第五章 空间解析几何与向量代数

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们分别从几何和代数的角度，研究了空间中点、线、面的性质，以及向量的运算与性质。

本文将介绍空间解析几何与向量代数的基本概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。

一、空间解析几何空间解析几何是以坐标系为基础，利用代数方法研究空间中点、线、面的性质与相互关系的数学学科。

它的基本概念包括平面直角坐标系、空间直角坐标系，以及点、直线、平面的方程等。

1. 点的坐标在平面直角坐标系中，点的坐标用有序实数对(x, y)表示；在空间直角坐标系中，点的坐标用有序实数三元组(x, y, z)表示。

通过坐标，可以确定点在坐标系中的位置。

2. 直线的方程空间解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常见的有点向式、对称式和一般式。

在点向式中，直线上的任意一点可以用一个固定点和一个方向向量表示；在对称式中，直线上的任意一点满足一个关系式；一般式则是通过线的法向量与截距来表示。

这些方程形式各有特点，在不同的问题中有不同的用途。

3. 平面的方程平面的方程也有多种表示形式，常见的有点法式和一般式。

在点法式中，平面上的任意一点满足一个关系式，并且平面的法向量可以通过法线上的两个点相减并取正交向量得到；一般式则是通过平面的法向量与截距来表示。

同样，不同的方程形式适用于不同类型的问题。

二、向量代数向量代数是关于向量的计算与运算的数学学科，它以向量作为基本研究对象，研究向量的性质、向量之间的关系以及向量的运算规则等。

1. 向量的表示向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

在空间中，一个向量可以写成一个实数三元组，例如向量v(x, y, z)表示从原点指向点(x, y, z)的有向线段。

向量的长度用模表示，记作|v|。

2. 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和内积运算。

向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则；数量乘法将向量的模与一个实数相乘，改变了向量的长度和方向；内积运算结果是一个实数，满足交换律和分配律。

高等数学教学教案第五章向量与空间解析几何授课序号012(x =b ，即b b a=，、向量的运算, 见图5-14. 以向量的终点为起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差()b -.设λ是一个数，向量a a λ=，方向与0a =是零向量；a a a λ=，方向与1=-时，(又设α、β、γ为与三坐标轴正向之间的夹角分别为向量a cos a α=cos a cos a 、cos γ称为向量a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向(()21a x y y =--22xa a ++(aa=、数量积 给定向量a 与b ，我们做这样的运算：a 与b 及它们的夹角与，即cos cos a b a b a b α== Pr j Pr j a b b a b b a ==； 2cos ,a a a a a a a ⋅==；）若0a ≠，0b ≠，则0a b ⋅=⇔、向量积 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件：()()()y z z y x z z x x y y x a b a b i a b a b j a b a b k =---+-)x y zxyzi j k a a a j k a a a b b b += 向量的混合积(,x a a =a =a a cos AB θ=.定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和(()4,3,1M 、()7,1,2M 及例4设()111,,A x y z 和AM MB=，y 和z .例5 设3m=,4k j -(2) a b的夹角θ; (3)b.液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（液体的比重为ν都垂直的单位向量授课序号021212cos n n A A n n A B θ⋅==+)2-、(2 M授课序号03，其中(s m =12s s s s m ⋅=(),,A B C ，则n ，因此Am n +=.授课序号04。

习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。

82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。

第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。

1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。

方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。

常用有向线段表示向量。

A 点叫起点，B 点叫终点，向量。

模为1的向量称为单位向量。

2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。

记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。

称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。

记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。

空间解析几何与向量代数教案第一章：空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系的定义与性质学习空间直角坐标系的定义与性质，理解坐标轴的相互关系。

