[整理]7空间解析几何与向量代数习题与答案

空间解析几何与向量代数习题第七章 空间解析几何与向量代数习题(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2π B ）4π C ）3π D ）π5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）18. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ⨯rr 是：（ ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）3i -3j +3k9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ）362 B ）364 C ）32D ）310. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．(二)填空题(1) a ∙b = （公式） (2) a ·b = （计算）(3) .=⨯b a ρρ (4) ][c b a ρρρ=(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) yoz 坐标面的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转生成的旋转曲面的方程是： (8) 已知两点)5,0,4(A 与)3,1,7(B ，与向量AB 方向一致的单位向量0a ρ= 。

7空间解析几何与向量代数习题与答案第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量«Skip Record If...»的单位向量为______________.2、设已知两点«Skip Record If...»，计算向量«Skip Record If...»的模，方向余弦和方向角.3、设«Skip Record If...»，求向量«Skip Record If...»在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.二、1、设«Skip Record If...»，求(1)«Skip Record If...»(3)a、b的夹角的余弦.2、知«Skip Record If...»，求与«Skip Record If...»同时垂直的单位向量.3、设«Skip Record If...»，问«Skip Record If...»满足_________时，«Skip Record If...».三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程«Skip Record If...»表示______________曲面.3、1)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中«Skip Record If...»表示____________图形。

1第8章 空间解析几何与向量代数一、填空题1．一向量的终点为点(2,1,7)B -，它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，4-和7，则该向量的起点A 的坐标为__________2．设4a =，3b =且两向量的夹角23πθ=，则(32)(23)a b a b -⋅+=__________ 3．设2OA =+i j ，2OB =-+i k ，令OA OB =-m ，则向量m 的方向余弦为__________4．过点(0,1,2)且与直线121x y z +==-垂直的平面方程为__________ 5．曲面3z e xy z +-=在点(2,1,0)处的法线方程为__________二、选择题 1．已知两直线方程分别为1111:111x y z L ---==-,2312112x y z L ----: ==,则直线1L 与2L 的空间位置关系为__________(A) 相交(B) 垂直但不相交 (C) 平行 (D) 垂直且相交 2．平面3380x y --=的位置是__________(A) 平行于z 轴(B) 斜交于z 轴 (C) 垂直于z 轴(D) 通过z 轴 3．直线111122x y z --+==-与平面223x y z --=的关系是__________ (A) 垂直相交 (B) 相交但不垂直(C) 平行，但直线不在平面内(D) 直线在平面内三、计算题设2m a b =+，n ka b =+，其中1a =，2b =，且a b ⊥．(1) k 为何值时，m n ⊥？(2) k 为何值时，以m 与n 为邻边的平行四边形的面积等于6？2 【答案】一、1．(2,3,0)-；2．42-；3．cos ,cos αβγ===；4．210x y z -+-=；5．21120x y z--==．二、1．A ；2．A ；3．D ．三、(1) 2-；(2) 1-或5．。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

第七章 空间解析几何与向量代数一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（A ）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1,-2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3πD ）π5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ B ）A ）5焦耳B ）1焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ⨯ 是：（ ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）3i -3j +3k9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A B ）364 C ）32 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．11、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．