高三数学一轮复习必备精品42：高考选作部分(4-1、4-4、4-5) 备注：【高三数学一轮复习

专题01 坐标系【知识网络】【考情分析】 考纲要求①理解坐标系的作用。

②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行坐标和直角坐标的互化。

④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。

考情分析高频考点 常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标的互化考查形式 通过近几年高考命题趋势看，本部分重点考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，常见曲线的极坐标方程也是考查的重点，主要考查基础知识、基本技能， 题型一般为解答题，难度中等．命题角度 结合直线与圆、圆锥曲线、三角函数及恒等变换、向量等知识考查 常见题型 解答题备考要求对知识点进行归纳整理、掌握常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标之间的互化公式及其运用等．【知识详单】1.平面直角坐标系的作用通过平面之间坐标系，实现了平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而使得数与形的结合．2. 平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．坐标系直角坐标系 柱坐标系和球坐标系极坐标系极坐标方程及其应用极坐标和极坐标系的概念直角坐标和伸缩变换极坐标与直角坐标的互化3.极坐标与极坐标系极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

(建议用时：50分钟)1.(2015·江苏卷)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB .2.(2015·湖南卷)如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：(1)∠MEN ＋∠NOM ＝180°；(2) FE ·FN ＝FM ·FO .证明 (1)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .3.如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC的外接圆于F ，G 两点.若CF ∥AB .证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以AF ︵＝BC ︵，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG ∥BC ，所以GB ︵＝CF ︵，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .所以∠BGD ＝∠BDG ，因为CD＝BC，所以∠CBD＝∠CDB.因为∠BGD＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.4.(2015·全国Ⅰ卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小.(1)证明如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线.(2)解设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.5.(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径.(1)证明因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3，又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.6.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长.(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠F AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，所以FBFD＝F AFB，所以FB2＝F A·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，∠DAC＝12∠EAC＝60°，因为BC＝6，所以AC＝BC tan∠ABC＝23，所以AD＝ACcos∠DAC＝43(cm).7.(2015·全国Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积. (1)证明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD所在直线是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝1033.所以四边形EBCF的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.8.如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.(1)证明因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC F A＝DCEA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EF A.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EF A＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径.(2)解连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2.。

