重庆理工大学概率论与数理统计A【理工】(2011--2012下学期)

重庆理⼯⼤学概率论试卷和答案重庆理⼯⼤学概率论试卷和答案概率与数理统计复习资料⼀、单选1. 设随机事件与互不相容，且则（）A. ）B.C. D.2. 设，为随机事件，, ，则必有（）A. B. C. D.3. 将两封信随机地投⼊四个邮筒中，则未向前⾯两个邮筒投信的概率为（）A. B. C. D.4. 某⼈连续向⼀⽬标射击，每次命中⽬标的概率为，他连续射击直到命中为⽌，则射击次数为的概率是（）A. B. C. D.5. 已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（）A. B. C. D.6. 如果函数是某连续随机变量 X 的概率密度，则区间可以是（）A. B. C. D.7. 下列各函数中是随机变量分布函数的为（）A. B.C.D.8. 设⼆维随机向量（ X,Y ）的联合分布列为（） Y X 01210 2则A. B. C. D.9. 已知随机变量和相互独⽴，且它们分别在区间和上服从均匀分布，则（） A. B. C.D.10. 设为标准正态分布函数，，且,相互独⽴。

令，则由中⼼极限定理知 Y 的分布函数近似于（）A. B. C. D.11. 设随机事件 A 与 B 互不相容，且有 P(A)>0 ， P(B)>0 ，则下列关系成⽴的是( )A. A ， B 相互独⽴B. A ， B 不相互独⽴C. A ， B 互为对⽴事件D. A ， B 不互为对⽴事件12. 已知 P(A)=0.3 ， P(B)=0.5 ，P(A ∪ B)=0.6 ，则 P(AB)=( ).A. 0.15B. 0.2 C . 0.8 D. 113. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ，则 f(x) ⼀定满⾜（）A.0 ≤ f(x) ≤ 1B.C.D.f(+ ∞ )=114. 从 0 ， 1 ，…， 9 ⼗个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“ 8 ” ⾄少出现⼀次的概率为 ( )A.0. 1B. 0.3439C. 0.4D. 0.656115. 设⼀批产品共有 1000 个，其中有 50 个次品。

