第二工程队调多少人到第一工程队？7.小王有470元，小刚有190元，小王需要给小刚多少元，才能使小王的钱数是小刚的2倍？8.学校举行风筝比赛，中年级有110人参赛，高年级参加的人数比中年级的2倍还多10人。

中、高年级一共有多少人参赛？9.水果店共有苹果、梨260千克，苹果和梨各卖出30千克后，苹果的千克数正好是梨的3倍，原有苹果、梨各有多少千克？10.学校买回足球和排球共98个，已知足球的个数比排球的个数多5倍，学校买回足球、排球各多少个？培优作业：甲、乙两仓共存粮2200千克，从乙仓运出210千克后，甲仓的存粮比乙仓的2倍少380千克，两个粮仓原来各存粮多少千克？。

人教版三年级A册第六讲和倍、差倍问题教学内容：和倍、差倍问题教学目的：1、在倍的基础上理解和倍和差倍的意思。

2、熟练运用和倍和差倍的公式解决问题。

3、能画线段图解决实际问题。

教学重点：1、根据题目意思画出线段图。

2、解决实际问题。

教学难点：1、根据题意画出线段图，分析清楚数量关系。

2、能找出两个数的和或者差以及倍数关系，正确列式计算。

教学准备：PPT教学建议：本讲知识是新授课，在教学时要注意利用生活中的情景帮助学生理解和倍差倍的意思，教会学会画线段图，能准确的分析清楚数量之间的关系，通过线段图列出算式。

教学方法：学生自主探索为主，教师点拨为辅。

举事例，画线段图，帮助学生理解。

课时建议：复习，例1-例4为第一次课；例5-例8为第二次课。

第一次课四基导入同学们，大家好，又见面了，上节课我们一起探讨了倍的认识的相关知识，今天我们继续来探讨跟倍有关的知识——和倍、差倍问题。

先来复习一下我们上节课的知识，看大家有没有忘记。

（放PPT,四基导入，并请同学回答问题）看来大家对倍的知识还很熟练，接下来我们看到今天的新内容，首先看第一题。

精例分析例1、小精灵和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小精灵的4倍，小精灵有几岁？妈妈有几岁？师：请一位同学来读一读这个题目，并且说一说，你从中能够得到哪些信息？生：小精灵和妈妈的年龄和是40岁，妈妈的年龄是小精灵的4倍。

师：非常好，还记得之前我们怎么做的吗？生：小精灵是1倍量，妈妈是4倍量，加起来是5倍量。

和是40岁，可以求出1倍量。

师：真不错，能列出算式吗？生：40+ （1+4） =8 （岁），8W=32 （岁）。

生：还可以是40-8=32 （岁）。

师：大家说的都是正确的，习惯用哪一种方式就用哪一种，这类题型，大家学会了吗？生：学会了。

领悟思想构建数模师小结：像这样，已知两个数的和与他们之间的倍数关系，我们统称为和倍问题，数量关系可以这样表示：两数和+ （倍数+1） =1倍量师：你们学会了吗？请同学们动手试一试下面的练习，看看哪位同学算的最快最准。

第八讲和倍问题【知识要点】“和倍问题”是在已知大小两个数的和与这两个数的倍数关系的情况下，求大小两个数各是多少的一类题目。

和倍问题所包含的基本关系可用线段表示为：基本公式：将小数看做一倍量（或一份）小数 = 和÷（倍数 + 1）大数 = 和–小数或大数 = 小数×倍数例题1、金鱼缸里有红金鱼、黑金鱼共24条，其中红金鱼的条数是黑金鱼的3倍。

两种金鱼各有多少条?练习1、甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？例题2、甲数减乙数差是216，把甲数最后一位上的数字0去掉，就与乙数就相等。

问甲乙两数各是多少?练习2、甲、乙两数的和是231，已知甲数的末位数字是0，如果把甲数末位的0去掉，正好等于乙数，那么，甲数和乙数各是多少？例题3、学校体育室有排球和足球共33只。

