习题7-11. 设u =a −b +2c , v =−a +3b −c . 试用a 、b 、c 表示2u −3v .解 2u −3v =2(a −b +2c )−3(−a +3b −c )=2a −2b +4c +3a −9b +3c =5a −11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; ,→→→OA OB AB −=→→→OD OC DC −=而, ,→→OA OC −=→→OB OD −=所以.→→→→→→AB OA OB OB OA DC −=−=+−=这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD ,从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以、表示向量、、A 3、A4.→c =AB →a =BC →A D 1→A D 2→D D →解 →→→a c 5111−−=−=BD BA A D , →→→a c 5222−−=−=BD BA A D , →→→a c 5333−−=−=BD BA A D , →→→a c 5444−−=−=BD BA A D . 4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, −1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.→→21M M 212M M −→)2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21−−=−−=M M )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221−=−−−=−M M 解 , .→ 5. 求平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量.解 11)6(76||222=−++=a ,平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量为6 ,7 ,6(1−=a 111111||a 或)6 ,7 ,6(1−−=−a 111111||a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？A (1, −2, 3);B (2, 3, −4);C (2, −3, −4);D (−2, −3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, −1, 0).解 在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上.8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , −c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(−a , b , c ); 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , −b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , −b , −c ); 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(−a , b , −c ); 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(−a , −b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(−a , −b , −c ).9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0). 在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标.解 因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为)0 ,0 ,2(a −, )0 ,0 ,2(a , )0 ,2 ,0(a −, )0 ,2 ,0(a , ) ,0 ,22(a a −, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a −, ) ,22 ,0(a a . 12. 求点M (4, −3, 5)到各坐标轴的距离.解 点M 到x 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+−=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, −3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=−+=z d .13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, −2, −2)和C (0, 5, 1)等距离的点.解 设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则,→2222)2()1(3||−+−+=z y PA ,→2222)2()2(4||++++=z y PB .→222)1()5(||−+−=z y PC 由题意, 有, →→→222||||||PC PB PA ==即 ⎩⎨⎧−+−=++++−+−=−+−+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y =1, z =−2, 故所求点为(0, 1, −2).14. 试证明以三点A (4, 1, 9)、B (10, −1, 6)、C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解 因为→7)96()11()410(||222=−+−−+−=AB ,→7)93()14()42(||222=−+−+−=AC ,→27)63()14()102(||222=−+++−=BC ,所以, .→→→222||||||AC AB BC +=→→||||AC AB = 因此ΔABC 是等腰直角三角形.15. 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角. →21M M 解 →)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21−=−−−=M M ;→21)2()1(||22221=++−=M M ;21cos −=α, 22cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3πγ=. 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1; (3)cos α=cos β=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)当cos α=0时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos β=1时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos α=cos β=0时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4, 它与轴u 的夹角是60°, 求r 在轴u 上的投影.解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u . 18. 一向量的终点在点B (2, −1, 7), 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4, −4, 7. 求这向量的起点A 的坐标.解 设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得,⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−774142z y x 解得x =−2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (−2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i −4j −7k 和p =5i +j −4k . 求向量a =4m +3n −p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n −p =4(3i +5j +8k )+3(2i −4j −7k )−(5i +j −4k )=13i +7j +15k ,所以a =4m +3n −p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题7−21. 设a =3i −j −2k , b =i +2j −k , 求(1)a ⋅b 及a ×b ; (2)(−2a )⋅3b 及a ×2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=−−−=×. (2)(−2a )⋅3b =−6a ⋅b = −6×3=−18,a ×2b =2(a ×b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0, 于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . 