《高等数学》教案 第三章 导数与微分

导数与微分复习课教案
教学目标
- 复导数和微分的概念和性质
- 理解导数和微分的计算方法
- 掌握导数和微分在实际问题中的应用
教学内容
1. 概念回顾
- 导数的定义和性质
- 微分的定义和性质
2. 导数的计算方法
- 利用导数的定义计算导数
- 利用基本导数公式计算导数
- 利用复合函数的导数公式计算导数
3. 微分的计算方法
- 利用微分的定义计算微分
- 利用导数公式计算微分
4. 导数和微分的应用
- 导数在函数图像上的应用
- 微分在近似计算中的应用
- 导数和微分在实际问题中的应用
教学步骤
1. 复导数和微分的定义和性质，引导学生回顾相关概念。

2. 分组讨论，学生互相解答导数和微分的计算方法。

3. 继续分组讨论，学生分享导数和微分在实际问题中的应用，并讨论其解决方法。

4. 教师进行总结，强调导数和微分的重要性和应用场景。

教学资源
- 基本导数公式表格
- 实际问题的案例及解析
课堂练
1. 计算给定函数在指定点的导数，并求出其微分。

2. 应用导数和微分解决实际问题。

课后作业
1. 完成课堂上未完成的课堂练。

2. 讨论导数和微分在更多实际问题中的应用，并写出解决方法。

扩展阅读
- 深入理解导数和微分在数学和物理领域的应用
- 探索更复杂函数的导数和微分计算方法。

高中数学教案：导数与微分的基本概念一、导数与微分的基本概念导数与微分是高中数学中重要的概念，它们与函数的变化有着密切的关系。

本教案将介绍导数与微分的基本概念，帮助学生理解并掌握它们的意义与应用。

1. 导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率。

在函数图像上，可以直观地理解为曲线的切线斜率。

导数的定义如下：若函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h为极限中的变量。

2. 导数的几何意义导数表示了函数图像在某一点处的切线斜率。

当导数为正时，函数图像在该点递增；当导数为负时，函数图像在该点递减；当导数为零时，函数图像在该点达到极值。

3. 微分的定义微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点处的微小变化。

微分的定义如下：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且可导，则f(x)在区间[a, b]上的微分dy为：dy = f'(x)dx其中，dx表示自变量x的微小增量。

二、导数与微分的求法1. 基本函数的导数对于常见的基本函数，可以通过求导法则求出其导数。

例如，函数f(x) = ax^n的导函数为f'(x) = anx^(n-1)，函数f(x) = sin(x)的导函数为f'(x) = cos(x)，函数f(x) = e^x的导函数为f'(x) = e^x，等等。

2. 和、差、积、商的求导法则对于两个函数的和、差、积、商，可以通过求导法则求出其导数。

和的求导法则：(f+g)' = f' + g'差的求导法则：(f-g)' = f' - g'积的求导法则：(fg)' = f'g + fg'商的求导法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g^23. 复合函数的求导法则对于复合函数f(g(x))，可以通过求导法则求出其导数。

高中数学《导数与微分》教案第一章引言1.1 课程背景与目标在高中数学课程中，学习导数与微分是非常重要的内容之一。

通过本章的学习，学生将掌握导数的定义、求导规则以及应用导数解决实际问题的方法，为以后学习更深入的微积分内容打下坚实基础。

1.2 教学目标- 理解导数的几何与物理意义；- 掌握一元函数的导数定义；- 掌握常见函数的导数公式；- 理解导数的运算法则；- 能够利用导数求解实际问题。

第二章导数的引入2.1 导数的几何意义导数描述的是一个函数在某一点上的变化率。

引导学生通过直观的图像理解导数的几何意义，并通过练习题巩固理解。

2.2 导数的物理意义导数在物理中的应用非常广泛，例如速度、加速度等概念，都与导数有着紧密的关联。

通过一些生动的物理例子，帮助学生理解导数的物理意义。

第三章导数的定义3.1 函数的变化率介绍函数的变化率的概念，并引入导数的定义。

通过一些实例，帮助学生掌握导数的定义及其计算方法。

3.2 导数的基本性质探讨导数的基本性质，如导数恒为常数的函数、求导法则等内容，帮助学生建立导数的基本概念与技巧。

第四章常见函数的导数公式4.1 常数函数的导数介绍常数函数的导数及其求导方法，并通过练习巩固学生对此的掌握。

4.2 幂函数的导数探讨幂函数的导数计算方法，并引导学生通过求导计算出各种幂函数的导数。

4.3 指数函数的导数引入指数函数的导数定义，并通过练习题帮助学生掌握指数函数的导数规律。

4.4 对数函数的导数介绍对数函数的导数计算方法，并通过实例演示对数函数的导数求解过程。

第五章导数的运算法则5.1 导数的四则运算法则介绍导数的四则运算法则，即导数的和、差、积、商的计算方法，并通过练习题加深学生对运算法则的理解。

5.2 复合函数的导数探讨复合函数的导数计算方法，即复合函数的链式法则，并通过实例演示链式法则的应用过程。

第六章应用导数解实际问题6.1 极值问题介绍如何通过导数求解函数的极大值和极小值，并引导学生通过例题巩固应用能力。

高中数学教案：导数与微分的概念与计算一、导数与微分的概念与计算导数与微分是高中数学中较为重要的概念与计算方法，它们在微积分领域具有重要的地位和应用。

理解和掌握导数与微分的概念和计算方法是学习高等数学和应用数学的基础，对于提高数学分析和问题解决能力具有重要意义。

本文将围绕导数与微分的概念和计算方法展开说明和探讨。

二、导数的概念与计算1. 导数的定义导数是函数在某一点上的瞬时变化率，也是函数在该点上的切线斜率。

用数学符号表示，对于函数y=f(x)，其导数记为f'(x)或dy/dx。

导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h其中，lim表示函数的极限，h表示自变量x的增量。

2. 导数的计算方法导数的计算可以利用导数的定义公式进行推导和计算，也可以利用一些常见函数的导数规律进行求解。

常见的导数计算方法有以下几种：(1) 常数函数的导数计算：对于常数函数C，其导数为0，即f'(x) = 0。

(2) 幂函数的导数计算：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数计算公式为f'(x) = nx^(n-1)。

(3) 指数函数的导数计算：= a^x * ln(a)。

(4) 对数函数的导数计算：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为正常量且不等于1，其导数计算公式为f'(x) = 1/(x * ln(a))。

(5) 三角函数的导数计算：对于三角函数y = sin(x)，y = cos(x)，y = tan(x)，其导数计算公式分别为f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec^2(x)。

三、微分的概念与计算1. 微分的定义微分是导数的一种形式，是函数变化的近似量。

形式上，我们可以将微分表示为dy = f'(x) * dx，其中dy表示函数f(x)的微分量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量x的增量。

《微积分》教案（上册）章节名称：第三章导数与微分第三章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。

了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导教学目的与要求1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系. 教学重点与难点1. 函数导数的概念、基本初等函数的导数思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。

在中学里我们学过平均速度ts∆∆，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛22gt s =， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为000202000000)21(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =∆+=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆。

这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只根据切线的定义可知，当点N 沿曲线C 趋于M 时，即0x ∆→，割线的斜率趋向于切线的斜率。

也就是说，如果0x ∆→时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k ，即0000()()tan limlim x x f x x f x yk x xα∆→∆→+∆-∆===∆∆ （2）3.边际成本设某产品的成本C是产量x的函数()=，试确定产量为C C xx个单位时的边际成本。

数学教案：认识导数和微分一、认识导数和微分导数是微积分中重要的概念之一，它代表了函数在某个点上的变化率。

微分则是通过求导来计算函数的变化情况。

理解导数和微分对于进一步学习高等数学以及应用数学都具有重要意义。

本文将介绍导数与微分的基本概念和性质，并探讨其应用领域。

二、导数的定义与性质1. 导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处可导，意味着当自变量x发生微小变化时，函数值f(x)相应地发生了变化。

若这个变化可以用一个线性函数L(x)来描述，那么L(x)就称为f(x)在点x处的切线斜率或者函数f(x)在点x处的导数。

形式上，如果存在极限lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-g)/Δx〗=A，则称函数f(x)在点x处可导，并且这个极限值A就是函数f(x)在点x处的导数。

通常记作lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx = f'(x)或df/dx 或dy/dx 〗。

2. 常见函数的导数根据导数的定义，我们可以求出一些常见函数的导数：（1）常数函数的导数为0。

（2）幂函数f(x)=x^n (n为正整数)的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

（3）指数函数f(x)=a^x (a>0, a≠1)的导数为f'(x)=ln⁡a * a^x。

（4）对数函数f(x)=logₐx (a>0, a≠1)的导数为f'(x)=(1/ln⁡a )*(1/x)。

（5）三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数可以通过求极限或者利用基本公式进行推算。

3. 导数运算法则求解更加复杂的函数的导数时，我们可以利用导数运算法则来简化计算。

常用的法则有和差法则、乘积法则、商法则等。

这些法则能够将复杂函数分解成简单函数，并通过求取每个简单函数的导数来得到结果。

三、微分与微分形式在介绍微分之前，我们需要先了解一下一个重要概念——微分形式。

微分形式是表示微小变化量的一种方式，通常用dx∂y来表示自变量x与因变量y之间相应微小变化之间的关系。

《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。

三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。

2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。

3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。

五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。

在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。

同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。

希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

导数与微分教案设计引言：导数与微分是高等数学中重要的概念之一，也是代数分析学的核心内容。

于此而言，作为任何一位数学老师，他们需要充分了解导数与微分的基本概念和相关知识，并且要掌握如何设计一套有效的教学方案。

因为只有这样，才能让学生在学习中更好的理解该主题并取得更加优秀的学习成绩。

本文将介绍关于导数与微分教案设计的相关内容。

一、基础知识概述1、导数的定义珂学一体版的定义为：设 y=f(x) 在点 x0 处有定义，则当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx 时，相应的函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果比值Δy/Δx 在Δx 趋于0 的意义下有极限，那么这个极限就是函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数，记为f′(x0)，即：f′(x0) =lim f(x0+Δx)-f(x0)/Δx（Δx→0）。

