2013届高三数学一轮复习基础训练系列卷(及答案) (4)

课时知能训练一、选择题1．对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D3．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上4．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题6．若AB →＝3e 1，CD →＝－5e 1，且AD →与CB →的模相等，则四边形ABCD 是__________．7．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线． 8．如图4－1－3，在△ABC 中，图4－1－3点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 三、解答题图4－1－49．(2012·肇庆质检)如图4－1－4所示，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN上的一点，若AP→＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．10．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．答案及解析1．【解析】 由a ＋b ＝0知道a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立．由a ∥b 知a ＝λb ，λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立． 【答案】 A2．【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →⇒BD →∥AB →⇒A 、B 、D 三点共线． 【答案】 B3．【解析】 ∵CB →＝CP →＋PB →，又CB →＝λPA →＋PB →， ∴CP →＝λPA →，∴点P ∈AC . 【答案】 B4．【解析】 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°. 【答案】 B5．【解析】 ∵D 为AB 的中点， 则OD→＝12(OA →＋OB →)， 又OA→＋OB →＋2OC →＝0， ∴OD→＝－OC →，∴O 为CD 的中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC ＝4.【答案】 B6．【解析】 ∵AB →＝－35CD →，∴AB ∥CD ，且|AB |≠|CD |. 【答案】 等腰梯形7．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对． 对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB →与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②8．【解析】 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AO→＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2. 【答案】 29．【解】 如题图所示，AP →＝AB →＋BP →，∵P 为BN 上一点，则BP ＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) 又AN→＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811则m ＝1－k ＝311.10．【解】 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λAC →，∴OB→－OA →＝λ(OC →－OA →)， ∴t b －a ＝λ[13(a ＋b )－a ]．化简整理得，(23λ－1)a ＝(13λ－t )b.∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理得λ＝32t ＝12. 故当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM→，AN →都是单位向量．∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形．∴AQ 平分∠BAC ，∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。

北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线192522=-y x 的渐近线方程为( )A ．3x ±4y =0B ． 4x ±3y =0C ． 3x ±5y =0D ．5x ±3y =0【答案】C2．在同一坐标系中，方程22221ax b y +=与20ax by +=（a ＞ｂ＞０）的曲线大致是( )【答案】D3．知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点),则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A4．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于( ) A ．3316 B ．)32(4- C ．)32(16+ D ． 16【答案】B5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】B6．已知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点),则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A7．经过原点且与抛物线23(1)4y x =+-只有一个公共点的直线有多少条？( ) A ． 0 B ． 1C ． 2D ． 3【答案】D8．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的一点，并且P 点与右焦点'F 的连线垂直x 轴，则线段OP 的长为( )A ．313B ．339C ．37D ．321【答案】A9．若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，线段1F 2F 被抛物线22y bx=的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98B C D 【答案】C10．已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b +=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( ) A ． 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B ． 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ． K ⎡∈⎢⎣D ． 2,,K ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎭【答案】A11．若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ． 2<k<5B ． k>5C ． k<2或k>5D ． 以上答案均不对【答案】C12．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为( )A ． -4B ． 4C ． -2D ． 2【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知P 为椭圆221259x y += 上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________; 【答案】914．已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b 上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿PF 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于 【答案】27 15．抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。

阶段知能检测(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·辽宁高考)i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i2．设i ，j 是不共线的单位向量，a ＝5i ＋3j ，b ＝3i －5j ，则a ⊥b 是i ⊥j 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．(2011·浙江高考)若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )·z ＝( )A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．34．(2012·江门模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形5．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．126．(2011·课标全国卷)复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i 7．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向8．(2011·课标全国卷)a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16659．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP→|＋MN →·NP→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x10．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知点P (θ，sin θ)，m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，满足OQ →＝m ⊗OP→＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2,4πC.12，4πD.12，π 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.12．(2011·广东高考改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 是虚数单位，则z ＝________.13．|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角是________．14．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )．试求a 的取值范围．16．(本小题满分13分)已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin(α＋π4)的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．17．(本小题满分13分)已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos 2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，定义f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈(0,2π)，当OP →·OQ →＜－1时，求x 的取值范围．18．(本小题满分14分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(其中a ∈R )，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．19．(本小题满分14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积． 20．(本小题满分14分)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使NM →·NP →，PM →·PN→，MP →·MN→成公差为非负的等差数列． (1)求点P 的轨迹方程；(2)若θ为PM →与PN →的夹角，求θ的最大值及此时点P 的坐标．答案及解析1．【解析】 原式＝－i ＋i ＋(－i)＋i ＝0.【答案】 A2．【解析】 a ·b ＝(5i ＋3j )·(3i －5j )＝15|i |2－16i ·j －15|j |2＝－16i ·j .∴a ⊥b 是i ⊥j 的充要条件．【答案】 C3．【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴(1＋z )·z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【答案】 A4．【解析】 由AB→＋CD →＝0知，AB →＝DC →， ∴四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC→＝0， ∴DB →·AC→＝0，即AC ⊥BD ， 因此四边形ABCD 是菱形．【答案】 B5．【解析】 ∵|a |＝2，且|b |＝1，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a ＋2b |＝2 3.【答案】 B6．【解析】 ∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2＋i ＋4i －25＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 【答案】 C7．【解析】 ∵c ∥d 且a ，b 不共线，∴存在唯一实数λ，使c ＝λd . ∴k a ＋b ＝λa －λb ，∴⎩⎨⎧ k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎨⎧k ＝－1，λ＝－1.【答案】 D8．【解析】 ∵a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(3,18)－2(4,3)＝(－5,12)，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝(4，3)·(－5，12)5×13＝1665【答案】 C9．【解析】 ∵MN→＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )， ∴|MN →|·|MP →|＋MN →·NP→ ＝4·(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0. 整理，得(x ＋2)2＋y 2＝2－x ，化简得y 2＝－8x .【答案】 B10．【解析】 设点Q (x ，y )，由OQ →＝m ⊗OP →＋n ，得OQ →＝(2θ，12sin θ)＋(π3，0)＝(2θ＋π312sin θ)， ∴x ＝2θ＋π3，且y ＝12sin θ， 消去θ，得y ＝12sin(x 2－π6)， 依题意f (x )＝12sin(x 2－π6)， 因此A ＝12，最小正周期T ＝4π. 【答案】 C11．【解析】 由(8a －b )·c ＝30，得18＋3x ＝30，x ＝4.【答案】 412．【解析】 z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )1－i. 【答案】 1－i13．【解析】 设向量a 与b 的夹角为θ，由a ⊥(a －b )，得 a ·(a －b )＝0，即|a |2－a ·b ＝0，∴|a ||b |cos θ＝|a |2，∴cos θ＝|a ||b |＝22，故θ＝π4.【答案】 π414．【解析】 如图所示，由AB →＝DC →＝(1,1)知AB 綊DC .又1|BA →|→＋1|BC →|→＝3|BD →|BD →， 知四边形ABCD 为菱形，且AB ＝AD ＝2，又∵(1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →)2＝3， ∴∠ABC ＝60°.∴S 四边形ABCD ＝2×2×32＝ 3. 【答案】 3 15．【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由(1)得x ＜0，y ＞0.由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.由复数相等，得⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a .解得－6≤a ＜0. 因此实数a 的取值范围是－6≤a ＜0.16．【解】 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC→＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， 得cos 2α＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴cos α＋sin α＝23∴sin(α＋π4)＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C (12，32)， ∴OB →·OC →＝332， 设OB→与OC →的夹角为θ，且θ∈[0，π]， 则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC→|3323＝32.故θ＝π6为所求． 17．【解】 (1)f (x )＝OP →·OQ→ ＝2cos 2x ＋cos x －cos 2x ＋sin x －1＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)， 则f (x )的最小正周期为T ＝2π.(2)由OP →·OQ →＜－1，得sin(x ＋π4)＜－22. 又x ∈(0,2π)，则5π4＜x ＋π4＜7π4，即π＜x ＜3π2. 故x 的取值范围是(π，3π2)． 18．【解】 依题意z 1＋z 2为实数，由z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ， ∴z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0， ∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5，或a ＝3.又分母不为零，∴a ＝3，此时z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ， 即OZ 1→＝(38，1)，OZ 2→＝(－1,1)， ∴OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋1×1＝58. 19．【解】 (1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，由正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S ＝12ab sin C ＝124×sin π3＝ 3. 20．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，又M (－1,0)，N (1,0)， 则PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)． ∴NM →·NP→＝2(1－x )， PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，MP →·MN→＝2(1＋x )， 依题意得⎩⎨⎧ 2(x 2＋y 2－1)＝2(1＋x )＋2(1－x )，2(1＋x )－2(1－x )≥0⇔⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x ≥0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x ≥0)．(2)∵PM →·PN →＝(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1＝2，|PM →|·|PN→|＝(－1－x )2＋(－y )2·(1－x )2＋(－y )2 ＝24－x 2.∴cos θ＝PM →·PN →|PM →|·|PN →|＝14－x 2. ∵0≤x ≤3，∴12≤cos θ≤1，∴0≤θ≤π3. ∴θ的最大值为π3，此时x ＝0，∴点P的坐标为(0，±3)．。

