北京市高考数学一轮复习讲义 第15讲 空间向量与立体几何新题赏析 理

高考数学空间向量与立体几何2017年高考数学空间向量与立体几何导语:没有承受困难的能力，就没有希望了。

下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关注CNFLA学习网!空间向量一、空间向量知识点1.空间向量的概念：定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3 共线向量ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线;ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作.当我们说向量、共线(或//)时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4.共线向量定理及其推论共线向量定理：空间任意两个向量、(≠)，//的充要条件是存在实数λ，使=λ.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式.其中向量叫做直线的方向向量.5.向量与平面平行已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6.共面向量定理ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。

空间向量与立体几何新题赏析引入“稳定与创新”永远是高考的主题，高考中的立体几何也不例外．我们不能把数学念成了“八股文”，不能只把某几个类型的题目练熟，不应该被新颖题目所吓倒．学习数学应该提高分析问题和解决问题的能力．本讲我们一起来看看近几年有哪些新颖的题目出现，我们又是利用了哪些不变的方法和能力加以应对的．新题赏析题一：已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为( )．AB． C ．132 D．题二：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π 题三：如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S题四：如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒．AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． (Ⅰ)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；(Ⅱ)求cos COD ∠．题五：如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >． （Ⅰ）求证：11CD ADD A ⊥平面；（Ⅱ）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； PBA OCD1 A（Ⅲ）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式(直接写出答案，不必要说明理由)．学习提醒平时全面备考，考时熟题不错、新题不慌！新题赏析题一：C 题二：A 题三：①②③⑤ 题四：(Ⅰ)略；(Ⅱ)17-题五：（Ⅰ）略；（Ⅱ）1；（Ⅲ）2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩A B CD E A 1 B 1C 1D 1。

1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的任意一条直线) a⊥αa⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝O a⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直错误!⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面错误!⇒l⊥α判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(×)(5)a⊥α，aβ⇒α⊥β.(√)(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直答案 D解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，bβ，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又aα，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．4．(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，P A，AC，BD，则一定互相垂直的平面有___________________________________对．答案7解析由于PD⊥平面ABCD，故平面P AD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面P AC⊥平面PDB，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，∵PC ⊥P A ，PB ⊥PC ，P A ∩PB ＝P ， ∴PC ⊥平面P AB ，AB 平面P AB ，∴PC ⊥AB ，又AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ， ∴AB ⊥平面PGC ， 又CG平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 的高． 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心．题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 (1)(2014·辽宁)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． ①求证：EF ⊥平面BCG ； ②求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．①证明 由已知得 △ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .②解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin120°·32＝12.(2)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB . 求证：P A ⊥CD .证明 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ， 在Rt △ABC 中，由3AC ＝BC 得， ∠ABC ＝30°，设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝23，由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos30°＝3， 所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AO . 因为PD ⊥平面ABC ，CD平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ∩AO ＝D 得，CD ⊥平面P AB ， 又P A平面P AB ，所以P A ⊥CD .思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． 证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P —ABCD 中， ∵P A ⊥底面ABCD ，CD平面ABCD ，∴P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC . 而AE平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(1)(2015·山东)如图，三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．①求证：BD∥平面FGH；②若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明①方法一如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH. 在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM平面FGH，B D⃘平面FGH，所以BD∥平面FGH.方法二如图，在三棱台DEF ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD平面ABED，所以BD∥平面FGH.②连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(2)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.求证：①CD⊥平面PBD.②平面PBC⊥平面PDC.证明①∵AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°，又∠DCB ＝45°，∴∠BDC ＝90°， 即BD ⊥DC .∵平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD ＝BD ， ∴CD ⊥平面PBD .②由CD ⊥平面PBD 得CD ⊥BP . 又BP ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴BP ⊥平面PDC . 又BP平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDC .思维升华 面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．(2015·重庆)如图，三棱锥P ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F在线段AB 上，且EF ∥BC . (1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥PDFBC 的体积为7，求线段BC 的长．(1)证明 由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PE 平面P AC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB . 因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)解 设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中， AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFES △ABC ＝⎝⎛⎭⎫232＝49， 即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC＝29S △ABC ＝19x 36－x 2.从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x36－x 2＝718x36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高． 在Rt △PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3.体积V PDFBC ＝13·S DFBC ·PE＝13·718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27， 由于x ＞0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以，BC ＝3或BC ＝3 3. 题型三 垂直关系中的探索性问题例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC . (1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 在三棱台ABC －DEF 中，AC ∥DF ，AC 平面ACE ，D F ⃘平面ACE ，∴DF ∥平面ACE .又∵DF 平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，∴DF ∥a . (2)解 线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE . 证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ，连接GD ，∵CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC －DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF .由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∴DE ⊥GF .⎭⎪⎬⎪⎫GF ⊥CEGF ⊥DE CE ∩DE ＝E ⇒GF ⊥平面CDE .又GF平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE . 此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF . 由△HGB ∽△FGE 可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE . 思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．如图(1)所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)所示．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ；(2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，因为DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.16．立体几何证明问题中的转化思想典例(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思维点拨(1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]温馨提醒(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．[方法与技巧]1．三类论证(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，bα⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；②判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m 、n α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，aα，a ⊥l ⇒a ⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a α，a ⊥β⇒α⊥β. 2．转化思想：垂直关系的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂判定性质直在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[失误与防范]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练(时间：45分钟)1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案 D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.2．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有() A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC答案 C解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BDC，又AD平面ADC，∴平面ADC ⊥平面BDC.3．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④答案 B解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.4．如图，已知棱长为1的正方体ABCD—A 1B1C1D1中，E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x,0<x<1，设平面MEF∩平面MPQ＝l，则下列结论中不成立的是()A．l∥平面ABCDB．l⊥ACC．平面MEF与平面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线答案 D解析连接AC，BD，A1C1，B1D1，AC，BD交于点O，A1C1，B1D1交点于点O1.由正方体的性质知，BD∥B1D1，AC∥A1C1，AC⊥BD，A1C1⊥B1D1.因为E，F是AB，AD的中点，所以EF∥BD.因为A1P＝A1Q，所以PQ∥B1D1.所以PQ∥EF，所以PQ∥平面MEF，EF∥平面MPQ，由平面MEF∩平面MPQ＝l，EF平面MEF，所以EF∥l，而EF平面ABCD，l平面ABCD.所以，l∥平面ABCD，所以选项A正确；由AC⊥BD，EF∥BD得EF⊥AC，而EF∥l，所以l⊥AC，所以选项B正确；连接MB1，MD1，O1M，则O1M∥AC1，而AC1⊥A1B，AC1⊥BD，BD∥EF，A1B∥MF，所以O1M⊥EF，O1M⊥MF，所以O1M⊥平面MEF，过直线l与平面MEF垂直的平面只能有一个，所以平面MEF与平面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；因为EF∥l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选项D不正确．5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PCB．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC答案 C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故P A＝PB＝PC.6.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．答案1 2解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝2，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝12h.又2×2＝h22＋(2)2，所以h＝233，DE＝33.在Rt△DB1E中，B1E＝(22)2－(33)2＝66.由面积相等得66×x2＋(22)2＝22x，得x＝12.7.如图，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，且BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．8．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．答案 ①②④解析 由题意可得直线BC 1平行于直线AD 1，并且直线AD 1平面AD 1C ，直线BC 1⃘平面AD 1C ，所以直线BC 1∥平面AD 1C .所以点P 到平面AD 1C 的距离不变， 11A D PC P AD C V V --=，所以体积不变．故①正确；连接A 1C 1，A 1B ，可得平面AD 1C ∥平面A 1C 1B .又因为A 1P平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，故②正确；当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1.故③不正确；因为直线AC⊥平面DB1，DB1平面DB1.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.故④正确．综上，正确的序号为①②④.9．(2015·安徽)如图，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．(1)解由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝12·AB·AC·sin60°＝3 2.由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥P-ABC的高，又P A＝1.所以三棱锥P-ABC的体积V＝13·S△ABC ·P A＝36.(2)证明如图，在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面P AC内，过点N作MN∥P A交PC于点M，连接BM.由P A⊥平面ABC知P A⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN ， 又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝ANNC ＝13.10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 、PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)∵平面P AD ∩平面ABCD ＝AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AD .∴P A ⊥底面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，∴AB ∥DE ，且AB ＝DE .∴四边形ABED 为平行四边形．∴BE ∥AD .又∵BE 平面P AD ，AD 平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .(3)∵AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形．∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知P A ⊥底面ABCD ，则P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD ，又E 、F 分别为CD 、CP 的中点，∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由(2)知BE ∥平面P AD ，∴BE ⊥CD ，又EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ，∴CD⊥平面BEF.又∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.B组专项能力提升(时间：30分钟)11．在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′—BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′—BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.32πB．3πC.23πD．2π答案 A解析根据题意，如图，可知Rt△A′BD中，A′B＝A′D＝1，BD＝2，在Rt△BCD中，BD＝2，CD＝1，BC＝3，又因为平面A′BD⊥平面BCD，所以球心就是BC的中点，半径r＝32，所以球的体积为V＝4π3r3＝32π.故选A.12．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．答案 2解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．14．(2015·北京)如图，在三棱锥VABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V-ABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB ，又因为V B ⃘平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又OC 平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C-VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C-VAB 的体积相等，所以三棱锥V-ABC 的体积为33. 15．(2015·湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值． (1)证明 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .而DE平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .(2)解 由已知得，PD 是阳马P-ABCD 的高，所以V 1＝13S ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD . 由(1)知，DE 是鳖臑DBCE 的高，BC ⊥CE ， 所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE . 在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ， 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE ＝4.。