2、微分的定义微积分的定义为：设函数 y=f(x) 在点 x0 处具有导数f′(x0)，则当自变量 x 发生Δx 的变化时，相应的函数值的增量Δy 可以近似的用一次函数 y=f(x)的导数f′(x0)与自变量 x 的增量Δx之积表示，即：Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)。

3、微分与导数的区别微分与导数是密不可分的同义词。

微分是指在曲线上某一点出以解析形式给出的一次逼近公式，而导数则可看作切线斜率的代数值，它们之间的关系是极其密切的。

微分是导数形式化的表示，导数是微分形式的计算法则，它们的本质是相同的，但在具体的问题中应根据需要选择使用微分还是导数。

二、教学目标及重点1、教学目标：通过本次教学，学生应该能够：1）掌握导数和微分的定义，以及它们之间的关系。

2）掌握求导和求微分的方法，并能熟练运用到具体问题的解决中。

3）理解导数和微分在实际生活中的广泛应用，如：优化问题、极值问题等。

2、教学重点：1）导数和微分的定义及其区别。

2）导数的求法及其应用。

3）微分的求法及其应用。

三、教学方法1、导入教学内容导入阶段可以借助导数和微分在实际生活中的应用，引导学生认识到本次教学的重要性，并产生学习的兴趣和积极性。

芯衣州星海市涌泉学校高三同步辅导材料〔第3讲〕一、教学进度第三章导数与微分二、学习指导通过运动物体在某一时刻的瞬时速度〔lim→∆t ts ∆∆〕、曲线在某一点处的切线的斜率〔0lim→∆x x y ∆∆〕、消费的边际本钱〔lim→∆q qc∆∆〕三个实例〔也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率即是导数的几何意义〕.抽象出它们一一共同的、本质性的东西：函数的变化量△y 与自变量的变化△x 的比值当△x→0时的极限，并定义为函数f(x)在这一点处的导数.并进而定义了导函数〔简称导数〕导数应用很广泛，经常需要求导，假设都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用.课本内只介绍了两个求导公式：C/=0，及/)(nx =1-n nx 〔n为正整数〕课本已予推导；两个法那么：[f(x)±g(x)]/=/f(x)±g/(x).[Cf〔x 〕]/=C/f(x).请同学们根据定义自行证明一下上述两个法那么后再往下看：[f(x)±g(x)]/=0lim>∆x xx g x f x x g x x f ∆±-∆+±∆+)]()([)]()([=0lim >∆x xx g x x g x f x x f ∆-∆+±-∆+)]()([)]()([ =0lim >∆x x x f x x f ∆-∆+)()(±0lim >∆x xx g x x g ∆-∆+)()(=)(/x f ±)(/x g /)]([x Cf =0lim >∆x x x Cf x x Cf ∆-∆+)()(=0lim >∆x 〔C·x x f x x f ∆-∆+)()(〕=C 0lim >∆x xx f x x f ∆-∆+)()(=)(/x Cf . 有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了.另外，∵xy∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00≈)(0/x f ，∴△y≈)(0/x f ·△x.当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。

《高等数学》标准教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：了解函数的定义，掌握函数的性质及常见函数类型。

教学内容：函数的定义，函数的单调性、奇偶性、周期性。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，运用性质进行分析。

1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质及求解方法。

教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小与无穷大，极限的求解方法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解极限的概念，运用性质及方法求解极限。

第二章：微积分基本概念2.1 导数与微分教学目标：理解导数的定义，掌握基本导数公式及微分方法。

教学内容：导数的定义，基本导数公式，微分的方法及应用。

教学方法：通过实际例子，引导学生理解导数的概念，运用公式及方法进行微分。

2.2 积分与微分方程教学目标：理解积分的概念，掌握基本积分公式及解微分方程的方法。

教学内容：积分的定义，基本积分公式，微分方程的解法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解积分的概念，运用公式及方法解微分方程。

第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与性质教学目标：了解多元函数的定义，掌握多元函数的性质及常见类型。

教学内容：多元函数的定义，多元函数的性质，常见多元函数类型。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解多元函数的概念，运用性质进行分析。

3.2 多元函数的求导法则教学目标：理解多元函数求导法则，掌握多元函数的求导方法。

教学内容：多元函数的求导法则，多元函数的求导方法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解多元函数求导法则，运用方法进行求导。

第四章：重积分与曲线积分4.1 二重积分及其应用教学目标：理解二重积分的定义，掌握二重积分的计算方法及应用。

教学内容：二重积分的定义，二重积分的计算方法，二重积分在几何及物理中的应用。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解二重积分的概念，运用计算方法进行计算。

4.2 曲线积分的概念与应用教学目标：理解曲线积分的定义，掌握曲线积分的计算方法及应用。

#### 教学目标1. 知识目标：- 理解导数的定义及其几何意义。

- 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。

- 熟悉基本初等函数的导数公式。

- 了解微分的概念和微分在近似计算中的应用。

- 掌握高阶导数的概念及其求法。

- 理解隐函数和由参数方程确定的函数的导数求法。

- 了解相关变化率的概念。

2. 能力目标：- 能够运用导数和微分解决实际问题。

- 提高逻辑推理能力和抽象思维能力。

3. 情感目标：- 培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。

- 增强学生的团队合作意识和沟通能力。

#### 教学重点1. 导数的概念及其几何意义。

2. 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。

3. 基本初等函数的导数公式。

4. 高阶导数的概念及其求法。

5. 隐函数和由参数方程确定的函数的导数求法。

#### 教学难点1. 复合函数的求导法则。

2. 分段函数在分段点处的导数。

3. 隐函数的导数。

4. 由参数方程所确定的函数的二阶导数。

#### 教学过程##### 第一课时：导数的概念及其几何意义1. 导入：- 通过实际问题引入导数的概念，如速度、加速度等。

2. 新课讲解：- 介绍导数的定义：函数在某一点处的导数是函数在该点处切线的斜率。

- 介绍导数的几何意义：函数在某一点处的导数表示函数图像在该点切线的斜率。

3. 例题分析：- 讲解典型例题，如分段函数的导数求法。

4. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

##### 第二课时：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则1. 新课讲解：- 介绍导数的四则运算法则。

- 介绍复合函数的求导法则。

2. 例题分析：- 讲解典型例题，如复合函数的导数求法。

3. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

##### 第三课时：基本初等函数的导数公式1. 新课讲解：- 介绍基本初等函数的导数公式。

2. 例题分析：- 讲解典型例题，如基本初等函数的导数求法。

3. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

高等数学导数与微分教案一、页高等数学导数与微分教案二、目录1.页2.目录3.摘要4.背景和现状分析4.1数学教育的重要性4.2导数与微分的在现代数学中的地位4.3当前教育方式与挑战5.项目目标5.1教学内容的深化与拓展5.2教学方法的创新与改进5.3学生能力的提升与评估6.教学内容安排7.教学方法与策略8.教学评估与反馈9.教学资源与材料三、摘要四、背景和现状分析4.1数学教育的重要性在当今科技迅速发展的时代，数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象能力和创新能力具有不可替代的作用。

高等数学作为大学教育的重要组成部分，其深度和广度都对学生未来的学术和职业生涯产生深远影响。

4.2导数与微分的在现代数学中的地位导数与微分是高等数学中的核心概念，它们不仅是后续学习积分学、微分方程等高级数学课程的基础，而且在物理学、工程学、经济学等多个领域有着广泛的应用。

掌握导数与微分的基本原理和方法对于学生理解和解决实际问题至关重要。

4.3当前教育方式与挑战目前，高等数学的教学多采用传统的讲授方式，这种方式往往导致学生被动接受知识，缺乏主动探索和思考的机会。

由于导数与微分概念较为抽象，学生普遍感到难以理解和应用，这对教师的教学方法和学生的接受能力都提出了更高的要求。

五、项目目标5.1教学内容的深化与拓展本教案的目标之一是对导数与微分的教学内容进行深化与拓展。

除了涵盖基本概念、性质和计算方法外，还将引入一些高级主题和应用实例，以增强学生对导数与微分理解的深度和广度。

5.2教学方法的创新与改进教案将探索和实施一系列创新的教学方法，如翻转课堂、小组合作学习、问题导向学习等，以激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和自主学习能力。