45分钟滚动基础训练卷（^一）［考查范围：第36讲〜第39讲分值：100分］一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置）1•已知圆锥的母线长为2,高为书，则该圆锥的侧面积是_____________ .2.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平条件.图G11 — 17 .平面a的斜线AB交a于点B ,过定点A的动直线I与AB垂直，且交a于点C,则动点C的轨迹是_________________ .&如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .二、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9. ［2012徐州一调］如图G11 —2,在四棱锥P —ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O, PA丄平面ABCD , E是棱PB的中点.求证：（1）EO //平面PCD;（2）平面PBD丄平面FAC.面上”的3.已知正方体外接球的体积是4•对于任意的直线I与平面行”或“垂直”5. m ,①m± a,a,）.n是空间两条不同的直线,n //②m± n,③m± n,④m± a,其中真命题的编a/a//m//3 a/ 3? m±n ；3 m 丄a?3 m // a? n , a//3?p.曰号疋n//n丄n3；3;3232 n ,那么正方体的棱长等于 ,在平面a内必有直线m,使m与la, 3是两个不同的平面，下面有四个命题:6•如图G11 —1, 一个由卡片折叠而成的直三棱柱AC = 5 , AA1= 3,且平面ACC1A1没有封口，一只蚂蚁从则最短距离为___________ .（填写“平（写出所有真命题的编号）ABC —A i B i C i 中，AB = 1, BC = 2,A点出发沿着表面爬行到C i点,10. [2012惠州调研]如图G11 —3的几何体中，AB丄平面ACD , DE丄平面ACD , △ ACD为等边三角形，AD = DE = 2AB, F为CD的中点.(1)求证：AF //平面BCE ;⑵求证：平面BCE丄平面CDE.11.如图G11 —4,在四棱锥P —ABCD 中，AB // CD , CD = 2AB, E 为PC 的中点.(1)求BE //平面PAD ;⑵若AB丄平面PAD，平面PBA丄平面PBD，求证：PA丄PD. C图G11 —412. [2012扬州调研]如图G11 —5是一个储油罐，它的下部是圆柱，上部是半球，半球的半径等于圆柱底面的半径.(1)若圆柱的底面直径和高都是 6 m，求此储油罐的容积和表面积；⑵若容积一定，当圆柱的高与底的半径的比是多少时，制造这种储油罐的成本最低(即此几何体的表面积最小)?图G11 — 545分钟滚动基础训练卷（^一）1.2 n ［解析］底面半径为7口 = 1,则展开图扇形的弧长为2n半径为2，所以侧面积为2 n.2.充分不必要［解析］充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：⑴第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；（2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在惟一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”.3•響［解析］正方体外接球的体积是则外接球的半径R= 2,正方体的体对角线3 3的长为4，棱长等于坪.34 .垂直［解析］对于任意的直线I与平面a,若I在平面a内，则存在直线m丄I ;若I 不在平面a 内，且I丄a,则平面a内任意一条直线都垂直于I，若I不在平面a内，且I于a 不垂直，则它的射影在平面a内为一条直线，在平面a内必有直线m垂直于它的射影，则m与I垂直.5. ①④［解析］四个命题：①为真命题；②为假命题；③为假命题；④为真命题，所以真命题的编号是①④•6. 3 .2 ［解析］本题由于没有说明沿着哪两个表面爬行，故需要分类讨论，分别求出各种情况的最小值后，再进行大小比较.若先沿着平面ABC爬行到BC,再沿着平面BCC I B I 爬行到C i，故将底面和侧面展开得：此时：AM + MC i> AC i= 16+ 4 = 2 . 5.若先沿着平面ABB i A i爬行到A i B i,在沿着平面A i B i C i爬行到C i，将侧面和底面展开得：此时：AM + MC i> AC i= , 26.若先沿A i ABB i爬行到BB i，再爬行到C i，可得AC i最小为3.2,故比较三个值可得，蚂蚁爬行的最短距离为32.7. —条直线［解析］设I与I'是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直于这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直的所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面a的交线上.& 36 ［解析］正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成I2个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.9. ［解答］证明：（I）因为ABCD是菱形，AC A BD = O ,所以O是BD的中点.又E是PB的中点，所以EO // PD.因为EO?平面PCD, PD?平面PCD ,所以EO //平面PCD.⑵因为PA丄平面ABCD , BD?平面ABCD , 所以BD丄PA.因为ABCD是菱形，所以BD丄AC,因为PA A AC = A，所以BD丄平面FAC.又因为BD?平面PBD,所以平面PBD丄平面FAC.10. ［解答］证明：⑴取CE的中点G,连接FG、BG. 1••• F 为CD 的中点，••• GF // DE 且GF = *DE.T AB丄平面ACD , DE丄平面ACD,• AB / DE ,• GF // AB.1又AB= 2DE ,• GF = AB,•四边形GFAB为平行四边形，则AF // BG.•/ AF?平面BCE, BG?平面BCE ,• AF //平面BCE.⑵•••△ ACD为等边三角形，F为CD的中点,• AF丄CD.•/ DE 丄平面ACD , AF?平面ACD , • DE 丄AF.又CD A DE = D , • AF 丄平面CDE.•/ BG // AF , • BG 丄平面CDE.•/ BG?平面BCE ,•平面BCE丄平面CDE.11. ［解答］证明：(1)(思路1:转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF，其中F 为PD的中点)取PD中点F，连接AF、EF，贝U EF PCD的中位线，1• EF // CD 且EF = 2CD.1 又••• AB / CD 且 AB = 2CD , • EF // AB 且 EF = AB , •四边形ABEF 为平行四边形，• BE / AF.•/ BE?面 PAD , AF?面 PAD ,• BE /面 PAD.偲路2:转化为线线平行，延长 DA 、CB ,交于点F ，连接PF ，易知BE / PF)偲路3:转化为面面平行，取 CD 中点F ，易证平面BEF /平面PAD)(2)在平面 PBA 内作 AH 丄PB 于H ,•••平面PBA 丄平面 PBD 且平面PBA A 平面 PBD = PB ,「. AH 丄平面 PBD.• AH 丄 PD.又T AB 丄平面 PAD , • AB 丄 PD.•••AB A AH = A ,「. PD 丄平面 PBA , • PA 丄 PD.12. ［解答］设圆柱的底面半径为r ，高为h ,2(1) T V 半球=3 n 3= 18 n, V 圆柱=n 1 2h = 54 n•容积 V = V 半球+ V 圆柱=72 u(m 3),T S 半球=2 n 2= 18 n , S 圆柱侧=2 Tf h = 36 n ,S 圆柱底=n 2 = 9 n•表面积S = S 半球 + S 圆柱侧 + S 圆柱底 =63 7t(m 2)；2 3 2 3 2V-/ (2) •/ V = V 半球 + V 圆柱=§n 3+ n 2h ,「・ h =―，S= S 半球 + S 圆柱侧 + S 圆柱底=2 n 2 + 2 n h + n 2 2 3 V —三 n 3 2 c 3 小 2 2V 5 n 2 =2 n x 2— + 3 n 2= + , n 2 r 3 2V * 10 n ••• S' r 2 3 - 3V令S '= 0得r 3= 时表面积有最小值，5 n2 3 V — 3n V — 2 5— 2 1 =〒—3 = 3— 3 =1.即圆柱的高与底的半径的比为 1时，制造这种储油罐的成本最低.此时h =。