通过实例演示空间直角坐标系的建立与表示方法。

1.2 点、向量与坐标学习点在空间直角坐标系中的表示方法，理解坐标与点的关系。

学习向量的定义与表示方法，掌握向量的坐标表示。

第二章：向量代数2.1 向量的基本运算学习向量的加法、减法、数乘运算，掌握运算规则与性质。

学习向量的点积与叉积运算，理解其几何意义与计算方法。

2.2 向量的数量积与角度学习向量的数量积（点积）的定义与性质，掌握计算方法。

学习向量的夹角（角度）的定义与计算方法，理解其几何意义。

第三章：空间解析几何3.1 直线与方程学习直线的解析几何表示方法，理解直线方程的定义与形式。

学习直线的点斜式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。

3.2 平面与方程学习平面的解析几何表示方法，理解平面方程的定义与形式。

学习平面的点法式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。

第四章：空间几何图形4.1 直线与平面的位置关系学习直线与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。

学习直线与平面交线的求法，理解交线的几何性质。

4.2 平面与平面的位置关系学习平面与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。

学习平面与平面交线的求法，理解交线的几何性质。

第五章：空间解析几何的应用5.1 空间距离与角度学习空间两点间的距离公式，掌握距离的计算方法。

学习空间两点间的夹角公式，理解夹角的计算方法。

5.2 空间解析几何在几何中的应用学习空间几何问题的解析几何方法，解决线与线、线与面、面与面的交点问题。

学习空间几何图形的面积、体积的计算方法，应用解析几何知识解决实际问题。

第六章：空间向量与线性方程组6.1 向量组的线性组合学习向量组的线性组合的定义与性质，理解线性组合与向量加法的关系。

学习向量组的线性相关的概念，掌握线性相关的判定方法。

向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。

它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。

向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。

它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。

向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。

向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。

它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。

空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。

它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。

主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。

空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。

向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。

向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。

它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。

向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。

它们可以帮助我们更准确地表示和分析空间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。

综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。

它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。

空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。

难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向•向量的表示方法有两种：a、AB向量的模：向量的大小叫做向量的模，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的，相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行记作a // b规定：零向量与任何向量都平行，二、向量运算向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的减法：设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。

T T T T TAB =AO OB =0B -CA .2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义：向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时与a相同.当■ <0时与a相反，(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；(2) 分配律(kj a = 'a；'(a b) =■ a …b例1在平行四边形ABCD中.设AB =a . AD二b试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD .其中M是平行四边形对角线的交点----- ■> ----- i ---- i A解：a 〜b = AC = 2 AM 于是MA = （a 亠b）,因为MC —MA” .所以MC =1（a b）.又因 T b = BD =2 MD .所以MD =2（b_a）.由于MB =—MD“ .所以MB‘=2（a—b）.定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，.使b二，a,三、空间直角坐标系过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。

空间解析几何与向量代数知识点总结
以下是空间解析几何与向量代数的一些重要知识点总结：
1.三维坐标系：空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述点的位置。

常见的三维坐标系有直角坐标系和球坐标系。

2.点、向量和直线：点是空间中的一个位置，向量是由起点和终点确定的有方向的线段。

直线是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。

3.向量的表示和运算：向量可以用坐标表示，常见的表示方法有行向量和列向量。

向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。

4.向量的长度和方向：向量的长度可以用模长表示，方向可以用单位向量表示。

单位向量是长度为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

5.平面和曲面：平面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合，可以用法向量和一个过点的向量表示。

曲面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。

6.点到直线和点到平面的距离：点到直线的距离可以通过求取点到直线的垂直距离得到，点到平面的距离可以通过求取点到平面的垂直距离得到。

7.向量的线性相关性和线性独立性：向量的线性相关性表示向量之间存在线性关系，线性独立性表示向量之间不存在线性关系。

8.平面的交线和平面的夹角：两个平面的交线是同时在两个平面上的点的集合，平面的夹角是两个平面的法向量之间的夹角。

9.点积和叉积的应用：点积可以用来计算向量的夹角和投影，叉积可以用来计算向量的长度、面积和法向量。

10.直线和平面的方程：直线可以用参数方程和对称方程表示，平面可以用点法式方程和一般式方程表示。

向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。

虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的概念，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系。