5.3学生能力的提升与评估教案将注重学生能力的培养和评估，通过设计多样化的练习题和实际应用案例，帮助学生将理论知识转化为解决实际问题的能力。

同时，教案将包含定期的学习评估和反馈机制，以确保教学目标的达成。

第三章导数与微分一、教学目标1.了解导数的概念及意义，微分形式的不变性；2.熟悉微分的定义，导数概念与微分概念的联系与区别；3.掌握复合函数、隐函数及含参数方程所确定函数的求导运算.二、课时分配本章节共5个小节，共安排10个学时.三、教学重点1.导数概念、函数的可导性与连续性的关系；2.复合函数求导的链式法则；3.隐函数求导；4.由参数方程所确定的函数的导数；5.函数可微性与可导性的关系.四、教学难点导数与微分在几何和物理上的应用.五、教学内容第一节导数的概念一、导数概念的两个引例为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论以下两个问题：速度问题和切线问题.1. 变速直线运动的瞬时速度我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=s t来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度为v̅=s(t1)−s(t0)t1−t0=∆s∆t=s(t0+∆t)−s(t0)∆t那么，怎样求非匀速直线运动物体在某一时刻的速度呢？由于物体做变速运动，用匀速直线运动的公式v=s/t来计算它在某一时刻的速度已不适用.处理这个问题的基本方法是“匀速代变速”.为此，给t0一个增量Δt，当时间由t0改变到t0+Δt时，在Δt这一段时间内，物体走过的路程是∆s=f(t0+∆t)−f(t0)物体在时间间隔Δt内的平均速度是v̅=∆s∆t=f(t0+∆t)−f(t0)∆t用Δt这一段时间内的平均速度表示物体在t0时刻的瞬时速度，这当然是近似值，显然Δt越小，即时刻t越接近于t0，其近似程度就越好.为完成“近似”向“精确”的转化，令Δt→0，如果平均速度v的极限存在，则这个极限值就叫作物体在时刻t0的速度(瞬时速度)，即v(t0)=lim∆t→0∆s∆t=lim∆t→0f(t0+∆t)−f(t0)∆t2. 切线问题设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N 沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫作曲线在点M处的切线.当Δx→0时，割线MN将绕点M转动到极限位置MT.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).tanα=lim∆x→0tanφ=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题，也都可归结为这种形式的极限.因此，抛开这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义.二、导数的定义定义1 设函数y=f(x)在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量∆y=f(x0+∆x)−f(x0)如果当Δx→0时，Δy/Δx的极限存在，则这个极限就称为函数y=f(x)在点x处的导数(或称为变化率)，记为y′|x=x0，即y′|x=x0=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x也可以记作f′(x0),dydx|x=x0或df(x)dx|x=x0如果极限存在，就称函数f(x)在点x0处可导.如果极限不存在，就称函数y=f(x)在点x处不可导.如果不可导的原因是当Δx→0时，ΔyΔx→∞，为了方便起见，往往也说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，就说函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时，对于(a,b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新的函数，这个新的函数叫作原来函数y=f(x)的导函数，记为y′，f′(x)，dy/dx或df(x)/dx.在式中，把x0换成x，即得y=f(x)的导函数公式：y′=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x显然，函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值，即f′(x0)=f′(x)|x=x0为方便起见，在不致引起混淆的地方，导函数也称导数.由此可见，导数是用极限来定义的，类似于有关极限的内容，导数有左右导数的定义.定义2 设函数y=f(x)在点x0的某左（右）邻域内有定义，若lim ∆x→0−∆y∆x=lim∆x→0−f(x0+∆x)−f(x0)∆x(lim∆x→0+∆y∆x=lim∆x→0+f(x0+∆x)−f(x0)∆x)存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在，记作f′-(x0)(f′+(x0)). 函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数.显然，当函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论：f′(x0)存在左导数f′-(x)和右导数f′+(x0)存在并且相等.三、求导数举例根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数可以分为以下三个步骤：（1）求函数的增量：∆y=f (x+∆x )−f (x );（2）计算比值：∆y∆x =f (x+∆x )−f (x )∆x;（3）取极限：y′=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f (x+∆x )−f (x )∆x;【例2】求幂函数y=x3的导数.【解】∆y=(x+∆x)3−x3=x3+3x2∆x+3x(∆x)2+(∆x)3−x3于是∆y∆x=3x2+3x∆x+(∆x)2因而lim ∆x→0∆y∆x=3x2即(x3)′=3x2一般地，对任意实数α,幂函数y=xα的导数公式(xα)′=αxα−1都成立.四、导数的几何意义由切线斜率问题的讨论及导数定义可知:函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率,即f′(x0)=tanα其中α是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得,曲线y=f(x)在给定点M(x0,y0)处的切线方程是y−y0=f′(x0)(x−x0)过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫作曲线y=f(x)在点M(x0,y0)的法线.如果f′(x0)≠0,则法线方程为y−y0=−1f′(x0)(x−x0)【例4】求过曲线y=3x2上点(2,12)的切线方程与法线方程. 【解】因为f’(x)=(3x2)′=6x，所以f’(2)=12于是过点(2,12)的切线方程为y-12=12(x-2)即12x-y-12=0法线方程为y−12=−112(x−2)即x+12y-146=0五、函数可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x0处可导,即极限lim ∆x→0∆y=f′(x0)存在.由函数极限存在与无穷小的关系知Δy/Δx=f′(x)+α(α是当Δx→0时的无穷小).上式两端同乘以Δx,得Δy=f′(x0)Δx+αΔx,不难看出,当Δx→0时,Δy →0.这就是说,函数y=f(x)在点x0处是连续的.所以,如果函数y=f(x)在点x0处可导,则函数在该点处必连续.注意：如果函数y=f(x)在某一点处连续,却不一定在该点处可导.第二节函数的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则法则1 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)±v(x)也在点x 处可导，且[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)法则2 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)·v(x)在点x处也可导，且[u(x)∙v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)特别地，令v(x)=c(常数)，由于c′=0，所以有［cu(x)］′=cu′(x).法则3 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，且v(x)≠0，则函数u(x)v(x)在点x处也可导，且[u(x)()]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)2【例1】求函数y=3x3+x2+5的导数.【解】y′=(3x3+x2+5)′=9x2+2x【例2】求函数y=x2sinx的导数.【解】y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx二、复合函数的求导法则法则4 如果函数u=φ(x)在点x处可导，且y=f(u)在对应点u=φ(x)处可导，那么复合函数f［φ(x)］在点x处也可导，并且dy dx =dydu∙dudx或f′(x)=f′(u)∙φ′(x)法则4可以推广到有有限个中间变量可导函数的复合函数的情况.例如，y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)都是可导函数，则复合函数y=f｛φ［ψ(x)］｝的导数是dy=dy∙du∙dv利用导数定义及其他求导方法，可以求得基本初等函数的导数公式：（1）(C)′=0（C为常数）；（2）(xα)′=αxα−1（α为任意常数）；（3）(a x)′=a x ln a；（4）(e x)′=e x；；（5）(log a x)′=1x ln a；（6）(ln x)′=1x（7）(sin x)′=cos x；（8）(cos x)′=−sin x；（9）(tan x)′=sec2x；（10）(sec x)′=sec x tan x；（11）(cot x)′=−csc2x；（12）(csc x)′=−csc x cot x；；（13）(arcsin x)′=√2；（14）(arccos x)′=√2；（15）(arctan x)′=11+x（16）(arc cot x)′=−11+x三、隐函数的求导法则如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得.但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法是：(1) 将方程F(x，y)=0的两边对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y 的函数看成是x 的复合函数；(2) 求导后，解出y ′即可(式子中允许有y 出现).四、反函数的求导法则法则5 设函数x=φ(y)在区间D 内单调，在y 处可导，且φ′(y)≠0，则其反函数y=f(x)在x=φ(y)处也可导，且dy dx =1dy dx或f ′(x )=1φ′(y)五、参数方程所确定的函数的导数在实际应用中，函数y 与自变量x 的关系常常通过某一参数变量t 表示出来，即{x =φ(t)y =ψ(t),t 为参数由于y 是参数t 的函数，由x=φ(t)知t 是x 的函数，所以y 通过t 确定为x 的复合函数.于是，由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有dy =dy∙dt =dydt dx dt=ψ′(t) 第三节 高阶导数一、高阶导数的概念y′=f′(x)叫作函数y=f(x)的一阶导数.类似地,y=f(x)的二阶导数y″的导数叫作y=f(x)的三阶导数,三阶导数的导数叫作y=f(x)的四阶导数……一般地,f(x)的n-1阶导数的导数叫作y=f(x)的n 阶导数,分别记作y′′′,y(4),⋯,y(n)或f′′′(x),f(4)f(x),⋯,f(n)f(x)或d3ydx3,d4ydx4,⋯,d n ydx n二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.【例2】求函数y=6x3+3x2+x+5的二阶导数.【解】y′=18x2+6x+1y″=36x+6二、二阶导数的物理意义设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t),瞬时速度为v=s′(t).此时,若速度v仍是时间t的函数,则可以求速度v对时间t的变化率:v′(t)=(s′(t))′=s′′(t)在力学中把它叫作物体在给定时刻的加速度,用a表示.也就是说,物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数,即a=v′(t)=s′′(t)=d2s dt2第四节相关变化率在实际问题中,有时遇到参与变化的几个变量都是时间t的函数.这几个变量之间存在某种关系,从而它们的变化率之间也存在一定的关系.这几个互相依存的变化率称为相关变化率.所谓相关变化率问题就是研究这几个变化率之间的关系,以便由已知的变化率求出未知的变化率.第五节函数的微分一、微分的定义定义如果函数y=f(x)在点x0处存在导数f′(x)，那么f′(x)·Δx就叫作函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy|x=x，即dy|x=x0=f′(x0)∙∆x若函数y=f(x)在区间(a，b)内任一点x处都可导，则把它在点x处的微分叫作函数的微分，记作dy或df(x)，即dy=f′(x)∙∆x由定义可以知道，自变量的微分就是自变量的改变量，记作dx，即dx=Δx，于是dy=f′(x)dx由式两边同时除以dx可以得出dy=f′(x)上式说明，导数f′(x)是函数的微分dy与自变量的微分dx的商.因此导数也叫作微商.今后我们把可导函数也称为可微函数.【例1】求函数y=2x3+5x2+6x在x=2处的微分.【解】dy|x=2=(2x3+5x2+6x)′|x=2∆x=(6x2+10x+6)|x=2∆x=50∆x=50dx二、微分的几何意义设曲线y=f(x)上一点P的坐标为(x0，f(x))，过P点作割线PQ交曲线于Q点，其坐标为(x0+Δx，f(x+Δx))，则dx=Δx=PR，Δy=RQ.又设过P(x0，f(x))点的切线PT交RQ于点M，函数f(x)在点x处的导数f′(x)是过P点的切线PT的斜率，即f′(x0)=tanα=RM PR因此函数在点x的微分是：dy|x=x0=f′(x0)∙∆x=RMPR∙PR=RM这说明函数在x=x0处的微分是曲线y=f(x)在点P(x，f(x))处切线的纵坐标对应于Δx的改变量.这就是微分的几何意义.三、微分的运算1.微分的基本公式（1）d(C)=0（C为常数）；（2）d(xα)=αxα−1dx；（3）d(a x)=a x ln a dx(a>0,a≠1)；（4）d(e x)=e x dx；（5）d(log a x)=1x ln adx(a>0,a≠1)；（6）d(ln x)=1xdx；（7）d(sin x)=cos x dx；（8）d(cos x)=−sin x dx；（9）d(tan x)=sec2x dx；（10）d(cot x)=−csc2x dx；2.函数和、差、积、商的微分法则（1）d(u±v)=du+dv（2）d(u∙v)=v du+u dv（3）d(Cu)=C du(C为常数)（4）d(uv )=v du−u dvv(v≠0)3.复合函数微分法则若函数y=f(u)及u=φ(x)都可导，则复合函数y=f［φ(x)］的微分为dy=y′x dx=f′(u)φ′(x)dx由于φ′(x)dx=du，故上式为dy =f′(u)du所以复合函数的微分法则为dy =f′(u)du将这个公式与x 为自变量的微分公式dy=f ′(x)dx 相比较，可以发现它们的形式完全相同，这表明无论u 是自变量还是中间变量(即自变量的函数)，函数y=f(u)的微分形式dy=f ′(u)du 都保持不变，微分的这种性质叫作一阶微分形式的不变性.四、微分在近似计算中的应用函数y=f(x)在x=x 0处的增量Δy ，在|Δx|很小时，可用微分dy 来代替，即∆y ≈dy =f′(x 0)∆x于是∆y =f (x 0+∆x )−f (x 0)≈f′(x 0)∆x或f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f′(x 0)∆x在上式中，令x 0=0，Δx=x ，得f (x )≈f (0)+f′(0)x应用可推得几个工程上常用的近似公式(下面假定|x|是很小的数值)：（1）√1+x n ≈1+1n x（2）sin x ≈x（3）tan x ≈x（4）ln(1+x)≈x（5）e x ≈1+x【例5】计算ln(1+0.005)的近似值.【解】应用近似公式ln(1+x)≈x ，得ln(1+0.005)≈0.005。