第三章《空间向量与立体几何》测试讲评一、讲评目的1、通过讲评，使学生明确自己出现的问题，并进一步改正试卷中的问题；2、加深对所学知识的掌握和理解，进而提高自己的能力。

二、讲评的重点、难点1、重点（1）测试中出现的错误题目；（2）在分析问题的过程中强调有关的知识。

2、难点如何在解题中快速的找到解决问题的方法和思路，并能规范地解答所给问题。

三、课前准备1、批阅试卷，完成对成绩、存在问题的分析。

2、多媒体、展台。

四、讲评过程（一）基本情况介绍1、测试内容及试卷来源本次测试的内容为高中数学选修2-1第三章《空间向量在立体几何中的应用》。

主要是通过该试卷来检测一下学生对空间向量在立体几何中应用的掌握程度，以及运用知识解决问题的能力。

试卷是由老师根据平时的教学情况自己组成的，试卷的结构、题量与高考的形式相同。

试题难度适中，主要侧重于对基本知识、基本方法和学生运算能力的考查。

设计意图：让学生明确考试的有关背景，对所考内容有所了解，同时对本章内容的掌握程度、主要题型都有所了解。

2、相关数据（1）选择题正答率（2）成绩统计各分数段人数设计意图：让学生明确自己在考试中所处的位次及自己的成绩情况，鼓励学生树立学习的自信心。

（3）考试中暴露的问题①对所学知识、常用方法掌握不熟练，有遗忘现象;②运算速度、准确度仍存在较大的缺陷;③答卷中的规范性问题，乱写、乱画的现象仍存在。

设计意图：让学生了解自己在考试中暴露出的问题，明确自己的问题所在。

（二）试卷讲评设计意图：本次的讲评采用相同类型的问题集中讲解的方法，可使学生对相关中出现的错误有整体的了解，从总体上把握该类问题的知识及解法，便于学生对知识的掌握。

本次测试的试题从总体上分为三个部分：（1）空间向量的线性运算、空间向量基本定理、向量的共线。

包括第1、2、4、11、13、15题。

（2）数量积及其应用。

包括：3、5、6、7、9、12、14、16题。

（3）空间向量在立体几何中的应用。

高三数学第一轮复习：立体几何的综合问题【本讲主要内容】立体几何的综合问题立体几何知识的综合应用及立体几何与其它知识点的综合问题【知识掌握】【知识点精析】1. 立体几何的综合问题融直线和平面的位置关系于平面与几何体中，有计算也有论证。

解决这类问题需要系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质．深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解点到面的距离、异面直线的距离的概念．2. 立体几何横向可与向量、代数、三角、解析几何等综合．3. 应用性问题、探索性问题需综合运用所学知识去分析解决．【解题方法指导】例1. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）解析：P到直线BC的距离等于P到B的距离，动点P的轨迹满足抛物线定义．故选C.例2. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明不论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，又DA⊥AB ∴PA⊥DA∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角∴∠PAB＝60°，PB＝AB·tan60°＝3a ,∴ V 锥＝3233·3·31a a a =（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为等腰三角形，作AE ⊥PD ，垂足为E ，连结CE ，则△ADE ≌△CDE ，因为AE ＝CE ，∠CED ＝90o，故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角． 设AC 与BD 交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，所以a AD AE OA a =<<=22，22a AE <， 在△AEC 中，02222cos 222222222<-=-=∙-+=∠AE a AE AE a AE EC AE AC EC AE CEA 所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90o。

空间向量在立体几何中的应用要求层次重难点空间直角坐标系空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式．（2）空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．空间两点间的距离公式 B空间向量的应用空间向量的概念 B空间向量基本定理 A空间向量的正交分解及其坐标表示B空间向量的线性运算及其坐标表示C空间向量的数量积及其坐标表示C运用向量的数量积判断向量的共线与垂直C空间向量在立体几何中的应用要求层次重难点空间直角坐标系空间直角坐标系 B（1）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．空间两点间的距离公式 B空间向空间向量的概念 B高考要求模块框架空间向量与立体几何.知识框架量的应用空间向量基本定理 A ②会推导空间两点间的距离公式．（2）空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．空间向量的正交分解及其坐标表示B空间向量的线性运算及其坐标表示C空间向量的数量积及其坐标表示C运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 C知识内容1．在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示． 用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．2．起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0r．在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a r ，AB u u u r．3．表示向量a r的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a r ，有向线段的方向表示向量的方向．有向线段所在的直线叫做向量的基线．4．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a r 平行于b r 记为a b r r ∥．5．向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似； 6．空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量a r ，b r （0b ≠r ），a b r r ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =r r．共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．共面向量定理：如果两个向量a r ，b r 不共线，则向量c r 与向量a r ，b r共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+r r r．空间向量分解定理：如果三个向量a r ，b r ，c r不共面，那么对空间任一向量p u r ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++u r r r r．表达式xa yb zc ++r r r ，叫做向量a r ，b r ，c r的线性表示式或线性组合．上述定理中，a r ，b r ，c r叫做空间的一个基底，记作{}a b c r r r ，，，其中a b c r r r ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．7．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b r r ，，在空间任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，则AOB ∠叫做向量a r 与b r的夹角，记作a b 〈〉r r ，．通常规定0πa b 〈〉r r ≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉r r r r ，，． 如果90a b 〈〉=r r ，°，则称a r 与b r 互相垂直，记作a b ⊥r r ． 8．两个向量的数量积：已知空间两个向量a r ，b r，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ⋅=〈〉r r r r r r ，空间两个向量的数量积具有如下性质：⑴||cos a e a a e ⋅=〈〉r r r r r ，；⑵0a b a b ⇔⋅=r r r r^；⑶2||a a a =⋅r r r ；⑷a b a b ⋅r r r r ||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴()()a b a b λλ⋅=⋅r r r r ；⑵a b b a ⋅=⋅r r r r；⑶()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ． 9．空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k r r r，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k r r r，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k r r r ；，，． 10．坐标：在空间直角坐标系中，已知任一向量a r，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++r r r r ，1a i r ，2a j r ，3a k r 分别叫做向量a r在i j k r r r ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a r在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =r，，． 若123()a a a a =r ，，，123()b b b b =r，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++r r ，，；112233()a b a b a b a b -=---r r，，； 123()a a a a λλλλ=r ，，；112233a b a b a b a b ⋅=++r r ．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．11．空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =r ，，，123()b b b b =r ，，， a b r r ∥（0b ≠r r ）a b λ⇔=r r 112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；11223300a b a b a b a b a b ⇔⋅=⇔++=r r r r^．两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式： 222123||a a a a a a ⋅++r r r 222123||b b b b b b =⋅++r r r112233222222123123cos ||||a ba b a b a a a b b b ⋅〈〉==++++r rr r r r ，． 12．位置向量：已知向量a r ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =u u u r r，则点A 在空间的位置就被向量a r所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量．由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．13．给定一个定点A 和一个向量a r，O 为空间中任一确定的点，B 为直线l 上的点，则P 在为过点A 且平行于向量a r的直线l 上⇔ AP ta =u u u r r①⇔ OP OA ta =+u u u r u u u r r②⇔ (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r③这三个式子都称为直线l 的向量参数方程．向量a r称为该直线的方向向量．14．设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v u r 和2v u u r，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔u r u u r ∥；12l l ^12v v ⇔u r u u r^．若向量1v u r 和2v u u r是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v r，则l α∥或l 在α内 ⇔ 存在两个实数x y ，，使12v xv yv =+r u r u u r．15．如果向量n r 的基线与平面α垂直，则向量n r就称为平面α的法向量．设A 是空间任一点，n r 为空间内任一非零向量，则满足0AM n ⋅=u u u u r r的点M 表示过点A 且与向量n r 垂直的平面，0AM n ⋅=u u u u r r称为该平面的向量表示式．16．设12n n u u r u u r，分别是平面αβ，的法向量，则αβ∥或α与β重合⇔12n n u u r u u r ∥；12120n n n n αβ⇔⇔⋅=u u r u u r u u r u u r^^17．线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角．18．二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．棱为l ，两个面分别为αβ，的二面角，记作l αβ--．在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA l ^，OB l ^，则AOB Ð叫做二面角l αβ--的平面角．二面角的平面角的大小就称为二面角的大小．我们约定二面角的范围为[0180]°，°． 设12m m αβu u r u u r ，^^，则角12m m 〈〉u u r u u r，与二面角l αβ--相等或互补．。