用心 爱心 专心12013高考数学一轮复习试题 5.3答案 一、选择题 D ．－781.解析： a ·(b ·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．答案： A2.解析： 设P 点坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)， BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴点P 坐标为(3,0)，故选C.答案： C3.解析： 对于A ，(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝0，则(a ＋b )⊥(a －b )，A 正确；对于B ， cos 〈a ，b 〉＝ab|a ||b |＝cos(α－β)，a 与b 的夹角等于α－β或β－α，则B 错误；对于C ，|a ＋b |＋|a －b |＝2＋2cos α－β＋2－2cos α－β， ∵－1＜cos(α－β)＜1，∴|a ＋b |＋|a －b |＞2，则C 正确； 对于D ，a 在a ＋b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，a ＋b 〉，b 在a ＋b 方向上的投影为 |b |·cos〈b ，a ＋b 〉，∵cos 〈a ，a ＋b 〉＝cos 〈b ，a ＋b 〉，则D 正确．故选B.答案： B4.解析： 由已知得|m |＝34，|n |＝5，m ·n ＝11， ∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n ＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m ·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38.答案： C5.解析： ∵|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－23，∴cos θ＝－232×2＝－32.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ×b |＝2×2×12＝2.故选B.答案： B6.解析： 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误； 若AB →·BC →＞0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误． 答案： C 二、填空题7.解析： ∵a ∥b ，∴x ＝4，∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，∴y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2.答案： 8 28.解析： 由AB →＋BC →＋CA →＝0可得(AB →＋BC →＋CA →)2＝0，∴9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0， AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.答案： －259.解析： 命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k ＝0，k ＝－3，故命 10.题②正确．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题③错 误．答案： ②三、解答题10.解析： (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b|b |＝1×2＋2×－222＋－22＝－222＝－22. 11.解析： (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.12.解析： (1)∵m ·n ＝1，即3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝1，即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

2013届高三数学一轮复习单元训练：数列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值（ ） A ． 130 B ． 260 C ． 156 D ． 1682．若{an }为等差数列，Sn 是其前n 项和，且S 11＝22π3，则tan a 6的值为( ) A ． 3 B ．－ 3C ．± 3D ．－33 3．数列2222222235721,,,,,122334(1)n n n ++的前n 项和是（ ） A ．211n - B ．211n + C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 4．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－155．等比数列{}n a 中，15252||1,8,,a a a a a ==->则n a =（ ） A ．1(2)n -- B ．1(2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n-- 6．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．297．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知2553,9,a a S ==则等于 ( ）A ．15B ．20C ．25D ．308．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1109．等差数列}{n a 的公差不为零，首项1a =1，2a 是1a 和5a 等比中项，则数列}{na 的前10 项之和是（ ）A ．90B ． 100C ． 145D ． 19010．数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第2010项为 ( ）A ．10012B ．201012 C ．12010 D ．110011．设{}n a ，{}n b 均为正项等比数列，将它们的前n 项之积分别记为n A ，n B ，若22n n n n A B -=，则55a b 的值为 ( ） A ．32 B ．64 C ．256 D ．51212．在等差数列{}n a 中，已知854=+a a ，则8S 等于（ ） A ．8 B ．16 C ．24D ．32 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列{a n }的首项a 1≠0，其前n 项的和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋a 1，则a n S n ＝________.14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是_______.15．设)N (3*∈=-n a n n ，则数列}{n a 的各项和为 ．16．已知数列{}n a 中，1n 1n 211a ,a a ,24n 1+==+-则n a =_____________。

课时知能训练一、选择题1．(2011·福建高考)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.2i∈S2．a为正实数，i为虚数单位，|a＋ii|＝2，则a＝()A．2 B. 3 C. 2 D．13．(2011·天津高考)设i是虚数单位，复数1－3i1－i＝()A．2＋i B．2－iC．－1＋2i D．－1－2i4．已知i是虚数单位，若实数x，y满足(1＋i)(x＋y i)＝(1－i)(2＋3i)，则点P(x，y)所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．(2012·中山模拟)已知复数z1＝cos 23°＋isin 23°和复数z2＝cos 37°＋isin 37°，则z1·z2为()A.12＋32i B.32＋12iC.12－32i D.32－12i二、填空题6．(2011·江苏高考)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．7．在复平面内，复数2i1－i对应的点的坐标为________．8．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________.三、解答题9．计算(1)(1＋i 1－i )4＋2－i ；(2)(1＋2i )23－4i. 10．已知复数z 1满足(z 1－2)i ＝1＋i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．答案及解析1．【解析】 因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∉S ，2i＝－2i ∉S . 【答案】 B2．【解析】 |a ＋i i|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3. 又a ＞0，∴a ＝ 3.【答案】 B3．【解析】1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4－2i 2＝2－i. 【答案】 B4．【解析】 由条件，得(x －y )＋(x ＋y )i ＝5＋i ，根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧x －y ＝5，x ＋y ＝1，解之得x ＝3，y ＝－2.∴点P (3，－2)，在第四象限．【答案】 D5．【解析】 z 1·z 2＝(cos 23°＋isin 23°)(cos 37°＋isin 37°)＝(cos 23°cos 37°－sin 23°sin 37°)＋i(cos 23°sin 37°＋sin 23°cos 37°)＝cos 60°＋isin 60°＝12＋32i.【答案】 A6．【解析】 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ， 得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.【答案】 17．【解析】 ∵2i 1－i ＝2i (1＋i )2i ＋i 2＝－1＋i ， ∴复数2i 1－i对应的点的坐标为(－1,1)． 【答案】 (－1,1)8．【解析】 z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－i.∴z ＝i. 【答案】 i9．【解】 (1)∵1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ， ∴(1＋i 1－i)4＝i 4＝1. 因此(1＋i 1－i)4＋2－i ＝3－i ， (2)原式＝1－4＋4i 3－4i ＝－3＋4i 3－4i ＝－(3－4i )3－4i＝－1. 10．【解】 由(z 1－2)i ＝1＋i ，得z 1＝1＋i i＋2＝(1＋i)(－i)＋2＝3－i. ∵z 2的虚部为2.∴可设z 2＝a ＋2i(a ∈R )．则z 1·z 2＝(3－i)(a ＋2i)＝(3a ＋2)＋(6－a )i 为实数， ∴6－a ＝0，即a ＝6，因此z 2＝6＋2i.11．【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧ 12＋4a －a 2＞0，8(a －2)＞0，解得2＜a ＜6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．。

2013届高考理科数学复习演练系列试题（附答案）A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0解析对于A，当x0＝1时，lgx0＝0正确；对于B，当x0＝π4时，tanx0＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．答案C2．(2012•杭州高级中学月考)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是()．A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞0解析根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x0＞0，x20＋x0≤0.答案B3．(★)(2012•郑州外国语中学月考)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是()．A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0解析(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案C4．(2012•合肥质检)已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p 是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为()．A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6C．－1≤a≤6D．－1＜a＜6解析解不等式可得p：－4＋a＜x＜4＋a，q：2＜x＜3，因此綈p：x≤－4＋a或x≥4＋a，綈q：x≤2或x≥3，于是由綈p是綈q的充分不必要条件，可知2≥－4＋a且4＋a≥3，解得－1≤a≤6.答案C5．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()．A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012•西安模拟)若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.答案－22≤a≤227．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________．解析因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，x－2x－3＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由x＞1或x＜－3，x≥3或x≤2，得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)．答案(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)8．(2012•南京五校联考)令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵对∀x∈R，p(x)是真命题．∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则a＞0，Δ＝4－4a2＜0，∴a＞1.答案a＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p：∀x∈1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．解由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．p：x2≥a在1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.由a≤1，a≥1或a≤－2得a＝1或a≤－2∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：∃x0∈R，|x0|＞0.解(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列命题错误的是()．A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案C2．(★)(2011•广东广雅中学模拟)已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()．A．1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．－1,1]解析(直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.答案A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“∃x0∈R，x0≤1或x20＞4”的否定是______________．解析已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案∀x∈R，x＞1且x2≤44．(2012•太原十校联考)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋152a＞0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×152a＜0，解得a＞56，即实数a的取值范围为56，＋∞.答案56，＋∞三、解答题(共22分)5．(10分)已知两个命题r(x)：sinx＋cosx＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．解∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥－2，∴当r(x)是真命题时，m＜－2.又∵对∀x∈R，当s(x)为真命题时，即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2.当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2＜m＜2，即－2≤m＜2.综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m＜2.6．(12分)已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x＞1c恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．解由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋1x≤52要使此式恒成立，则2＞1c，即c＞12.又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤12.当p为假，q为真时，c≥1.综上，c的取值范围为c0＜c≤12或c≥1.。