第三章 导数与微分17世纪上半叶（整整半个世纪），当时天文学、力学等领域发展酝酿着微积分的发展，伽利略天文望远镜的发明使天文学的高涨，1619年开普勒通过观测归纳出运动的三大定律，对定律进行证明成为当时最中心的课题之一，1638年伽利略建立自由落体定律，动量定律等，他本人也倡导自然科学数学化，他的著作激起了人们对他确立的动力学概念与定律做精确的数学表述的巨大热情．这一蓬勃发展的自然科学在迈入综合与突破的阶段时面临的是数学困难，使微分学的基本问题成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任一点切线问题变得不可回避．微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分．其中导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢程度，而微分则反映出当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少．本章主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法．第一节 导数的定义一、导数的引例1、变速直线运动的瞬时速度设某物体做变速直线运动，在[0,t]内所走过的路程为()s s t =，其中0t >为时间，求物体在时刻0t 的瞬时速度0()v v t =．我们知道，当物体做匀速直线运动时，若物体所走过的路程为s ，所用时间为t ，则可知该段时间内的平均速度为s v t=由于是匀速运动，因此在t 时刻的瞬时速度v v =，但变速直线运动物体的速度()v t 是随时间的变化而变化的，不同时刻的速度可能都不同，因此平均速度v 不能很好的反映物体在时刻0t 的瞬时速度．为解决此问题，我们先求出物体在00[,]t t t +∆这一小段时间内的平均速度，因此有路程变化表达式00()()s s t t s t ∆=+∆-平均速度为00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆ 通常速度在段时间内变化不会很大，因此这里的v 可以作为0()v t 的近似值，容易看出，t ∆越小，则v 越接近0()v t ，试想，当t ∆无限变小时，v 将无限接近0()v t ．即00000()()()lim lim lim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆2、曲线的切线斜率首先说明什么是曲线的切线，在中学，我们曾定义圆的切线为“与圆只有一个交点的直线”，但对于一般曲线而言，这一定义不合适，很明显，与一曲线只有一个交点的直线很多，但不是切线．一般地，设连续曲线C 及C 上一点M 如图3—1所示，在M 点外任取一点N C ∈，做割线MN ，如果点N 沿曲线C 趋向M 点时，如果割线MN 趋向与它的极限位置MT ，则称直线MT 为曲线C 在M 处的切线，如图所示．设M 点的坐标为00(,)x y ，则N 点的坐标为00(,)x x y y +∆+∆，割线MN 的倾角为ϕ，切线MT 的倾角为θ，则割线MN 的斜率 tan NP yk MP xϕ∆===∆ 00()()f x x f x x+∆-=∆ 当0x ∆→时，点N 沿曲线C 趋于M ，由切线的定义知MN 趋于MT ，从而ϕθ→，有t a n t a n ϕθ→，即切线的斜率00tan lim tan limx x y k x θϕ∆→∆→∆===∆000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 以上两个问题，尽管实际意义不同，但是有着相同的本质，都是归结于要求函数的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量区域0时的极限，可见这种形式的极限问题是非常重要的而且普遍存在，因此有必要将其抽象出来，进行重点讨论和研究，这种形式的极限就是函数的导数．二、导数的定义定义 设函数)(x f y =在点0x 及其近旁有定义, 当自变量x 在点0x 有增量x ∆时, 函数)(x f 有相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，当x ∆0→时，若xy∆∆的极限存在，即 0lim x yx ∆→∆∆000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆． 存在，则称此极限值为函数)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f ', y '0x x =, 0x x dx dy =, 0)(x x dxx df =．xy∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(00反映的是自变量x 从0x 改变到+0x Δx 时, 函数)(x f 的平均变化速度, 称为函数的平均变化率．而导数0()f x '=0lim →∆x xy∆∆则反映的是函数在0x 处的变化速度, 称为函数在0x 处的瞬时变化率．图3—1函数()f x 在点0x 处有导数，则称函数()f x 在点0x 处可导．定义 如果函数)(x f 在区间),(b a 内每一点处都可导，则称)(x f 在区间),(b a 内可导．此时，对于区间),(b a 内每一个确定的x , 都有一个导数的值与它对应，这样就定义了一个新的函数，称为函数)(x f y =的导函数（derivative function ）．在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数，记作)(x f ', y ′,dx dy , dxx df )(． 显然()f x '=0limx y x ∆→∆∆0()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆． 函数)(x f y =在点0x 处的导数()f x '，就是导函数()f x '在点0x 处的函数值，即0()()x x f x f x =''=．注意'0()f x 与'0[()]f x 的区别：'0()f x 表示函数)(x f 在点0x 的导数，即函数在一点的导数；而'0[()]f x 表示点0x 处函数值0()f x 的导数，即一个常数的导数，结果为零．基于此，要求一个函数)(x f 在一个点0x 的导数，应先求出这个函数的导函数()f x '，再把点0x 代入即得'0()f x ．三、与导数有关的问题有了导数的定义，实际中很多问题都可以用导数来表示，导数引例中的两个问题分别用导数可以表示为：（1） 变速直线运动的速度是路程()s t 对时间t 的导数，即()()dsv t s t dt'==． （2） 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率，即0()tan k f x α'==其中α是切线的倾斜角，2πα≠．这也是导数的几何意义．除了这两个以外，还有如下问题分别可以用导数来表示： （3）在经营管理中，收益函数()R x 对销售量x 的导数dRdx称为边际收益． （4）利润函数()L x 对产量x 的导数dLdx称为边际利润． （5）在电工学中，电量()Q t 对时间t 的导数dQdt 称为电流．（6）在热学中，热量Q 对温度T 的导数dTdQ称为比热等．（7）在化学反应中，物质A 的浓度()A N t 对时间t 的导数()A dN t dt称为反应速率，一般为了使反应速率为正值，如果物质A 是反应物，则A dN dt 前加负号，即AdN dt-；物质A 是产物，则速率就是AdN dt． （8）在干燥物体的时候，单位干燥面积上汽化水分量()W t 对时间t 的导数dWdt称为干燥速率．（9）某种传染病传播的人数量()N t 对时间的导数()dN t dt称为传染病的传播速度． ……四、几个求导数实例例1 求3x y =在1-=x 处的导数． 解 由于函数改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-(1)(1)f x f =-+∆--33(1)(1)x =-+∆-- 2323133()()133()()x x x x x x =-+∆-∆+∆+=∆-∆+∆所以1x y =-'=x yx ∆∆→∆0lim=20lim 33()3x x x ∆→⎡⎤-∆+∆=⎣⎦ 例2 求函数sin y x =的导数．解 因为 sin()sin 2cos()sin22x xy x x x x ∆∆∆=+∆-=+，所以 ()f x '=0limx y x ∆→∆=∆0lim →∆x 2cos(x x ∆+)=∆∆22sinx x 0lim →∆x 2cos(x x ∆+)0lim →∆x =∆∆22sinxxx cos ． 即x x cos )(sin ='．类似地, 可求得x x sin )(cos -='．例3 求函数x y a log =(0,1)a a >≠的导数．解 因为 log ()log a a y x x x ∆=+∆-=)1(log xxa ∆+，所以 ()f x '=0lim x y x ∆→∆=∆01lim x x ∆→∆log (1)a x x∆+01lim x x ∆→=log (1)x x a x x ∆∆+0lim 1→∆=x x x xa x x ∆∆+)1(log e x a log 1=ax ln 1=． 即=')(log x a a x ln 1． 特别地, 当e a =时=')(ln x x1． 五、可导与连续的关系定理 如果函数)(x f y =在点x 处可导, 则它在点x 处一定连续．（证明略）这个定理的逆命题不成立, 即如果函数)(x f y =在点x 处连续, 但在x 处不一定可导． 例如函数3x y =在区间),(+∞-∞内处处连续，但它在0=x 处不可导．是因为在0=x 处有x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆330000lim lim 20lim ()x x -∆→=∆=∞， 即曲线3x y =在原点有垂直于x 轴的切线，从而导数不存在．如图3—2所示．又例如函数||y x =，图形如图3—3所示，这样的图形在原点是没有切线的，所以就不存在斜率，也就没有导数，但是连续，所以像这种点也是不可导的，它的理论推导留给读者在习题中完成．习题训练1．物体作直线运动的方程为223s t =+，求：（1）物体在2秒到2t +∆秒的平均速度； （2）物体在2秒时的瞬时速度； （3）物体在0t 秒到0t t +∆秒的平均速度； （4）物体在0t 秒时的瞬时速度． 2．根据导数定义证明：(cos )sin x x '=-．3．已知每公斤铁由0C ︒加热到T C ︒所吸收的热量Q 由下式确定：20.10530.0000712(0200)Q T T T =+≤≤求T C ︒时铁的比热．4．用导数定义证明连续函数y x =在点0x =处不可导． 5．用导数定义证明函数()f x =0x =处连续，但()f x 在点0x =处不可导．6．用导数定义讨论函数2()1f x x =-在点1x =处的可导性．图3—2yxO图3—3yxO7．结合你自己的专业，查找除了本节中给出的可以用导数表示的外，还有哪些可以用导数表示？第二节 求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则上面，我们利用导数的定义求出了一些简单函数的导数，但是当函数比较复杂时，那么用导数的定义来求这些复杂函数的导数时就会变得相当麻烦．