(三)立体几何与空间向量
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M是PC上一点，且BM⊥PC.
(1)求证：PC⊥平面MBD；
(2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值.
(1)证明连接AC，由P A⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，得BD⊥P A，
又BD⊥AC，P A∩AC＝A，
P A，AC⊂平面P AC，
∴BD⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴PC⊥BD.
又PC⊥BM，BD∩BM＝B，
BD，BM⊂平面MBD，
∴PC⊥平面MBD.
(2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD，
即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角.
不妨设P A＝1，则BC＝1，PC＝3，PB＝ 2.
∴PC2＝PB2＋BC2，∴PB⊥BC，又BM⊥PC，
∴sin∠PBM＝cos∠BPC＝PB
PC＝2
3
＝
6
3，
故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为
6 3.
方法二以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz(如图所示)，
不妨设P A ＝AB ＝1，
则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0).
由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC →
＝(1,1，－1)， 而PB →
＝(1,0，－1).
∴cos 〈PB →，PC →
〉＝(1，0，－1)·(1，1，－1)2×3＝63，
故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为
63
. 2.如图，已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，AC ∥DF ，四边形BCDE 为直角梯形，且DE ∥BC ，BC ⊥CD ，点G 为△ABC 的重心，N 为AB 的中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点.
(1)求证：GM ∥平面DFN ； (2)若二面角M －BC －D 的余弦值为
7
4
，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ，连接ON ，OF .
因为点G 为△ABC 的重心， 所以AG AO ＝2
3，且O 为BC 的中点.
又由题意知，AM →＝23AF →
，
所以AG AO ＝AM AF ＝23，
所以GM ∥OF .
因为点N 为AB 的中点，
所以NO ∥AC . 又AC ∥DF ， 所以NO ∥DF ，
所以O ，D ，F ，N 四点共面， 又OF ⊂平面DFN ，GM ⊄平面DFN ， 所以GM ∥平面DFN .
(2)解 连接OE .由题意知，AG ⊥平面BCDE ， 因为AG ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面BCDE ，
又BC ⊥CD ，平面ABC ∩平面BCDE ＝BC ， CD ⊂平面BCDE ， 所以CD ⊥平面ABC .
又四边形BCDE 为直角梯形，BC ＝2，DE ＝1， 所以OE ∥CD ， 所以OE ⊥平面ABC .
因为BC ∥DE ，DE ⊄平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC ， 同理DF ∥平面ABC ，
又因为DE ∩DF ＝D ，DE ，DF ⊂平面DEF ， 所以平面ABC ∥平面DEF ，
又△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，
故以O 为坐标原点，OC ，OE ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .
设CD ＝m (m >0)， 则C (1,0,0)，D (1，m ，0)， A (0,0，3)，F ⎝⎛⎭⎫12，m ，3
2，
B (－1,0,0)，N ⎝⎛⎭⎫－12，0，3
2，
因为AM →＝23
AF →
，
所以M ⎝⎛⎭⎫13，2m 3，233，BC →
＝(2,0,0)，
BM →
＝⎝⎛⎭⎫43，2m 3
，233
设平面MBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n ·BC →＝2x ＝0，
n ·BM →＝43x ＋2m 3y ＋23
3z ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝－3m z ，
令z ＝－m ，得n ＝(0，3，－m ). 又平面BCD 的法向量为v ＝(0,0,1). 由题意得|cos 〈v ，n 〉|＝
|v ·n ||v ||n |＝m 3＋m 2＝7
4
， 解得m ＝
21
3
， 又MN →＝⎝⎛⎭⎫－56，－2m 3，－36，CD →
＝(0，m ，0)，
所以|cos 〈MN →，CD →
〉|＝|MN →·CD →
||MN →||CD →|
＝
m
m 2＋
7
4＝277，
所以异面直线MN 与CD 所成角的余弦值为27
7
.
3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面ABCD ⊥平面P AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AP ＝1
2AD ，
∠ADP ＝30°，∠BAD ＝90°，E 是PD 的中点.
(1)证明：PD ⊥PB ；
(2)设AD ＝2，点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为10
5
，求二面角M －AB －P 的余弦值.
(1)证明 ∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD ，
∵平面ABCD ⊥平面P AD ，平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，
