2018届高中数学专题09解密空间向量的运算技巧特色训练新人教A版选修2_1

第三章 空间向量与立体几何单元小结[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图3­1①，AB ，CD 是二面角α­l ­β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图3­1(ⅱ)如图3­1②③，n 1，n 2分别是二面角α­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．[体系构建][题型探究]类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图3­2，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：图3­2①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 【答案】 ③④【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[规律方法] 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟踪训练]1.如图3­3，已知ABCD ­A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.图3­3【答案】32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.【答案】(1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.[规律方法] 熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2). (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. [跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、 在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． 【答案】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ． (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ． 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD ．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图3­4，长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图3­4(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置.【答案】(1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13， 所以线段AA 1上存在一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .类型四、利用空间向量求空间角例4、如图3­5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图3­5(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【答案】(1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155. [规律方法] 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图3­6，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．图3­6[跟踪训练]4．在如图3­7所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB是圆台的一条母线．图3­7(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ． (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F ­BC ­A 的余弦值.【答案】 (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ．又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．11 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33.因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝77，所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.。

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式． 即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ． 解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ． 解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意． 解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值； （3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解． 解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程： 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 （2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2． 已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3． 已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（ ）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4． 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5． 空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（ ） A ．21B ．22C ．-21D ．06． 已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（ ） A ．3B ．32C ．6D ．267． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是 ． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝ ．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）． （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）． （2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==， 所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ． 又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ． （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。

第3课时 用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。

3.1.2空间向量及其运算(二)教学目的：⒈了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法； ⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件； ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理及其应用． 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 授课类型：新授课. 课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程： 一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b=+=+u u u r u u u r u u u r vr ;BA OA OB a b=-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABC D 平移向量a ρ到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABC D －D C B A ''''.它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱. 4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．CBAOb b b aaaC'B'A'D'DABC向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ρ＝λa ρ.这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a ρ的非零要求．二、讲解新课： 1.共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a ρ平行于b ρ记作b a ρϖ//．和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广．当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 2．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ的充要条件是存在实数λ，使aρ＝λb ρ.推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a ρ的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OA t =+u u u r u u u r a ρ．其中向量a ρ叫做直线l 的方向向量.由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平面向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可． 推论证明如下：∵ l //a ρ∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =u u u r a ρ．(*)又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-u u u r u u u r u u u r， ∴ OP OA t -=u u u r u u u r a ρOP OA t =+u u u r u u u r a ρ．①若在l 上取AB =u u u r a ρ，则有OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r．(**) 又∵AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r∴()OP OA t OB OA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r (1)t OA tOB =-+u u u r u u u r．②当21=t 时，1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ．③。

空间向量及其运算说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙AD AB ，AD AC ，AC AB，图则?BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，?AOB=?AOC=600，则cos BC ，OA = （ ）A ．21B ．22 C ．?21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．13．已知点A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面O'N M D'C'B'A'CBA Dz yx图体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量a ={x 1，y 1，z 1}，b ={x 2，y 2，z 2}，c ={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算：（a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值； （3）当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0．5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值．9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒⋅>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=⋅>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB .又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍. 猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD-==b －a ，∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO（a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c 图∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x2. ∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 33．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定4．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 5．以下命题：①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合． 其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )A.SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →)B.SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →) D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝_______________.8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A ，B 1B 的中点，O 为BD 1的中点．设AB →＝a ，AA 1→＝b ，AD →＝c ，用a ，b ，c 表示下列向量：(1)D 1N →＝_______________；(2)OM →＝_______________.三、解答题9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j.证明这三个向量共面．参考答案一、选择题1. [答案]A2．[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 3．[答案] A[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.4．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 5．[答案] A[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB 1A 1相交，故④错，故选A.6．[答案] B[解析] SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13(AB →＋AC →)＝SA →＋ 13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)．二、填空题7．[答案] －13i ＋2j ＋7k8．[答案] a －12b －c －12a －12c [解析] (1)D 1N →＝a －12b －c (2)OM →＝－12a －12c 三、解答题9．[解析] A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)． ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．10．[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ－3μ＝13λ＋7μ＝－22λ＝1，∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－12，故存在实数λ＝12，μ＝－12，使a ＝λb ＋μc ， 故a ，b ，c 共面．。