其中排球只数比足球的5倍还多3只。

学校有排球和足球各多少只?练习3、果园内乙共种了340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？例题4、书架上有两层书，第一层的本数比第二层本数的2倍少3本，两层书共有153本，第一层和第二层各有多少本书?练习4、爸爸要把张邮票分给弟弟和妹妹，已知弟弟分得的邮票张数比妹妹的倍少张，弟弟和妹妹各分得邮票多少张？例题5、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓存粮是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？50410练习5、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？例题6、三块布共长220米,第二块布长是第一块的3倍,第三块布长是第二块的2倍,第一块布长多少米？练习6、李老师买来足球、排球和篮球共87只，足球的只数是排球的2倍，篮球比足球多7只，足球、排球和篮球各买多少只?例题7、甲、乙、丙三人共做了183道数学题，乙做的题比丙的2倍少4题，甲做的题比丙的3倍多7题，求甲、乙、丙三人各做了多少道题?练习7、庆祝教师节，四(1)班同学在教室里布置了红气球、黄气球和蓝气球共48个。

专题简析：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。

要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。

解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。

数量关系可以这样表示：两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和－小数=大数例题1 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。

如图所示：由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。

练习一1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。

小红和小明各有压岁钱多少元？2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。

二、三年级各得图书多少本？3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。

练习二1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？3，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书16本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？例题3 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？思路导航：由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有这样的7份，一共7＋1=8份。

第八讲简单周期授课教师：罗老师学生姓名：学生学校：年级：四年级授课日期：辅导科目：奥数一、教学目标：1、通过本节课的学习多上周所学课本知识进行复习；2、了解什么叫周期问题，并通过学习能利用周期问题来解决一些生活中的实际问题。

二、教学内容：1、课本知识复习。

（1）复习垂直、平行的概念机画法；（2）判断题（对的打“√”，错的打“×”）。

1、一条射线长1亿米。

……………………………………………（）2、15°的角在放大10倍的放大镜下看变为150°的角了。

…（）3、不相交的两条直线叫作平行线。

…………………………（）4、长方形和正方形都是特殊的平行四边形。

…………………（）5、平行四边形不易变形。

……………………………………（）6、6时整，时针和分针成平角。

……………………………（）7、等腰梯形是轴对称图形。

……………………………………（）8、大于90°而小于180°的角，叫做钝角。

……………………（）9、角的两边画得长一些，这个角就大一些。

……………………（）10、两条直线相交可以组成4个角，相对的角的大小一定相等。

（）（3）、经过A点画出已知直线的平行线和垂线。

A· A·（4）、作出平行四边形、梯形的底边AB 相对应的高。

(5)、右图中，∠1=90°，∠3=30°∠2=（）度∠4=（）度 1 24 32、导入。

什么叫周期问题：按照一定的规律不断重复的现象，比如十二生肖，一年的春夏秋冬和十二个月份，一个星期七天等等。

3、例题教学。

例1：6月1日是星期六，问6月20日是星期几？练习：某年的9月有5个星期日，这一年的9月1日不是星期日，它是星期几？例2：区少年宫内插了许多新旗，彩旗是按照4面红旗，2面黄旗，2面蓝旗，1面绿旗的顺序排列，第120面旗是什么颜色？此时红旗、黄旗、蓝旗、绿旗各插了多少面？练习：昨天是5日，今天是星期三，25日是星期几？例3：标有A ,B ,C , D ,E ,F ,G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯各安装着一个开关。

第八讲 倍数问题（一）第一部分：趣味数学将军饮马古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.分析：下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．同学们知道，连接两点的所有线中，直线段最短．只要知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。

如果直接连AB ，与直线不会相交，怎么办呢？当A 、B 位于直线的异侧时，就有交点了．于是我们就希望在直线的另一侧找到一点A ′，使得连A ′B 与直线相交于P 点后（这时A ′P ＋PB 最短）线段A ′P 与AP 一样长．由对称的知识可知道，点A 关于直线的对称点A ′就有资格扮演A 的角色．解答：如图1先作A 关于直线的对称点A ′，连接A ′B 与直线相交于P 点，则AP ＋PB 就最小。

那么这样作出的AP ＋PB 是否真的最小呢？有兴趣的同学可以自己试着证明一下。

原来海伦本解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的。

后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在起作用。

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理。

事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。

我们把这类求近道的问题统称最短线路问题。

第二部分：奥数小练【例题1】 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。

原来两根铁丝各长多少厘米？ lP A'l B A 图1。

1. 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

2. 和倍问题的数量关系式是：1) 和÷(倍数+1)=小数2) 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数【例 1】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍。

买来的乒乓球和羽毛球各多少个？乒乓球羽毛球一共40个"1"【解析】 羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数。