第15讲空间向量与立体几何新题赏析题一：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）．10A．π4 B．π5 C．π8 D．π题二：如图，已知三棱锥O－ABC，OA，OB，OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△OBC内运动(含边界)，则MN的中点P的轨迹________．题三：已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为_______．题四：在半径为13的球面上有A , B, C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为；（2）过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为．题五：如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误．．的为( )．∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°题六：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． （1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面；（保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小．题七：如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝12AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1、B 、M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N ．(1)求证：EM ∥平面A1B1C1D1；(2)设截面A1BMN 把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1、V2(V1<V2)，求V1∶V2的值．题八：如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设1=AB ，h PA =，y AD =．(1) 试求y 关于h 的函数解析式；(2) 当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P -ADQ 内切球的半径．题九：如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2，以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．(1)求证：平面ABM ⊥平面PCD ；(2)求直线PC 与平面ABM 的夹角的正弦值．题十：正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．第15讲 空间向量与立体几何新题赏析题一：B ．详解：由题意知该几何体是一个底面半径为,21高为2的圆柱, 根据球与圆柱的对称性, 可得外接球的半径,25)21(122=+=R ∴ππ542==R S ．题二：π6． 详解：根据已知三角形MON 是以O 为直角顶点的直角三角形，故OP ＝MN2＝1，即点P 的轨迹是以点O 为球心的八分之一球面，其与三棱锥的三个侧面围成的空间几何体的体积为18×4π3＝π6．题三：10cm ．详解：球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，可以看做下面是一个正方体，上面是一个四棱锥，四棱锥的斜高是5，用勾股定理做出四棱锥的高，求和得到结果．由题意知求球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离， 可以看做下面是一个正方体，正方体的棱长是6cm ．上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5，4=，∴球心到盒底的距离为6+4=10cm ．题四：12；3．详解：（1）由ABC ∆的三边大小易知此三角形是直角三角形， 所以过,,A B C 三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是d ，则由222513d +=，可得12d =．（2）设过ABC 三点的截面圆的圆心是1,O AB 中点是D 点，球心是O 点，则连三角形1O OD ，易知1ODO ∠就是所求的二面角的一个平面角，14O D ==， 所以tan 1111234OO ODO O D ∠===，即正切值是3．题五：C ．详解：由PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确．综上C 是错误的．题六：（2）arccos39． 详解：（1）取BC 的四等分点G （靠近C 的），D 1C 1的四等分点H （靠近C 1的），则五边形AGFHE 即为由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面；（2）由（1）可知EH ∥AC ，故∠HEF （或其补角）即为异面直线直线EF 和AC 所成角，设出正方体的棱长在△HEF 中，由余弦定理可得∠HEF ，即可得答案．题七：(2) V 1V 2＝717． 详解：(1)设A 1B 1的中点为F ，连结EF 、FC 1．∵E 为A 1B 的中点，∴EF 平行且等于12B 1B ．又C 1M 平行且等于 12B 1B ，∴EF 平行且等于 MC 1．∴四边形EMC 1F 为平行四边形．∴EM ∥FC 1．∵EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1．(2)延长A 1N 与B 1C 1交于P ，则P ∈平面A 1BMN ，且P ∈平面BB 1C 1C ．又∵平面A 1BMN ∩平面BB 1C 1C ＝BM ，∴P ∈BM ，即直线A 1N 、B 1C 1、BM 交于一点P ．又∵平面MNC 1∥平面BA 1B 1，∴几何体MNC 1—BA 1B 1为棱台．设AB ＝2AA 1＝2a ，∵S △BA 1B 1＝12·2a ·a ＝a 2，S △MNC 1＝12·a ·12a ＝14a 2，棱台MNC 1—BA 1B 1的高为B 1C 1＝2a ，V 1＝13·2a ·(a 2＋a 2·14a 2＋14a 2)＝76a 3，∴V 2＝2a ·2a ·a －76a 3＝176a 3．∴V 1V 2＝717．题八：)1(122>-=h h h y详解：(1)显然1>h ，连接AQ ，∵ADQP ABCD 平面平面⊥，AD PA ⊥，∴ABCD PA 平面⊥．由已知DQ PQ ⊥，∴DQ AQ ⊥，22h y AQ -=．∵ABQ Rt ∆∽QCD Rt ∆， 12-=h CQ ， ∴ABCQAQ DQ =即11222-=-h hy h ．∴)1(122>-=h h h y ． (2) 211111)1(1222222　h h h h h h y ≥-+-=-+--=h ==即此时1=CQ ，即Q 为BC 的中点．于是由PAQ DQ 平面⊥，知平面PAQ PDQ 平面⊥，PQ 是其交线， 则过A 作PDQ AE 平面⊥．∴ADE ∠就是AD 与平面PDQ 所成的角． 由已知得2=AQ ，2==AD PQ ，∴1=AE ， 21sin ==∠AD AE ADE , 030=∠ADE ． (3) 设三棱锥ADQ P -的内切球半径为r ，则ADQ P ADQ PDQ PAQ PAD V r S S S S -∆∆∆∆=⋅+++)(31∵3231=⋅=∆-PA S V ADQ ADQ P ，1=∆PAQ S ，2=∆PAD S ，1=∆Q AD S ，2=∆PDQ S ， ∴2222222-=+=r ．题九：见详解．详解：(1)依题设，M 在以BD 为直径的球面上，则BM ⊥PD ， 因为PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PD ． 又BM ∩AB ＝B ，因此有PD ⊥平面ABM ．因为PD 平面PCD ，所以平面ABM ⊥平面PCD ． (2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，M (0,2,2)，所以PC ＝(2,4，－4)，设平面ABM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AB ，n ⊥AM 可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，2y ＋2z ＝0，令z ＝－1，则y ＝1，即n ＝(0,1，－1)．设直线PC 与平面ABM 的夹角为α，则sin α＝|PC ·n|PC ||n ||＝223，故所求角的正弦值为223．题十：见详解．详解：(1)AB ∥平面DEF ．∵在△ABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB ，又AB 平面DEF ，EF 平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．(2)由题易知，AD 、DB 、DC 两两垂直，则以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，∴DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．易知平面CDF 的一个法向量为DA ＝(0,0,2)，设平面EDF 的一个法向量为n ＝(x , y , z )，则⎩⎨⎧DF ·n ＝0DE ·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝03y ＋z ＝0，令y ＝－3，则n ＝(3，－3，3)．∴cos〈DA ·n 〉＝DA ·n |DA ||n |＝217，∴二面角E －DF －C 的余弦值为217．(3)在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ．证明如下：在线段BC 上取点P ，使BP ＝13BC ，过P 点作PQ ⊥CD 于点Q ，连接AQ ，∴PQ ⊥平面ACD ．∴PQ ⊥DE ．∵DQ ＝13DC ＝233，且AD ＝2，∴∠DAQ ＝30°．又△ADE 为等边三角形，∴AQ ⊥DE ，又AQ ∩PQ ＝Q ，∴DE ⊥平面APQ ，∵AP平面APQ，∴AP⊥DE．。

1．空间向量的有关概念名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b相反向量 方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b ＝b ·a ；②分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ③λ(a·b )＝(λa )·b (λ∈R )． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( × )1.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫3210，4210，－22和⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，22 B.⎝⎛⎭⎫3210，4210，－22 C.⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，22 D.⎝⎛⎭⎫3210，4210，22或⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，－22 答案 A解析 因为与向量a 共线的单位向量是±a|a |，又因为向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4，5)＝±210(－3，－4,5)，故选A.3.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 4．(教材改编)已知a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________． 答案 1或－3解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4y ＋2x ＝0，4＋16＋x 2＝36解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.5．(教材改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________． 答案2解析 |EF →|2＝EF 2→＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC 2→＋CD 2→＋DF 2→＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.题型一 空间向量的线性运算例1 (1)已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c (2)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．①化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；②用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________. 答案 (1)B (2)①A 1A →②12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .(2)①A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.②OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 引申探究1．若本例(1)中将“点M 在OA 上，且OM ＝2MA ”改为“M 为OA 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →”，则OG →＝______________. 答案 16a ＋13b ＋13c解析如图所示， ∵OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23ON →－23OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ＝16a ＋13b ＋13c .. 2．若本例(2)中条件不变，问题改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD→＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值． 解 EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →. 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 题型二 共线向量定理、空间向量基本定理的应用 例2已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， (1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明 (1)如图，连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD . 又EH平面EFGH ，BD平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示． 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0)． (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可．空间向量基本定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________．答案 平行解析 取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底， 易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1， 且EF平面A 1B 1CD ，DB 1平面A 1B 1CD ，所以EF ∥平面A 1B 1CD .题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． (1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)]＝14×2a 2＝a 22.∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a .(3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 数量积的应用(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b |·|c |cos60°－|a ||c |cos60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.12．“两向量同向”意义不清致误典例 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________． 易错分析 将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a 、b 方向相同或相反．解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ， 两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例．[方法与技巧]1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、空间向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．[失误与防范]1．向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．2．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．1,1B ．1，12C.12，12D.12，1 答案 C解析 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →.∴x ＝12，y ＝12.3．(2014·广东)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1)答案 B解析 各选项给出的向量的模都是2，|a |＝ 2.对于选项A ，设b ＝(－1,1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×(－1)2×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项B ，设b ＝(1，－1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×12×2＝12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝60°，正确．对于选项C ，设b ＝(0，－1,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1×12×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项D ，设b ＝(－1,0,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1－12×2＝－1.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝180°.故选B.4．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 答案 C解析 取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°，因为AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0，所以AE →·BC →>AE →·CD →.5．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线a ，b 所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 C 解析如图，设AC →＝a ，CD →＝b ，DB →＝c ，则AB →＝a ＋b ＋c ，所以cos 〈AB →，CD →〉＝(a ＋b ＋c )·b |a ＋b ＋c ||b |＝12，所以异面直线a ，b 所成的角等于60°，故选C.6．在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为________． 答案 0 解析 方法一如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0. 方法二如图，在三棱锥A －BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0， AD →·BC →＝0.∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.7．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)． 答案 锐角解析 因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2 ＝AB →2>0，所以∠CBD 为锐角．同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角．8．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为______________． 答案 (14，14，14)解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接AE .OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋12AE →＝34OA →＋14(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴x ＝y ＝z ＝14.9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)． k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)， 且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时， 实数k 的值为2或－52.方法二 由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.∴当k a＋b与k a－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系．(1)写出点E、F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.(1)解E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴A1F→＝(－x，a，－a)，C1E→＝(a，x－a，－a)，∴A1F→·C1E→＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F→⊥C1E→，∴A1F⊥C1E.(3)证明∵A1、E、F、C1四点共面，∴A1E→、A1C1→、A1F→共面．选A1E→与A1C1→为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F→＝λ1A1C1→＋λ2A1E→，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x＝－aλ1，a＝aλ1＋xλ2，－a＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3) D ．(2,1,3)答案 B解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z . 则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，①因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3) ∴p ＝4a ＋2b ＋3c ，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3,1,3)． 12．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②解析 ①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3(A 1B 1→)2，故①正确； ②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD 1→|＝0，故④也不正确．13．(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.答案 1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图像是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y 2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12， ∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)， b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎨⎧ b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫52，32，t . ∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝⎛⎭⎫52－12x －y ，32－32x ，t ， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝⎛⎭⎫52－x 2－y 2＋⎝⎛⎭⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＋t 2＝2 2. 14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →；(3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， (1)EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14. (2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14. (3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ， |EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23， 由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.15.直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