3. 已知M 1(1, −1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量.→21M M →32M M 解 , . →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21−=−+−=M M →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32−=−−−=M M →→k j i k j i n 446 220 1423221−−=−−=×=M M M M , 172161636||=++=n ,)223(171)446(1721k j i k j i e −−±=−−±=为所求向量. 4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, −100×9. 8)=(0, 0, −980), . →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21−−=−−−==M M S W =F ⋅S =(0, 0, −980)⋅(−2, 3, −6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与成角θ→1OP 1的力F 1作用着; 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与成角θ→2OP 1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1−x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, −3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=×+×−×=⋅−++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b .7. 设a =(3, 5, −2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ),λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即−2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa +μb 与z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明 设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则, .→→OA OB −=→→||||OA OC = 因为,→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=−=+⋅−=−⋅−=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC 所以, ∠C =90°.→→BC AC ⊥ 9. 设已知向量a =2i −3j +k , b =i −j +3k 和c =i −2j , 计算: (1)(a ⋅b )c −(a ⋅c )b ; (2)(a +b )×(b +c );(3)(a ×b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2×1+(−3)×(−1)+1×3=8, a ⋅c =2×1+(−3)×(−2)=8,(a ⋅b )c −(a ⋅c )b =8c −8b =8(c −b )=8[(i −2j )−(i −j +3k )]=−8j −24k .(2)a +b =3i −4j +4k , b +c =2i −3j +3k ,k j k j i c b b a −−=−−=+×+332443)()(. (3)k j i k j i b a +−−=−−=×58311132, (a ×b )⋅c =−8×1+(−5)×(−2)+1×0=2.10. 已知, , 求ΔOAB 的面积.→j i 3+=OA →k j 3+=OB 解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是ΔOAB 的面积为→→||OB OA ×→OA →OB →→|21OB OA S ×=.因为→→k j i k j i +−−==×33310301OB OA , →→191)3()3(||223=+−+−=×OB OA , 所以三角形ΔOAB 的面积为→→1921|21=×=OB OA S . 12. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解 设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有,||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++, 其中当=1时, 即a 与b 平行是等号成立.) ,cos(^b a习题7−31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x −2)2+(y −3)2+(z −1)2=(x −4)2+(y −5)2+(z −6)2,即 4x +4y +10z −63=0.2. 建立以点(1, 3, −2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径14)2(31222=−++=R ,球面方程为(x −1)2+(y −3)2+(z +2)2=14,即 x 2+y 2+z 2−2x −6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2−2x +4y +2z =0表示什么曲面?解 由已知方程得(x 2−2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即 2222)6()1()2()1(=++++−z y x ,所以此方程表示以(1, −2, −1)为球心, 以6为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有21)4()3()2(222222=−+−+−++z y x z y x , 化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34 ,1 ,32(−−−为球心, 以2932为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2−9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2−9y 2−9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2+4z 2−9y 2=36.8. 画出下列方程所表示的曲面:(1)222)2()2(a y a x =+−;(2)19422=+−y x ;(3)14922=+z x ;(4)y 2−z =0;(5)z =2−x 2.9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:析几何中, x =2表示平行于y 轴的一条直线; 在空间解析几何中, x =2表示一析几何中, y =x +1表示一条斜率是1, 在y 轴上的截距也是1的直线; 在空几何中, x 2+y 2=4表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, 几何中, x 2−y 2=1表示双曲线; 在空间解析几何中, x 2−y 2=1表示母线平行旋转曲面是怎样形成的:(1)x =2;解在平面解张平行于yOz 面的平面.(2)y =x +1;解 在平面解间解析几何中，y =x +1表示一张平行于z 轴的平面.(3)x 2+y 2=4;解 在平面解析x 2+y 2=4表示母线平行于z 轴, 准线为x 2+y 2=4的圆柱面.(4)x 2−y 2=1.解 在平面解析于z 轴的双曲面.10. 说明下列 (1)1222=++z y x ; 994 解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的. (2)122=+−z y ; 42x 这是xOy 面上的双曲线1422=−y x 解 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线142=+−z y 绕y 轴旋转一周而形 z 1面上的双曲线x 2−y 2=12成的. (3)x 2−y 2−2=; 解 这是xOy 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线而形成的.a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线而形成的.( (3x 2−z 2=1绕x 轴旋转一周 (4)(z −a )2=x 2+y 2 .解 这是zOx 面上的曲线(z −(z −a )2=y 2绕z 轴旋转一周 11. 画出下列方程所表示的曲面:(1)4x 2+y 2−z 2=4;2)x 2−y 2−4z 2=4; )94322y x z +=.习题7−41. 画出下列曲线在第一卦限内的图形:(1 (2)⎩⎨⎧==21y x ;)⎩⎨⎧=−−−=0422y x y x z ;(3) =+222az x .2. 