2013年高三理科数学复习试卷及答案4时间:120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把正确答案写在答题卷相应的位置上）1．已知i 为虚数单位，则2(1)i +的模为A ．1BC ．2D ．42．若集合{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =>，则A B ⋂为A ．{|02}x x <<B ．{}|12x x <<C ．{}|2x x >D ．{}|1x x >3.计箅的结果等于 A.B.C.D.4．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =A ．12 B ．1 C ．2 D ．145.已知A 是三角形ABC 的内角，则“1cos 2A =”是“23sin =A ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知等差数列{}n a 满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．117.已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥8. 设函数则的值为A. 15B. 16C. -5D. -159．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++的值，则在判断框中应填写A ．19i ≤B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤10．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 A ．1- B ．0 C ．3 D ．411.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是A.y ＝2x －2B.y ＝(12)xC.y ＝log 2xD.y ＝12(x 2－1)12．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内（含边界）运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

45分钟滚动基础训练卷(四)[考查范围：第13讲～第16讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．函数f (x )＝e xcos x ，则f ′(1)＝________.2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的极大值为________．3．[2011·广东卷] 函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 4．面积为S 的一个矩形，其周长最小时的边长是________．5．若0<x <π2，则2x 与3sin x 的大小关系为________．(填序号)(1)2x >3sin x ；(2)2x <3sin x ；(3)2x ＝3sin x ；(4)与x 的取值有关．6．[2012·南通模拟] 已知函数f (x )的自变量取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[2，＋∞)，则m 的值为________．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图G4－1所示，则函数f (x )的极小值是________．8．[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．设a >0，f (x )＝xx －a，g (x )＝e xf (x )(其中e 是自然对数的底数)，若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线，求公切线方程．10．[2011·安徽卷] 设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．11．[2011·北京东城区一模] 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x e x －2e.(1)求函数f (x )在区间[1,3]上的最小值；(2)证明：对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有f (m )≥g (n )成立．12．[2011·淮安四模] 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器次品率P 与日产量x (件)之间大体满足关系：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧196－x 1≤x ≤c ，23x >c(x ∈N,1≤c <96)．注：次品率P ＝次品数生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品，其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损A2元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)当日产量x 为多少时，可获得最大利润？45分钟滚动基础训练卷(四)1．e(cos1－sin1) [解析] ∵f ′(x )＝e x(cos x －sin x )， ∴f ′(1)＝e(cos1－sin1)．2．5 [解析] 令y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当－2<x <－1时，y ′>0；当－1<x <2时，y ′<0.故当x ＝－1时，y 极大值＝5.3．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．4.S ，S [解析] 设矩形一边长为x ，则另一边长为S x，∴周长l (x )＝2x ＋2S x ，∴l ′(x )＝2－2Sx2.由l ′(x )＝0，得x ＝S .∵当x ∈(0，S )时，l ′(x )<0；当x ∈(S ，＋∞)时，l ′(x )>0，∴函数l (x )在(0，S )上递减，在(S ，＋∞)上递增．∴l (x )min ＝4S ，此时x ＝S ，另一边长为SS＝S .5．(4) [解析] 令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x ，当cos x <23时，f ′(x )>0；当cos x ＝23时，f ′(x )＝0；当cos x >23时，f ′(x )<0，即当0<x <π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0，故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与3sin x 的大小关系与x 的取值有关．6．ln2 [解析] g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x ≥2时，函数g (x )为增函数，因此g (x )的值域为[2＋m －ln2，＋∞)，因此2＋m －ln2＝2，故m ＝ln2.7．c [解析] 由f ′(x )的图象知：x ＝0时f (x )的极小值点，所以f (x )的极小值为f (0)＝c . 8.12⎝⎛⎭⎪⎫e ＋1e [解析] 设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋x 0e x 02.令y ＝－x e x ＋2e x ＋x e x 2，则y ′＝－e xx －1＋x －1ex2，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0；当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0.故当x ＝1时该函数的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ，即为t 的最大值． 9．[解答] f ′(x )＝－a x －a 2，g ′(x )＝e x[f (x )＋f ′(x )]＝x 2－ax －a e x x －a 2.f ′(0)＝－1a ，g ′(0)＝－1a.又f (0)＝0，g (0)＝f (0)＝0.所以，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线y ＝－x a.10．[解答] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①可知x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 极大值 极小值所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.11．[解答] (1)由f (x )＝x ln x ，可得f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1,3]上的最小值为0.(2)证明：由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))在x ＝1e时取得最小值，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，可知f (m )≥－1e . 由g (x )＝x e x －2e ，可得g ′(x )＝1－xex .所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．所以函数g (x )(x >0)在x ＝1时取得最大值，又g (1)＝－1e ，可知g (n )≤－1e，所以对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有f (m )≥g (n )成立．12．[解答] (1)当x >c 时，P ＝23，所以每天的盈利额T ＝13xA －23x ·A2＝0.当1≤x ≤c 时，P ＝196－x ，所以每天生产的合格仪器有⎝ ⎛⎭⎪⎫1－196－x x 件，次品有⎝ ⎛⎭⎪⎫196－x x 件，故每天的盈利额T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－196－x xA －⎝ ⎛⎭⎪⎫196－x x ·A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －3x 296－x A ，综上，日盈利额T (元)与日产量x (件)的函数关系为：T ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －3x 2()96－x A 1≤x ≤c ，0x >c(n ∈N,1≤c <96)．(2)由(1)知，当x >c 时，每天的盈利额为0；当1≤x ≤c 时，T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －3x 296－x A ，T ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－396－x ＋3x 296－x 2A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14496－x 2A ， 令T ′>0，得1≤x <84或x >108，因为c ＜96，故x ∈[1,84)时，T (x )为增函数． 令T ′<0，得84<x <96，故x ∈(84,96)时，T (x )为减函数．所以，当84≤c <96时，T max ＝1472A (此时x ＝84)；当1≤c <84时，T max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫189c －2c 2192－2c A (此时x ＝c )． 综上，若84≤c <96，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若1≤c <84，则当日产量为c 时，可获得最大利润．。