40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数；把羽毛球的个数乘以4就是乒乓球的个数。

羽毛球有40(41)8÷+=个。

乒乓球有8432⨯=个或乒乓球有40832-=个。

第八讲和倍问题知识概述例题精讲【拓展】 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍。

爷爷比小华大多少岁？爷爷小华一共72岁"1"【解析】 （方法一）小华今年72(71)9÷+=岁。

爷爷今年9763⨯=岁或爷爷今年9763⨯=岁。

爷爷比小华大63954-=岁。

（方法二）小华今年72(71)9÷+=岁。

爷爷比小华大9(71)54⨯-=岁。

【例 2】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【拓展】 被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？ 【解析】 由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。

小学二升三年级数学讲义第八讲和倍问题学法指导：和倍问题结构特征：已知两个数的和与这两个数中以一个数为1倍数，另一个数的几倍，解题规律是：两数和÷（倍数+1）=1倍数（较小的数），1倍数×倍数=几倍数（较大的数）或两数和-小数=大数。

解题时，可以画出线段图师数量关系一目了然，以达到正确迅速求解的目的。

典例及仿真训练：例一：有两堆橘子，第一堆有47个，第二堆有51个，如果要使第二堆的橘子是第一堆的6倍，那么要从第一堆里拿出多少个橘子到第二堆？仿真训练一：有两袋米，第一袋重67千克，第二袋重53千克，从第二袋中拿出多少千克米放入第一袋中，使第一袋得重量是第二袋的2倍？例二：甲、乙、丙三人共有现金1160元，其中甲是乙的一半，乙又是丙的2倍，甲、乙、丙三人各有多少元？仿真训练二：甲、乙、丙三个数的和是270，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，甲、乙、丙三个数各是多少？例三：小明，小红共植树15棵，小明植树的棵数比小红的2倍少了3棵，两人各植树多少棵？仿真训练三：故事书和科幻书一共有42本，故事书比科幻书的3倍少2本，故事书和科幻书各有多少本？例四：两数相除商是8余16，被除数，除数，商与余数的和是463，被除数是多少？仿真训练四：商店运来苹果，香蕉，橘子共53千克，橘子的重量是苹果3倍少3千克，香蕉的重量是苹果2倍多2千克，橘子重多少千克？基础训练：1、两个数和是260，商是9，这两个数是多少？2、甲水池有水72吨，乙水池有水48吨，如果甲水池的水以每分钟3吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的3倍？3、甲乙两桶水重量相等，甲桶倒出18千克水，乙桶倒入14千克水后，乙桶水的重量是甲桶水的重量的5倍，甲桶原来有水多少千克？提高拓展：1、一根电线长240米，把它分成三段，使第一段比第二段长20米，第三段是第一段的2倍。

这三段电线各长多少米？2、被除数除以除数，商是9，且被除数，除数，商的和为249，那么被除数，除数分别是多少？挑战自我：549是甲、乙、丙、丁4个数之和，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等，求这4个数各是多少？课堂小测姓名 ____________ 等级_____________ 一、小梅的奶奶养了56只鸡和鸭，鸡的只数是鸭的6倍，小梅的奶奶养的鸭和鸡各是多少只？二、甲有10元钱，乙有14元钱，乙给甲多少元，甲的钱比乙多2倍?三、甲乙丙三人的年龄之和是109岁，甲的年龄是乙的2倍还大3岁，乙的年龄是丙的2倍小2岁.问：甲、乙、丙三人各是多少岁？。

第八讲和倍问题学法指导：和倍问题结构特征：已知两个数的和与这两个数中以一个数为1倍数，另一个数的几倍，解题规律是：两数和÷（倍数+1）=1倍数（较小的数），1倍数×倍数=几倍数（较大的数）或两数和-小数=大数。

解题时，可以画出线段图师数量关系一目了然，以达到正确迅速求解的目的。

典例及仿真训练：例一：有两堆橘子，第一堆有47个，第二堆有51个，如果要使第二堆的橘子是第一堆的6倍，那么要从第一堆里拿出多少个橘子到第二堆？仿真训练一：有两袋米，第一袋重67千克，第二袋重53千克，从第二袋中拿出多少千克米放入第一袋中，使第一袋得重量是第二袋的2倍？例二：甲、乙、丙三人共有现金1160元，其中甲是乙的一半，乙又是丙的2倍，甲、乙、丙三人各有多少元？仿真训练二：甲、乙、丙三个数的和是270，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，甲、乙、丙三个数各是多少？例三：小明，小红共植树15棵，小明植树的棵数比小红的2倍少了3棵，两人各植树多少棵？仿真训练三：故事书和科幻书一共有42本，故事书比科幻书的3倍少2本，故事书和科幻书各有多少本？例四：两数相除商是8余16，被除数，除数，商与余数的和是463，被除数是多少？仿真训练四：商店运来苹果，香蕉，橘子共53千克，橘子的重量是苹果3倍少3千克，香蕉的重量是苹果2倍多2千克，橘子重多少千克？基础训练：1、两个数和是260，商是9，这两个数是多少？2、甲水池有水72吨，乙水池有水48吨，如果甲水池的水以每分钟3吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的3倍？3、甲乙两桶水重量相等，甲桶倒出18千克水，乙桶倒入14千克水后，乙桶水的重量是甲桶水的重量的5倍，甲桶原来有水多少千克？提高拓展：1、一根电线长240米，把它分成三段，使第一段比第二段长20米，第三段是第一段的2倍。