下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形:⎩⎨⎧=+222a yx 指出(1)⎧+=15x y ; ⎩⎨−=32x y 解 在平面解析几何中, 表示直线y =5x +1与y =2x −3的交点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )317 ,34(−−; 在空间解析几何中, 表示平面y =5x +1与y =2x −3的交线, 它表示过点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )0 ,317 ,34(−−, 并且行于z 轴.(2)⎪⎩⎪⎨⎧22y x ==+3194y . 解 在平面解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y =3的交线. 3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 解 把方程组中的x 消去得方程3y 2−z 2=16, 这就是母线平行于x 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于y 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.行于z 轴, 准线为=0z 列曲线的一般方程化为参数方程:(1; ⎩⎨⎧=−+=++0162222222y z x z y x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x 解 由x +z =1得z =1−x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2−2x +y 2=8, 这是母线平球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为⎧=+−82222y x x . ⎩⎨ 5. 将下)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即13)23(2222=+z x . 令t x cos 23=, 则z =3sin t . 故所求参数方程为t x cos 23=, t y cos 23=, z =3sin t . (2). ⎩⎨⎧==+++−04)1()1(222z z y x 解 将z =0代入(x −1)2+y 2+(z +1)2=4得(x −1)2+y 2=3.令t x cos 31+=, 则t y sin 3=,于是所求参数方程为t x cos 31+=, t y sin 3=, z =0.6. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 解 由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为. ⎩⎨⎧==+0222z a y x 由第三个方程得bz =θ代入第一个方程得 b z a x cos =, 即ax b z arccos =, 于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y a x b z . 由第三个方程得bz =θ代入第二个方程得 b z a y sin =, 即ay b z arcsin =, 于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0. 7. 求上半球2220y x a z −−≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球2220y x a z −−≤≤在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax . 为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax −x 2, 代入半球面方程222y x a z −−=, 得ax a z −=2(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为ax a z −≤≤20(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a , z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解 令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4. 令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题7−51. 求过点(3, 0, −1)且与平面3x −7y +5z −12=0平行的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(3, −7, 5), 所求平面的方程为3(x −3)−7(y −0)+5(z +1)=0, 即3x −7y +5z −4=0.2. 求过点M 0(2, 9, −6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, −6), 所求平面的方程为2(x −2)+9(y −9)−6(z −6)=0, 即2x +9y −6z −121=0.3. 求过(1, 1, −1)、(−2, −2, 2)、(1, −1, 2)三点的平面方程.解 n 1=(1, −1, 2)−(1, 1, −1)=(0, −2, 3), n 1=(1, −1, 2)−(−2, −2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k j i k j i n n n 69301332021++−=−=×=, 所求平面的方程为−3(x −1)+9(y −1)+6(z +1)=0, 即x −3y −2z =0.4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面:(1)x =0;解 x =0是yOz 平面.(2)3y −1=0;解 3y −1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x −3y −6=0;解 2x −3y −6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和−2.(4)03=−y x ;解 03=−y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33. (5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x −2z =0;解 x −2z =0是通过y 轴的平面.(7)6x +5−z =0.解 6x +5−z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x −2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦.解 此平面的法线向量为n =(2, −2, 1).此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==i n i n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^−=+−+−=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==k n k n k n γ. 6. 一平面过点(1, 0, −1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, −1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112−+=−=×=, 所求平面的方程为(x −1)+(y −0)−3(z +1)=0, 即x +y −3z −4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x −y −z =0, −x +2y +2z =3的交点.解 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−−=++3220213z y x z y x z y x 得x =1, y =−1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, −1, 3).8. 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, −5, 3);解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为0⋅(x −2)−5(y +5)+0⋅(z −3)=0, 即y =−5.(2)通过z 轴和点(−3, 1, −2);解 所求平面可设为Ax +By =0.因为点(−3, 1, −2)在此平面上, 所以−3A +B =0,将B =3A 代入所设方程得Ax +3Ay =0,所以所求的平面的方程为x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, −2)和(5, 1, 7).解 所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)都在所求平面上,所以向量n 1=(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即b +9c =0, b =−9c ,于是 n =(0, −9c , c )=−c (0, 9, −1).所求平面的方程为9(y −0)−(z +2)=0, 即9y −z −2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离.