课堂练习(十五) 空间向量的数量积运算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA )·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B [因为DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →.所以(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|，因此△ABC 是等腰三角形．]2．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能B [由题意知，m ·a ＝0，m ·b ＝0，则m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μ m ·b ＝0. 因此m ⊥n .]3．如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A.13B.23C.33D.43 B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.]4．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C [根据已知∠ACD ＝∠BDC ＝90°，得AC →·CD →＝DB →· CD →＝0，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD→|AB →||CD →|＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°.]5.如图，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝6，则PC ＝( )A ．3B ．7C ．4D ．6B [|PC →|2＝PC →·PC →＝(PA →＋AD →＋DC →)2＝|PA →|2＋|AD →|2＋|CD →|2＋2PA →·AD →＋2AD →·DC →＋2PA →·DC →＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝49.所以|PC →|＝7.] 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，（a ＋λb ）·（λa －2b ）≠－|a ＋λb ||λa －2b |， 得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3.]7.如图，已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．90° [不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝ （BB 1→－BA →）·⎝⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.]8．如图所示，在一个直二面角α­AB ­β的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →，∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →＋BD →2＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116，∴|CD →|＝229.]三、解答题9．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .[证明] 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD →＝AD →－AB →＝b －a ， OG →＝OC →＋CG → ＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12(a ＋b )－12c . ∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG . 又OG ∩BD ＝O 且A 1O 平面BDG ，∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. [解] 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→) ＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升练]1．已知边长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2C [AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB→2＋AD →2)＝1，故选C.]2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°B [由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1.cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°.]3．已知正三棱柱ABC ­DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN CF＝________．116[设CNCF＝m ，则CN →＝mCF →＝mAD →， ∵M 为BC 的中点， ∴MN →＝MC →＋CN →＝12BC →＋mAD →，又∵AE →＝AB →＋BE →，AE →·MN →＝0，∴AE →·MN →＝(AB →＋BE →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →＋mAD →＝12AB →·BC →＋mBE →·AD →＝AB →·BM →＋mBE →·AD →＝－14＋4m ＝0，∴解得m ＝116.]4．已知在正四面体D ­ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________． 63[如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（DB →＋DC →）－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]5．如图，正四面体V ­ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直； (2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )，BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（－2a －2b ＋c ）2＝12.又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（b ＋c －5a ）2＝22， DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22.又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.。

3．1 空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算内容标准学科素养1.理解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第51页[基础认识]知识点一空间向量的概念预习教材P84－85，思考并完成以下问题如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA→，OB→，OC→就是不同在一个平面内的向量(如图)．知识梳理(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为AB→，其模记为|a|或|AB→|.(3)特殊向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量预习教材P 85－86，思考并完成以下问题 平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 已知空间向量a ，b ，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b .那么a ＋b 和a －b 如图所示．知识梳理 (1)空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律： ①交换律：a ＋b ＝b ＋a ；②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[自我检测]1．下列命题正确的是( )A ．若向量a 与b 的方向相反，则称向量a 与b 为相反向量B ．零向量没有方向C ．若a 是单位向量，则|a |＝1D ．若向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则不一定有m ＝p 答案：C2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．c －a －b C ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b答案：B授课提示：对应学生用书第52页探究一 空间向量及相关概念的理解[例1] 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD 1→与BC 1→是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB →与CD →是相反向量；⑤在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为________．[解析] ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量； ③正确，AD 1→与BC 1→的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD 中，AB →与CD →的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量是A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，一共有5个．[答案] ②③方法技巧 解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点： (1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可； (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．跟踪探究 1.下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >c解析：对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．答案：B探究二 空间向量的加法与减法运算[教材P 86练习3]在图中，用AB →，AD →，AA ′→表示A ′C →，BD ′→及DB ′→.解析：A ′C →＝A ′A →＋AC →＝A ′A →＋AB →＋AD →＝AB →＋AD →－AA ′→； BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→； DB ′→＝DB →＋BB ′→＝DA →＋DC →＋AA ′→＝－AD →＋AB →＋AA ′→. [例2] 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[解析] ①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. [答案] A方法技巧 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 跟踪探究 2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号)．①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→.答案：①②③④授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[素养培优]1．对空间向量的有关概念理解不清致误 下列说法中，错误的个数为( )(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同． (2)若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →>CD →.(3)若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量． (4)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D ．4易错分析 向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．故(1)(4)错误．反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误． 自我纠正 (1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．(3)正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．(4)错误，由AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合． 故一共有3个错误命题，正确答案为C. 答案：C2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.易错分析 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝AB →＋CB →＋B 1B →＝DC →＋DA →＋B 1B →＝DB →＋D 1D →＝D 1B →.自我纠正 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→.。