这三段电线各长多少米？2、被除数除以除数，商是9，且被除数，除数，商的和为249，那么被除数，除数分别是多少？挑战自我：549是甲、乙、丙、丁4个数之和，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等，求这4个数各是多少？课堂小测姓名 ____________ 等级_____________ 一、小梅的奶奶养了56只鸡和鸭，鸡的只数是鸭的6倍，小梅的奶奶养的鸭和鸡各是多少只？二、甲有10元钱，乙有14元钱，乙给甲多少元，甲的钱比乙多2倍?甲乙丙三人的年龄之和是109岁，甲的年龄是乙的2倍还大3岁，乙的年龄是丙的2倍小2岁.问：甲、乙、丙三人各是多少岁？。

第八讲和倍问题要点全景小朋友们，当我们已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常叫做和倍问题。

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

名题巧解例1.：王刚家里养了公鸡和母鸡一共35只，公鸡的只数是母鸡的4倍，王刚家养的公鸡和母鸡各有多少只？分析：从题中公鸡的只数是母鸡的4倍我们可以知道母鸡的只数是一份数（标准数），那公鸡数就是4份，公鸡和母鸡合起来一共是5份，5份是35只，那一份数就是35÷5=7只（母鸡），公鸡就是7×4=28只.用线段图表示就是：解答：母鸡35÷（1+4）=7只公鸡7×4=28只技巧点评：找出一份数，再根据其他各数与一份数的关系求出份数和，再用和÷（倍数+1）=小数，一份数×倍数=大数即时演练1.小华有珠子75个，红珠子是绿珠子个数的4倍，红珠子和绿珠子各有多少个？例2王叔叔家养的鸡、鸭、鹅共90只，鸭的只数是鸡的2倍，鹅的只数是鸡的3倍。

鸡、鸭、鹅各养了多少只？分析：此题有三个量，即鸡，鸭，鹅。

鸭的只数和鹅的只数都和鸡有倍数关系。

鸡的只数是1份数，鸭是2份，鹅是3份，因此它们一共是6份，总数是90只，一份数是鸡的只数90÷6=15只，鸭的只数是15×2=30只，鹅的只数是15×2=30只。

解答： 1+2+3=6份鸡90÷6=15只鸭15×2=30只鹅15×2=30只技巧点评：通过鸡鸭鹅的关系找准一份数，再来求其他各数。

即时演练2.鲜花店有红、黄、紫色的花240朵，黄花是红花的2倍，紫花是红花的3倍，红、黄、紫三种花各有多少朵？例3被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是几？分析：我们学过被除数÷除数=商，这里的商是7，也可以理解成被除数是除数的7倍，以除数为一份数，被除数就是7份，合起来8份，那么除数是320÷8=40，被除数是40×7=280.解答：除数320÷（7+1）=40 被除数40×7=280.技巧点评：根据被除数和除数的关系找到除数是一份数，商是几，被除数就是几份，由此就能求出各数。

2019-2020学年度小学三年级数学奥数培优第八讲和、差、倍问题8.1和差问题[同步巩固演练]1、甲乙两个车间共有230人，甲车间比乙车间少30人，甲乙两个车间各有多少人？2、我国自行设计施工的世界最大的现代化桥梁——南京长江大桥共分两层，上层是公路桥,下层是铁路桥。

