2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量训练案北师大版选修2

高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量1500字从平面向量到空间向量，是高中数学的一个重要知识点。

平面向量和空间向量是向量的两种不同形式，它们在数学上有着相似的性质和运算规律，但在几何上有一些区别。

首先，我们来了解一下平面向量。

平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。

平面向量用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。

平面向量有两种表示方法：坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示：假设平面向量AB的起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分量表示：平面向量的分量表示是通过向量的水平分量和竖直分量表示向量。

假设平面向量AB的长度为|r|，与X轴的夹角为θ，则水平分量为|r|cosθ，竖直分量为|r|sinθ。

接下来，我们来了解一下空间向量。

空间向量是指在三维空间中有大小和方向的向量。

空间向量同样用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。

空间向量也有两种表示方法，即坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示：假设空间向量AB的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。

2. 分量表示：空间向量的分量表示同样是通过向量在坐标轴上的投影来表示向量。

假设空间向量AB的长度为|r|，与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为α、β、γ，则向量的X 轴分量为|r|cosα，Y轴分量为|r|cosβ，Z轴分量为|r|cosγ。

在从平面向量到空间向量的过程中，需要注意以下几点：1. 坐标表示的差异：平面向量的坐标表示有两个分量，而空间向量的坐标表示有三个分量。

2. 分量表示的差异：平面向量的分量表示只有水平分量和竖直分量，而空间向量的分量表示有X轴、Y轴、Z轴三个分量。

从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。

新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第2章知识点清单目录第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系2. 2 空间向量及其运算2. 3 空间向量基本定理及坐标表示2. 4 空间向量在立体几何中的应用第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz.2. 相关概念：在空间直角坐标系O-xyz中，点O叫坐标原点，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.二、空间点的坐标表示1. 空间直角坐标系点的坐标的概念在空间直角坐标系O-xyz中，若点P与有序实数组(x，y，z)之间为一一对应关系，此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标.2. 特殊点的坐标在空间直角坐标系中，原点O的坐标为(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y 轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z). 记忆方法：无谁谁为0.三、空间两点间的距离公式1. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.2. 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=√x2+y2+z2.3. 线段中点坐标公式已知空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为(x1+x22，y1+y22，z1+z22).4. 三角形重心坐标公式已知△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为(x1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33).5. 空间中的对称问题在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有如下结论：(1)点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)；(2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x，-y，-z)；(3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(-x，y，-z)；(4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(-x，-y，z)；(5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x，y，-z)；(6)点P关于yOz平面对称的点是P6(-x，y，z)；(7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x，-y，z).记忆方法：关于谁对称谁不变，其余坐标变为相反数.四、空间直角坐标系点的坐标的确定1. 建立空间直角坐标系应遵循的原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性；(3)充分利用图中已有的垂直关系.2. 确定空间中点的坐标的方法(1)垂面法：找到点P在三条坐标轴上的射影. 方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则(x，y，z)就是点P的坐标.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度(2)垂线法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由P1P及其方向确定竖坐标z，再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z).五、空间两点间的距离公式的应用1. 计算空间两点间的距离(1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解.(2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式求解.2. 利用空间两点间的距离公式确定点的坐标设出点的坐标，利用空间两点间的距离公式构造方程求解. 此外，要注意点的坐标的巧设，如在x轴上的点的坐标可设为(x，0，0)，在xOy平面上的点的坐标可设为(x，y，0).3. 根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状.2. 2 空间向量及其运算一、空间向量的基本概念1. 空间向量的基本概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量.(2)向量的模：空间向量a 的大小(或长度)称为a 的模，记为|a |.(3)表示：从空间中任意一点A 出发作有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，使AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与a 相同，长度与|a | 相等，则有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量a ，记作a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 通常把A 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点，B 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点. 2. 几类特殊的空间向量 名称定义 零向量长度为0的向量 相等向量方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量二、空间向量的加减法1. 空间向量的加减法法则平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立.