《选考内容》2013年高三数学一轮复习单元训练（某校）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设a>0，不等式|ax+b|<c的解集是{x|−2<x<1}，则a:b:c等于（）A.1:2:3B.2:1:3C.3:1:2D.3:2:12. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=()A.30∘B.45∘C.60∘D.67.5∘3. 圆内接三角形ABC角平分线CE延长后交外接圆于F，若FB=2，EF=1，则CE=()A.3B.2C.4D.14. 如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A.6√2B.9−√2C.√7D.25−3√25. 如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对6. 不等式|x−1|+|x−2|≥5的解集为（）A.﹛x|x≤−1或x≥4﹜B.﹛x|x≤1或x≥2﹜C.﹛x|x≤1﹜D.﹛x|x≥2﹜7. 圆ρ=√2(cosθ+sinθ)的圆心的极坐标是（）A.(1, π4) B.(12, π4) C.(√2, π4) D.(2, π4)8. 设函数f(x)=|2x+1|−|x−4|．则不等式f(x)>2的解集是（）A.{x|−7<x<53} B.{x|x<−7，或x>53}C.{x|x<−7, 或x≥4}D.{x|x≤−12，或x>53}9. 已知a1>a2>a3>0，则使得(1−a i x)2<1(i=1, 2, 3)都成立的x的取值范围是()A.(0,1a1) B.(0,2a1) C.(0,1a3) D.(0,2a3)10. 若关于x的不等式|x+1|−|x−2|<a2−4a有实数解，则实数a的取值范围为（）A.(−∞, 1)∪(3, +∞)B.(1, 3)C.(−∞, −3)∪(−1, +∞)D.(−3, −1)11. 已知x，y∈R且x2+y2=1，a，b∈R为常数，t=√a2x2+b2y2+√b2x2+a2y2则（）A.t有最大值也有最小值B.t有最大值无最小值C.t有最小值无最大值D.t既无最大值也无最小值二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）在极坐标系xoy中，定点A(2, π)，动点B在直线ρsin(θ+π4)=√22上运动，则线段AB的最短长度为________．（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为(2√2, π4)，直线l过点A且与极轴垂直，则直线l的极坐标方程为________．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l：{x=−4+ty=3+t(t为参数)与圆C：{x=−1+2cosθy=2+2sinθ（θ为参数），则直线与圆的公共点个数为________个．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π3)，(4, π6)，则△AOB（其中O为极点）的面积为________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）选修4−5：不等式选讲设f(x)=|x+1|−|x−2|．（1）若不等式f(x)≤a的解集为(−∞,12]．求a的值；（2）若∃x∈R，f(x)+4m<m2，求m的取值范围．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD // AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF⋅EC．(I)求证：∠P=∠EDF；(II)求证：CE⋅EB=EF⋅EP．已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE＝1．(Ⅰ)求证：AC平分∠BAD；(Ⅱ)求BC的长．若a>0，使关于x的不等式|x−3|+|x−4|<a在R上的解集不是空集，设a的取值集合是A；若不等式|x|>bx(b∈R)的解集为(0, +∞)，设实数b的取值集合是B，试求当x∈A∪B时，f(x)=2|x+1|−|x−1|的值域．设函数f(x)=|2x−2|+|x+3|．（1）解不等式f(x)>6；（2）若关于x的不等式f(x)≤|2a−1|的解集不是空集，试求a的取值范围．（选做题）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=ty=1+2t（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．参考答案与试题解析《选考内容》2013年高三数学一轮复习单元训练（某校）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】 B【考点】 绝对值不等式 【解析】先利用绝对值不等式的解法表示出不等式|ax +b|<c 的解集，通过不等式解集与对应方程的根的关系，得出方程的根，然后根据韦达定理列出方程中的参数a ，b ，c 的关系式，即可求出a:b:c ． 【解答】解：∵ a >0，且|ax +b|<c 的解是：−2<x <1， ∴ −c <ax +b <c ⇒−c+b a<x <c−b a，则{−c+ba =−2c−b a =1⇒{c +b =2a c −b =a ⇒a ：b ：c =2：1：3故选B ．2.【答案】 D【考点】 圆周角定理 【解析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出． 【解答】解：∵ PD 切⊙O 于点C ，∴ OC ⊥CD ，在Rt △OCD 中，又CD =OC ，∴ ∠COD =45∘． ∵ OC =OA ，∴ ∠OCA =12×45∘=22.5∘．∴ ∠PCA =90∘−22.5∘=67.5∘． 故选D ． 3.【答案】 A 【考点】 与圆有关的比例线段 【解析】 由已知中圆内接三角形ABC 角平分线CE 延长后交外接圆于F ，则A 、F 、B 、C 四点共圆，由圆周角定理结合已知条件，易得△FCB ∽△FBE ，进而根据三角形相似的性质得到FE:FB =FB:FC ，最后由FB =2，EF =1，求出FC 的值，进而得到CE 的长． 【解答】解：由题意得：A 、F 、B 、C 四点共园， 根据圆周定理可得∠ABF =∠ACF ．又∵ CE 是角平分线，所以∠ACF =∠BCF ． ∴ △FCB ∽△FBE ， ∴ FE:FB =FB:FC ， ∵ FB =2，EF =1， ∴ FC =4，∴ CE =CF −FE =3． 故选A 4.【答案】 C【考点】圆内接多边形的性质与判定 【解析】利用圆的相交弦定理和垂径定理、勾股定理即可得出． 【解答】解：如图所示，设AC =x ，则BC =2x ．由相交弦定理可得：AC ×BC =DC ×CE ，∴ 2x 2=2×(2+3+3)，即x 2=8，x =2√2，∴ AB =3x =6√2． 过点O 作OF ⊥AB ，垂直为F ，则AF =FB =3√2． ∴ CF =32x −x =12x =√2，在Rt △OCF 中，OF =√32−(√2)2=√7．故选C ．5. 【答案】 C【考点】相似三角形的判定 【解析】 根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数． 【解答】 解：∵ ABCD 是平行四边形 ∴ AD // BC ，DC // AB ∴ △ADF ∽△EBA ∽△ECF 则图中共有相似三角形有三对，故选C．6.【答案】A【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】利用绝对值的意义，|x−1|+|x−2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x−1|+|x−2|=5的点的坐标为−1和4，从而得出结论．【解答】解：|x−1|+|x−2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x−1|+|x−2|=5的点的坐标为−1和4，故不等式|x−1|+|x−2|≥5的解集为﹛x|x≤−1或x≥4﹜，故选A．7.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】先在极坐标方程ρ=√2(cosθ+sinθ)的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换化成直角坐标方程求解即得．【解答】解：将方程ρ=√2(cosθ+sinθ)两边都乘以ρ得：ρ2=√2p cosθ+√2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2−√2x−√2y=0．圆心的坐标为(√22, √22)．化成极坐标为(1, π4)．故选C．8.【答案】B【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】根据绝对值的代数意义，去掉函数f(x)=|2x+1|−|x−4|中的绝对值符号，求解不等式f(x)>2，画出函数函数f(x)的图象，根据图象求得函数f(x)的最小值．【解答】解：∵函数f(x)=|2x+1|−|x−4|={−x−5,x<−123x−3,−12≤x≤4x+5,x>4故由不等式f(x)>2可得①{−x−5>2x<−12，或②{3x−3>2−12≤x≤4，或③{x+5>2x>4．解①可得x<−7；解②可得53<x≤4；解③可得x>4．综上可得，不等式f(x)>2的解集为{x|x<−7，或x>53}，故选B．9.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】先解出不等式(1−a i x)2<1的解集，再由a1>a2>a3>0确定x的范围．【解答】解：(1−a i x)2<1⇒a i2x2−2a i x<0⇒a i2x(x−2a i)<0，所以解集为(0,2a i)，又2a1<2a2<2a3，所以x的取值范围是(0,2a1).故选B．10.【答案】A【考点】绝对值三角不等式【解析】根据绝对值的几何意义，|x+1|−|x−2|表示数轴上的x对应点到−1表示的点的距离减去它到2表示的点的距离，最小值等于−3，故有a2−4a>−3，解出实数a的取值范围．【解答】|x+1|−|x−2|表示数轴上的x对应点到−1的距离减去它到2的距离，它的最大值为3，最小值等于−3，a2−4a>−3，a2−4a+3>0，∴a>3，或a<1，故实数a的取值范围为(−∞, 1)∪(3, +∞)，11.【答案】A【考点】基本不等式【解析】直接利用不等式x+y≤√2(x2+y2)可求出t的最大值，令m→=(ax, by)，n→=(bx, ay)，利用t=|m|→+|n|→≥|m→+n→|可求最小值．【解答】解：t =√a 2x 2+b 2y 2+√b 2x 2+a 2y 2≤√2(a 2x 2+b 2y 2+b 2x 2+a 2y 2)=√2(a 2+b 2) 当且仅当a 2x 2+b 2y 2=b 2x 2+a 2y 2时取等号 ∴ t 有最大值√2(a 2+b 2) 令m →=(ax, by)，n →=(bx, ay)则t =√a 2x 2+b 2y 2+√b 2x 2+a 2y 2=|m|→+|n|→≥|m →+n →|=√(ax +bx)2+(by +ay)2=|a +b| ∴ t 有最小值|a +b|∴ t 有最大值也有最小值 故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 【答案】3√22【考点】圆的极坐标方程 【解析】先利用三角函数的和角公式展开曲线C 的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得．将直线的极坐标方程化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出点到直线的距离，即线段AB 的最短长度． 【解答】解：直线ρsin (θ+π4)=√22的直角坐标方程为： x +y −1=0，定点A(2, π)的直角坐标(−2, 0)， 它到直线的距离： d =√2=3√22． 则线段AB 的最短长度为3√22． 故答案为：3√22． 【答案】 ρcos θ=2 【考点】圆的极坐标方程 【解析】如图所示，设B 为直线l 上的任意一点，在Rt △0BC 中，cos θ=2ρ，据此即可求出直线l 的方程． 【解答】解：如图所示，设B 为直线l 上的任意一点，在Rt △0BC 中，cos θ=2ρ，∴ ρcos θ=2，即为直线l 的极坐标方程．，【答案】【考点】参数方程与普通方程的互化 直线与圆的位置关系【解析】把直线的参数方程化为普通方程，把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离大于半径，从而得到直线和圆相离，从而得到答案． 【解答】解：直线l ：{x =−4+t y =3+t (t 为参数) 即x −y +7=0.圆C ：{x =−1+2cos θy =2+2sin θ 即(x +1)2+(y −2)2=4，表示圆心为(−1, 2)，半径等于2的圆． 圆心到直线的距离等于2=2√2，大于半径2，故直线和圆相离，从而可得直线和圆的公共点的个数为0，故答案为0． 【答案】 3【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】首先由极坐标与直角坐标系转换公式{ρ2=x 2+y 2x =ρcos θy =ρsin θ，把点A 、B 的极坐标转化为直角坐标，再在直角坐标系下求三角形的面积． 【解答】解：由极坐标与直角坐标系转换公式{ρ2=x 2+y 2x =ρcos θy =ρsin θ又A 、B 的极坐标分别为(3, π3)，(4, π6)， 可得到A ，B 的直角坐标分别为(32，3√32)，(4√32，2) O 的坐标不变，则可求的△AOB 的面积为 3．故答案为3．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【答案】解：（1）f(x)={−3,x <−12x −1,−1≤x ≤23,x ≥2，其图象如下：…当x =12时，f(x)=0．当x <12时，f(x)<0；当x >12时，f(x)>0．所以，a =0．…（2）不等式f(x)+4m <m 2，即f(x)<m 2−4m ．因为f(x)的最小值为−3，所以问题等价于−3<m 2−4m ． 解得m <1，或m >3．故m 的取值范围是(−∞, 1)∪(3, +∞)． … 【考点】带绝对值的函数绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）画出函数f(x)的图象，根据x =12时，f(x)=0；当x <12时，f(x)<0；当x >12时，f(x)>0，可得a的值．（2）不等式等价于f(x)<m 2−4m ，因为f(x)的最小值为−3，所以问题等价于−3<m 2−4m ，由此求得m 的取值范围． 【解答】解：（1）f(x)={−3,x <−12x −1,−1≤x ≤23,x ≥2，其图象如下：…当x =12时，f(x)=0．当x <12时，f(x)<0；当x >12时，f(x)>0．所以，a =0．…（2）不等式f(x)+4m <m 2，即f(x)<m 2−4m ．因为f(x)的最小值为−3，所以问题等价于−3<m 2−4m ． 解得m <1，或m >3．故m 的取值范围是(−∞, 1)∪(3, +∞)． …【答案】证明：(1)∵ DE 2=EF ⋅EC ， ∴ DE:CE =EF:ED ． ∵ ∠DEF 是公共角， ∴ △DEF ∽△CED ． ∴ ∠EDF =∠C ． ∵ CD // AP ， ∴ ∠C =∠P ． ∴ ∠P =∠EDF ．(2)∵ ∠P =∠EDF ，∠DEF =∠PEA ， ∴ △DEF ∽△PEA ． ∴ DE:PE =EF:EA ． 即EF ⋅EP =DE ⋅EA ．∵ 弦AD 、BC 相交于点E ， ∴ DE ⋅EA =CE ⋅EB ． ∴ CE ⋅EB =EF ⋅EP ． 【考点】与圆有关的比例线段 【解析】(1)根据所给的乘积式和对应角相等，得到两个三角形相似，由相似得到对应角相等，再根据两直线平行内错角相等，角进行等量代换，得到要证的结论．(2)根据第一问所得的结果和对顶角相等，得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应线段成比例，把比例式转化为乘积式，再根据相交弦定理得到比例式，等量代换得到结果． 【解答】证明：(1)∵ DE 2=EF ⋅EC ， ∴ DE:CE =EF:ED ． ∵ ∠DEF 是公共角， ∴ △DEF ∽△CED ． ∴ ∠EDF =∠C ． ∵ CD // AP ， ∴ ∠C =∠P ．∴ ∠P =∠EDF ．(2)∵ ∠P =∠EDF ，∠DEF =∠PEA ， ∴ △DEF ∽△PEA ． ∴ DE:PE =EF:EA ． 即EF ⋅EP =DE ⋅EA ．∵ 弦AD 、BC 相交于点E ， ∴ DE ⋅EA =CE ⋅EB ． ∴ CE ⋅EB =EF ⋅EP ． 【答案】（1）证明：连接OC ，因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠OCA ， 因为CD 为半圆的切线，所以OC ⊥CD ， 又因为AD ⊥CD ，所以OC // AD ，所以∠OCA ＝∠CAD ，∠OAC ＝∠CAD ，所以AC 平分∠BAD ．（2）由(Ⅰ)知BĈ=CE ̂，∴ BC ＝CE ， 连接CE ，因为ABCE 四点共圆，∠B ＝∠CED ，所以cos B ＝cos ∠CED ， 所以DECE=CB AB，所以BC ＝2．【考点】圆内接多边形的性质与判定 圆的切线的性质定理的证明【解析】(Ⅰ)连接OC ，因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠OCA ，再证明OC // AD ，即可证得AC 平分∠BAD ． (Ⅱ)由(Ⅰ)知BĈ=CE ̂，从而BC ＝CE ，利用ABCE 四点共圆，可得∠B ＝∠CED ，从而有DE CE=CB AB，故可求BC 的长．【解答】（1）证明：连接OC ，因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠OCA ， 因为CD 为半圆的切线，所以OC ⊥CD ， 又因为AD ⊥CD ，所以OC // AD ，所以∠OCA ＝∠CAD ，∠OAC ＝∠CAD ，所以AC 平分∠BAD ．（2）由(Ⅰ)知BĈ=CE ̂，∴ BC ＝CE ， 连接CE ，因为ABCE 四点共圆，∠B ＝∠CED ，所以cos B ＝cos ∠CED ， 所以DECE =CBAB ，所以BC ＝2．【答案】解：|x −3|+|x −4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和， 当x 在3、4之间时，这个距离和最小为是1，其它情况都大于1 所以|x −3|+|x −4|≥1如果使关于x 的不等式|x −3|+|x −4|<a 在R 上的解集不是空集，所以a >1， ∴ A ={a|a >1}；不等式|x|>bx(b ∈R)的解集为(0, +∞)，当x >0时，x −bx >0，即x(1−b)>0，∴ 1−b >0，∴ b <1； 当x <0时，−x −bx >0，即x(1+b)<0，∴ 1+b >0，∴ b >−1，∵ 不等式|x|>bx(b ∈R)的解集为(0, +∞)，说明x <0时x 无解，得b ≤−1， 综上：b <−1；B ={b|b ≤−1}∴ A ∪B ={a|a >1}∪{b|b ≤−1}； ∵ f(x)=2|x+1|−|x −1|，当x >1时，f(x)=2x+1−x +1，f(x)为单调增函数，f(x)>f(1)=4； 当x ≤−1时，f(x)=2−x−1+x −1，f′(x)=−ln 22+1<0，f(x)为减函数，f(x)≥f(−1)=−1；∴ 综上：当x >1时，f(x)>4；当x <−1时，f(x)≥−1； 【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数的值域及其求法【解析】利用不等式的性质对|x −3|+|x −4|进行放缩和分类讨论，求出|x −3|−|x −4|的最小值，即可求a 的取值集合，根据不等式|x|>bx ，分两种情况进行讨论，根据其解集为(0, +∞)，求出b 的范围，根据交集运算法则，求出A ∪B ，去掉绝对值求出f(x)的值域； 【解答】解：|x −3|+|x −4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和， 当x 在3、4之间时，这个距离和最小为是1，其它情况都大于1 所以|x −3|+|x −4|≥1如果使关于x 的不等式|x −3|+|x −4|<a 在R 上的解集不是空集，所以a >1， ∴ A ={a|a >1}；不等式|x|>bx(b ∈R)的解集为(0, +∞)，当x >0时，x −bx >0，即x(1−b)>0，∴ 1−b >0，∴ b <1； 当x <0时，−x −bx >0，即x(1+b)<0，∴ 1+b >0，∴ b >−1，∵ 不等式|x|>bx(b ∈R)的解集为(0, +∞)，说明x <0时x 无解，得b ≤−1， 综上：b <−1；B ={b|b ≤−1}∴ A ∪B ={a|a >1}∪{b|b ≤−1}； ∵ f(x)=2|x+1|−|x −1|，当x >1时，f(x)=2x+1−x +1，f(x)为单调增函数，f(x)>f(1)=4；当x ≤−1时，f(x)=2−x−1+x −1，f′(x)=−ln 22x+1+1<0，f(x)为减函数，f(x)≥f(−1)=−1；∴ 综上：当x >1时，f(x)>4；当x <−1时，f(x)≥−1； 【答案】解：（1）解：f(x)={−3x −1(x <−3)−x +5(−3≤x ≤1)3x +1(x >1)①由 {−3x −1>6x <−3，解得x <−3；②{−x +5>6−3≤x ≤1，解得−3≤x <−1；③{3x +1>6x >1，解得x >53；综上可知不等式的解集为{x|x >53或x <−1}．（2）因为f(x)=|2x −2|+|x +3|≥4，所以若f(x)≤|2a −1|的解集不是空集，则|2a −1|≥f(x)min =4， 解得：a ≥52或a ≤−32．．即a 的取值范围是：a ≥52或a ≤−32．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f(x)=|2x −2|+|x +3|中的绝对值符号，求解不等式f(x)>6， （2）把关于x 的不等式f(x)≤|2a −1|的解集不是空集，转化为关于x 的不等式f(x)≤|2a −1|的解集非空，求函数f(x)的最小值即可求得a 的取值范围． 【解答】解：（1）解：f(x)={−3x −1(x <−3)−x +5(−3≤x ≤1)3x +1(x >1)①由 {−3x −1>6x <−3，解得x <−3；②{−x +5>6−3≤x ≤1，解得−3≤x <−1；③{3x +1>6x >1，解得x >53；综上可知不等式的解集为{x|x >53或x <−1}．（2）因为f(x)=|2x −2|+|x +3|≥4，所以若f(x)≤|2a −1|的解集不是空集，则|2a −1|≥f(x)min =4， 解得：a ≥52或a ≤−32．．即a 的取值范围是：a ≥52或a ≤−32． 【答案】解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y =2x +1； 圆C 的方程 ρ=2√2(sin θ+π4)，即ρ=2(sin θ+cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ)，得⊙C 的直角坐标方程为：(x −1)2+(y −1)2=2， 圆心C 到直线l 的距离d =√22+12=2√55<√2，所以直线l 和⊙C 相交．【考点】直线的参数方程 圆的极坐标方程【解析】消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程，再求出⊙C 的直角坐标方程，求出圆心C 到直线l 的距离小于半径，可得直线l 和⊙C 相交． 【解答】解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y =2x +1； 圆C 的方程 ρ=2√2(sin θ+π4)，即ρ=2(sin θ+cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ)，得⊙C 的直角坐标方程为：(x −1)2+(y −1)2=2， 圆心C 到直线l 的距离d =22=2√55<√2，所以直线l 和⊙C 相交．。