12、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 B ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 A ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 15、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (D)双叶双曲面,z16设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b17、设向量,a b 相平行，但方向相反，则当0>>a b 时，必有（A ） A +=-a b a b B +>-a b a b C a b a b +<- D a b a b +=+18向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ⋅a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 19非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ．20设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．21设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．A 7B 7jC –1；D -9k22空间曲线的方程是（ B ）.A 惟一的；B 不惟一的；C 可能不惟一；D 不能确定.23方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影.24方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面.25设空间直线的对称式方程为 012x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴.26设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩, 则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.二、填空题1 平面的点法式方程是2、yoz 坐标面的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转生成的旋转曲面的方程是：3、 已知两点)5,0,4(A 与)3,1,7(B ，与向量AB 方向一致的单位向量0a = 。

空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα===3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S。

空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。

表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。

军教院 第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

空间解析几何与向量代数答案1,三2 ),,(c b a -,),,(c b a --3 )3,21,23(--,⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,31,14 )0,3,2(-5 （1）长度相等，（2）指向相同6 17 0013545或8 yoz9 -110 π 11 222z y x a a a ++ 12 共线13 0=++z z y y x x b a b a b a ; λ===zz y y x x b a b a b a 或,b a λ= 14,z z y y x x b a b a b a ++ ;→→→-+-+-k b a b a j a b b a i b a b a x y y x z x z x y z z y )()()( 15 →016 →→⨯b a17 →→→→-+b a b a , 18331124-=+=--z z x 19312412+=-=-z y x 20013z y x =-= 21211211-=--=-z y x 或 231112-=--=-z y x 22 01222=-+-z y x23 081111424=--+z y x 24 32125 3;4-26 083=---z y x 27 14322-=-=-y y x 28 028573=--+z y x29 5-=y30 1- 31 2π 32 直线，平面33 点, 直线34 圆，圆柱面35 ⎩⎨⎧==++-0012222z y x x36 x y z 522=+ 37 ⎩⎨⎧==+-00222x y z z38 ,x 抛物39 3),,0,0(,122z y x =+二：选择题D,B,C,,B,A,C,A,A,B,D,C,B,B,D,D,C,A,D,D,C,B,C,D 三:计算题1解： }14142,1414,14143{}14142,1414,14143{14141419}2,,3{}2,1,3{--=-=∴±==++-==-=或令λλλλλλ 2解：b a 1116254218)5(2)1(4321999133878210862++-=--=⨯-=-⨯+-⨯+⨯=•=++=--+-=--+=+-+=3解：k j i b a 910117312+--=--=⨯4解：783996269}37373,37375,37373{373719259}3,5,3{3531114==±=±==++--=+--=---= λλλλλ设 5解： ()为腰的等腰直角三角形是以AC AB ABC BC AC AB ACAB BC AC AB ,27)36()41()210(7)39()41()24(7)69()1(1)410(222222222222∆=+==-+--+-==-+-+-==-+--+-={}{}{}921)2(2,1,20,80,40510510)()32(6,5,10}2,5,10{323824)3()2(642222=++-=-=--=--=+⨯--=+-=-=⨯+-⨯-+⨯=⋅j i b a b a7，解：N BC M AB ABC 21,21,,,,,:==+===∆则中点中点取设中证明 AC MN AC MN 