[考纲传真] １．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.２．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.３．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.４．理解直线的方向向量及平面的法向量.５．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．１．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量方向向量A、B是空间直线l上任意两点，则称错误!为直线l的方向向量法向量如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量共线向量（或平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量（１）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λＢ．（２）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝x a＋yＢ．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．３．两个向量的数量积（１）非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．（２）空间向量数量积的运算律：１结合律：（λa）·b＝λ（a·b）；２交换律：a·b＝b·a；３分配律：a·（b＋c）＝a·b＋a·c.４．空间向量的坐标表示及其应用设a＝（a１，a２，a３），b＝（b１，b２，b３）．１．对空间任一点O，若错误!＝x错误!＋y错误!（x＋y＝１），则P，A，B三点共线．２．对空间任一点O，若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!（x＋y＋z＝１），则P，A，B，C四点共面．３．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为错误![基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）空间中任意两非零向量a，b共面．（）（２）若A，B，C，D是空间任意四点，则有错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0．（３）设{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．（４）两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．（）[答案] （１）√（２）√（３）×（４）×２．（教材改编）设u＝（—２,２，t），v＝（6，—４,４）分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．6C[∵α⊥β，则u·v＝—２×6＋２×（—４）＋４t＝0，∴t＝５．]３．（教材改编）在平行六面体ABCD­A１B１C１D１中，M为A１C１与B１D１的交点．若错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则下列向量中与错误!相等的向量是（）Ａ．—错误!a＋错误!b＋cＢ．错误!a＋错误!b＋cＣ．—错误!a—错误!b＋cＤ．错误!a—错误!b＋cA[错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝c＋错误!（b—a）＝—错误!a＋错误! b＋c.]４．已知A（１,0,0），B（0,１,0），C（0,0,１），则下列向量是平面ABC法向量的是（）Ａ．（—１,１,１）Ｂ．（１，—１,１）Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[设n＝（x，y，z）为平面ABC的法向量，则错误!化简得错误!∴x＝y＝z.故选Ｃ．]５．（教材改编）已知a＝（２,３,１），b＝（—４,２，x），且a⊥b，则|b|＝________.２错误![∵a⊥b，∴a·b＝0，即—8＋6＋x＝0，∴x＝２．∴b＝（—４,２,２），∴|b|＝错误!＝２错误!.]空间向量的线性运算１．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且错误!＝２错误!，若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，则x＋y＋z＝________.错误![连接ON，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝错误!—错误!＝错误!（错误!＋错误!）—错误!错误!＝错误!b＋错误! c—错误!a，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!c.又错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，所以x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!，因此x＋y＋z＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.]２．如图所示，在平行六面体ABCD­A１B１C１D１中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，M，N，P分别是AA１，BC，C１D１的中点，设用a，b，c表示以下各向量：（１）错误!；（２）错误!；（３）错误!＋错误!.[解] （１）因为P是C１D１的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝a＋错误!＋错误!错误!＝a＋c＋错误!错误!＝a＋c＋错误!Ｂ．（２）因为N是BC的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—a＋b＋错误!错误!＝—a＋b＋错误!错误!＝—a＋b＋错误!c.（３）因为M是AA１的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝—错误!a＋错误!＝错误!a＋错误!b＋c，又错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!c＋a，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!c.[规律方法] 用基向量表示指定向量的方法（１）结合已知向量和所求向量观察图形．（２）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．（３）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．共线（共面）向量定理的应用【例１】已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．（１）求证：E，F，G，H四点共面；（２）求证：BD∥平面EFGH.[证明] （１）连接BG，EG，则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!.所以E，F，G，H四点共面．（２）因为错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!.所以EH∥BD．又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.[规律方法] （１）证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证A，B，C三点共线，即证错误!，错误!共线，只需证错误!＝λ错误!（λ≠0）即可．（２）证明点共面问题，可转化为证向量共面问题．如证P，A，B，C四点共面，只需证错误!＝x错误!＋y错误!或对空间任意一点O，有错误!＝错误!＋x错误!＋y错误!或错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!（其中x＋y＋z＝１）即可．（）Ａ．２，错误!Ｂ．—错误!，错误!Ｃ．—３,２Ｄ．２,２（２）已知a＝（２，—１,３），b＝（—１,４，—２），c＝（7,５，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．（１）A（２）错误![（１）∵a∥b，∴设b＝x a，∴错误!解得错误!或错误!故选Ａ．（２）∵a与b不共线，故存在实数x，y使得c＝x a＋y b，∴错误!解得错误!故填错误!.]空间向量的数量积【例２】如图，在平行六面体ABCD­A １B１C１D１中，以顶点A为端点的三条棱长度都为１，且两两夹角为60° .（１）求AC１的长；（２）求BD１与AC夹角的余弦值．[解] （１）设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝１，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝错误!.|错误!|２＝（a＋b＋c）２＝a２＋b２＋c２＋２（a·b＋b·c＋c·a）＝１＋１＋１＋２×错误!＝6，∴|错误!|＝错误!，即AC１的长为错误!.（２）错误!＝b＋c—a，错误!＝a＋b，∴|错误!|＝错误!，|错误!|＝错误!，错误!·错误!＝（b＋c—a）·（a＋b）＝b２—a２＋a·c＋b·c＝１．∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!.∴AC与BD１夹角的余弦值为错误!.[规律方法] （１）利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．（２）利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．（３）可以通过|a|＝错误!，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．１１１＝１，∠BCA＝90°，棱AA１＝２，M，N分别是A１B１，A１A的中点．（１）求错误!的模；（２）求cos〈错误!，错误!〉的值；（３）求证：A１B⊥C１M.[解] （１）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC１所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．由题意得B（0,１,0），N（１,0,１），所以|错误!|＝错误!＝错误!.（２）由题意得A１（１,0,２），B（0,１,0），C（0,0,0），B１（0,１,２），所以错误!＝（１，—１,２），错误!＝（0,１,２），错误!·错误!＝３，|错误!|＝错误!，|错误!|＝错误!，所以cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!.（３）证明：由题意得C１（0,0,２），M错误!，错误!＝（—１,１，—２），错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝—错误!＋错误!＋0＝0，所以错误!⊥错误!，即A１B⊥C１M.利用向量证明平行与垂直问题【例３】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝２，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝４，CD＝１，点M在PB上，PB＝４PM，PB与平面ABCD成３0°角，求证：（１）CM∥平面PAD；（２）平面PAB⊥平面PAD．[解] （１）证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD 所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝３0°.∵PC＝２，∴BC＝２错误!，PB＝４，∴D（0,１,0），B（２错误!，0,0），A（２错误!，４,0），P（0,0,２），M错误!，∴错误!＝（0，—１,２），错误!＝（２错误!，３,0），错误!＝错误!.（１）设n＝（x，y，z）为平面PAD的一个法向量，由错误!即错误!令y＝２，得n＝（—错误!，２,１）．∵n·错误!＝—错误!×错误!＋２×0＋１×错误!＝0，∴n⊥错误!.又CM平面PAD，∴CM∥平面PAD．（２）法一：由（１）知错误!＝（0,４,0），错误!＝（２错误!，0，—２），设平面PAB的一个法向量为m＝（x0，y0，z0），由错误!即错误!令x0＝１，得m＝（１,0，错误!）．又∵平面PAD的一个法向量n＝（—错误!，２,１），∴m·n＝１×（—错误!）＋0×２＋错误!×１＝0，∴平面PAB⊥平面PAD．法二：取AP的中点E，连接BE，则E（错误!，２,１），错误!＝（—错误!，２,１）．∵PB＝AB，∴BE⊥PＡ．又∵错误!·错误!＝（—错误!，２,１）·（２错误!，３,0）＝0，∴错误!⊥错误!.∴BE⊥DＡ．又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD．又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．[规律方法] １．利用向量法证明平行问题的类型及方法（１）证明线线平行：两条直线的方向向量平行．（２）证明线面平行：１该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；２证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；３证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．（３）证明面面平行：两个平面的法向量平行．２．利用向量法证明垂直问题的类型及方法（１）证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0．（２）证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行．（３）证明面面垂直：１根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直；２两个平面的法向量垂直．如图所示，在长方体ABCD­A１B１C１D１中，AA１＝AD＝１，E为CD中点．（１）求证：B１E⊥AD１；（２）在棱AA１上是否存在一点P，使得DP∥平面B１AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．[解] 以A为原点，错误!，错误!，错误!的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a.（１）证明：A（0,0,0），D（0,１,0），D１（0,１,１），E错误!，B１（a,0,１），故错误!＝（0,１,１），错误!＝错误!.因为错误!·错误!＝—错误!×0＋１×１＋（—１）×１＝0，因此错误!⊥错误!，所以B１E⊥AD１.（２）存在满足要求的点P，假设在棱AA１上存在一点P（0,0，z0），使得DP∥平面B１AE，此时错误!＝（0，—１，z0），再设平面B１AE的一个法向量为n＝（x，y，z）．错误!＝（a,0,１），错误!＝错误!.因为n⊥平面B１AE，所以n⊥错误!，n⊥错误!，得错误!取x＝１，则y＝—错误!，z＝—a，则平面B１AE的一个法向量n＝错误!.要使DP∥平面B１AE，只要n⊥错误!，有错误!—az0＝0，解得z0＝错误!.所以存在点P，满足DP∥平面B１AE，此时AP＝错误!.。