极坐标方程【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴．要点诠释：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度和从Ox 轴旋转到OP 的角度来确定，（，）叫做点P 的极坐标，叫做点P 的极径，叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，），其中可以取任何值． 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此≥0；但必要时，允许＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（，）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（，）（≠0），那么这一点也可以表示为（，）或（，）（其中n 为整数）． 一般情况下，我们取极径≥0，极角为0≤＜2（或－π＜0≤π）． 如果我们规定＞0，0≤＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．相关点的极坐标ρθρθρθθθθθθθρρρρθρθρρ2n θπ+ρ-(21)n θπ++ρθθπρθρθ（1）同一个点：如极坐标系中点，，，，，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，（k ∈Z ）都表示点．于是我们有，一般地，极坐标（，）与（，）（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，）（∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示．这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、、、，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（，）{这里为定值，}点的轨迹就是以极点为圆心，以为半径的圆．（3）对称点：（，）关于极轴的对称点为（，），关于极点的对称点为（，），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（，）．（4）共线的点：如果极坐标为（，），其中为常数，＞0，则表示与极轴成角的射线．4．极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点，，则．特例：当，． 要点二、极坐标与直角坐标的互化1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点的极坐标为，直角坐标为，4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭4,26ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4,26k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,6π⎛⎫⎪⎝⎭ρθρ2k θπ+θθ4,6π⎛⎫⎪⎝⎭4,3π⎛⎫⎪⎝⎭4,2π⎛⎫⎪⎝⎭ρθρ[0,2)θπ∈ρρθρ2πθ-ρπθ+ρπθ-ρθθρθ111(,)P ρθ222(,)P ρθ12||PP =12θθ=1212||||P P ρρ-=-x P (,)ρθ(,)x y这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释：由求时，不取负值；由确定时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，角才能由按上述方法确定．当x=0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，可取任何值；（2）当x=0，y ＞0时，可取；（3）当x=0，y ＜0时，可取． 要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C 上，那么方程称为曲线C 的极坐标方程．在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变量的方程来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线，设点P 的一极坐标为，那么点P 适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标就不适合方程了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．222x y ρ=+ρρtan (0)yx xθ=≠θθtan yxθ=θθ2πθ=32πθ=(,)0f ρθ=(,)0f ρθ=(,)0f ρθ=ρθ(,)0f ρθ=ρθ=,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ρθ=9,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ρθ=2. 求曲线极坐标方程的步骤．①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．要点诠释：（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立、之间的关系． （2）今后我们遇到的极坐标方程多是的形式，即是的一个函数． （3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形的对称性：若，则相应图形关于极轴对称；若，则图形关于射线所在的直线对称；若，则图形关于极点O 对称． 3．圆的极坐标方程（1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，为圆上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得．坐标满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为．也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ，故圆的直角坐标方程为 (x －a)2+y 2=a 2， 即 x 2+y 2=2ax ．由坐标变换公式得 ， 即 ．(,)P ρθρθρθρθ()ρρθ=ρθ()ρρθ=()()ρθρθ=-()()ρθρπθ=-2πθ=()()ρθρπθ=+(,)M ρθ2cos a ρθ=(,)ρθ2cos a ρθ=22cos a ρρθ=2cos a ρθ=这样就得到前面推导出的极坐标方程．所以，方程就是圆上任意一点极坐标所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程的点都在这个圆上． （2）圆心在极点的圆如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为（∈R ）．4．直线的极坐标方程（1）过极点的直线的极坐标方程．如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为，即直线AA ＇的极坐标方程为 （≥0）和（≥0）．特别地，我们规定为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为（∈R ），或（∈R ）．（2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程．如图所示，设为直线上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=，|OA|=a ，|OM|=，所以有． 即，化为直角坐标方程为x=a ．（3）过点且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程． 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为，连接OM ，则有|OA|=a ，|OM|=，，在直角三角形AOM 中，我们有． ∴，即，化为直角坐标方程为y=a ． 2cos a ρθ=(,)ρθ2cos a ρθ=r ρ=ραθα=ρθπα=+ρρθα=ρθαπ=+ρl (,)M ρθl θρ||cos ||OM OA θ=cos a ρθ=,2A a π⎛⎫⎪⎝⎭(,)M ρθρ2AOM πθ∠=-||cos ||2OM OA πθ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭cos 2a πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭sin a ρθ=【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．【思路点拨】 根据极坐标定义：若M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角． 【解析】 由图可知： A （5，0），，，，E （2，π），，． 【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标． 举一反三：【变式1】下列各点中与不表示极坐标中同一个点的是（ ）． A ． B ． C ． D ． 【答案】C 。

高三数学第一轮复习计划范本一、构建知识网络,注重基础,重视预习,提高复习效率数学的基础知识理解与掌握,基本的数学解题思路分析与数学方法的运用,是第一轮复习的重中之重。

对知识点进行梳理,形成完整的知识体系,确保基本概念、公式等牢固掌握。

要扎扎实实,对每个知识点都要理解透彻,明确它们要求以及与其他知识之间的联系。

复习课的容量大、内容多、时间紧。

要提高复习效率,必须使自己的思维与老师的思维同步。

而预习则是达到这一目的的重要途径,要做到“两先两后”,即先预习后听课,先复习后作业。

以提高听课的主动性,减少听课的盲目性。

而预习了之后,再听老师讲课,就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍,把重点放在自己还未掌握的内容上,从而提高复习效率。

预习还可以培养自己的自学能力。

二、提高课堂听课效率,勤动手,多动脑。

高三的课一般有两种形式：复习课和评讲课,到高三所有课都进入复习阶段,通过复习,学生要能检测出知道什么,哪些还不知道,哪些还不会,因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂,增强听课的主动性。