《函数》假期作业一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1.已知集合A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |2x －1＞1}，则A ∩B ＝ ( ) A.{x |x ＞1} B.{x |x ＜3} C.{x |1＜x ＜3} D.∅2、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，在同一坐标系下，函数y ＝f(x)的图像与直线x ＝1的交点个数为( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个或1个均有可能 3设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．184.下列函数①y ＝|x|，x ∈(－3，2)，②y ＝x 2－，③y ＝，④y ＝中，偶函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,xy y x==B. 211,1y x x y x =-+=-C. 33,y x y x ==D. 2||,()y x y x == 6.函数f (x )＝ln x －1x 的零点所在的区间是 ( )A.(0,1)B.(1，e)C.(e,3)D.(3，＋∞) 7.已知f ＋1)＝x ＋1，则f(x)的解析式为（ ）A ．x2B ．x 2＋1(x ≥1) C ．x 2－2x ＋2(x ≥1) D ．x 2－2x(x ≥1)8.一等腰三角形的周长是20，底边y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ） A .y =20-2x (x ≤10) B .y =20-2x (x ＜10) C .y =20-2x (5≤x ≤10) D .y =20-2x (5＜x ＜10) 9.函数的递减区间是（ ）A ．(－3，－1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－3)D ．(－1，－∞)10.若函数f(x)＝是奇函数，则m 的值是（ ）A ．0B ．C ．1D ．211.已知f (x )＝314<1log 1.a a x a x x x -+⎧⎨⎩（），，≥是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0，13)C.[17，13)D.[17，1)12.定义在R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14x )＜0的x 的集合为( )A.(－∞，12)∪(2，＋∞)B.(12，1)∪(1,2)C.(12，1)∪(2，＋∞)D.(0，12)∪(2，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是________． 14、若30.530.5,3,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是15、函数()22231mm y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 .16.已知函数f (x )＝22log >0,1(0)xx x x -⎧⎪⎨-⎪⎩（）≤则不等式f (x )＞0的解集为 三、解答题(共5个大题，17,18各10分，19,20,21各12分，共56分)17、求下列表达式的值（1）;)(65312121132b a b a b a ⋅⋅⋅⋅--（a>0,b>0） （2）21lg 4932-34lg 8+lg 245.18、 求下列函数的值域：(1)y=x-x 21-; (2) y=521+-x x19．已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.20.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.21、已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围.《函数》假期作业1-5CBABC 6-10 BCDAD 11-12 CD13、23(,)3214、 b a c >> 15、 2 16、（-1，1）17、（1）原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a b aba b a b a（2）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.18.解：（1）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t -∴y=-21（t+1）2+1≤21（t≥0）,∴y∈（-∞，21］. （2） (分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}.19、解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 20、解 设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元， 进货总额为8（100-10x ）元， 显然100-10x ＞0,即x ＜10,则y =（10+x ）（100-10x ）-8(100-10x )=(2+x )(100-10x )=-10(x -4)2+360 (0≤x ＜10). 当x =4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元. 21、解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a-<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a-∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； （3）22a->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4 故－7≤a ＜－4 综上，得－7≤a ≤2。