空间向量与立体几何经典精讲主讲教师：陈孟伟北京八中数学特级教师引入立体几何在高考中既有选择填空题，又有解答题．同学们常常对立体几何的选择题、填空题感觉困难．原因是这类题目形式多样、方法灵活、对空间想象能力要求较高．而解答题的模式比较固定，通常先考查平行垂直的推理证明，然后考查空间中的成角问题，多用空间向量进行计算，历年的立体几何解答题都属于中低档题目，同学们感觉不很困难．听完本讲，这些题型你就能掌握的差不多了．重难点突破１、三视图与空间想象能力．有关三视图的题目大概有两类，一是由直观图的三视图，二是由三视图还原直观图。

前者掌握正投影的性质即可解决；后者较难，需要对基本图形的三视图比较熟悉，进而掌握组合图形的三视图还原．２、平行垂直的推理证明的分析．这部分证明既是高考考查的内容，又是解答后续题目的基础．我们往往利用分析法来需找证明的思路．３、与空间向量有关的计算．利用空间向量解题，若要建立空间直角坐标系，则必须先证明三个垂直．在接下来的金题精讲中，我们会逐一讲解这些重难点．金题精讲题一：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为（）．题二：（Ⅰ）某三棱锥的三视图如左图所示，该三棱锥的表面积是__________． （Ⅱ）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__________．题三：如图，111ABC A B C 是各棱长均相等的正三棱柱，,D E 分别1,CC AC 的中点．若P 为1BB 上一点，当PE //平面1AB D ，试确定点P 的位置．BAC C 1D B 1P A 1E题四：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC =，,F G 分别为线段111,AC BB 的中点，求证：（Ⅰ）平面ABC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）GF ⊥平面11AB C ．题五：如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为５，底面是边长为４的正三角形，1A B ⊥底面ABC ． （Ⅰ）求直线1A B 与平面11BB C C 所成角的正弦值；（Ⅱ）线段1A C 上是否存在除端点外的点P ，使直线AP 与BC 成60︒角．学习提醒题海无边，总结是岸！ B CA A 1B 1C 1 FG ABCA 1B 1C 1 P。