2012～ 2013学年第一学期考查试卷课程序号 班级 学号 姓名 ____________1．设 5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则下列结论中正确的是 （ ） (A)9.0)(=B A P (B) 1.0)(=-B A P (C)2.0)(=AB P (D) B A ⊄．2．一个宿舍4个学生中恰好有2人生日在1月份的概率是 （ ）(A)22441112C (B) 244111012C ⨯ (C) 241112 (D) 4111012⨯3．设随机变量1X ,2X 的分布函数分别为)(1x F ,)(2x F ，且1X 与2X 相互独立，则下列函数中为某个随机变量分布函数的是 （ ） (A) )(1x F )(2x F + (B) )(1x F )(2x F - (C) )()(21x F x F (D) )(1x F 1)(2-+x F4．设随机变量)1,0(~N X ，则X Y 2=的概率密度为 （ ） (A)8221y e-π(B)82221y e-π(C)22221y e-π(D)8222y e-π5．若X 服从(1,5)-上的均匀分布，则()E X ，()D X 分别为 （ ） (A) 2,3 (B) 3,3 (C) 3,2 (D) 2,26．设,21,4)(,1)(-===XY Y D X D ρ则=-)2(Y X D （ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 127．据医学统计，心肌梗塞病人约70%有先兆症状，某医院收治了100名心肌梗塞病人，其中有先兆症状的病人数为X ，则下列结论中错误的是 （ ） (A) )7.0,100(~B X (B) 20803.07.0}80{==X P(C) )21,70(~N X 近似(D) 8070{80}21P X -⎛⎫≤≈Φ ⎪⎝⎭8．若2212()~(1)Y a X X χ=+，其中12,X X 是取自正态总体)1,0(N 的样本，则 （ ）(A) 14a = (B) 4a = (C) 12a = (D) 2a =二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，将答案填在下面对应的空格中） 1．两个学生参加某个公司的招聘会，被聘用的概率分别为0.6和0.7，则两个学生至少有一人被该公司聘用的概率为 ．2．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈+=)1,0(,0)1,0(),1()(x x x kx x f ，则常数=k .3．甲乙两支乒乓球队计划进行10场比赛，假设甲队获胜X 场，乙队获胜Y 场，则X 与Y 的相关系数=XY ρ ．4．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，X 为样本均值，容量为n ，则()D X = ． 5．设总体X 的分布律为（210<<θ）为未其中θ知参数，若样本均值23=x ，则参数θ的矩估计值=θˆ ． 6．设321,,X X X 是来自总体X 的样本，下列总体均值μ的无偏估计量中最有效的是 ．3211213161X X X Y ++=，3212214141X X X Y ++=，3213313131X X X Y ++=7．从去年死亡的人中随机选取100人，其平均寿命为71.8岁，标准差为8.9岁，假设人的寿命服从正态分布，在显著水平01.0=α下，是否可以认为现在人的平均寿命μ已经超过了70岁？则在假设检验中，原假设0H 应选为 ． 8．根据成年男性身高x (m)与体重y (kg)的抽样数据计算得到1.757,67.597,0.0384, 4.6464,678.4,xx xy yy x y L L L =====则成年男性体重y 关于身高x 的线性回归方程为=y ˆ ．三、（10分）有个学生把钥匙丢了，钥匙丢在宿舍、教室或路上的概率分别为0.4、0.35、0.25，而在这些地方找到钥匙的概率分别为0.9、0.3、0.1，(1)求该学生找到钥匙的概率；(2)若钥匙已经找到，求当初钥匙的确是丢在了宿舍的概率．X 0 1 2 3k p 2θ )1(2θθ- 2θ θ21-四、（10分）设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=Gy x Gy x y x f ),(,0),(,1),(，其中区域G 由1,==y x y 所围成．(1) 求关于X 、Y 的边缘概率密度)(x f X 、)(y f Y ，并由此判断X 与Y 是否相互独立？ (2)求)(X E ,)(Y E ,)(XY E ，并由此判断X 与Y 是否互不相关？五、（10分）设总体X 的概率密度为x e x f λλ2)(-=（0>λ），求参数λ的极大似然估计．六、（7分）一台机器生产圆柱形金属片，从中提取样本，直径（cm ）分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03，1.02．假设金属片的直径服从正态分布，求这台机器生产的金属片直径均值置信度为99%的置信区间．七、（10分）在A 班随机抽取9位学生的线性代数课程的考试成绩，得到样本方差为11021=S ，在B 班随机抽取4位学生的线性代数课程的考试成绩，得到样本方差为17422=S ．假设学生的考试成绩服从正态分布，可否认为2221σσ=（50.0=α）？八、（5分）设关于,X Y 的边缘分布律分别为且{0}1P XY ==，求(,)X Y 的联合分布律．数理统计公式表及数据一．正态总体均值、方差置信水平为1α-的双侧置信区间待估参数其他参数置信区间μ2σ已知 2()X z nασ±μ 2σ未知)1((2-±n t nS X α2σμ未知))1()1(,)1()1((2212222-----n S n n S n ααχχ二．两个正态总体均值差、方差比的置信水平为1α-的置信区间待估参数 其他参数 置信区间X1- 0 1.i p14 12 14Y0 1 .j p12 1221μμ-2221,σσ已知)(2221212n σn σZ Y X α+±-2221,σσ未知，但22221σσσ==)11)2((21212n n S n n t Y X Wα+-+±- 2221/σσ μ1，μ2未知22212121212222/((1,1))(1,1)ααS S S F n n F n n S ----， 其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S W三：正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为α）原假设0H备择假设1H检验统计量拒绝域0μμ≤ 0μμ≥ 0μμ= （2σ未知）0μμ> 0μμ< 0μμ≠nS X T 0μ-=)1(-≥n t T α )1(--≤n t T α)1(2-≥n t T α21μμ≤ 21μμ≥ 21μμ= （22221σσσ==未知）21μμ> 21μμ< 21μμ≠ 2111n n S Y X T w+-=2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w )2(21-+≥n n t T α )2(21-+-≤n n t T α)2(212-+≥n n t T α2212σσ=2212σσ≤ 2212σσ≥ （21,μμ未知）2212σσ≠2212σσ> 2212σσ<2221S S F =()1221,1F F n n α≥--或()12121,1F Fn n α-≤-- ()121,1F F n n α>-- ()1121,1F F n n α-<--四：数据：(1.645)0.95Φ=, (1.96)0.975Φ=, (2.575)0.995Φ=， (9)=2.82140.01t ， 0.005(9) 3.2498t = ,0.05(8,3)8.85F =, 0.05(3,8)4.07F =， 0.025(8,3)14.54F =, 0.025(3,8) 5.42F =。