课时知能训练一、选择题1．共点力f 1＝(lg 2，lg 2)，f 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体所做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．22．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( ) A ．一次函数且是奇函数 B ．一次函数但不是奇函数 C ．二次函数且是偶函数 D ．二次函数但不是偶函数3．若△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )A ．等边三角形B ．等腰非等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角非等腰三角形图4－4－34．(2012·梅州调研)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图4－4－3所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712π C.76π D.73π 5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6二、填空题6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b ＜0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于________．7．已知i ，j 分别是与x ，y 轴方向相同的单位向量，一动点P 与M (1,1)连结而成的向量与另一向量n ＝4i －6j 垂直，动点P 的轨迹方程是________．8．在△ABC 中，∠A ＝2π3，BC ＝3，向量m ＝(－13，cos B )， n ＝(1，tan B )，且m ⊥n ，则边AC 的长为________． 三、解答题9．求分别与向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)夹角相等，且模为2的向量c 的坐标．10．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB→＝1，求P 点的轨迹方程．11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a ，b 满足关系式|k a ＋b |＝3|a －k b |(k ＞0)．(1)求a 与b 的数量积用k 表示的解析式f (k )；(2)a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，说明理由；若能，则求出相应的k 的值；(3)求a 与b 的夹角的最大值．答案及解析1．【解析】 合力所做的功W ＝f ·s ＝(f 1＋f 2)·s ＝(lg 2＋lg 5，lg 2＋lg 2)·(2lg 5,1)＝2. 【答案】 D2．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，|a |≠|b |， ∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋x ·b 2－x ·a 2－a ·b ＝x (b 2－a 2)＝x (|b |2－|a |2)， ∴f (x )是奇函数，为一次函数． 【答案】 A3．【解析】 取边BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴2AD →·BC →＝0，∴AD ⊥BC ，∴AB ＝AC . 由A 、B 、C 成等差数列，得B ＝60°， 所以△ABC 是等边三角形． 【答案】 A4．【解析】 ∵T 4π3π12＝π4，∴T ＝π，∴M (π12，A )，N (7π12，－A )． 又OM →·ON →＝π12×7π12＋A ·(－A )＝0，∴A ＝712π.【答案】 B5．【解析】 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，知OA →⊥OB →，∴点O 到AB 的距离d ＝2， 即|－a |2＝2，解得a ＝±2. 【答案】 C6．【解析】 S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又a ·b ＜0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°. 【答案】 150°7．【解析】 设P (x ，y )，则PM →＝(1－x,1－y )．∵i ，j 分别是x ，y 轴上的单位向量， ∴n ＝(4，－6)． ∵PM →⊥n ，∴PM →·n ＝0，即4(1－x )－6(1－y )＝0，整理得2x －3y ＋1＝0.∴动点P 的轨迹方程为2x －3y ＋1＝0(x ≠1)． 【答案】 2x －3y ＋1＝0(x ≠1) 8．【解析】 ∵m ⊥n ，∴sin B ＝13，由正弦定理知3sin 23π＝ACsin B ，∴AC ＝3sin B sin 23π＝23. 【答案】 239．【解】 法一 设c ＝(x ，y )，则a ·c ＝3x －y ，b ·c ＝x ＋3y . 由〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉，得a ·c |a ||c |＝b ·c|b ||c |， ∴3x －y ＝x ＋3y ，即x ＝(2＋3)y .① 又|c |＝2，∴x 2＋y 2＝2.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12，y ＝3－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12，y ＝－3－12.∴c ＝(3＋12，3－12)或(－3＋12，－3－12)． 法二∵|a |＝|b |＝2，a ·b ＝0，∴△AOB 为等腰直角三角形，如图． ∵|OC 1→|＝2，∠AOC 1＝∠BOC 1，∴C 1为AB 的中点，∴C 1(3＋12，3－12)．同理可得C 2(－3＋12，－3－12)．∴c ＝(3＋12，3－12)或(－3＋12，－3－12)． 10．【解】 设A (x 0,0)(x 0＞0)，B (0，y 0)(y 0＞0)， ∵P (x ，y )与Q 关于y 轴对称，∴Q (－x ，y )， 由BP →＝2PA →，即(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32xy 0＝3y(x ，y ＞0)． 又OQ →＝(－x ，y )，AB →＝(－x 0，y 0)＝(－32x,3y )． ∵OQ →·AB→＝1， ∴32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)． ∴点P 的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．11．【解】 (1)由已知得|a |＝|b |＝1.∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 即8k a ·b ＝2k 2＋2，∴f (k )＝a ·b ＝k 2＋14k(k ＞0)．(2)∵a ·b ＝f (k )＞0，∴a 不可能与b 垂直．若a ∥b ，由于a ·b ＞0，知a 与b 同向，有a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝|a ||b |＝1. ∴k 2＋14k ＝1，解之得k ＝2±3.∴当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b ＝k 2＋14k (k ＞0)，∴cos θ＝14(k ＋1k )≥12，当且仅当k ＝1时，取等号．又∵0≤θ≤π，且余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上为减函数，∴a 与b 的夹角的最大值为π3.。