现在学生手中都会有一种复习资料,在老师讲课之前,要把例题做一遍,做题中发现的难点,就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力,自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法,坚持下去,就一定能举一反三,提高思维和解决问题的能力。

此外还要作好笔记,笔记不是记录而是将上述听课中的要点,思维方法等作出简单扼要的记录,以便复习,消化,思考。

三建好错题档案,做好查漏补缺。

这里说的“错”,是指把平时做作业中的错误收集起来。

高三复习,各类试题要做几十套,甚至更多。

如果平时做题出错较多,就只需在试卷上把错题做上标记,在旁边写上评析,然后把试卷保存好,每过一段时间,就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。

查漏补缺的过程就是反思的过程。

高三数学一轮复习考纲、知识点及题库第十三章 数学选修4-4、4-5§13.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式错误!错误!----------知识梳理 -----------1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 概念方法微思考1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？【提示】当a ，b 不共线时，|a |＋|b |>|a ＋b |，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．2．用“零点分段法”解含有n 个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？ 【提示】一般地，n 个绝对值对应n 个零点，n 个零点应把数轴分成(n ＋1)段． 错误!错误!错误!错误!-----------基础自测 ------------题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( × ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( √ )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( × ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( × ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) 题组二 教材改编2．[P20T7]不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D ．(－2,1]∪[4,7)【答案】D【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．3．[P20T8]求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．【解析】①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1；②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2，∴x <4，∴1<x <4；③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 题组三 易错自纠4．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________. 【答案】2【解析】∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.5．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．【答案】9【解析】把a ＋b ＋c ＝1代入到1a ＋1b ＋1c 中，得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．错误!错误!------------ 专题突破 ------------题型一 绝对值不等式的解法 例1 (1)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.【解析】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2，解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或.(2)(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. ①当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；②若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 【解析】①当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. (*)当x <－1时，(*)式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，(*)式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，(*)式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为1x x ⎧⎪-≤⎨⎪⎪⎩⎭.②当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝1时， f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 21,03a -⎛⎫⎪⎝⎭，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 【解析】(1)∵x ，y ∈R ， ∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， 当且仅当0≤x ≤1时等号成立， ∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1同时成立时等号成立． ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法．跟踪训练2 已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围． 【解析】(1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，当且仅当(2a ＋b )(2a －b )≥0时等号成立， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min .由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2， 故实数x 的取值范围为[－2,2]．题型三 绝对值不等式的综合应用例3 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1，解得x >2， 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}． (2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋54≤54，当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决． (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法． 跟踪训练3 设函数f (x )＝x ＋|x －a |. (1)当a ＝2 019时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围． 【解析】(1)由题意得，当a ＝2 019时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2 019，x ≥2 019，2 019，x <2 019，因为f (x )在[2 019，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的值域为[2 019，＋∞)．(2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |>2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a |)min >2. 而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |， 所以|1＋a |>2，解得a >1或a <－3.即a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．1．对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．【解析】因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪a －12≤12， 所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪(3a －3b )＋⎝⎛⎭⎫a －12＋52≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6， 即|4a －3b ＋2|的最大值为6， 所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6. 即实数m 的取值范围为[6，＋∞)．2．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，g (x )＝x 2－x －a . (1)当a ＝5时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )解集包含[2,3]，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝5时，不等式f (x )≥g (x )等价于|x ＋1|－|x －2|≥x 2－x －5， ① 当x <－1时，①式化为x 2－x －2≤0，无解；当－1≤x ≤2时，①式化为x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤2；当x >2时，①式化为x 2－x －8≤0，得2<x ≤1＋332，所以f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1＋332. (2)当x ∈[2,3]时，f (x )＝3，所以f (x )≥g (x )的解集包含[2,3]，等价于x ∈[2,3]时g (x )≤3， 又g (x )＝x 2－x －a 在[2,3]上的最大值为g (3)＝6－a ，所以g (3)≤3，即6－a ≤3，得a ≥3， 所以a 的取值范围为[3，＋∞)．3．(2018·百校联盟TOP20联考)已知f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |恒成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝－2时，由f (x )≤4， 得2|x －1|－|x －2|≤4，当x ≤1时，由2(1－x )－(2－x )≤4，得－4≤x ≤1； 当1<x <2时，由2(x －1)－(2－x )≤4，得1<x <2； 当x ≥2时，由2(x －1)－(x －2)≤4，得2≤x ≤4. 综上所述，f (x )≤4的解集为[－4,4]． (2)由不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |， 得|2x ＋a |－|x －2|＋3|x －2|≥3a 2， 即|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2，即关于x 的不等式|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2恒成立， 而|2x ＋a |＋|2x －4|≥|(2x ＋a )－(2x －4)|＝|a ＋4|， 当且仅当(2x ＋a )(2x －4)≤0时等号成立， 所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2， 解得－1≤a ≤43或a ∈∅.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，43. 4．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )≥1－x 2；(2)若关于x 的不等式f (x )<a －x 2＋|x ＋1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)由题意f (x )≥1－x 2可知，|x －1|≥1－x 2， 即x －1≥1－x 2或x －1≤x 2－1， 所以x 2＋x －2≥0或x 2－x ≥0， 即x ≤－2或x ≥1或x ≥1或x ≤0， 故原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}． (2)f (x )<a －x 2＋|x ＋1|等价于 a >x 2＋|x －1|－|x ＋1|，由于x 2＋|x －1|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x <－1，x 2－2x ，－1≤x ≤1，x 2－2，x >1，所以当x ＝1时，x 2＋|x －1|－|x ＋1|的最小值为－1. 所以实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤2；(2)若∃b ∈R ，不等式|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－12，1－3x ，－12<x <2，－x －3，x ≥2，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，x ＋3≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <2，1－3x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x －3≤2，解得x ≤－1或－13≤x <2或x ≥2，综上所述，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥－13. (2)∃b ∈R ，|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立等价于 (|a ＋b |－|a －b |)max ≥f (x )max .因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 所以|a ＋b |－|a －b |的最大值为2|a |； 当x ≤－12时，f (x )≤52；当－12<x <2时，－5<f (x )<52；当x ≥2时，f (x )≤－5， 所以f (x )max ＝52，所以由原不等式恒成立，得2|a |≥52，解得a ≥54或a ≤－54.即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－54∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞. 6．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式满足f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数(x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12.综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，因为⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫2－1x ≤0时取等号，因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，所以|a －2|＋|a ＋1|≥6， 解得a ≤－52或a ≥72，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.。