21//21),(21=∴=+=且 8解：33322cos ,33322cos ,33322cos )3(3222)2(2()3,3,1(,331212121),,,(}2,2,2{)1(222321====-=-==++-==-⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=--=++=γβαQ c b a c b a c b a Q F F F 设9解：2353521753112=⨯==---=-=⨯S13}0,1,3{z y x n =-=-=点向式直线的方向向量 11解：{}⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=-=-=--=--=t z ty t x z y x kj n 111752111752)1,0,2(11,7,52113参数式标准式取任意一点12解：4410415=--⎩⎨⎧-==⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=++=y x b k b k b k bkx y z 所求平面方程为轴可设成平行与 13解：)6,3,2(16,21,162111-==--=+===-+=-所求交点坐标是令t t z t y t x k z y x14解：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1111222222z y x z y x 联立02222=-+y y x z 消去⎩⎨⎧==-+002222z y y x 所得方程4322)2()2(4)1()1(1)2()1()2()1(41)cos(}2,2,4{1131}1,1,1{222222πθθπ==-+-+-+-+-⨯-+-⨯-+⨯=---=--=--=直线的方向向量平面的法向量 16解：111131}1,1,3{1221-=--=----=--=z y x kj n 直线平面的方向向量 17解： {}16399,3,27532431}5,3,2{},4,3,1{=++---=--=-=-=z y x n PQ 平面的法向量向量该平面另外一个方向向 18解：1}3,0,0{11=+-=-=z 所求平面方程平面的法向量 19解： ⎪⎩⎪⎨⎧--==+=t z ty t x 225253 0)450(2)12(3)33(}225,12,33{=++⨯-+⨯+----=t t t t t t n P 有点所成向量设直线上该点与67271282171}201,81,84{,1757z y x t =-=-⨯---=-= 20解：}0,1,{-=k n的方向向量平面0752=--+z y x}5,1,2{-=21)5(12112)^cos(2222=-+++-=k k 0302,312=+=--==y x y x k k 或所求平面方程为或 21解：⎩⎨⎧=+=++19222z x z y x 82222=+-y x x z消去⎩⎨⎧==+-082222z y x x 所求投影方程是。

【最新整理，下载后即可编辑】第七章空间解析几何与向量代数1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.解答：（1）xOy面：()---，zOx面：()2,3,12,3,1-；2,3,1-，yOz面：()（2）x轴：()2,3,1，y轴：()2,3,1--；--，z轴：()2,3,1（3）()-2,3,1.所属章节：第七章第一节难度：一级2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为=点（4，－3，5）到x=点（4，－3，5）到y=点（4，－3，5）到z5=.所属章节：第七章第一节难度：一级3．把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标.解答：设分点坐标为(,,)x y z ，则由条件11121201x y z x y z ---===---，解得511,,33x y z ===，即所求分点坐标为511,,33⎛⎫⎪⎝⎭.所属章节：第七章第一节 难度：一级4．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a ，求各顶点的坐标. 解答：各顶点的坐标为：()()()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,,,,,,,0,,0,,0,,.a a a a a a a a a a a a所属章节：第七章第一节 难度：一级5．在yOz 平面上求一点，使它与点A （3，1，2），点B （4，－2，－2）和点C （0，5，1）的距离相等.解答：设所求点为(0,,)P y z ，则由条件有PA PB PC ==，故==，解得1,2y z ==-.即所求点为(0,1,2)-. 所属章节：第七章第一节 难度：一级6．在z 轴上求一点，使它到点A （－4，1，7）和点B （3，5，－2）的距离相等.解答：设所求点为(0,0,)P z ，则由条件有PA PB =，故=解得149z =.即所求点为14(0,0,)9. 所属章节：第七章第一节 难度：一级7．已知向量a 和b 的夹角为60°，且5,8,==a b 试求+a b 和.-a b 解答：由于222((2cos 129θ+=+⋅+++=a b a b)a b)=a b a b ，代入已知条件，即可得+=a b又由于222((2cos 49θ-=-⋅-+-=a b a b)a b)=a b a b ，故7-=a b .所属章节：第七章第三节 难度：二级8．设向量a 和b 的夹角为2π3，且3,4,==a b 试求： （1）⋅a b（2）()()322-⋅+a b a b解答：（1）2cos 34cos 63θπ⋅⋅⋅=⨯⨯=-a b =a b ；（2）22(32)(2)34461-⋅+=-+⋅-a b a b a b a b =. 所属章节：第七章第三节 难度：二级9．设23,3,=+=-A a b B a b 其中2,1,==a b 向量a 和b 的夹角为π3，试求⋅A B 及Pr oj B A . 解答：2222(23)(3)637637cos 28θ⋅=+⋅-=-+⋅=-+⋅⋅=A B a b a b a b a b a b a b ；由于22222(3)(3)9696cos 31θ=⋅-⋅-=+-⋅=+-⋅⋅=B B B =a b a b a b a b a b a b ，所以Pr oj31B ⋅===A B A B . 