由于导数在数学形式上就是一种特殊的函数的极限，我们可以利用函数极限的四则运算法则导出函数求导的四则运算法则．设)(x u u =、)(x v v =在点x 处具有导数)(x u u '='，)(x v v '='.根据导数定义和函数极限的四则运算法则很容易得到下面函数的和、差、积、商的求导法则（证明略）．法则1 ()u v u v '''±=±．这个公式可以推广到有限多个函数代数和的情形='±±±±)(321n u u u u n u u u u '±±'±'±' 321． 法则2 ()uv u v uv '''=+． 法则3 v c cv '=')( (c 为常数)．法则4 2u u vu v v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭（0≠v ）． 例1 求函数2(1)ln y x x =-的导数．解 22(1)ln (1)ln y x x x x '''=-+-212ln x x x x -=-+12ln x x x x=-+-．例2 求函数1122+-=x x y 的导数．解 y '222222)1()1)(1()1()1(+'+--+'-=x x x x x =+--+=2222)1()1(2)1(2x x x x x 22)1(4+x x．例3 求函数tan y x =的导数．解 因为sin tan cos xx x=，所以2sin (sin )cos sin (cos )()cos cos x x x x x y x x''-''==22222sin cos 1sec cos cos x xx x x +===． 即2(tan )sec x x '=．类似的，可以求出2(cot )csc x x '=-．例4 求函数sec y x =的导数． 解 因为1sec cos x x =，所以 221(1)cos 1(cos )sin ()sec tan cos cos cos x x x y x x x x x''-''====． 即(sec )sec tan x x x '=．类似的 可以求出(csc )csc cot x x x '=-．例5 求函数sin tan y x x x =的导数．解 ()s i n t a n (s i n )t a n s i ny x x x x x x x x x ''''=++ x x x x x x x x 2sec sin tan cos tan sin ++=．例6 一个可变电阻R 的电路中的电压为6253R U R +=+，求在7R =Ω时电压U 对可变电阻R 的变化率．解 根据导数的本质可知，电压U 关于可变电阻R 的变化率为226256(3)(625)7()3(3)(3)R R R U R R R ++-+''===-+++,2770.0710R U ='=-=-． 即当7R =Ω时，电压关于可变电阻R 的变化率为0.07-．二、反函数的导数定理 设函数()x y ϕ=在),(b a 内单调、可导，且()0y ϕ'≠，则它的反函数)(x f y =在对应的区间内也单调、可导，且1()()f x y ϕ'='或y xx y '='1． （证明略）例7 求函数)11(arcsin <<-=x x y 的导数． 解 因为x y arcsin =的反函数是y x sin =（22ππ<<-y ），且0cos >=y dydx，所以y dydx dx dy cos 11==2211sin 11xy -=-=． 即()='x arcsin 211x-()11<<-x ． 类似的 可以求出()='x arccos 211x--()11<<-x ．例8 求函数arctan y x = ()x -∞<<∞的导数． 解 因为x y arctan =的反函数是y x tan =（22ππ<<-y ），且2sec dxy dy=，所以 y dydx dx dy 2sec 11==2211tan 11x y +=+=．即()211arctan xx +=' )(∞<<-∞x ． 类似的 可以求出()'x arc cot 211x +-= )(∞<<-∞x ． 例9 求函数x a y =)1,0(≠>a a 的导数．解 因为xa y =的反函数是y x a log = )0(+∞<<y ，且0ln 1≠=ay dy dx ，所以 a a a y y a x a x ln ln )(log 1)(=='='．即a a a x x ln )(='．特别地，指数函数xe y =的导数是x x e e =')(．三、复合函数的导数定理 设函数[()]y f x ϕ=是由)(u f y =及()u x ϕ=复合而成的函数，如果()u x ϕ=在点x 处有导数=dx du ()x ϕ'，而)(u f y =在对应点()u x ϕ=处有导数=dudy )(u f '，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处的导数也存在, 且dy dy du dx du dx=⋅． 或写成()()()y x f u x ϕ'''=⋅或x u x y y u '''=⋅．其中x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对中间变量u 的导数，而x u '表示中间变量u 对自变量x 的导数．（证明略）复合函数的导数可以推广到有限次复合的函数情形．例如 )(u f y =，()u v ϕ=，)(x v ω= 则x v u v u y y '⋅'⋅'='，这样的复合函数的求导方法则称为链式法则．例10 求函数4(12)y x =-的导数．解 设4y u =，则12u x =-，因为34u y u '=，2x u '=-，所以33)21(8)2(4x u u y y xu x --=-⋅='⋅'='．例11 求y =解 设y =21u x =+，因为141551155u y u u --'==，2x u x '=，所以44255112(1)255x u x y y u u x x x --'''=⋅=⋅=+⋅=．当运算熟练后，求复合函数的导数时，就不必再写出中间变量，可以按照复合的前后次序，层层求导直接得出结果．例1,2 求2cos y x =的导数．解 2[(c o s )]2c o s (c o s )y x x x '''==⋅2s i n c o s s i n2x x x =-=-． 计算函数的导数时，有时需同时运用函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则．例13求y x=的导数．解22()y x x ''=22(1)xx '=-22x=2=． 例14 求21arcsin x y -=的导数． 解 函数的定义域为]1,1[-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=--⋅='---='011110111221)1()1(1122222x xx x x x x x x y ．例15对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为(1)tRCcu E e -=-,求电容器的充电速度表达式.解 根据题意可知充电速度为cdudt，根据复合函数的求导法则，有 (1)t t c RCRC du E E e e dt RC--'==-=． 四、初等函数的求导公式到现在为止，我们已经求出了全部基本初等函数的导数．由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算构成的，因此可以利用函数的和、差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则以及基本初等函数的导数公式求出任何初等函数的导数．从而可以得出下面的结论：一切初等函数都是可导的，而且可导的初等函数的导数仍为初等函数． 为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：()u v u v '''±=± ()uv u v uv'''=+()cu Cu ''=；（C 是常数） 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭()0v ≠．3 复合函数的求导法则设()y f u =，而()u x ϕ=且()f u 及()x ϕ都可导，则复合函数[]()y f x ϕ=的导数为dy dy dudx du dx=⋅或u x y y u '''=⋅习题训练1．求下列函数在给定点的导数： （1）53sin y x x =+在0x =及2x π=；（2）23cos 1y xx x =+-在x π=-及x π=； （3）1sin cos 2ρϕϕϕ=+在4πϕ=； （4）()f t =在4t =． 2．指出下列复合函数的复合过程，并求出其导数．（1）210(31)y x =+； （2）y =（3）cos(5)4y x π=+； （4）3sin(35)y x =+；（5）ln(1)y x =-； （6）2sin y x =； （7）2ln(y x =； （8）y =3．求下列函数的导数：（1）sin y nx =； （2）2(ln )y x =；（3）523(21)y x x =-+；（4）cos(32)y x =+；（5）y = （6）ln(ln )y x =；（7）2(arcsin )y x =； （8）arccos y x x =-（9）sin 222(arctan )xy x =+； （10）2sec (ln )y x =；（11）32sec ()xy e =； （12）1arctan 1x y x-=+．4．曲线2(1)(1)y x x =-+在0x =处的切线斜率是多少？曲线上哪些点的切线平行x轴？5．过点(0,2)引抛物线21y x =-的切线，求此切线方程，并作图．6．数a 为何值时，直线x y =才能与对数曲线x y a log =相切？在何处相切？第三节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y -+=等，两个变量y 与x 之间的对应关系用()x f y =表示，用这种方式表达的函数称为显函数．但有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在(,)-∞+∞内取值时，变量y 有确定的值与之对应．例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，32=y ，等等．这种由含有x 和y 的方程(,)0F x y =所确定的函数称为隐函数．把一个隐函数化为显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程013=-+y x 解出31x y -=，就把隐函数化成了显函数．但是隐函数的显化有时是有困难的，有时甚至是不可能的．例如，要将函数e e xy y=+显化显然是不可能的．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数．因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来．求隐函数0),(=y x F 的导数时，可以两边逐项对x 求导，0)],([=y x F dxd．遇到y 时，就视y 为x 的函数，遇到y 的函数时，就看成为x 的复合函数，y 为中间变量．然后从所得的等式中解出y '，即得隐函数的导数．下面通过具体例子来说明这种方法．例1 求由方程222r y x =+所确定的隐函数的导数y '． 