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选修4.5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. （选修45P 5例2改编）解不等式|2x －1｜>3.解:不等式｜2x －1｜＞3可化为2x －1<－3或2x －1>3，解得x 〈－1或x>2.故不等式的解集为{x| x 〈－1或x 〉2｝.2. 已知｜x －a ｜〈b （a ，b ∈R ）的解集为｛x|2<x 〈4}，求a －b 的值。

解:由|x －a ｜〈b ，得a －b<x 〈a ＋b.又|x －a ｜〈b （a,b ∈R ）的解集为{x ｜2<x<4｝,所以a －b ＝2。

3。

求不等式|2x ＋1|－｜5－x ｜＞0的解集。

解：原不等式化为｜2x ＋1|>|5－x ｜，两边同时平方得 4x 2＋4x ＋1>25－10x ＋x 2，即3x 2＋14x －24>0,解得原不等式的解集为(－∞，－6）∪（错误!，＋∞）。

4. （选修45P 6例4改编）若存在实数x 满足不等式｜x －4｜＋｜x －3｜<a ，求实数a 的取值范围。

解：由绝对值不等式的几何性质知，|x －4｜＋｜x －3｜≥｜（x －4）－（x －3）｜＝1,所以函数y ＝｜x －4|＋｜x －3|的最小值为1。