铁路桥和公路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问南京长江大桥的铁路桥长多少米？3、买一支自动铅笔与一支钢笔共用13元，已知铅笔比钢笔便宜5元，那么买铅笔和钢笔各花几元？4、师徒两人合做2小时，共生产零件110个，师徒每小时比徒弟多生产5个，师徒两人每小时各生产零件多少个？5、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍，两筐所剩的梨各是多少个？6、两只油桶共盛油60千克，如果把第一桶里油倒出6千克，两个油桶中的油就一样多，第一桶原盛油多少千克？7、某粮库，甲仓存粮比乙仓多18吨，要使乙仓存粮比甲仓多4吨，要从甲仓取出多少吨粮食放入乙仓？8、两筐梨子共重76千克，如果从第一筐中取出10千克放入第二筐中，那么第二筐反而比第一筐多出4千克梨子，问两筐原来各有多少千克梨子？9、A、B两地相距400千米，甲、乙两人同时同地同向出发，10小时后，甲在乙前10千米，若甲、乙两人同时在A、B两地相向出发，16小时后相遇，问甲、乙两人的速度各是多少？10、一个三位数，百位数字与十位数字的和为4，十位数与个位数字的和为6，百位数字与个位数字的和为10，求这个三位数。

11、王兵和李华两家共存书960册，如果王兵送给李华130册，则两家书的册数相等，王兵和李华两家原来各存书多少册？12、四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他和最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7岁，最大的年龄是多少岁？13、把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段比前一段多3米，求三段长度各是多少米？14、某工厂开展劳动竞赛，三个小组共造零件420个，第一组比第二组多造10个，第二组比第三组少造17个，三个小组各造零件多少个？15、甲、乙两船共载乘客623人，从A港经B港往C港，在B港甲船增加34人，乙船减少57人，到C港时，两船乘客相等，求两船原有乘客各多少个？16、A、B、C、D四个数的和是270，A比B多10，比C多25，比D 多35，问这四个数各是多少？[能力拓展平台]1、小明、小强、小华共栽花100棵，小华比小强多栽10棵，小强比小明多栽9棵，问三人各栽多少棵？2、有两个养猪场，甲场比乙场少180头猪，如果再从甲场运入乙场40头猪，这时，甲场的猪数相当于乙场的一半，问两场原来各有多少猪？3、两生产队开展种田比赛，共种100公顷地。

第8讲和倍问题一、知识要点已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。

解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）=较小的数较小的数×倍数=较大的数或和－较小的数=较大的数二、精讲精练【例题1】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。

两种书各有多少本？【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的1＋3=4份。

把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。

480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360（本）.练习1：1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。

铝和锡各用了多少千克？2.甲、乙两数的和是112,甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。

这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？【例题2】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216－20=196（棵），这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。

所以，柳树的棵数是196÷（1＋3）=49（棵），杨树的棵数是216－49=167（棵）。

练习2：1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。

两人各得多少分？3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。

高、中、低年级各分得图书多少本？【例题3】小华和小明共有70张邮票,小华增加15张,小明拿出5张,小华的张数是小明的3倍。

《和倍差倍问题》教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握和倍、差倍问题的基本概念及解题方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 和倍问题：已知两个数的和与其中一个数，求另一个数。

2. 差倍问题：已知两个数的差与其中一个数，求另一个数。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：和倍、差倍问题的解题方法。

2. 教学难点：如何运用和倍、差倍问题解决实际问题。

四、教学准备：1. 课件、黑板、粉笔。

2. 练习题。

五、教学过程：1. 导入新课：利用课件展示和倍、差倍问题的生活情境，引导学生关注问题，激发学生学习兴趣。

2. 探究和倍问题：（1）已知两个数的和与其中一个数，求另一个数。

示例：已知两个数的和为18，其中一个数为6，求另一个数。

解：18 6 = 12，另一个数为12。

（2）让学生独立完成练习题，教师巡回指导。

3. 探究差倍问题：（1）已知两个数的差与其中一个数，求另一个数。

示例：已知两个数的差为10，其中一个数为5，求另一个数。

解：另一个数为5 + 10 = 15。

（2）让学生独立完成练习题，教师巡回指导。

和倍问题：和已知数= 另一个数差倍问题：已知数+ 差= 另一个数5. 运用和倍、差倍问题解决实际问题：示例：小明买了一支铅笔和一块橡皮，一共花了3 元。

已知铅笔的价格为0.8 元，求橡皮的价格。

解：3 0.8 = 2.2，橡皮的价格为2.2 元。

6. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导。

8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学策略：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究和倍、差倍问题的解法。

2. 利用直观教具，如课件、黑板等，帮助学生形象理解问题。

3. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作精神。

4. 注重个体差异，针对不同学生给予个别辅导，提高学生的数学水平。

七、教学评价：1. 通过课堂练习、课后作业评价学生的学习效果。

2. 关注学生在解决问题时的思维过程，鼓励学生创新思考。