2013高考数学一轮复习试题 2-3 理答案一、选择题(每小题5分，共25分)1.解析 由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3.答案 D2．解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B.答案 B【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法. 3.解析 (特例法)∵f (x )＝x2x ＋1x －a 是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1－2＋1－1－a ＝－12＋11－a ，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.答案 A【点评】 本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.4.解析 由已知条件对x ∈R 都有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)因此f (－x ＋3)＝f [－(x －2)＋1]＝－f [(x －2)＋1]＝－f (x －1)＝f (－x －1)＝f (－x －2＋1)＝f (－(x ＋2)＋1)＝－f ((x ＋2)＋1)＝－f (x ＋3)，因此函数f (x ＋3)是奇函数．答案 D5.解析 f (x )＝ln 1|x |满足f (－x )＝f (x )，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－ln x ，显然f (x )在(0，＋∞)上是减函数，故选A.答案 A6解析 (直接法)∵g (x )为偶函数，f (x )为奇函数， ∴g (2)＝g (－2)＝a ，f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，① f (－2)＋g (－2)＝－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，②联立①②解得g (2)＝2＝a ，f (2)＝a 2－a －2＝22－2－2＝154.故选B.答案 B 【点评】 本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.7.解析 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1(舍去)，又f (x )的最小正周期为2，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，∴y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)8．解析 由f (x )是奇函数，利用赋值法得f (－1)＝－f (1)即12－1－1＋a ＝－121－1－a 整理得：－1＋2a ＝0，即a ＝12.答案 129解析 ∵f (x ＋5)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故f (3)－f (4)＝(－2)－(－1)＝－1. 答案 －110．解析 由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)11.解析 法一 当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－14；当x ＝2，y ＝1时，f (3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时，f (5)＝14；当x ＝3，y ＝3时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝14；当x ＝4，y ＝4时，f (8)＝－14；….∴f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 013)＝f (3＋335×6)＝f (3)＝－12.法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ，∴f (2 013)＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×2 013＝－12.答案 －1212．解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )， 则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案 ①②④ 三、解答题(共23分)13.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式． 解 ∵f (x )是R 上的奇函数，可得f (0)＝0. 当x ＞0时，－x ＜0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )， ∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x )(x ＞0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg 2－x x ＜0，－x lg 2＋x x ≥0.即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．14．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)， 因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.15．(2012·扬州模拟)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2. (1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明 令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ， 则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数．(2)解 任取x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，所以f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6. 所以f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.16．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R ) (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当a ＝0时，f (x )＝x 2，(x ≠0)显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ， 因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2，当a ≤0，f ′(x )＞0，则f (x )在(2，＋∞)上是增函数，当a ＞0时，由f ′(x )＝2x 3－ax 2＞0，解得x ＞ 3a 2，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知 3a 2≤2.解得0＜a ≤16综上可知实数a 的取值范围是(－∞，16]．。

4-3三角函数的图象与性质基础巩固强化1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B.2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是 x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12 C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A [解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 令k ＝0得x ＝π12，故选A.[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π6)的一个递减区间为( ) A ．(π6，2π3) B ．(－π3，π6) C ．(－π2，π2) D ．(π2，3π2)[答案] A [解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得， k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， 令k ＝0得，π6≤x ≤2π3，故选A.(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23 B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32.5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. (理)函数y ＝xsin xx ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C.6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 [答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝⎛⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形． 其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，即tan α<tan β不成立； ④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1， 所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1， 所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心． 综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－12，1]，则b －a 的最小值为________．[答案]2π3[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k ∈Z .由图象观察知，b －a 的最小值为2π3.(理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．[答案] 1[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)， ∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根， ∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________. [答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0， ∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1＝4cos x(32sin x＋12cos x)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6 )．所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.(理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋3 2＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，∴x＝kπ2＋π6，k∈Z.故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π6，0)(k∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]. 能力拓展提升11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin xx <π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y ＝sin x ·|cos xsin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝( )A．2＋ 3 B. 3C.33D．2－ 3[答案] B[解析] 由图可知：T＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A·tan(2×38π＋φ)＝A·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4＝A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4 )，∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan(π12＋π4)＝tanπ3＝ 3.12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972C ．99πD ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T＝4，∴t ≥74T ＝7，故选C.13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称； ③在[0，π6上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④.(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2， ∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真． 14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2，f π3＝12＋32，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1， ∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2. (2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4＝sin(2β＋π4)．∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β， ∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )． (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝233. (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]， sin(2x ＋π6∈[－12，1]． 因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3. 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32. 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2k ∈Z ) 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)， 又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3. (理)(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6， 因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π6] C ．[－π3，0] D ．[－π6，0] [答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.112D.233[答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －13(k ∈Z )，又∵ω>0，∴ωmin ＝233.3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8 C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)． 由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8令k ＝1得x ＝7π8 B.5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.6．对任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π3)＋1. 所以最小正周期为T ＝π.(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3＝1，得出x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。