所属章节：第七章第三节 难度：二级10．设2,,1,2,k =+=+==A a b B a b a b 且,⊥a b 问： （1）k 为何值时，;⊥A B（2）k 为何值时，A 与B 为邻边的平行四边形面积为6.解答：(1) 要使⊥A B ，则⋅=A B ，即22(2)()2(2)0k k k +⋅+=+++⋅=a b a b a b a b ，代入条件即240k +=，解得2k =-；（2）要使以A 与B 为邻边的平行四边形面积为6，即6⨯=A B ，代入条件即23k -=，解得1k =-或 5.k = 所属章节：第七章第四节 难度：二级11．已知向量a +3b 垂直于向量7a －5b ,向量a －4b 垂直于向量7a －2b ,试求向量a 与b 的夹角.解答：因为a +3b ⊥7a -5b ，a -4b ⊥7a -2b ，所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0, (a -4b )⋅(7a -2b )=0，即 7|a |2+16a ⋅b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ⋅b +8|b |2 =0， 由以上两式可得 b a b a ⋅==2||||,于是21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a ，3) ,(^π=b a . 所属章节：第七章第三节 难度：二级12．设[],,2,=a b c 求：()()(),,.+++⎡⎤⎣⎦a b b c c a 解答：()()()[],,[()()]()()()2,,4+++=+⨯+⋅+=⨯+⨯⋅+==⎡⎤⎣⎦a b b c c a a b b c c a a b a c c a a b c .所属章节：第七章第四节 难度：二级13．设{}{}3,2,6,2,1,0,=-=-a b 试求下列各向量的坐标： （1）;+a b （2）1;2-b （3）1.3+a b 解答：（1）{}{}{}3,2,62,1,01,1,6+---a b =+=； （2）{}1112,1,01,,0222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭b ==；（3）{}{}1113,2,62,1,01,,2333⎧⎫+-+-=-⎨⎬⎩⎭a b =. 所属章节：第七章第二节 难度：一级14．求向量=++a i k 的模以及它与坐标轴之间的夹角.解答：2==a ；与坐标轴的夹角余弦分别为1111cos ,cos 222αβγ======a a a ， 故与坐标轴的夹角分别为°°°60,45 ,60αβγ===.所属章节：第七章第二节 难度：一级15．已知一向量的起点是A (2,－2,5),终点是B (－1,6,7),试求： （1）向量AB 在各坐标轴上的投影； （2）向量AB 的模和方向余弦； （3）AB 的单位向量. 解答：由于向量{}3,8,2AB =-，所以（1）向量AB 在各坐标轴上的投影为382-，，；（2）向量AB 的模(3)-=，方向余弦为cosαβγ===；（3）AB 的单位向量AB AB ⎧=⎨⎩. 所属章节：第七章第二节 难度：一级16．已知向量{}3,1,2-的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标.解答：终点坐标为()()()3,1,22,0,55,1,3-+-=--. 所属章节：第七章第二节 难度：一级17． 已知向量的终点为B （2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A 的坐标. 解答：起点A 的坐标()()()2,1,74,4,72,3,0---=-. 所属章节：第七章第二节 难度：一级18．已知向量{}{}1,1,5,2,3,5,==-a b 求与3-a b 同向的单位向量. 解答：由于{}{}{}31,1,532,3,55,10,10-=--=--a b ，单位化，与3-a b 同向的单位向量为{}311225,10,10,,315333-⎧⎫=--=--⎨⎬-⎩⎭a b a b . 所属章节：第七章第二节 难度：一级19．设向量{}{},5,1,3,,,l l m =-=a b 且//a b ，试求l 与m 的值. （题目与解答不统一）如果题目中向量为{}{},5,1,3,1,l m =-=a b ，则答案为115,.5l m ==-即原参考答案，下面按原题解答. 参考答案：115,.5l m ==-解答：由于//a b ，所以513l l m-==，解得l m ==或5l m ==.所属章节：第七章第二节 难度：一级20．已知向量32,23,=++=--a i j k b i j k 试求⋅a b 与.⨯a b 解答：321(3)2(1)1⋅=⨯+⨯-+⨯-=a b ；{}3125,7,11231⨯==---ij ka b .所属章节：第七章第四节 难度：一级21．已知()()()1,2,34,4,32,4,3A B C ---、、和()8,6,6D ，试求向量AB 在向量CD 上的投影.解答：{}3,2,6AB =--，{}6,2,3CD =，4Pr oj 7CD AB CD AB CD⋅==-. 所属章节：第七章第四节 难度：一级22．设直线L 通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L 的距离.解答：设(2,1,3),(0,1,2),(10,5,10)A B P --，点P 到直线L 的距离为d ，则{}{}{}12,4,7,10,6,8,2,2,1PA PB AB =---=---=--利用12PAB S PA PB ∆=⨯，12PAB S AB d ∆=⨯，解得d =所属章节：第七章第四节 难度：二级23．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点. 解答：设(1,3,2),(1,2,1)A B --，所求点为(,,)C x y z ，由题意知AB BC →→=，即{}{}2,5,11,2,1x y z --=+--，解得(3,7,0)C -. 所属章节：第七章第四节 难度：一级24．求以向量25,33,25=+=+=-a i j b j k c j k 为相邻三棱的平行六面体的体积.解答：由于25[,,]03342025==--a b c ，所以所求六面体的体积为[,,]42V ==a b c .