向量代数向量代数是研究向量的数学分支，它主要研究向量的运算和性质。

在向量代数中，向量被定义为具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。

向量在空间中可以进行加法、减法、数乘等运算，而这些运算都满足一定的代数规律。

向量代数对于分析和描述空间中的各种物理现象和运动非常重要。

许多力学和动力学问题都可以通过向量代数来解决，从而为实际应用提供了有效的数学工具。

空间解析几何空间解析几何是研究空间中点和曲线的几何性质的数学分支，它主要通过代数方法来描述和研究空间中的几何对象。

在空间解析几何中，点可以用坐标来表示，而曲线可以用方程来描述。

通过空间解析几何，我们可以准确描述空间中的各种几何对象，如直线、平面、曲线等，从而使几何问题更加直观和形象化。

空间解析几何在工程学、物理学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。

向量代数与空间解析几何的关系虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的数学分支，但它们之间是密不可分的。

首先，向量可以用坐标表示，而坐标又是空间解析几何的基本概念之一。

通过向量代数的运算规律，我们可以更方便地描述和计算空间中的几何对象。

其次，向量代数中的向量空间和空间解析几何中的空间有着相同的数学结构。

通过向量空间的性质，我们可以进一步研究和理解空间中点和向量的几何关系，从而推广和应用解析几何的方法。

总的来说，向量代数和空间解析几何是两个相互支持、相互促进的数学分支，它们共同构建了我们对空间中几何对象的深刻认识和理解。

总结向量代数与空间解析几何是数学中两个重要的概念，它们在各种领域都有着广泛的应用。

通过向量代数和空间解析几何的研究，我们可以更好地理解和描述空间中的各种几何对象，从而为实际问题的求解提供了有效的数学工具。

虽然向量代数和空间解析几何是独立的数学分支，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系，共同构建了我们对空间几何的理解和认识。

第一章高等数学（24分）空间解析几何与向量代数数量积，向量积，大小，方向右手大拇指，三个向量的混合积代表为棱的平行六面体的体积，当共面时，数量积本质为数，向量积为向量，设，则：平面点法式方程，过定点(x0,y0,z0)，以为法向量的平面方程：两平面平行的充要条件：；两平面垂直的充要条件：空间直线的一般方程：，两平面的法向量为n1̅̅̅=(A1,B1,C1),n2̅̅̅=(A2,B2,C2),直线的方向向量为：S=n1̅̅̅×n2̅̅̅空间直线的点向式（对称式）方程，设直线L上一点和他的一个方向向量，则L的方程为：其参数方程为锥面方程：ax2+bx2=z2（a=b时为圆锥面）椭圆抛物面方程：；双曲抛物面（马鞍形曲面）方程：椭球面方程：，球面方程：x2+y2+z2=a2单页双曲面方程：x 2a2−x2b2+x2c2=1（a、b、c均不为0）；双页双曲面方程：−x2a2+x2b2−x2c2=1（a、b、c均不为0）一元函数微分学有界函数与无穷小的乘积还是无穷小洛必达法则求极限，分式为“00”或“∞∞”的形式，可对分式上下同时求导函数f(x)在x=x 0点连续的充分必要条件为第一类间断点（左、右极限都存在）分为跳跃间断点和可去间断点，第二类间断点分为无穷间断点和震荡间断点（sin 1x ）。

