高中数学必背公式——立体几何与空间向量
知识点复习：
1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。
2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。
3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化： 线线平行
线面平行
面面平行，线线垂直
线面垂直
面面垂直。
4．求角：（1）异面直线所成的角：
可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos |cos ,|a b θ=<>=
1212122
222
2
2
1
1
1
222
||||||
a b a b x y z x y z ⋅=
⋅++⋅++（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）。
（2）直线与平面所成的角：
在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB 与平面所成角sin ||||
AB m AB m β⋅=
(m 为平面α的法向量). （3）二面角：
方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法；
方法二：向量法：二面角l αβ--的平面角cos ||||
m n arc m n θ⋅=或cos ||||m n
arc m n π⋅-
（m ，n 为平面α，β 的法向量）. 5. 求空间距离：
（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”； （2）两条异面直线的距离：||
||
AB n d n ⋅=
（n 同时垂直于两直线，A 、B 分别在两直线上）； （3）求点面距： ||
||
AB n d n ⋅=
（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。 题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积 例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，
其三视图如右，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰 长为5，则该几何体的体积是（ ） A.
43π B.2π C.83π D.103
π 例2：某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积 为（ ）
A.180
B.200
C.220
D.240
例3：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A ．10π
B ．11π
C ．12π
D ．π13 题型二：空间点、线、面位置关系的判断
例4：已知m 、n 是不重合的直线，α和β是不重合的平面，有下列命题：
（1）若α⊂m ，n ∥α，则m ∥n ；（2）若m ∥α，m ∥β，则α∥β； （3）若n =⋂βα，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； （4）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
例5：给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直； 其中真命题的个数是( )．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 例6：给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直； 其中正确命题的个数为（ ）.
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
2 3
2 2
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
☆题型三：空间线面位置关系的证明和角的计算
例7：空间四边形ABCD 中，CD AB =且成0
60的角，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，求异面直线AB 和MN 成的角．
例8：已知三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥，AB AC PA 2
1
=
=， N 为AB 上一点，AN AB 4=，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.
（1）证明：SN CM ⊥；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 例9：如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ． 底面ABCD 为梯形，//AB DC ，AB BC ⊥．PA AB BC ==， 点E 在棱PB 上，且2PE EB =． （1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （2）求证：PD ∥平面EAC ；
（3）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．
例10：已知四棱锥ABCD P -的底面为直角梯形，DC AB //，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ， 且12
1
==
==AB DC AD PA ，M 是PB 的中点。 （1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角余弦值；
（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值。 题型四：空间距离的计算
例11：点M 是线段AB 的中点，若A 、B 到平面α的距离分别为cm 4和cm 6，则点M 到平面α的距离为 .
例12：如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. （1）求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；（2）求AB 和CD 间的距离； 例13：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，5=AB ，2=BC ，
221=AA ，E 在AD 上，且1=AE ，F 在AB 上，且3=AF ，
（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。
例14：如图，正方形ABCD 与ABEF 成︒60的二面角，且正方形的边长为a ，M 、N 分别为BD ，EF 的中点，求异面直线BD 与EF 的距离。