所属章节：第七章第四节 难度：三级25．试证()()()2,1,2,1,2,1,2,3,0A B C --和()5,0,6D -四点共面. 解答：由题意{}{}{}1,3,3,0,4,2,3,1,4AB AC AD =-==-，由于133[,,]0420314AB AC AD -==-，所以,,,A B C D 四点共面. 所属章节：第七章第四节 难度：三级26．确定球面22224470x y z x y z ++-+--=的球心和半径. 参考答案：球心()1,2,2, 4.R -=（本题参考答案有误） 解答：将原方程22224470x y z x y z ++-+--=配方，得222(1)(2)(2)9x y z -+++-=，故球心为(1,2,2)-，半径为3R =.所属章节：第七章第五节 难度：一级27．一球面过坐标原点和()()()2,0,01,1,01,0,1A B C -、、三点，试确定该球面的方程. 参考答案：()2221 1.x y z -++=解答：设球面的方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得0001,0,1x y z R ====，即球面方程为()22211x y z -++=. 所属章节：第七章第五节 难度：二级28．试求与()()122,1,34,1,2M M --、距离相等的点的轨迹方程. 参考答案：44107.x y z +-=解答：设动点坐标为(,,)P x y z ，则由条件有12PM PM =，故有222222(2)(1)(3)(4)(1)(2)x y z x y z -+++-=-+-++，化简得44107x y z +-=. 所属章节：第七章第五节 难度：一级29．指出下列方程所表示的曲面：（1）22111;222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）221;49x y -=（3）221;49y z += （4）22z y =+解答：（1）母线平行于z 轴的圆柱面； （2）母线平行于z 轴的双曲柱面； （3）母线平行于x 轴的椭圆柱面； （4）母线平行于x 轴的抛物柱面. 所属章节：第七章第五节 难度：一级30．说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称：（1）2221;4y x z +-=（2）224;x y z +=（3）2221;169z x y +-= （4）2224x y z +=解答：（1）旋转单叶双曲面，它是由双曲线221,40y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成；（2）旋转抛物面，它由抛物线24,0x z y ⎧=⎨=⎩或24,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成；（3）旋转双叶双曲面，它是由双曲线221,1690z x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,1690z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成；（4）圆锥面，它由相交的两条直线224,0x z y ⎧=⎨=⎩或224,y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成.所属章节：第七章第五节 难度：一级31．建立下列旋转曲面的方程：（1）曲线25:,0z xL y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面；（2）yOz 平面上的椭圆22149y z +=绕z 轴旋转一周所生成的曲面；（3）xOy 平面上的双曲线224936x y -=绕y 轴和x 轴旋转一周所生成的曲面； （4）直线2,0y xz =⎧⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的曲面.解答：（1）225;y z x +=（2）2221;449x y z ++=（3）绕y 轴：22249436,x y z -+= 绕x 轴：22249936;x y z --= （4）22240.x y z --= 所属章节：第七章第五节 难度：一级32．指出下列方程所表示的曲线：（1）22225.3;x y z x ⎧++=⎨=⎩（2）()()2221425,10;x y z y ⎧-+++=⎪⎨+=⎪⎩（3）221;9420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩（4）24;1x yz ⎧=⎨=⎩（5）2221;169420.x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩解答：（1）平面x =3上的圆； （2）平面y =－1上的圆；（3）平面x =2上的双曲线； （4）平面z =1上的抛物线； （5）平面x =2上的椭圆. 所属章节：第七章第五节 难度：一级33．求曲线22236,2x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 平面上的投影曲线.（原参考答案有误）解答：在所给方程中消去z ，得2212x y +=，加上0z =，即得22320x y z ⎧+=⎨=⎩. 所属章节：第七章第五节 难度：一级34．求曲线22,1z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩在xOy 平面上的投影曲线.解答：在所给方程中消去z ，得22113222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，加上0z =，即得221132220x y z ⎧⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=⎩. 所属章节：第七章第五节难度：一级35．求下列曲线在xOy 平面上的投影：（1）22222241,;x y z x y z ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩（2）222224, 1.x y x y z ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩解答：（1）在所给方程中消去z ，得22531x y -=，加上0z =，即得22531x y z ⎧-=⎨=⎩； （2）在所给方程中消去z ，得224x y +=，加上0z =，另外由2221x y z -+=-知2221y x z =++，故1y ≥，于是投影曲线为224x y z ⎧+=⎨=⎩ 且1y ≥.