3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算．1．空间向量(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，可记作a ，也可记作AB →， 其模记为|a |或|AB →|(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等．2．空间向量的加减法与运算律平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．() 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×空间两个向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论不正确的是( ) A ．a ＝－b B ．a ＋b＝0 C ．a 与b 方向相反D.|a |＝3答案：B已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC → D.0答案：A下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案：A探究点1 空间向量的概念[学生用书P49](1)给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝－C 1C →；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________； (2)如图所示，在以长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量．【解】 (1)①正确；②正确，因为AA 1→与C 1C →的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以AA 1→＝－C 1C →；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②.故填①②.(2)①由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. 探究点2 空间向量的加减运算[学生用书P49]如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．[变问法]试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD →表示． 解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →， 故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：01．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B .AB → C.OC →D .AC →解析：选C.OA →＋AB →－CB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →，故选C. 2．给出以下命题：①若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ②空间向量的减法满足结合律；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→. 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2 D.3解析：选C.由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中由AC 瘙綊A 1C 1，知AC →＝A 1C 1→，正确．故选C.3.如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →. 解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0. 4.在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′. 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以AC →＝AB →＋AD →，AB →′＝AB →＋AA →′，AD →′＝AD →＋AA →′， 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA →′)＋(AD →＋AA →′) ＝2(AB →＋AD →＋AA →′)． 又因为AA →′＝CC →′，AD →＝BC →，所以AB →＋AD →＋AA →′＝AB →＋BC →＋CC →′＝AC →＋CC →′＝AC →′. 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′.[学生用书P 50][学生用书P 127(单独成册)])[A 基础达标]1．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD →B.AD →＝AB →＋CD →＋BC →C.AD →＝AB →＋BC →－CD →D.BC →＝BD →＋CD →解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B 正确． 2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选C.①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向解析：选D.由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB 上，所以AC →与CB →同向．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→ D.AC →＋CB 1→解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0.5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D.矩形解析：选A.由于AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， 所以AB →＝DC →，从而|AB →|＝|DC →|，且AB 与CD 不共线， 所以AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________．解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→7．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 答案：①②③8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)若A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，则AB →与CD →共线； (2)互为相反向量的向量的模相等； (3)任一向量与它的相反向量不相等．解：(1)正确．因为A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，所以AB →与CD →一定共线． (2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的． 10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.[B 能力提升]11．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量； ④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D .4个解析：选C.如图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→， 所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 12．下列说法中，错误的个数为( ) ①在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量． ③AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D .0解析：选A.①正确．②正确.AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．③错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．13．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→.(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如图所示，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →，AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→.14．(选做题)如图所示，在六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量．解：(1)A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC →＝AE →＋AB 1→＋0＝AE →＋ED 1→＝AD 1→.AD 1→在图中所示如下：(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝DF →＋FD →＋BD 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→.BD 1→在图中所示如下：。