解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离为1221|1012221|222=++−×+×+=d .习题7−61. 求过点(4, −1, 3)且平行于直线51123−==−z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为531124−=+=−z y x . 2. 求过两点M 1(3, −2, 1)和M 2(−1, 0, 2)的直线方程.解 所求直线的方向向量为s =(−1, 0, 2)−(3, −2, 1)=(−4, 2, 1), 所求的直线方程为112243−=+=−−x y x . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线. ⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x 解 平面x −y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, −1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++−=−=×=. 在方程组中, 令y =0, 得, 解得x =3, z =−2. 于是点(3, 0, −2)为所求直线上的点.⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x ⎩⎨⎧=+=+421z x z x 所求直线的对称式方程为32123+==−−z y x ; 参数方程为x =3−2t , y =t , z =−2+3t .4. 求过点(2, 0, −3)且与直线垂直的平面方程. ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x 解 所求平面的法线向量n 可取为直线的方向向量, 即 ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++−=−−=−×−=. 所平面的方程为−16(x −2)+14(y −0)+11(z +3)=0, 即16x −14y −11z −65=0.5. 求直线与直线的夹角的余弦. ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y x 解 直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y xk j i k j i s −+=−−=431233351, k j i k j i s 105101831222+−=−=. 两直线之间的夹角的余弦为010)5(10)1(4310)1()5(4103||||) ,cos(2222222121^21=+−+−++×−+−×+×=⋅×=s s s s s s . 6. 证明直线与直线平行. ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x 解 直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x k j i k j i s 531121211++=−−=, k j i k j i s 15391123632−−−=−−−=. 因为s 2=−3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y −3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, −3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即k j i k j i s ++−=−=32310201. 所求直线的方程为14322−=−=−z y x . 8. 求过点(3, 1, −2)且通过直线12354z y x =+=−的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=−的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, −2)和(4, −3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, −3, 0)−(3, 1, −2)=(1, −4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n 229824112521−−=−=×=. 所求平面的方程为8(x −3)−9(y −1)−22(z +2)=0, 即8x −9y −22z −59=0.9. 求直线与平面x −y −z +1=0的夹角. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x )2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s −+=−+=−−=−−×=, 平面x −y −z +1=0的法线向量为n =(1, −1, −1).因为s ⋅n =2×1+4×(−1)+(−2)×(−1)=0,所以s ⊥n , 从而直线与平面x −y −z +1=0的夹角为0. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)37423z y x =−+=−+和4x −2y −2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(−2, −7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, −2, −2).因为s ⋅n =(−2)×4+(−7)×(−2)+3×(−2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(−3, −4, 0)不满足平面方程4x −2y −2z =3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)723z y x =−=和3x −2y +7z =8; 解 所给直线的方向向量为s =(3, −2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, −2, 7). 因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)431232−−=+=−z y x 和x +y +z =3. 解 所给直线的方向向量为s =(3, 1, −4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).因为s ⋅n =3×1+1×1+(−4)×1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, −2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线和 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y x 平行的平面的方程.解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x k j i k j i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1−−=−−=−×−=, 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y xk j k j i s −−=−−=−×−=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1. 所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n −+−=−−−−=×=11032121, 所求平面的方程为−(x −1)+(y −2)−(z −1)=0, 即x −y +z =0.12. 求点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n =(1, 2, −1). 过点(−1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211−=−=+z y x . 将此方程化为参数方程x =−1+t , y =2+2t , z =−t , 代入平面方程x +2y −z +1=0中, 得(−1+t )+2(2+2t )−(−t )+1=0, 解得32−=t . 再将32−=t 代入直线的参数方程, 得35−=x , 32=y , 32=z . 于是点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影为点32 ,32 ,25(−. 13. 求点P (3, −1, 2)到直线的距离. ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x 解 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x k j k j i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(−−=−−=−×−=. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为−3(y +1)−3(z −2)=0, 即y +z −1=0.