解 将方程222x y r +=的两边同时对x 求导，)()(222r dxdy x dx d =+， 即2()d x dx 0)(2=+y dxd．注意到y 是x 的函数，则2y 是x 的复合函数，由复合函数的求导法则, 先求2y 对y 的导数，然后乘以y 对x 的导数．所以上式可以写为022='+y y x ，解出y '，得y '=-yx ． 例2 求由方程0=-+e xy e y所确定的隐函数在0=x 处的导数0=x dxdy ．解 两边对x 求导，得(dx d )0()dxd e xy e y =-+， 即+)(y e dx d ()d xy dx -0)(=e dxd ． 注意到y 是x 的函数，ye 是x 的复合函数，由复合函数的求导法则，得0=++dxdy x y dx dy e y ，解出dxdy ，得(0)y y dy y x e dx x e=-+≠+． 因为0=x ，可求得1=y ，所以edx dy x 1-==．例3 求椭圆22194x y +=在点(1,3P 处的切线方程． 解 两边对x 求导，得22094x y y '⋅+=， 解出y '，得49x y y'=-．把点P 的坐标1x =，3y =代入，得切线斜率为1|6x dy k dx ===-从而所求切线方程为1)36y x -=--， 即90x +-=．例4 求xy x =(0)x >的导数． 解 对等式两边取自然对数，得ln y ln x x =两边对x 求导，得1ln 1+='x y y， 解出y '，得)1(ln +='x y y ，或)1(ln +='x x y x ．由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积、开方的求导运算，通过取对数得到简化．例5 求()()()()4321----=x x x x y （4>x ）的导数． 解 两边取对数，得()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln -----+-=x x x x y ， 两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-='41312111211x x x x y y ， 即⎪⎭⎫⎝⎛-----+-='413121112x x x x y y .像例4、例5，我们先对函数)(x f y =两边取对数化为隐函数，然后再按隐函数求导法来求函数的导数，称为对数求导法．二、由参数方程所确定的函数的导数一般情况下，参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩ ()t αβ≤≤确定了y 是x 的函数关系，在参数方程中，如果函数()x t ϕ=具有单调连续的反函数1()t x ϕ-=，则由参数方程所确定的函数y 可以看成是由)(t y ψ=和1()t x ϕ-=复合而成的函数1[()]y x ψϕ-=．假定()x t ϕ=，)(t y ψ=都可导，且()0t ϕ'≠，则由复合函数的求导法则和反函数的求导法则，得()()1t dy dy dt dy dx dx dt dx dt t dtψϕ'=⋅=⋅='， 即()()t dy dx t ψϕ'=' 或 dtdx dt dydxdy =． 例6 求由参数方程所确定的函数⎩⎨⎧==tb y ta x 33sin cos 的导数．解t t a t t a dt dxsin cos 3))(cos cos 3(22-='=， t t b t t b dtdycos sin 3))(sin sin 3(22='=． 则t a b t t a t t b t t dx dy tan sin cos 3cos sin 3)()(22-=-=''=φψ． 例7 求由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 确定的函数在4πθ=处切线的斜率．解 )c o s 1(θθ-=a d dx ，θθsin a d dy =，则θθθθcos 1sin )cos 1(sin -=-=a a dx dy ， 则21222221224cos14sin4+=-=-=-===πππθdxdy k ．例8 求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 在4π=t 的切线方程和法线方程．解 t abt a t b t x t y dx dy cot sin cos )()(-=-=''=，则切线的斜率为ab a b dxdyk t -=-===4cot 4ππ，当4π=t 时，椭圆上点的坐标为)22,22(0b a M , 过0M 的切线方程为)22(22a x a b b y --=-， 过0M 的法线方程为)22(22a x b a b y -=-．习题训练1．求由下面的方程所确定的隐函数的导数：（1）2216x y -=； （2）33653x xy y ++=； （3）cos sin()x y x y =+； （4）()1xx y x=+ (0)x >；（5）tan (sin )xy x =； （6）43)(5)x y x -=+．2．求由下列方程所确定的隐函数在指定点的导数：（1）ln()y xy e =+，点(0,1)； （2）221y x x y=-+，点(0,1)．3．求曲线221x x y y +-=在点(1,1)的切线方程．4．求下列由参数方程所确定的函数的导数：（1）221,x t y t t ⎧=-⎨=-⎩； （2）sin ,x t y t =⎧⎨=⎩ ； （3）(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩． 5．已知参数方程sin cos t tx e t y e t ⎧=⎨=⎩，求当3t π=时的导数dydx ． 6．求曲线22122x t t y t⎧=+-⎨=⎩在点(1,8)的切线方程与法线方程． 第四节 高阶导数一、高阶导数的概念如果函数()y f x =的导数)(x f '仍是x 的函数，若)(x f '仍可求导，则称)(x f y '='的导数])([)(''=''x f y 为函数()f x 的二阶导数．记作)(x f '', y '',22dx y d 或22()d f x dx ． 相应地，把()y f x =的导数()f x '称作函数()y f x =的一阶导数．类似地, 如果函数()f x 的二阶导数()f x ''仍是x 的函数，若()f x ''仍可求导，则称()f x ''的导数为函数()f x 的三阶导数．记作)(x f ''', y ''', 33dx y d 或33()d f x dx ． 一般地，如果函数()f x 的)1(-n 阶导数(1)()n fx -仍是x 的函数，若(1)()n f x -仍可求导，则称(1)()n fx -的导数为函数()f x 的n 阶导数．记作f )(n (x ), y )(n ,nn dx y d 或()n n d f x dx ． 函数)(x f y =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()x f 在点x 的近旁内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称高阶导数．根据高阶导数的意义，求高阶导数时仍用前述的求导方法． 例1 求下列函数的二阶导数．（1）2ln ++=x e y x； （2）2cos2x y =； （3）x x y 3sin 2=． 解 （1）x e y x1+='， 21xe y x-=''．（2） x x x y sin 2121)2sin (2cos 2-=⋅-='， x y c o s 21-=''． （3）x x x x y 3cos 33sin 22+='，x x x x x x x y 3sin 93cos 63cos 63sin 22-++=''x x x x 3cos 123sin )92(2+-=．例2 求由方程222x y r +=确定的隐函数的二阶导数． 解 由本章第三节例1，可知yx y -='， 上式两边再对x 求导，注意到y 仍是x 的函数，则2y y x y y '--=''2)(y y xx y ---=322y x y +-=32y a -=． 例3 求由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 确定的函数的二阶导数．解 由本章第三节例7，可知θθθθcos 1sin )cos 1(sin -=-=a a dx dy ＝2cot θ， 所以dx d d dx dy d dx dy dx d dx y d θθ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=22θθd dx d dx dy d 1⋅⎪⎭⎫⎝⎛=1cot 2(sin )a θθθ'⎛⎫=⋅ ⎪'-⎝⎭ 24111csc 22(1cos )4sin 2a a θθθ=-⋅=--． 例4 求xe y =的n 阶导数．解 x e y ='， x e y =''， xe y ='''， ()x e y =4, ……依此类推，得()x n x e e =)(．例5 求x y sin =的n 阶导数． 解 )2sin(cos π+=='x x y ， )22s i n (s i n π⋅+=-=''x x y ， )23sin(cos π⋅+=-='''x x y ， )24s i n (s i n )4(π⋅+==x x y ，……．依此类推，得)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n ．同样x y cos =的n 阶导数为)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n ．二、二阶导数的物理意义 若某物体作变速直线运动，其运动方程为()s s t =，则物体运动的速度v 是路程s 对时间t 的导数，即()ds v s t dt'==． 此时若速度v 仍是时间t 的函数，我们可以求速度v 对时间t 的导数，用a 表示，即22()()d sa v t s t dt'''===．物理学中，我们称a 为加速度，也就是说物体运动的加速度a 是路程s 对时间t 的二阶导数．例6 已知某物体作变速直线运动，其运动方程为cos()s A t ωϕ=+（,,A ωϕ是常数）求物体运动的加速度．解 因为cos()s A t ωϕ=+， 则)sin()(ϕωω+-='=t A t s v ，)cos()(2ϕωω+-=''=t A t s a ．习题训练1．求下列函数的二阶导数（1）105335y x x =++； （2）5(3)y x =+； （3）22x e y ex =+； （4）cos y x x =；（5）2ln(1)y x =-； （6）2y =2．求由方程所确定的隐函数y 对x 的二阶导数．（1）tan()y x y =+； （2）arctan y x=． （3）xy e y=3．求由参数方程所确定的函数y 对x 的二阶导数．（1）cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩（,a b 为常数）； （2）32t tx e y e -⎧=⎨=⎩． （3）2arctan ln(1)x t t y t =-⎧⎨=+⎩4．验证函数12cos sin y c x c x =+（12,c c 为常数）满足关系式0y y ''+=． 5．求)1ln(x y +=的n 阶导数．