所属章节：第七章第五节 难度：二级36．求曲线()2222221,11x y z x y z ⎧++=⎪⎨++-=⎪⎩在各坐标面上的投影：? 解答：xOy面：223,,40x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩yOz 面：210,z x -=⎧⎨=⎩且y ≤xOz 面：210,0z y -=⎧⎨=⎩且2x ≤所属章节：第七章第五节 难度：二级37．求下列各平面的方程：（1）平行与（于）Oy轴，且通过点（1，－5，1）和（3，2，－2）；（2）通过Ox轴和点（4，－3，－1）；（3）平行于xOz平面，且通过点（3，2，－7）.解答：（1）由于所求平面平行于Oy轴，故可设方程为+-=；++=，将另外两点坐标代入即得3250x zAx Cz D（2）由于所求平面通过Ox轴，故可设方程为0+=，By Cz 将另一点坐标代入即得30-=；y z（3）由于所求平面平行于xOz平面，故可设方程为y=.-，故2By D+=，又通过点(3,2,7)所属章节：第七章第六节难度：一级38. 设点P（3，－6，2）为原点到一平面的垂足，求该平面的方程.解答：法向量为{}n OP→3,6,2==-，所求平面的方程为x y z--++-=，即3(3)6(6)2(2)0-+-=.x y z362490所属章节：第七章第六节难度：一级39．求通过两点（8，－3，1）和（4，7，2），且垂直于平面+--=的平面方程.35210x y z解答：由条件可设法向量为{}{}{}n=-⨯-=---，4,10,13,5,115,1,50由点法式方程得++-=.15501670x y z所属章节：第七章第六节难度：二级40．求通过点()1,2,1P且垂直于两平面0y z+=的平面方+=和50x y程.解答：由条件可设法向量为{}{}{}1,1,00,5,11,1,5n=⨯=-，由点法式方程得-+-=.x y z540所属章节：第七章第六节难度：二级41．求一个通过点()3,2,1-且平行y轴的平面方程.-和()1,5,1解答：由条件可设法向量为{}{}{}2,7,20,1,02,0,2n =-⨯=，由点法式方程得20x z +-=.所属章节：第七章第六节 难度：二级42．求a 和b 的值，使：（1）平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行； （2）平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直. 解答：（1）要使平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行，则两个法向量平行，故有2361a b ==--，解得218,3a b ==-； （2）要使平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直，必须两个法向量垂直，故有31(5)320a ⨯+-⨯+⨯=，解得6a =. 所属章节：第七章第六节 难度：一级43．求过点（2，－3，8）且平行于直线243325x y z --+==-的直线方程.解答：由于两直线平行，方向向量相同，故得所求直线方程238325x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级44．求过点（4，－2，3）且垂直于平面2310x y z +-+=的直线方程.解答：由于所求直线垂直于已知平面，它的方向向量与该平面的法向量相同，即{}1,2,3s =-，于是所求方程为423123x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级45．求过点（－1，2，1）且平行于直线210,210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩的直线方程.解答：已知直线的方向向量为{}{}{}1,1,21,2,13,1,1s =-⨯-=-，所求直线方向向量与它相同，于是所求直线方程为121311x y z +--==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级46．试求下列直线的标准方程：（1）240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩（2）350;280.x z y z -+=⎧⎨-+=⎩解答：（1）令0x =，代入方程，求得直线上一点坐标为(0,1,4)，方向向量为{}{}{}2,4,13,1,29,7,10s =-⨯--=， 于是标准方程为14;9710x y z --== （2）令0z =，代入方程，求得直线上一点坐标为(5,8,0)--，方向向量为{}{}{}1,0,30,1,23,2,1s =-⨯-=，于是标准方程为58.321x y z++== 所属章节：第七章第七节 难度：二级47．确定下列直线与平面的位置关系： （1）34273x y z++==-与42230;x y z ---=（2）327x y z ==--与641490.x y z -+-= 解答：（1）直线的方向向量{}2,7,3s =-，平面的法向量{}4,2,2n =--，易证s n ⊥，故所给直线与平面平行；（2）直线的方向向量{}3,2,7s =--，平面的法向量{}6,4,14n =-，易证sn ，故所给直线与平面垂直.所属章节：第七章第七节 难度：一级48．