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−+−=+−+0104201z y z y x z y x 得x =1, 21−=y , 23=z . 点P (3, −1, 2)到直线的距离就是点P (3, −1, 2)与点⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x )23 ,21 ,1(−间的距离, 即 23)32()11()13(22=−++−+−=d .14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ×=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量, 根据向量积的几何意义, 以和为邻边的平行四边形的面积为 →MN =s →M M 0→MN ,→→→||||00s ×=×M M MN M M 又以和为邻边的平行四边形的面积为. 因此→M M 0→MN →||||s ⋅=⋅d MN d , →||||0s s ×=⋅M M d →||||0s s ×=M M d . 15. 求直线在平面4x −y +z =1上的投影直线的方程. ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x 解 过直线的平面束方程为 ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x (2+3λ)x +(−4−λ)y +(1−2λ)z −9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 −1, 1)⋅(2+3λ, −4−λ, 1−2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(−1)⋅(−4−λ)+1⋅(1−2λ)=0. 解之得1113−=λ. 将1113−=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y −37z −117=0.故投影直线的方程为. ⎩⎨⎧=−−+=+−011737311714z y x z y x 16. 画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x =0, y =0, z =0, x =2, y =1, 3x +4y +2z −12=0;4y z =; (2)x =0, z =0, x =1, y =2, (3)z =0, z =3, x −y =0,03=−y x , x 2+y 2=1(在第一卦限内);2, y 2+z 2=R 2(在第一卦限内).(4)x =0, y =0, z =0, x 2+y 2=R总习题七1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ] 坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量的坐标为___________.→OM 解 M (x −x 0, y −y 0, z −z 0), .→) , ,(z y x OM = 提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.(2)设数λ1、λ2、λ3不全为0, 使λ1a +λ2b +λ3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解 共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, −1, 10), c =b −λa , 且a ⊥c , 则λ=____________.解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b −λa ⋅a =2×4+1×(−1)+2×10−λ(22+12+22)=27−9λ, 所以λ=3.(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________. 解 23−. 提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . (5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ×b +b ×c +c ×a |=____________.解36.提示: c =−(a +b ),a ×b +b ×c +c ×a =a ×b −b ×(a +b )−(a +b )×a =a ×b −b ×a −b ×a =3a ×b ,|a ×b +b ×c +c ×a |=3|a ×b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, −3, 7)和点B (5, 7, −5)等距离的点.解 设所求点为M (0, y , 0), 则有12+(y +3)2+72=52+(y −7)2+(−5)2,即 (y +3)2=(y −7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知ΔABC 的顶点为A (3,2,−1)、B (5,−4,7)和C (−1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度. 解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(−=+−−+. 所求中线的长度为 30)23()11()14(222=−+−−++=d .4. 设ΔABC 的三边、、, 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、→a =BC →b =CA →c =ABb 、c 表示→AD 、、, 并证明→BE →CF.→→→0=++CF BE AD 解 →→→a c 21+=+=BD AB AD , →→→b a 21+=+=CE BC BE , →→→c b 21+=+=AF CA CF . →→→0=+−=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD 5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明 设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE −=−=, ,→→→→→AB AC AC BA BC −=+=所以 →→BC DE 21=, 从而DE //BC , 且||21||BC DE =. 6. 设|a +b |=|a −b |, a =(3, −5, 8), b =(−1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, −4, 8+z ), a −b =(4, −6, 8−z ). 因为|a +b |=|a −b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z −+−+=++−+, 解得z =1.7. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a −b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a −b |2=(a −b )⋅(a −b )=|a |2+|b |2−2a ⋅b =|a |2+|b |2−2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=−+=π. 设向量a +b 与a −b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅−=−⋅+−=−⋅+−⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.8. 设a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b , 求 .) ,(^b a 解 因为a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b ,所以 (a +3b )⋅(7a −5b )=0, (a −4b )⋅(7a −2b )=0,即 7|a |2+16a ⋅b −15|b |2 =0, 7|a |2−30a ⋅b +8|b |2 =0,又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a . 9. 设a =(2, −1, −2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时最小？并求出此最小值. ) ,(^b a 解 2^2321||||) ,cos(z z +−=⋅⋅=b a b a b a . 因为当2) ,(0^π<<b a 时, 为单调减函数. 求的最小值也就是求) ,cos(^b a ) ,(^b a 22321)(z zz f +−=的最大值.令0)2(431)(2/32=+−−⋅=′z z z f , 得z =−4. 当z =−4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10. 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )×(a −3b )=−3a ×b +2b ×a =5b ×a .以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=×=−×+b a a b a b b a b a . 11. 