⾼考数学北师⼤理⼀轮复习第章⽴体⼏何与空间向量平⾏关系⽂档1．直线与平⾯平⾏的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝?aα，b?α，a∥αa∥b a∥α，aβ，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝?a∥b判定性质定义定理图形条件α∩β＝?aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβ结论α∥βα∥βa∥b a∥α【思考辨析】判断下⾯结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若⼀条直线平⾏于⼀个平⾯内的⼀条直线，则这条直线平⾏于这个平⾯．(×)(2)若⼀条直线平⾏于⼀个平⾯，则这条直线平⾏于这个平⾯内的任⼀条直线．(×)(3)如果⼀个平⾯内的两条直线平⾏于另⼀个平⾯，那么这两个平⾯平⾏．(×)(4)如果两个平⾯平⾏，那么分别在这两个平⾯内的两条直线平⾏或异⾯．(√)(5)若直线a与平⾯α内⽆数条直线平⾏，则a∥α.(×)(6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平⾯BCD.(√)(7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)1．⼀条直线l上有相异三个点A、B、C到平⾯α的距离相等，那么直线l与平⾯α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或lα答案 D解析当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，lα.2．设α，β，γ为三个不同的平⾯，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，则m∥n”中的横线处填⼊下列三组条件中的⼀组，使该命题为真命题．①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ.可以填⼊的条件有()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③答案 C解析由⾯⾯平⾏的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同⼀平⾯内，且没有公共点，所以平⾏，③正确．故选C.3．(教材改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平⾏于经过b的任何平⾯B．若直线a和平⾯α满⾜a∥α，那么a与α内的任何直线平⾏C．平⾏于同⼀条直线的两个平⾯平⾏D．若直线a，b和平⾯α满⾜a∥b，a∥α，b?α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平⾯内；B中，a与α内的直线可能异⾯；C中，两平⾯可相交；D中，由直线与平⾯平⾏的判定定理知，b∥α，正确．4．(教材改编)如图，正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD 1与平⾯AEC 的位置关系为________．答案平⾏解析连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，连接EO ，在△BDD 1中，O 为BD 的中点，所以EO 为△BDD 1的中位线，则BD 1∥EO ，⽽BD 1?平⾯ACE ，EO 平⾯ACE ，所以BD 1∥平⾯ACE .5．过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平⾯ABB 1A 1平⾏的直线共有________条．答案 6解析各中点连线如图，只有⾯EFGH 与⾯ABB 1A 1平⾏，在四边形EFGH 中有6条符合题意.题型⼀直线与平⾯平⾏的判定与性质命题点1 直线与平⾯平⾏的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上⼀点．(1)求证：AP ∥平⾯BEF ； (2)求证：GH ∥平⾯P AD . 证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平⾏四边形，∴O 为AC 的中点．⼜∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO平⾯BEF ，A P ?平⾯BEF ，∴AP ∥平⾯BEF .(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平⾯P AD.⼜∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平⾯P AD.⼜FH∩OH＝H，∴平⾯OHF∥平⾯P AD.⼜∵GH平⾯OHF，∴GH∥平⾯P AD.命题点2直线与平⾯平⾏性质定理的应⽤例2(2014·安徽)如图，四棱锥P－ABCD的底⾯是边长为8的正⽅形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共⾯的四点，平⾯GEFH⊥平⾯ABCD，BC∥平⾯GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的⾯积．(1)证明因为BC∥平⾯GEFH，BC平⾯PBC，且平⾯PBC∩平⾯GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.⼜BD∩AC＝O，且AC，BD都在底⾯内，所以PO⊥底⾯ABCD.⼜因为平⾯GEFH⊥平⾯ABCD，且P O?平⾯GEFH，所以PO∥平⾯GEFH.因为平⾯PBD∩平⾯GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底⾯ABCD，从⽽GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的⾼．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从⽽KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42， PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的⾯积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.思维升华判断或证明线⾯平⾏的常⽤⽅法：(1)利⽤线⾯平⾏的定义(⽆公共点)；(2)利⽤线⾯平⾏的判定定理(aα，bα，a ∥b ?a ∥α)；(3)利⽤⾯⾯平⾏的性质定理(α∥β，aα?a∥β)；(4)利⽤⾯⾯平⾏的性质(α∥β，aβ，a ∥α?a ∥β)．(1)如图所⽰，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE ∥平⾯P AB ；(2)如图所⽰，CD ，AB 均与平⾯EFGH 平⾏，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 (1)由已知条件有AC ＝2AB ＝2，AD ＝2AC ＝4，CD ＝2 3. 如图所⽰，延长DC ，AB ，设其交于点N ，连接PN ，因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，所以C为ND的中点，⼜因为E为PD的中点，所以EC∥PN，因为EC平⾯P AB，PN平⾯P AB，所以CE∥平⾯P AB.(2)∵CD∥平⾯EFGH，⽽平⾯EFGH∩平⾯BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平⾏四边形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异⾯直线CD和AB所成的⾓．⼜∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平⾏四边形EFGH为矩形．题型⼆平⾯与平⾯平⾏的判定与性质例3如图所⽰，在三棱柱ABC－A 1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共⾯；(2)平⾯EF A1∥平⾯BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.⼜∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共⾯．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵E F?平⾯BCHG，BC平⾯BCHG，∴EF∥平⾯BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平⾏四边形，∴A1E∥GB.∵A1E?平⾯BCHG，GB平⾯BCHG，∴A1E∥平⾯BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平⾯EF A1∥平⾯BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平⾯A1B1BA.证明如图所⽰，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，⼜H D?平⾯A1B1BA，A1B平⾯A1B1BA，∴HD∥平⾯A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平⾯A1BD1∥平⾯AC1D. 证明如图所⽰，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平⾏四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B平⾯A1BD1，D M?平⾯A1BD1，∴DM∥平⾯A1BD1.⼜由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平⾏四边形，∴DC1∥BD1.⼜DC1?平⾯A1BD1，BD1平⾯A1BD1，∴DC1∥平⾯A1BD1，⼜∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平⾯AC1D，∴平⾯A1BD1∥平⾯AC1D.思维升华证明⾯⾯平⾏的⽅法：(1)⾯⾯平⾏的定义；(2)⾯⾯平⾏的判定定理：如果⼀个平⾯内有两条相交直线都平⾏于另⼀个平⾯，那么这两个平⾯平⾏；(3)利⽤垂直于同⼀条直线的两个平⾯平⾏；(4)两个平⾯同时平⾏于第三个平⾯，那么这两个平⾯平⾏；(5)利⽤“线线平⾏”、“线⾯平⾏”、“⾯⾯平⾏”的相互转化．如图，在正⽅体ABCD—A 1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平⾯BDD1B1；(2)平⾯EFG∥平⾯BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点，∴EG ∥SB . ⼜∵SB平⾯BDD 1B 1，E G ?平⾯BDD 1B 1，∴直线EG ∥平⾯BDD 1B 1.(2)连接SD ，∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点，∴FG ∥SD . ⼜∵SD平⾯BDD 1B 1，F G ?平⾯BDD 1B 1，∴FG ∥平⾯BDD 1B 1，⼜EG平⾯EFG ，FG平⾯EFG ，EG ∩FG ＝G ，∴平⾯EFG ∥平⾯BDD 1B 1. 题型三平⾏关系的综合应⽤例4 如图所⽰，在四⾯体ABCD 中，截⾯EFGH 平⾏于对棱AB 和CD ，试问截⾯在什么位置时其截⾯⾯积最⼤？解∵AB ∥平⾯EFGH ，平⾯EFGH 与平⾯ABC 和平⾯ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ，∴截⾯EFGH 是平⾏四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异⾯直线AB 和CD 所成的⾓或其补⾓)．⼜设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平⾯⼏何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba (a－x )，∴S ?EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截⾯EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截⾯⾯积最⼤．思维升华利⽤线⾯平⾏的性质，可以实现与线线平⾏的转化，尤其在截⾯图的画法中，常⽤来确定交线的位置，对于最值问题，常⽤函数思想来解决．如图所⽰，四棱锥P －ABCD 的底⾯是边长为a 的正⽅形，侧棱P A ⊥底⾯ABCD ，在侧⾯PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找⼀点F ，使EF ∥平⾯P AD . 解如图所⽰，在平⾯PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平⾏四边形，∴FE ∥AG . ⼜AG平⾯P AD ，F E ?平⾯P AD ，∴EF ∥平⾯P AD . ∴F 即为所求的点．⼜P A ⊥⾯ABCD ，∴P A ⊥BC ，⼜BC ⊥AB ，∴BC ⊥⾯P AB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得： a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a .⼜CE ＝a 2－(63a )2＝33a ，∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23，即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23故点F 是AB 上靠近B 点的⼀个三等分点．5．⽴体⼏何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底⾯ABCD 为直⾓梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底⾯ABCD，SA ＝AB ＝BC ＝2.tan ∠SDA ＝23. (1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找⼀点E ，使CE ∥平⾯SAB ，并证明．规范解答解 (1)∵SA ⊥底⾯ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底⾯为直⾓梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，[4分] V S －ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平⾯SAB .[8分] 证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ，则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC綊EF，∴CE∥BF.[10分]⼜∵BF平⾯SAB，C E?平⾯SAB，∴CE∥平⾯SAB.[12分]解决⽴体⼏何中的探索性问题的步骤第⼀步：写出探求的最后结论；第⼆步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)⽴体⼏何中的探索性问题主要是对平⾏、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题⼀般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进⾏推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到⽭盾的结论就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成⽴”，“只需使……成⽴”．[⽅法与技巧]1．平⾏问题的转化关系线∥线判定性质线∥⾯判定⾯∥性质判定⾯2．直线与平⾯平⾏的主要判定⽅法(1)定义法；(2)判定定理；(3)⾯与⾯平⾏的性质．3．平⾯与平⾯平⾏的主要判定⽅法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.[失误与防范]1．在推证线⾯平⾏时，⼀定要强调直线不在平⾯内，否则会出现错误．2．在解决线⾯、⾯⾯平⾏的判定时，⼀般遵循从“低维”到“⾼维”的转化，即从“线线平⾏”到“线⾯平⾏”，再到“⾯⾯平⾏”；⽽在应⽤性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的⽅向总是由题⽬的具体条件⽽定，决不可过于“模式化”．3．解题中注意符号语⾔的规范应⽤．A组专项基础训练(时间：45分钟)1．平⾯α∥平⾯β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是() A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共⾯答案 D解析充分性：A，B，C，D四点共⾯，由平⾯与平⾯平⾏的性质知AC∥BD.必要性显然成⽴．2．(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平⾯，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同⼀平⾯，则α与β平⾏B．若m，n平⾏于同⼀平⾯，则m与n平⾏C．若α，β不平⾏，则在α内不存在与β平⾏的直线D．若m，n不平⾏，则m与n不可能垂直于同⼀平⾯答案 D解析对于A，α，β垂直于同⼀平⾯，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平⾏于同⼀平⾯，m，n关系不确定，可平⾏、相交、异⾯，故B错；对于C，α，β不平⾏，但α内能找出平⾏于β的直线，如α中平⾏于α，β交线的直线平⾏于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同⼀平⾯，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．3．设l为直线，α，β是两个不同的平⾯．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析l∥α，l∥β，则α与β可能平⾏，也可能相交，故A项错；由“同垂直于⼀条直线的两个平⾯平⾏”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平⾏，也可能lβ，也可能相交，故D项错．故选B.4．如图，四边形ABCD是边长为1的正⽅形，MD⊥平⾯ABCD，NB⊥平⾯ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平⾯AMNC．平⾯CMN⊥平⾯AMND．平⾯DCM∥平⾯ABN答案 C解析显然该⼏何图形为正⽅体截去两个三棱锥所剩的⼏何体，把该⼏何体放置到正⽅体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，⼜HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，⼜GB平⾯AMN，MH平⾯AMN，所以GB∥平⾯AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平⾯DCM∥平⾯ABN，所以D正确．5．下列四个正⽅体图形中，A，B为正⽅体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平⾯MNP的图形的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 B解析①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平⾯MNP∥平⾯AA′B可得出AB∥平⾯MNP(如图)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平⾯MNP.6．在四⾯体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重⼼，则四⾯体的四个⾯中与MN 平⾏的是________．答案平⾯ABD与平⾯ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平⾯ABD，MN∥平⾯ABC.7．将⼀个真命题中的“平⾯”换成“直线”、“直线”换成“平⾯”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同⼀平⾯的两直线平⾏；②垂直于同⼀平⾯的两平⾯平⾏；③平⾏于同⼀直线的两直线平⾏；④平⾏于同⼀平⾯的两直线平⾏．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)答案①③解析由线⾯垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同⼀直线的两平⾯平⾏也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同⼀平⾯的两平⾯可能平⾏或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平⾏于同⼀平⾯的两平⾯平⾏也是真命题，故③是“可换命题”；因为平⾏于同⼀平⾯的两条直线可能平⾏、相交或异⾯，故④是假命题，故④不是“可换命题”．8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底⾯是正⽅形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满⾜条件________时，有MN∥平⾯B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平⾯NHF∥平⾯B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平⾯B1BDD1.(答案不唯⼀)9.如图，ABCD与ADEF为平⾏四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平⾯DMF；(2)平⾯BDE∥平⾯MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，⼜BE平⾯DMF，MO平⾯DMF，所以BE∥平⾯DMF.(2)因为N，G分别为平⾏四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，⼜D E?平⾯MNG，GN平⾯MNG，所以DE∥平⾯MNG.⼜M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，⼜BD平⾯MNG，MN平⾯MNG，所以BD∥平⾯MNG，⼜DE与BD为平⾯BDE内的两条相交直线，所以平⾯BDE∥平⾯MNG.10.如图，E、F、G、H分别是正⽅体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)EG∥平⾯BB1D1D；(2)平⾯BDF∥平⾯B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平⾏四边形，故OB∥GE，由线⾯平⾏的判定定理即可证EG∥平⾯BB1D1D.(2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平⾏四边形，故HD 1∥BF . ⼜B 1D 1∩HD 1＝D 1， BD ∩BF ＝B ，所以平⾯BDF ∥平⾯B 1D 1H .B 组专项能⼒提升 (时间：30分钟)11．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，则下列命题中错误的是( ) A ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β C ．若mα，n β，m ∥n ，则α∥βD ．若m ，n 是异⾯直线，m α，m ∥β，n β，n ∥α，则α∥β答案 C解析由线⾯垂直的性质可知A 正确；由⾯⾯平⾏的性质可知B 正确；m α，n β，m ∥n ?α，β可能平⾏，也可能相交，故C 错误；由线⾯平⾏的性质和⾯⾯平⾏的判定定理可知D 正确．12.空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平⾏于两条对棱的截⾯四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．答案 (8,10)解析设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EHBD ＝1－k ，∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k . ⼜∵013．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三⾓形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平⾯DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平⾯DEFH ，那么四边形DEFH 的⾯积为________．答案452解析如图，取AC 的中点G ，连接SG ，BG . 易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，故AC ⊥平⾯SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平⾯DEFH ，SB 平⾯SAB ，平⾯SAB ∩平⾯DEFH ＝HD ，则SB ∥HD . 同理SB ∥FE .⼜D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从⽽得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平⾏四边形．⼜AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其⾯积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.14．(2015·四川改编)⼀个正⽅体的平⾯展开图及该正⽅体的直观图的⽰意图如图所⽰．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正⽅体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平⾯BEG 与平⾯ACH 的位置关系．并证明你的结论．解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所⽰．(2)平⾯BEG∥平⾯ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正⽅体，所以BC∥FG，BC＝FG，⼜FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平⾏四边形，所以BE∥CH，⼜CH平⾯ACH，B E?平⾯ACH，所以BE∥平⾯ACH，同理BG∥平⾯ACH，⼜BE∩BG＝B，所以平⾯BEG∥平⾯ACH.15.如图，已知正⽅形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2 6.(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；(2)在线段A′C上是否存在⼀点M，使得BM∥平⾯A′EF？若存在，求A′M的长；若不存在，请说明理由．解(1)如图所⽰，连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.∵四边形ABCD是正⽅形，AE＝AF＝4，∴H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从⽽有A′H⊥EF，CH⊥EF，⼜A′H∩CH＝H，所以EF⊥平⾯A′HC，且EF平⾯ABCD，从⽽平⾯A′HC⊥平⾯ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，。