确定下列直线间的平行或垂直关系：（1）27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩与3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩（2）21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩与1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩解答：（1）直线27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩的方向向量为{}11213,1,5211i j ks =-=-，直线3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩的方向向量为{}23639,3,15211i j ks =-=-----，由于它们平行，所以两条直线平行； （2）直线21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}11202,1,2021ij ks ==--，直线1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}21102,2,1102ijk s =-=-，由于它们垂直，所以两条直线垂直. 所属章节：第七章第七节 难度：二级49．求直线221312x y z +-+==与平面23380x y z ++-=的交点和交角. 参考答案：()1,1,1,arcsin 154（参考答案有误？）解答：将直线方程221312x y z +-+==改写成参数形式32221x t y t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，代入所给平面方程23380x y z ++-=，解得1t =，再代回直线方程，即得交点(1,1,1)；由于直线的方向向量为{}3,1,2s =，平面的法向量{}2,3,3n =，所以交角的正弦为sin 15414s n s nϕ⋅===⋅⋅，于是交角为arcsin154.所属章节：第七章第七节 难度：二级50．求点（3，－1，－1）在平面23300x y z ++-=上的投影. 解答：过已知点()3,1,1--向已知平面作垂线311123x y z -++==，参数形式为32131x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，代入已知平面解得参数167t =，于是交点也即所求投影点为372541,,777⎛⎫⎪⎝⎭. 所属章节：第七章第七节 难度：二级51．求点（2，3，1）在直线722123x y z +++==上的投影.解答：过已知点作垂直于已知直线的平面(2)2(1)3(1)0x y z -+-+-=，再将已知直线的参数方程72232x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩代入，即得参数2t =，两者交点即所求投影点为(5,2,4)-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级52．在平面1x y z ++=上求作一直线，使它与直线1,1y z ==-垂直相交.解答：由于所求直线与直线1,1y z ==-垂直，故可作平面平行与该已知直线，得平面方程0x x =，联立已知平面方程1x y z ++=，得一条直线01x x x y z =⎧⎨++=⎩，又由于所求直线与直线1,1y z ==-相交，将1,1y z ==-代入直线方程01x x x y z =⎧⎨++=⎩，可得01x =，于是所求直线方程为11x x y z =⎧⎨++=⎩，即111011x y z --+==-. 所属章节：第七章第七节 难度：三级53．通过点（－1，0，4）作一直线，使它平行于平面34100,x y z -+-=且与直线13312x y z +-== 相交.解答：过点（－1，0，4）作一平面，使它平行于平面34100x y z -+-=，得3410x y z -+-=， 由于所求直线与已知直线13312x y z+-== 相交，将已知直线方程化为参数方程3132x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩，代入平面方程3410x y z -+-=，得交点413732(,,)777，此为所求直线上另一点，过两点作出直线1448374x y z +-==，即为所求. 所属章节：第七章第七节 难度：三级54．求两异面直线11112x y z +-==和12134x y z +-==之间的距离. 解答：分别在两条已知直线上任取一点，如取(1,0,1),(0,1,2)P Q --，连接两点得向量{}1,1,1PQ →=-，作与两条已知直线都垂直的向量{}{}{}1,1,21,3,42,2,2s =⨯=--，则所求距离为Pr 312s PQ s d oj PQ s→→⋅====. 所属章节：第七章第七节 难度：三级55．一直线通过点（1，2，1）并与2xy z ==-相交，且垂直于直线11,321x y z -+==求它的方程. 解答：过已知点(1,2,1)P 作垂直于已知直线11321x y z -+==的平面，得:3280x y z π++-=，它与已知直线2x y z ==-交于点1688(,,)777Q -，连接,P Q ，即得所求直线121325x y z ---==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级56．求通过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩且平行于直线x y z ==的平面方程.解答：过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩的平面束为(2)0x y x y z λ++-+-=，即(1)(1)20x y z λλλλ++-+-=，由于它与直线x y z ==平行，故(1)(1)0λλλ++-+=，解得2λ=-，于是所求平面方程为3240x y z -+-=.所属章节：第七章第七节 难度：二级57．求通过直线240,3290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩且垂直于平面41x y z -+=的平面方程.解答：过直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束为24(329)0x y z x y z λ-++---=，即(23)(4)(12)90x y z λλλλ++--+--=，由于它垂直于平面41x y z -+=，故两者的法向量平行，解得1311λ=-，代回平面束方程，即得所求平面方程1731371170x y z +--=. 所属章节：第七章第七节 难度：二级58．过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线，作两个互相垂直的平面，且使其中一个平面通过点A （0，1，－1）.解答：过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线的平面束方程为(2)0x y z x y z λ+-+++=，即(1)(12)(1)0x y z λλλ++++-+=，由于其中一个平面经过点(0,1,1)A -，将此点坐标代入平面束方程，得2λ=-，得到一个平面330x y z ++=，由于平面束中的另一个平面与上面平面垂直，利用法向量垂直，解得98110x y z +-=. 所属章节：第七章第七节 难度：三级。