设a =(2, −3, 1), b =(1, −2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj c r =14, 求r . 解 设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即2x −3y +z =0, x −2y +3z =0.又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , 即 2x +y +2z =42.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+−4222032032z y x z y x z y x 得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2).另解 因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与k j i k j i b a −−−=−−=×57321132平行, 故可设r =λ(7, 5, 1). 又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , r ⋅c =42, 即 λ(7×2+5×1+1×2)=42, λ=2,所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(−1, 3, 2), b =(2, −3, −4), c =(−3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c .证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ×b )⋅c =0. 因为k i k j i b a 36432231−−=−−−=×, (a ×b )⋅c =(−6)×(−3)+0×12+(−3)×6=0,所以向量a 、b 、c 共面.设c =λa +μb , 则有(−λ+2μ, 3λ−3μ, 2λ−4μ)=(−3, 12, 6),即有方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−=−−=+−642123332μλμλμλ解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, −1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意, 有222)2()1()1(||−+++−=z y x z ,或 z 2=(x −1)2+(y +1)2+(z −2)2,化简得(x −1)2+(y +1)2=4(z −1),这就是点M 的轨迹方程.14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴.(2)136936222=++z y x ; 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x , 旋转轴为y 轴. (3)z 2=3(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3=, 旋转轴为z 轴.(4)144222=−−z y x . 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=−y x , 旋转轴为x 轴.15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程. 解 设所求平面的法线向量为n =(a , b , c )., xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).→)1 ,0 ,3(−=BA 按要求有, →0=⋅BA n 3cos ||||π=⋅⋅k n k n , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=−2103222c b a c c a ,解之得c =3a , a b 26±=. 于是所求的平面的方程为0326)3(=+±−z y x ,即 3326=++z y x , 或3326=+−z y x .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, −1, 1)到直线的垂线, 求此平面方程.⎩⎨⎧==+−001x z y 解 直线的方向向量为s =(0, 1, −1)×(1, 0, 0)=(0, −1, −1). ⎩⎨⎧==+−001x z y 设点(1, −1, 1)到直线的垂线交于点(x ⎩⎨⎧==+−001x z y 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线⎩⎨⎧==+−001x z y 上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s 1=(−1, y 0+1, y 0).显然有s ⋅s 1=0, 即−y 0−1−y 0=0, 210−=y . 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001−−=+−=y y s . 所求平面的法线向量可取为j i k j i k s k n −−=−+−×=×=21)2121(1, 所求平面的方程为0)1()1(21=+−−−y x , 即x +2y +1=017. 求过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0, 又与直线21311z y x =−=+相交的直线的方程.解 过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0的平面的方程为3(x +1)−4(y −0)+(z −4)=0, 即3x −4y +z −1=0.将直线21311z y x =−=+化为参数方程x =−1+t , y =3+t , z =2t , 代入平面方程3x −4y +z −1=0, 得3(−1+t )−4(3+t )+2t −1=0,解得t =16. 于是平面3x −4y +z −1=0与直线21311z y x =−=+的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)−(−1, 0, 4)=(16, 19, 28),所求直线的方程为28419161−==+z y x . 18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使ΔABC 的面积最小. 解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则, .→) ,0 ,1(z AC −=→)1 ,2 ,0(−−=z BC 因为 →→k j i k j i 2)1(212001+−+=−−−=×z z z z BC AC , 所以ΔABC 的面积为→→4)1(421|2122+−+=×=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+−+−+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 19. 求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程. ⎩⎨⎧−+−=−−=2222)1()1(2y x z y x z 解 在xOy 面上的投影曲线方程为, 即. ⎩⎨⎧=−−=−+−02)1()1(2222z y x y x ⎩⎨⎧=+=+022z y x y x 在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−−−±+−=0)12()1(222y z x x z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222y z x z xz x 在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−+−−−±=0)1()12(222x y z y z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222x z y z yz y 20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为, 即, ⎩⎨⎧=+=0222z y x x ⎩⎨⎧==+−01)1(22z y x 所以, 立体在xOy 面上的投影为. ⎩⎨⎧=≤+−01)1(22z y x 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+−01)22(222x y z , 所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+−01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为和⎩⎨⎧==0||y x z ⎩⎨⎧==02y x z , 所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x . 21. 画出下列各曲面所围立体的图形:1224===z y x ; (1)抛物柱面2y 2=x , 平面z =0及 0及x +y =1;(2)抛物柱面x 2=1−z , 平面y =0, z =(3)圆锥面22z y x +=2−x −y =及旋转抛物面z 22;(y 2=x , 平面z =0及x =1.4)旋转抛物面x 2+y 2=z , 柱面。