课题平行关系与垂直关系的证明（第1课时） 教学目标 运用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理证明空间平行问题．重点线面平行的判定和性质． 难点线面平行的判定和性质的应用．线线平行、线面平行与面面平行关系的转化． 教学内容 【例题】（2021石景山期末改）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面PAB ；（∥）若平面PCD ∩平面PAB =m ，求证：CD ∥m ．【过程简析】证明空间平行问题可以利用线线平行、线面平行与面面平行间的关系进行转化．线面平行可以转化为线线平行或面面平行，前者需要在平面内找到一条线与平面外的直线平行，后者需要证明面面平行．线线平行可以转化为线面平行，利用线面平行的性质证明．解：（Ⅰ）法一：利用线面平行的判定定理取P A 中点F ，连接BF ，FM ，则FM ∥21AD ，BN ∥21AD ，所以FM ∥BN ， 所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ．又 MN 平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ．法二：利用面面平行的判定定理《立体几何》专题专题一：平行关系与垂直关系的证明2课时 专题二：夹角与距离问题2课时 专题三：立体几何探究问题1课时取P A 中点F ，AD 中点E ，连接BF ，FM ，ME ，EN ， 则ME ∥P A ，NE ∥AB ，由于⊄ME 平面P AB ，⊄NE 平面P AB ，所以ME ∥平面P AB ，NE ∥平面P AB ．又E NE ME = ，所以平面EMN ∥平面ABF ，所以MN ∥平面P AB ．（∥）利用面面平行的性质定理过P 作m ∥AB ．由于CD ∥AB ，⊄CD 平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ．由于P ∈平面PCD ∩平面PAB ，所以P ∈m ，所以平面PCD ∩平面PAB =m ．又CD ⊂平面PCD ，所以CD ∥m ．【变式练习】（2019朝阳一模文改）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，M 为线段BD 的中点，1AB AD ==，2BC =． （∥）求证：CE //平面AMF ；（∥）求证：平面AFM ∥平面DEC ．【答案】（∥）连接AM 并延长交BC 于G ，则G 为BC 中点，连接FG 可证EF ∥CG ，则CE ∥FG ．由线面平行的判定定理，可证CE //平面AMF ．（∥）由AF ∥DE ，AG ∥CD ，可证AF ∥平面DEC ，AG ∥平面DEC ，所以平面AFG //平面DEC ．【小结】证明线面平行的方法：（1）利用线面平行的判定定理，关键是在平面内找到一条直线与平面外的直线平行．可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则可利用三角形的中位线、平行四边形或比例关系等构造出直线．（2）利用面面平行的性质，先证明面面平行．（3）当平行线或平行平面均不容易得到时，可以考虑用向量法，证明平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．利用线面平行的性质定理，关键是找到两个平面的交线，需要满足线面平行、线在面内、两面相交三个条件．【易错点】（1）证明线面平行时，没有说明“线在面外”．（2）利用线面平行的性质定理时，三个条件（线面平行、线在面内、两面相交）不全．【作业设计】1.（必修二P142）判断下列命题是否正确．若正确，则说明理由；若错误，则举出反例．（1）已知平面α，β和直线m，n，若mα⊂，m//β，⊂，nα∥．n//β，则αβ（2）若一个平面α内的两条不平行的直线都平行于另一平面β，∥．则αβ2.填空：（1）直线与平面平行的性质定理：若，则l∥b．（2）平面与平面平行的判定定理：若，则α∥β．3.（2018北京高考文改）如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（∥）求证：CD ∥平面P AB ；（∥）求证：EF ∥平面PCD .4.（2014北京高考理改）如图，四边形AMDE 为正方形，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点H G ,.求证：FG AB //.5.（2017北京高考理改）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ．求证：M 为PB 的中点．6.（2019北京高考文改）如图，在四棱锥教学目标运用线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理证明空间垂直问题．重点线面垂直的判定和性质．难点线面垂直的判定和性质的应用．线线垂直、线面垂直和面面垂直关系的转化．教学内容【例题】（2018北京高考文）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（∥）求证：PE⊥BC；（∥）求证：平面P AB⊥平面PCD.【过程简析】证明空间垂直问题可以利用线线垂直、线面垂直和面面垂直间的关系进行转化．线线垂直可以转化为线面垂直，或者利用面面垂直的性质．面面垂直可以转化为线面垂直，需要找两个交线与已知直线垂直．解：（∥）利用面面垂直的性质定理由于P A=PD，E为AD中点，所以PE⊥AD．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC．（∥）利用面面垂直的判定定理由于底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．由于PE⊥平面ABCD，所以AB⊥PE．又PE∩AD=E，所以AB⊥平面P AD，所以P A⊥AB．又AB∥CD，所以P A⊥CD．由于P A⊥PD，PD∩CD=D，所以P A⊥平面PCD．又P A 平面P AB，所以平面P AB⊥平面PCD．【变式练习】-中，PA⊥平面（2019北京高考文改）如图，在四棱锥P ABCDABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．【答案】（Ⅰ）由BD⊥AC，BD⊥PA，可证BD⊥平面PAC；（Ⅱ）由∠ABC=60°，可证AB⊥AE，又PA⊥AE，可证AE⊥平面PAB，可证平面PAB⊥平面PAE．【小结】证明线面垂直的方法：（1）利用线面垂直的判定定理，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．在平面内，可以通过等腰三角形、菱形或正方形的性质找到垂直关系．（2）利用面面垂直的性质定理，需要面面垂直、面面相交、线线垂直三个条件．（3）利用向量法，证明直线的方向向量与平面的法向量平行．【易错点】（1）利用线面垂直的判定定理时，三个条件（两个垂直、两条直线相交）不全．（2）利用面面垂直的性质定理时，三个条件（面面垂直、面面相交、线线垂直）不全．【作业设计】1.填空（1）平面与平面垂直的判定定理：若 ，则α⊥β．（2）平面与平面垂直的性质定理：若 ，则l ⊥α．2.（2020丰台二模改）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ∥PB ，MA ⊥BC ，AB ⊥PB .求证：PB ⊥平面ABCD .3.（2020东城一模改）在四棱锥中，△PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，AB ∥CD ，AB ⊥AD .求证：平面PCD ⊥平面P AD ．4.（2021丰台二模改）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 和CDEF 都是直角梯形，AB ∥CD ，CD ∥EF ，AB=EF =1，DA ＝DC=DE ＝2，2ADE ADC EDC π∠=∠=∠=，G 为DC 中点．求证：(Ⅰ) 求证：AD ∥平面BFG ；(Ⅱ)求证：BG ⊥平面CDEF ．5.（2019朝阳二模理改）在三棱柱111ABC A B C -P ABCD -GEB 1A 1C 1A B CD中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且AB=4，122BB =. (Ⅰ)求证：//EG 平面1AB D ；(Ⅱ)求证：1BC ⊥平面1AB D ．6.（2017北京高考理改）如图，在三棱锥P ­ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：P A ⊥BD ；（∥）求证：平面BDE ⊥平面P AC ．【答案】1.（1）l ⊥α，β⊂l ；（2）α⊥β，β⊂l ，a =βα ．2.由AD ⊥DE ，AD ⊥DC ，可证AD ⊥平面CDEF ．3.由已知，PE ⊥AD ．又平面平面，PE ⊥平面ABCD ， 可证PE ⊥CD ．由AB ⊥AD ，AB ∥CD ，可证CD ⊥AD ，可证CD ⊥平面P AD ，故平面PCD ⊥平面P AD ．4.（Ⅰ）由AB ∥DG ，可得四边形ABGD 为平行四边形，可得AD ∥BG ，可证AD ∥平面BFG ；（∥）由AD ⊥平面DEC ，AD ∥BG ，可证BG ⊥平面CDEF ．5. （Ⅰ）由EG ∥AB 1，可证EG ∥平面AB 1D ；（∥）由11222tan 42CC C BC BC ∠===，1122tan 222BD B BD BB ∠===，可得112C BC B DB π∠+∠=，所以BC 1⊥B 1D ，又BC 1⊥AD ，可证PAD ⊥ABCD10,0.AD AB == ,2.z z =-=- ，则所以平面AB D 1与平面1(0,0,4)BB =111sin cos ,BB BB BB θ==n n n12221(0,0,4)(2,1,1)421(1)BB BB -===++-n n与平面AB 1D 所成的角的正弦值为(0,0,)E a ，则(2,0,)BE a =-，所以AB 1C 的一个法向量为由（Ⅱ）可知，平面AB 1D 的一个法向量为设平面AB 1C 与平面AB 1D 的夹角为,BE BE BE =nn n22222,0,1)(2,1,1)(2)121(BE BE --=-+++-n n1=-1AB BE ⊥440a -==(2BE -,即平面AB 1C 与平面AB 1D 夹角的余弦值为306． 【变式练习】（2020海淀一模改）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB =BB 1=2BC =2， BC 1=3，点E 为A 1C 1的中点．（I ）求证：C 1B ⊥平面ABC ：（II ）求1CC 与平面BCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面ABC 与平面BCE 夹角的大小． 【答案】（I ）由22211BC BC CC +=，可得C 1B ⊥BC ．由AB ⊥平面BB 1C 1C ，可得C 1B ⊥AB ，可证C 1B ⊥平面ABC ．（II ）以B 点为原点，BC ，BC 1，BA 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系．由(1,0,0)BC =，1(,3,1)2BE =-，可得平面BCE 的一个法向量为(0,1,3)=-n ．又1(1,3,0)CC =-，可得1CC 与平面BCE 所成角的正弦值为34． （Ⅲ）由（I ）可知，平面ABC 的一个法向量为(0,1,0)=m ，平面BCE 的一个法向量为(0,1,3)=-n ，平面ABC 与平面BCE 的夹角为3π．