(1)对于空间任意两个向量a ，b ，在平面α内任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a +b =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a -b =BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)对于空间三个或更多的向量的求和，与平面内多个向量的加法类似，可将它们依次用首尾相接的折线来表示，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量即为这些向量的和向量.2. 空间向量的加法运算律(1)加法交换律：a +b =b +a .(2)加法结合律：(a +b )+c =a +(b +c ).三、向量与实数相乘1. 向量与实数相乘的定义：任何一个向量a 都可看作某平面上的向量，它与实数λ相 乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa |=|λ||a |.当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反.空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算.2. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a ，可得到与它方向相同的唯一单位向量e =1|a|a . 3. 共线向量：对于空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，若b =λa ，其中λ为实数，则b 与a 共线或平行，记作b ∥a .4. 零向量与任意向量共线.5. 空间向量与实数的乘法的运算律(1)对向量加法的分配律：λ(a +b )=λa +λb .(2)对实数加法的分配律：(λ1+λ2)a =λ1a +λ2a .四、向量的数量积1. 向量的夹角：作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作<a ，b >，其取值范围为[0，π]. 两向量同向时，夹角为0；两向量反向时，夹角为π.2. 向量的数量积：定义a·b =|a ||b |·cos<a ，b >为a 与b 的数量积.3. 零向量与任意向量的数量积为0，即0·a =0.4. 向量数量积的性质(1)向量垂直的关系式： a ⊥b ⇔a ·b =0.注：零向量与任意向量垂直.(2)模长公式：a·a =|a |2=a 2，|a |=√a 2 .(3)夹角公式：若a ，b 均为非零向量，则cos<a ，b >=a⋅b |a||b|.5. 向量数量积的运算律(1)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(λ∈R).(2)交换律：a·b =b·a .(3)分配律：a ·(b +c )=a·b +a·c .6. 向量数量积的几何意义(1)投影向量与投影长：如图，将空间任意两个向量a ，b 平移到同一个平面内，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，<a ，b >=α，过点B 作BB 1⊥OA，垂足为点B 1，则OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量，投影向量的模|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||cos α|称为投影长， 称|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos α为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.(2)数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 的模|a |与b 在a 方向上的投影|b |·cos α的乘积，也等于b 的模|b |与a 在b 方向上的投影|a |cos α的乘积.五、空间向量的三角不等式1. 如果a ，b 都是空间向量，那么||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.六、空间向量的线性表示1. 空间向量的线性表示的步骤(1)在空间中选三条不在同一个平面内的向量；(2)利用向量的线性运算表示空间中的其他向量.七、利用数量积求距离问题1. 求解两点间距离问题时，转化为求以两点为端点的有向线段表示的向量的模的问题，然后将此向量表示为已知的几个向量和或差的形式，求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=√a⋅a(推广公式：|a±b|=√(a±b)2=√a2±2a⋅b+b2)求解即可.八、利用数量积求解夹角问题1. 求空间两个向量的夹角的方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；求cos<a，b>，最后确定<a，b>.(2)先求a·b，再利用公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|2. 求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在两条异面直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值；(4)由于异面直线所成的角为锐角或直角，因此向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成的角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的大小.九、利用数量积证明两直线垂直1. 由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的非零向量，然后证明这两个向量的数量积为0即可.2. 用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题.2. 3 空间向量基本定理及坐标表示一、共面向量1. 共面向量的概念：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.2. 平面向量基本定理：如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=x e1+y e2.3. 相关结论：在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面.二、空间向量的基本定理1. 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=x e1+y e2+z e3，此表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=x e1+y e2+z e3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'.2. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，(x，y，z)称为向量p=x e1+y e2+z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标.三、空间向量的直角坐标表示1. 标准正交基：空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基.2. 向量的坐标：空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p=x i+y j+z k，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p=(x，y，z).3. 与向量坐标有关的结论：一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.四、空间向量运算的坐标表示1. 空间向量的坐标运算法则设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).四、拓展1. 四点共面的充要条件空间中任一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)， 使MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，或对空间中任一点O ，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x-y)·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ).2. 定比分点坐标公式已知A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)两点，点M 在直线AB 上，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R 且λ≠-1)则称点M 为有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的定比分点，其坐标为(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ，z 1+λz 21+λ). 