*第五节 用Matlab 求函数导数导数在科技领域中的用途是非常大的，对于复杂的函数如果能用计算机来求导数，对我们来说是再好不过了，下面介绍如何用Matlab 来求导数．例1 求ln(1)y x =-的一阶导数． 解 在命令窗口中输入： >> syms x>> f=log(1-x); >> diff(f) 输出结果为：ans =-1/(1-x)即ln(1)11d x dx x-=-- 例2 求ln(1)y x =-的二阶导数解 在命令窗口中输入：>> syms x >>f=log(1-x); >>diff(f,2)输出结果为：ans =-1/(1-x)^2即222ln(1)1(1)d x dx x -=--例3 已知sin 0yxe y x e +-=所确定的隐函数()y y x =求dy dx解 在命令窗口中输入： >> syms x y>> f=exp(y)+y*sin(x)-exp(x); >> dfx=diff(f,x); >> dfy=diff(f,y); >> dyx=-dfx/dfy; >> dyx输出结果为：dyx =(-y*cos(x)+exp(x))/(exp(y)+sin(x))即 c o s s i n x y d y y x e d x e x-+=+ 例4 已知一参数方程为sin ,(1cos )x t t y t t =⎧⎨=-⎩求dydx ． 解 在命令窗口中输入：>> syms t >> x=t*sin(t); >> y=t*(1-cos(t)); >> dx=diff(x,t); >> dy=diff(y,t); >> dx>> dy >> dy/dx 输出结果：dx =sin(t)+t*cos(t)dy =1-cos(t)+t*sin(t)ans =(1-cos(t)+t*sin(t))/(sin(t)+t*cos(t))即 1cos sin sin cos dy t t tdx t t t-+=+习题训练1．用Matlab 求下列函数的导数：（1）22235y x x=-+； （2）2(2y x =+； （3）2(1)sin y x x =+； （4）53y =（5）2(15)y x =-； （6）sin sin cos t S t t =+；（7）ρϕ=； （8）1cos 1cos xy x+=-；（9）223log 5 1.3xy x x=+-+； （10）22sec 4tan y x x x =+．2．用Matlab 求由下面的方程所确定的隐函数的导数： （1）2216x y -=； （2）33653x xy y ++=．3．已知参数方程sin cos t tx e t y e t ⎧=⎨=⎩，用Matlab 求当3t π=时的导数dydx ．第六节 函数的微分函数的导数是表示函数在点x 处的变化率, 它表示函数在点x 处的变化的快慢程度．有时我们还需要了解函数在某一点当自变量取得一个微小的增量x ∆时, 相应地函数有多大变化的问题．一、微分的定义我们先来分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到x x ∆+0（如图3－4），问此薄片的面积改变了多少？设正方形边长为x ，面积为y ，则2)(x x f y ==． 而金属薄片受温度变化的影响时，面积的改变量可以看 作当自变量x 在0x 取得增量x ∆时，函数的增量y ∆220)(x x x -∆+=20)(2x x x ∆+∆=． 它由两部分组成，第一部分x x ∆02是x ∆的线性函数， 当0→∆x 时，它是x ∆的同阶无穷小，是y ∆的主要部分．第二部分2)(x ∆，当0→∆x 时，它是较x ∆高阶无穷小，很明显，当x ∆很小时，2)(x ∆在y ∆中所起的作用的很小，可以忽略不计，因此y ∆≈x x ∆02，而)(200x f x '=，因此上式可改写成y ∆≈x x f ∆')(0．下面说明这里得到的简单关系，对一般可导函数也是成立的． 一般地, 如果函数)(x f y = 在点0x 处可导, 即=∆∆→∆xyx 0lim )(0x f ',根据具有极限的函数与无穷小量的关系, 得xy∆∆α+'=)(0x f （其中α是当Δx 0→时的无穷小量） 于是y ∆+∆'=x x f )(0αx ∆．由上面式子可知，函数的增量y ∆是由)(0x f 'x ∆ 和αx ∆两部分组成, 当)(0x f '≠0时,)(0x f 'x ∆是x ∆的同阶无穷小，是y ∆的主要部分，称)(0x f 'x ∆是y ∆的线性主部．而αx ∆是较x ∆更高阶无穷小. 所以当x ∆很小时, 有y ∆≈)(0x f 'x ∆．下面我们给出微分的定义：定义 如果函数)(x f y =在点0x 处有导数)(0x f '，则)(0x f 'x ∆称作函数)(x f y =在点0x 处的微分（Differential ），记为0x x dy=．即==0x x dy)(0x f 'x ∆．一般地, 函数)(x f y =在点x 处的微分叫函数的微分．记为dydy =)(x f 'x ∆．图3－445如果设x y =，则有x x x dx dy ∆=∆'== 即自变量的微分dx 就是它的增量x ∆， 于是函数的微分可写成dy ()f x dx '=．即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之积，由上面式子亦可以看出函数的微分与自变量的微分之商，等于函数的导数，所以导数也叫微商．例1 求函数2x y = 当x 由3改变到 3.01时的dy 和y ∆． 解 因为x x dy ∆=2，所以当01.0,3=∆=x x 时，06.001.032=⨯⨯=dy ．222)(2)(x x x x x x y ∆+∆=-∆+=∆0601.0)01.0(01.0322=+⨯⨯=．例2求函数的微分．（1）x y sin ln =； （2）x x y sin =． 解 （1）xdx xdx xdx x x d dy cot cos sin 1)sin (ln )sin (ln =='==； （2）dx x x x dx x x x x d dy )cos (sin )sin ()sin (+='==．二、微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义． 如图3－5，在曲线)(x f y =上取一点),(00y x M ，过M 作曲线的切线MT ，它的倾斜角为α．当自变量x 有微小增量x ∆时，就得到曲线上另一点()y y x x N ∆+∆+00，.从右图可以看出x MQ ∆=， y QN ∆=．)(tan 0x f x MQ QP '⋅∆=⋅=α，即QP dy =．这就是说，函数)(x f y =的微分dy ，等于曲线)(x f y =在点()00y x M ，的切线MT 的纵坐标对应于x ∆的增量，这就是微分的几何意义．又因为dy y QP QN PN -∆=-=，当0→∆x 时，PN 是比x ∆的高阶无穷小，即当x ∆很小时，dy y -∆比x ∆小得多．因而曲线弧MN 与切线段MP 将十分接近，因此在点M的邻近，我们可以用切线段MP 来近似代替曲线弧 MN． 三、微分基本公式与微分的运算法则由函数微分的定义dy dx x f )('=,可以知道，要求函数微分只要求出函数的导数)(x f '再乘以自变量的微分dx 就行了．我们可以从导数的基本公式和运算法则直接导出微分的基本公式和运算法则．图3—5462．函数的和、差、积、商微分法则()d u v du dv ±=± ()d uv vdu udv =+()d cu Cdu =；（C 是常数） 2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭()0v ≠．3．复合函数的微分法则 (微分形式的不变性)由函数()y f u =，()u x ϕ=复合而成的函数)]([x f y ϕ=的微分为{}dx x u f dx x f dy )()()]([ϕϕ'⋅'='=，由于du dx x =')(ϕ，因此复合函数)]([x f y ϕ=的微分公式也可写为du u f dy )('= 或 du y dy u'=． 这个公式与dy ()f x dx '=在形式上完全一样．由此可见, 无论u 是自变量, 还是中间变量，)(u f y =的微分dy 总可以用du u f )('来表示．这一性质称为微分形式的不变性．例3 用微分形式的不变性，求下列函数的微分：（1）)23sin(2+=x y ； （2）2bx ax ey +=．解 （1）222cos(32)(32)6cos(32)dy x d x x x dx =++=+；（2）=dy 22()ax bxed ax bx ++=dxe bx a bx ax 2)2(++． 四、微分在近似计算中的应用由前面的讨论可知，如果函数)(x f y =在点0x 处的导数0)(0≠'x f , 那么当x ∆→0时, 函数的微分dy 是函数的增量y ∆的线性主部．因此当x ∆很小时, 忽略高阶无穷小量, 函数)(x f y =在0x 处的函数的增量y ∆可用函数的微分dy 来代替．即x x f x f x x f y ∆'≈-∆+=∆)()()(000由此可得x x f y ∆'≈∆)(0x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000上面两个公式常用来计算函数的增量的近似值和函数)(x f y =在0x 附近函数值的近似值．例4 半径为10cm 的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm ，问面积大约增大了多少？解 设金属圆片面积为A ，半径为r ，则2r A π=．自变量在10=r cm 时有增量47cm r 05.0=∆时，面积A 的微分为05.010=∆=r r dA =∆==∆=05.0102r r rr π2)(14.305.0102cm ≈⨯⨯π．例5 一个外直径为20cm 的球, 球壳的厚度为2mm , 试求球壳体积的近似值． 解 半径为r 的球的体积为=V 343r π,由题设100=r ，2.0-=∆r ，于是 r r r r V dV ∆=∆'=2004)(π．将r r ∆,0的值代入，得球壳体积的近似值2.251)2.0(1014.342=-⨯⨯⨯≈∆V 3)(cm ．例6 求98.0arctan 的近似值． 解 设()f x =x arctan ，则211)(x x f +='．取10=x ，02.0-=∆x ．则 )02.0(1111arctan )02.01arctan(98.0arctan 2-⋅++≈-= 7754.001.04≈-=π．习题训练1．已知x x y -=3，计算在2=x 处当01.0=∆x 时的y ∆及dy ． 2．求下列函数的微分：（1）x x y 2sin =； （2） x xy 21+=； （3）12+=x x y ； （4）2ln (1)y x =-．3．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1）dx d 2)(=； （2）xdx d 3)(=； （3）dx e d x2)(-=； （4）dx xd +=11)(； （5）dx x d 1)(=； （6）)()(22x d e d x =；（7）)(sin )()(sin 2x d x d =； （8） dx x d x d )()32()()]32[ln(=+=+．4．计算当x 由45变到/1045时，函数tan y x =的增量的近似值．5.某一正立方形金属体的边长为2m ，当金属受热边长增加0.01m 时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？。