第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。

第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）：已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。

.{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321同时垂直的单位向量求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ..,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36（C）4X2-9(y2+z2)=36; (D) 4x2-9y2=36.答：（）2. 方程y2+z2-4x+8=0表示：（A）单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。

第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A5 B 3 C6 D 92. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ）A2π B 4π C 3πD π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A2π B 4π C 3πD π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ）A 138B 118C 158D 17. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ⨯rr 是：（ D ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A2 B 364 C 32D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D 01=-+y x ．10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；A -+a b =a b ；B =a b ；C 0⋅a b =；D ⨯a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ）A a b a b +=+B a b a b -=-C +=-a b a bD +=-a b a b 12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）； A53； B 5； C 3； D ． 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 （B ） A6π； B 3π； C 4π； D 2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 （A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．15、向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.A a rj P b a ；B ⋅a rj P a b ；C a rj P a b ；D b rj P a b ． 16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ． 17、设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件． 18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）． A 7 B 7j C –1； D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示 （ B ）.A 椭球面；B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影. 20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为 012xy z==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴； C 过原点且垂直于z 轴； D 过原点且平行于x 轴.22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x tx y z x y z L L y t L x y z z t=⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.23、直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D )． A 1； B1+ C 2； D.25、下列等式中正确的是( C )．A +=i j k ；B ⋅=i j k ；C ⋅=⋅i i j j ；D ⨯=⋅i i i i ． 26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．A 2x z =； B 20y zx ⎧=-⎪⎨=⎪⎩； C2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩； D 20x zy ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 二、计算题1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。