倍角公式： 2sin a cos a =sin 2a ; cos 2a =cos 2a −sin 2a原函数是连续奇函数或偶函数，求一次导就改变一次奇偶性 隐函数求导，若方程F(x,y)=0确定了隐函数y=f(x) ，则 dy dx=−F x 丿（x,y ）F y 丿（x,y ）导数为0的点成为驻点 ，可微必可导 ，拐点→ y丿丿=0一元函数积分学 不定积分，F(x)为f(x)的一个原函数性质和运算：分部积分法：或定积分：当在[a,b]上表示由曲线y=f(x)，x轴，直线x=a，x=b所围成图形的面积，定积分性质：积分上限函数计算，抄写被积函数，替换原来的t，在乘上被积函数的导数广义积分，积分定义域趋向无穷，值存在，收敛，值不存在，发散定积分求平面曲线的弧长，曲线C的方程，则多元函数微分学二元函数偏导数记作二阶混合偏导连续时，与求导的次序无关，即基本观念概念图：二元函数全微分，若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则偏导数都存在，且全微分复合函数的微分法，各阶求导到T：隐函数微分法，二元：；三元：偏导数应用，空间曲线的切线与法平面：三个导数求得平面法向量或切线方向向量曲面的切平面与法线：三个偏导求曲面的切平面与法线多元函数的极值：多元函数积分学，二重积分化为二次定积分，是面积值D关于Y轴对称，∬f(x)dσ当f(x)为奇函数时，其值为0常数项级数的性质：条件概率，条件概率的性质：A、B独立→P(AB)=P(A)P(B)，独立就不可能包含、互斥、没有条件概率，A事件发生不发生不影响B事件;A、B互斥→P(A∪B)=P(A)+P(B)任意项级数敛散性的判断：形如∑a n (x −2)n−1x n=0这样的幂级数，利用收敛中心X=2可快速排除部分选项，ρ（公比）＜1收敛 满足初始条件的特接，解题先带特解缩小范围y 丿+P(x)y =Q(x)=0为一阶线性齐次微分方程；y 丿+P(x)y =Q(x)≠0为一阶线性非齐次方程死记通解公式=非齐次特解+对应齐次特解特解不含任意常数C任意两个解Y 1、Y 2只差（Y 1-Y 2）为对应齐次方程的特解全微分方程化 为可分离变量方程 或 齐次方程 计算 高阶微风方程可设P=y 丿 分离变量求导 ，有特解先代特解y 丿丿+Py 丿+Qy =f(x)=0为二阶线性齐次微分方程，y 丿丿+Py 丿+Qy =f(x)≠0为二阶线性非齐次微分方程若Y 1、Y 2是方程两个解，C 1、C 2是任意常数，那么y=C 1Y 1+C 2Y 2也是方程的解（2阶通解应当含有2个常数） 如果Y 1、Y 2是方程的两个线性无关（Y 1/Y 2不恒等于C ）的解， 那么y=C 1Y 1+C 2Y 2是方程的通解分布函数性质：连续型随机变量：；性质：正态分布：；概率密度：标准正态分布；概率密度：正态分布性质：设；第八节线性代数（顾全大局，放弃）第九节概率论与数理统计参数估计往后内容（顾全大局，放弃）第二章普通物理（12分）热学1atm=1.01×105Pa 热力学温度（开尔文）T=273+t理想气体的状态方程or（气态方程的压强表述），摩尔气体常量R=8.31J·mol-1·K-1，玻尔兹曼常量K=1.38×10-23J·K-1，n=N/V单位体积内的分子数，气体分子数密度分子的平动动能ω̅=32kT=12mv2，温度是唯一与分子平均平动动能相联系自由度i（只考虑刚性气体分子）单原子分子（惰性气体）i=3平动自由度+0转动自由度=3双原子分子（H2、O2）i=3平动自由度+2转动自由度=5多原子分子（≥3个分子）i=3平动自由度+3转动自由度=6分子的平均动能ϵ̅=i2kT，含平动动能和转动动能；理想气体（大量气体分子）的内能E=i2pV=i2(mM)RT麦克斯韦速率分布函数，曲线下方总面积为1，v∝√T最概然速率v p=√2RTM ≈1.41√RTM；平均速率v̅=√8RTπM≈1.60√RTM；方均根速率√v2̅̅̅=√3RTM≈1.73√RTM平均自由程λ，气体分子在连续两次碰撞之间自由通过的路程。