五、利用基向量解决几何问题1. 用基向量表示向量的步骤(1)定基向量：若未给定基向量，则应根据已知条件，确定三个不共面的向量作为空间的基向量.(2)找目标：用已给定或确定好的基向量表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简.(3)下结论：将变形、化简后的目标向量进行整理，得到最终结果. 注意此结果中只能含有基向量，不能含有其他形式的向量.六、空间向量平行与垂直的坐标表示的应用1. 利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的. 求解此类问题要抓住两个核心关系式：(1) a∥b (a ≠0)⇔x 2=λx 1，y 2=λy 1，z 2=λz 1，λ∈R；(2) a⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0. 其中，a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).2. 由平行、垂直求参数的值利用平行、垂直关系和上述的两个核心关系式列出方程，即可求出参数的值.3. 利用空间向量的坐标运算证明线线平行或垂直(1)在两直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)利用向量的坐标运算判断两向量的平行或垂直关系；(3)若两向量平行，且两直线不重合，则两直线平行；若两向量垂直，则两直线垂直.七、利用空间向量的坐标运算求夹角和线段的长1. 利用空间向量的坐标运算求夹角和线段长的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而得相关向量的坐标；(3)利用空间向量的模长公式与夹角公式求解.2. 4 空间向量在立体几何中的应用2. 4. 1 空间直线的方向向量和平面的法向量2. 4. 2 空间线面位置关系的判定一、空间直线的方向向量和平面的法向量1. 位置向量：在空间中，取一定点O 作为原点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示， OP⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量. 2. 直线的方向向量：一般地，如果非零向量v 与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量.由此可知，在直线l 上任取两点A ，B ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (或BA⃗⃗⃗⃗⃗ )就是直线l 的方向向量. 3. 平面的法向量：如果非零向量n 所在直线与平面α垂直，则称n 为平面α的法向量.二、空间线面位置关系的判定1. 设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1=(x 1，y 1，z 1)，v 2=(x 2，y 2，z 2)，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1=(a 1，b 1，c 1)，n 2=(a 2，b 2，c 2)，则三、三垂线定理及其逆定理1. 点在平面内的射影：过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影.2. 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直. 可简记为：垂直于射影，则垂直于斜线.3. 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 可简记为：垂直于斜线，则垂直于射影.四、利用空间向量证明垂直关系1. 利用向量法证明线线垂直的两种思路(1)坐标法：建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示出来，再证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的线性运算，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，再利用数量积运算证明两方向向量的数量积为0.2. 利用向量法证明线面垂直的两种思路(1)求平面的法向量，然后证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(2)证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直，线线垂直则利用向量法证得.3. 利用向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明一个平面过另一个平面的垂线，其实质是转化为利用向量法证明线线垂直.(2)证明两个平面的法向量互相垂直.五、利用空间向量证明平行关系1. 利用向量法证明线线平行的两种思路(1)建立空间直角坐标系，利用向量平行的坐标表示证明两直线的方向向量平行.(2)用空间的一组基表示两直线的方向向量，通过向量的线性运算，结合向量共线的充要条件证明两直线的方向向量平行.2. 利用向量法证明线面平行的三种思路(1)设平面α外的直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，要证明l∥α，只需证明v⊥n，即v·n=0即可.(2)根据线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，证明线线平行则可转化为证明两直线的方向向量平行.(3)根据平面向量基本定理，要证线面平行，则只需证明这条直线的方向向量能够用平面内的两个不共线的向量线性表示即可.3. 利用向量法证明面面平行的两种思路(1)先分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行.(2)证明一个平面内有两个不共线的向量平行于另一个平面，转化为线面平行问题.六、利用空间向量解决立体几何中的探索性问题1. 解决探索性问题的基本方法(1)对于存在型问题，应先假设存在，把要成立的结论当作已知条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“是否有解”或“是否有规定范围内的解”的问题.(2)对于位置探究型问题，通常是借助向量，引入参数，综合已知条件和结论列方程或方程组，解出参数，从而确定位置.2. 4. 3 向量与夹角 2. 4. 4 向量与距离一、向量与夹角(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平面所成的角. 两个平面平行时，它们所成的角为0.二、向量与距离三、利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角时，要注意空间角的范围与向量夹角的范围的区别.1. 两异面直线所成角的向量求法(1)基向量法：在一些不容易建立空间直角坐标系的题中，我们经常用基向量法求解. 求向量v1，v2的夹角时，先把v1，v2用同一组基向量表示出来，再利用向量的夹角公式求解.(2)坐标法：找出或作两条异面直线的方向向量，再利用向量夹角的坐标公式计算两直线的方向向量的夹角.2. 直线与平面所成角的向量求法法向量法：利用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角.3. 求二面角的两种方法(1)基向量法：在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化，求出两方向向量的夹角，进而求得二面角的大小.(2)法向量法：找出或作两个半平面的法向量，应用向量的夹角公式求解.四、利用空间向量求空间距离1. 用向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，过已知点作直线的垂线段，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法.(2)直接套用点线距公式求解.2. 用向量法求点面距的步骤(1)求出平面的一个法向量；(2)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离.3. 用向量法求线线距、线面距、面面距(1)求线面距、面面距都可转化为求点面距，求两直线间的距离可转化为求一条直线上任一点到另一条直线的距离；(2)求线线距、线面距、面面距的前提分别是线线、线面、面面平行.五、利用空间向理解决与夹角、距离有关的探索性问题1. 利用空间向量解决与夹角、距离有关的探索性问题的解题步骤(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标；(3)得到有关向量的坐标；(4)利用空间角、空间距离的计算公式列关系式求解；(5)根据解的情况做出判断.。