导数与微分教学案一、引言数学是一门基础学科，它涉及到许多重要的概念和工具。

其中，导数与微分是数学中的重要内容之一，也是高中数学课程中的重要知识点。

导数与微分的学习不仅能够提高学生的逻辑思维和问题解决能力，还具有一定的实际应用价值。

为此，本教学案旨在帮助学生理解导数与微分的概念、性质和应用，培养其数学思维和解决实际问题的能力。

二、导数与微分的基本概念1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。

具体而言，设函数$y=f(x)$，若极限$$\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$$存在，则称该极限为函数$f(x)$在点$x$处的导数，记作$f'(x)$，读作“f的x导数”或“f的导数”。

2. 导数的几何意义导数反映了函数在某一点处的切线斜率。

对于函数$y=f(x)$，其导数$f'(x)$表示了函数曲线在点$(x,f(x))$处的切线的斜率。

3. 微分的定义微分是函数变化的一种近似表示。

设函数$y=f(x)$在点$x$处有导数$f'(x)$，则函数在该点附近的变化量可以近似表示为$$\Delta{y}=f'(x)\Delta{x}$$这里$\Delta{x}$是$x$的增量，$\Delta{y}$是相应的$y$的增量。

三、导数与微分的性质1. 基本导数公式导数具有一些基本的运算性质，这些性质包括导数的四则运算、常数的导数、幂函数的导数等。

在解决实际问题时，运用这些基本导数公式可以简化计算过程，提高效率。

2. 连续性与可导性的关系函数在某一点处可导，则在该点连续；但函数在某一点处连续，并不一定可导。

这一性质为我们判断函数可导性提供了依据。

四、导数与微分的应用1. 极值问题导数与微分可以用来解决极值问题。

对于一个连续函数，极值点一定是导数为零或不存在的点。

2. 函数的图像与性态导数与微分可以用来分析函数的图像与性态。

通过研究函数的增减性、凸凹性、拐点等性质，我们可以对函数的行为有更深入的了解。

一、教学目标1. 理解导数和微分的概念，掌握导数和微分的计算方法。

2. 掌握导数的几何意义和物理意义，能够运用导数解决实际问题。

3. 熟悉导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

4. 了解高阶导数、隐函数导数、参数方程导数等概念，并能求解相关问题。

二、教学内容1. 导数的定义及性质2. 导数的计算方法3. 导数的几何意义和物理意义4. 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则5. 基本初等函数的导数公式6. 高阶导数、隐函数导数、参数方程导数三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的定义及性质、导数的计算方法、导数的几何意义和物理意义、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

2. 教学难点：导数的计算方法、复合函数的求导法则、隐函数导数、参数方程导数。

四、教学方法1. 讲授法：讲解导数与微分的概念、性质、计算方法等理论知识。

2. 案例分析法：通过实例分析，帮助学生理解和掌握导数与微分的应用。

3. 练习法：布置课后习题，巩固所学知识，提高学生的计算能力。

五、教学过程（一）导入1. 引入实际问题，例如：物体的运动速度、物体的位移等，引导学生思考如何描述这些物理量的变化。

2. 提出导数的概念，解释导数在物理学中的应用。

（二）讲解与演示1. 讲解导数的定义及性质，展示导数的计算方法。

2. 演示导数的几何意义和物理意义，通过实例说明导数在描述物体运动中的应用。

3. 讲解导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，展示基本初等函数的导数公式。

4. 讲解高阶导数、隐函数导数、参数方程导数的概念，并通过实例进行演示。

（三）案例分析1. 选择实际问题，如物体的运动速度、物体的位移等，引导学生运用导数与微分的知识进行求解。

2. 分析案例，讲解解题思路和方法。

（四）练习1. 布置课后习题，巩固所学知识。

2. 对习题进行讲解，帮助学生掌握解题技巧。

（五）总结与反思1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

高中数学教案函数的导数与微分高中数学教案：函数的导数与微分导言：函数的导数与微分是高中数学中重要的概念和技巧。

本教案将从理论知识的讲解和具体例题的实践中，帮助学生理解函数导数与微分的概念、性质和运算法则，培养学生分析和解决实际问题的能力。

一、导数的引入在导入导数概念之前，首先复习函数的定义与性质，并通过几个简单的例题引出导数的概念。

二、导数的定义1. 函数在一点的导数定义通过引出导数的概念，介绍导数的几何意义和物理背景，让学生明确导数的定义及其重要性。

2. 导数的计算与性质介绍常见函数的导数计算公式，如幂函数、指数函数、对数函数等，并说明导数的基本运算法则，如函数乘法法则、链式法则等。

三、微分的概念与性质1. 微分的定义通过导数的概念，引入微分的概念，解释微分与导数的关系，并给出微分的定义。

2. 微分的性质介绍微分的性质，如微分与导数的关系、微分与函数图象的关系等，并通过例题帮助学生理解微分的意义和计算方法。

四、导数与函数图象的几何应用1. 导数与函数的单调性讲解导数与函数的单调性的关系，通过例题让学生熟练运用导数判定函数的单调性。

2. 导数与函数的凹凸性解释导数与函数的凹凸性的关系，通过例题帮助学生掌握导数判断函数的凹凸区间。

五、导数的物理应用1. 速度与位移函数的关系介绍位移函数与速度函数的关系，通过导数的概念解释速度与位移函数之间的关系，并给出实际问题的例题，让学生应用导数解决实际问题。

2. 加速度与速度函数的关系解释速度函数与加速度函数的关系，通过导数的概念解释加速度与速度函数之间的关系，并给出实际问题的例题，让学生应用导数解决实际问题。

六、总结与反思通过本节课的学习，学生对函数的导数与微分有了初步的了解和应用能力。

让学生总结本节课的重点和难点，并提出自己的问题与意见。

七、作业布置作业，要求学生练习函数的导数与微分的计算和应用，以巩固所学知识。

八、教学反馈与改进结合学生的作业与反馈，进行教学过程的反思，及时改进教学方法和内容。

高中数学教案导数和微积分高中数学教案：导数和微积分一、引言数学是一门重要的学科，它不仅提供了解决实际问题的工具，还培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。

在高中数学的学习中，导数和微积分是重要的内容。

本教案将介绍导数和微积分的基本概念、性质和应用。

二、导数的基本概念1. 导数的概念：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数的重要属性之一。

2. 导数的计算：通过极限的方法或导数的定义，可以计算函数的导数。

3. 导数的性质：导数具有一些重要的性质，例如导数的和差规则、导数的乘法规则、导数的链式法则等。

三、导数的应用1. 切线与法线：导数可以用来确定函数某一点的切线和法线的斜率。

2. 函数的单调性与极值：利用导数的正负性，可以研究函数的单调性和极值问题。

3. 函数的图像与导数：导数可以提供函数在各点处的斜率信息，从而帮助我们绘制函数的图像。

4. 应用于速度与加速度：导数可以用来描述运动物体的速度与加速度。

四、微积分的基本概念1. 不定积分：不定积分是求导运算的逆运算，可以用来确定函数的原函数。

2. 定积分：定积分可以求解曲线下的面积，是微积分的重要应用之一。

3. 定积分的计算：通过定积分的性质、换元积分法、分部积分法等方法，可以计算函数的定积分。

4. 微分方程：微分方程是描述自然界中许多变化规律的重要工具，它涉及到微积分的运算与应用。

五、微积分的应用1. 曲线的长度与曲率：通过定积分的方法，可以计算曲线的长度和曲率。

2. 物理学应用：微积分在物理学中有广泛的应用，例如运动学、力学、热学等领域。

3. 经济学应用：微积分也在经济学中有重要的应用，例如边际效应、弹性分析等。

六、教学活动设计1. 导数的计算练习：设计一些导数计算的练习题，帮助学生掌握导数的计算方法。

2. 函数图像的绘制：通过绘制函数图像，让学生理解导数在图像上的几何意义。

3. 模型建立与求解：设计一些实际问题，引导学生建立数学模型，并利用导数和微积分方法进行求解。