【小结】利用向量法首先要根据空间图形的特点建立合理的空间直角坐标系，然后求出相关点、线、面对应的向量坐标．计算两个平面的夹角时，要分别求出两个平面的的法向量．两个平面的夹角即为这两个法向量的夹角或其补角．直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，公式为sin φ＝|cos θ|(其中φ为直线与平面所成的角，θ为直线的方向向量与平面的法向量的夹角)． 【易错点】（1）没有找到三条相互垂直的直线，导致空间直角坐标系错误； （2）空间点、线、面的坐标表示错误；（3）运用线面所成的角或两个平面的夹角公式过程中有关计算错误． 【作业设计】1.（2019北京高考理改）如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （I ）求证：CD ⊥平面PAD ；（II ）求平面AEF 与平面PAD 夹角的余弦值．2.（2020北京高考理）如图，在正方体ABCD －A １B １C １D １中，E 为BB 1的中点． （I ）求证：BC 1∥平面AD 1E ； （II ）求直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值．3.（2021北京高考理改）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D中点，直线11B C 交平面CDE 于点F . （I ）求证：点F 为11B C 中点；（II ）若点M 为棱11A B 上一点，且平面角CMF 与平面CEF 夹角的余弦值为53,求111A M AB .4.（2021丰台一模改）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，M 是棱PB 上的点，O 是AD 中点，且PO ⊥底面ABCD ，3OP OA =． （Ⅰ）求证：BC ⊥OM ；（Ⅱ）若35PM PB =，求平面角BOM 与平面COM 夹角的余弦值．5.（2020东城一模改）在四棱锥中，为正三角形，平面平面，为的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】1.（Ⅰ）由PA ⊥平面ABCD ，可得CDP ABCD -PAD ∆PAD ⊥ABCD E AD //AB CD AB AD ⊥224CD AB AD ===PCD ⊥PAD PB PCD⊥PA ，又AD ⊥CD ，可证CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）33． 2.（I ）由BC 1∥AD 1，可得BC 1∥平面AD 1E ；（II ）23． 3.（I ）由CD ∥C 1D 1，可得CD ∥平面A 1B 1C 1，可得CD ∥EF ，又E 为A 1D 1中点，所以F 为B 1C 1中点；（II ）12． 4.（I ）连接BD ，632OBC OBD CBD πππ∠=∠+∠=+=，所以BC⊥OB ．又BC ⊥OP ，可证BC ⊥平面POB ，可得BC ⊥OM ； （II ）34． 5.（I ）由CD ⊥PE ，CD ⊥AD ，可证CD ⊥平面PAD ，可证平面PCD ⊥平面PAD ； （II ）64．课题 夹角与距离问题（第4课时）教学目标 利用向量法求空间内点到线、点到面和线到面的距离．重点 空间图形基本要素及其关系的向量表示，用向量方法解决点到线、点到面和线到面的距离问题．难点 空间图形基本要素与向量之间的关系，把点到线、点到面和线到面的距离转化为向量问题．教学内容【例题】（选择性必修第一册P 34）如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD －A １B １C １D １中，E 为线段A １B １的中点，F 为线段AB 的中点．（Ⅰ）求点B 到直线AC １的距离； （Ⅱ）求直线FC 到平面AEC １的距离．【过程简析】点到直线、线到面的距离可以转化为向量问题．点到直线的距离需要找出“参考向量”在直线方向向量上的投影，然后用勾11AB BC AC h =，112633AB BC AC =． FC ∥平面AEC 1，所以直线FC 到平面到平面AEC 的距离．到平面AEC 1，(0,AF =1(0,2AF =(0,1,0)AB =，u=1133AC AC =， 到直线1AC 的距离为22()1-=-a a u FC ∥平面，所以直线点F 到平面的距离．，)所以110,20.AE x y AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-+-=⎩n n 所以1,21.2x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以平面AEC １的一个法向量为(1,2,1)=n ．由1(0,,0)2AF =，可得点F 到平面AEC １的距离为1(0,,0)(1,2,1)6266AF ==n n ． 即直线FC 到平面AEC １的距离为66． 【变式练习】（选择性必修第一册P 35）如图，在棱长为1的正方体ABCD －A １B １C １D １中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．（Ⅰ）求点A １到直线B １E 的距离； （Ⅱ）求直线FC １到直线AE 的距离； （III ）求点A １到平面AB １E 的距离； （IV ）求直线FC １到平面AB １E 的距离． 【答案】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）由)0,1,0(11-=A B ，)21,1,1(1---=E B ，可得点A １到直线B １E 的距离为221111115()3B E B A B A B E-=． （Ⅱ）由于FC １∥AE ，故点F 直线AE 的距离即为直线FC １到直线AE 的距离由)21,0,1(-=AE ，)21,1,0(=AF ，可得点F 直线AE的距离为2230()5AE AF AFAE-=． （III ）由)1,1,0(1=AB ，)1,0,0(1=AA ，可得平面AB １E 的一个法向量(1,2,2)=-n ，可得点A １到平面AB １E 的距离为123AA =n n． （IV ）由于FC １∥平面AB １E ，故点F 到平面AB １E 的距离即为直线FC １到平面AB １E 的距离．由)21,1,0(=AF ，可得点F 到平面AB １E 的距离为13AF =n n． 【小结】明确用向量解决立体几何问题的“三部曲”（建立图形与向量的联系、向量运算、“翻译”）．注意“参考向量”和平面法向量的确定方法，平面的法向量不唯一，要选取合适的“参考向量”．线和线的距离可以转化为点到线的距离．线和面的距离、面和面的距离都可以可以转化为点到面的距离． 【易错点】（1）不会选取合适的“参考向量”，不会找平面的法向量； （2）没有找“直线方向向量的单位向量”或“平面法向量的单位向量”．（3）线到线的距离、线到面的距离和面到面的距离转化错误． 【作业设计】1.（选择性必修第一册P 44）如图，在棱长为1的正方体ABCD －A １B １C １D １中，E 为线段CD 的中点，求点D １到平面AEC １的距离．2.如图， 在直三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是棱AC 和11A C 的中点，90ABC ∠=︒，B 1EFC 1A 1BAC课题立体几何（第5课时）1AB BC ==，12AA =．（Ⅰ）求点C 1到直线A 1B 的距离； （Ⅱ）求点A 到平面A 1BE 的距离．3.（选择性必修第一册P 42）如图，四面体OABC 有所有棱长都是1，D ，E 分别是OA ，BC 的中点，连接DE ． （Ⅰ）计算DE 的长；（Ⅱ）求点O 到平面ABC 的距离．4.（选择性必修第一册P 35）如图，在棱长为1的正方体ABCD －A １B １C １D １中，求平面A １DB 与平面D １CB 1的距离． 【答案】1.63．2.（Ⅰ）315；（Ⅱ）510．3.（Ⅰ）22；（Ⅱ）63．4.33．教学目标 利用空间向量方法解决立体几何中的探究性问题． 重点 空间直角坐标系的建立，动点的向量坐标表示． 难点动点的向量坐标表示，求解动点坐标的方程（组）．教学内容 【例题】(2019北京改）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A =AD =CD=2，BC=3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）线段PB 上是否存在点G ，使得⊥AG 平面PCD ？若存在，求出PGPB的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【过程简析】在运用向量法解决空间图形位置关系时，要首先明确其与向量的联系．要判断“线面是否垂直”就要判断“直线的方向向量与平面的法向量的数量积是否为0”.要判断“直线是否在面内”就要判断“直线的方向向量与平面的法向量的数量积是否为0”，或“直线的方向向量能否用平面的两个基向量线性表示”． 解：（Ⅰ）如图,取线段BC 上点M ,使得MC=2BM ．依题意可知AM ,AD ,AP 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则)000(，，A ,)012(，，-B ,)022(，，C ,)020(，，D , )200(，，P ,)110(，，E ,)343232(，，F ， 所以)2,1,2(--=PB ．设PB PG λ=，则)2,1,2()2,,1--=-λG G G z y x （, 得)222(111λλλ--，，G . 又)220(-=，，PD ， )002(，，-=CD ，24AG PD AG GD λλ⋅=-⋅=-由于方程组无解，所以（Ⅱ）法一：利用线面垂直的定义由上可知2(G λ22223n AE y n AF x ⎧⋅=+⎪⎨⋅=⎪⎩1，得12-=x 由14(3AG n ⋅=⋅G 在平面AEF 法二：利用空间向量基本定理AF AG μλ+=22211224n PD y n CD z ⋅=⋅=-令11=z ，得由10AG n ⋅=，即2(3232==PB 这说明在线段PB （Ⅱ）直线AG 与平面④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦. 其中正确的结论是（ ）A ． ∥∥B ．∥∥C ．∥∥D ．∥∥ 2.(2021丰台二模改)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 和CDEF 都是直角梯形，AB CD ，CD EF ，1AB EF ==，2DA DC DE ===，2ADE ADC EDC π∠=∠=∠=，点M 为棱CF 上一点，平面AEM 与棱BC 交于点N ．若平面AEM 与平面CDEF 夹角的余弦值为32，求FM FC 的值．3.(2020东城一模)在四棱锥中，为正三角形，平面平面，为的中点，，，.在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．4.（2020朝阳二模）如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ，4AD ，2DE EF ，且π3EDC . 设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．【答案】1.B.2.13．3.14．4.3． P ABCD -PAD ∆PAD ⊥ABCD E AD //AB CD AB AD ⊥224CD AB AD ===CD M AM ⊥PBE DM DC。