重庆理工大学考试试题卷2009～ 2010 学年第 1 学期班级 学号 姓名 考试科目 概率论与数理统计 A 卷 闭卷 共 4 页···································· 密························封························线································学生答题不得超过此线一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、 设事件A 与B 互为对立事件，且()0,()0,P A P B >>则下列结论正确的是（ ）A 、(|)0PB A > B 、(|)()P A B P A =C 、(|)0P B A =D 、()()()P AB P A P B =2、设12),)F x F x （（分别为两随机变量的分布函数，若12)))F x aF x bF x =-（（（为某一随机变量的分布函数，则（ ）A 、32,55a b ==- B 、22,33a b == C 、13,22a b =-= D 、13,22a b ==-3、设随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=111003x x xx x F ，则()E X =（ ） A 、⎰+∞04dx x B 、+⎰14dx x ⎰+∞1xdxC 、⎰133dx x D 、⎰+∞33dx x4、设127,,,X X X L 取自总体2~(0,0.5)X N ，则7214i i P X =⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭∑（ ）(22220.050.0250.010.05(7)14.067,(7)16.012,(7)18.474,(6)12.592χχχχ====) A 、0.5B 、0.025C 、0.05D 、0.015、设电子计算机的第i 个部件在一天内发生故障的概率为(1,2,,)i p i n =L ，如果各部件发生故障是相互独立的，则某日至少有一个部件发生故障的概率是（ ） A.12n p p p L B. 121(1)(1)(1)n p p p ----L C. 12(1)(1)(1)n p p p ---L D. 121n p p p -L6、设随机变量(0,1),21X N Y X =+:，则Y :（ ） A 、(1,4)N B 、(0,1)N C 、(1,1)N D 、 (0,2)N7、设总体2(2,),X N σ:2σ为未知参数，129,,,X X X L 为其样本，99221111,()98i i i i X X S X X ====-∑∑，则有( )A 、3(2)(9)X t S-: B 、S )2X (3- ～(8)t C 、σ-)2X (3 ～(8)tD 、σ-)2X (3 ～2(9)χ 8、设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为1, 01,01(,)0, 其它x y f x y <<<<⎧=⎨⎩，则{0.5,0.6}P X Y <<=（ ）。

1 / 24习题一一．填空题一．填空题1．ABC 2、50× 3、20× 4、60× 二．单项选择题二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题三．计算题 1．（1）略）略 （2）A 、321A A AB 、321A A A ÈÈC 、321321321A A A A A A A A A ÈÈD 、321321321321A A A A A A A A A A A A ÈÈÈ 2．解．解)()()()(AB P B P A P B A P -+=È=85812141=-+83)()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P87)(1)(=-=AB P AB P21)()()])([(=-È=ÈAB P B A P AB B A P3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为531462422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=ÈÈ=855．解：（1）n Nn A P !)(=（2）nn NNn C B P !)(=、 （3）nmn m n N N C C P --=)1()(习题二一．填空题一．填空题1．0．8 2、50× 3、32 4、735、43 二．单项选择题二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题三．计算题1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品：顾客买到正品)/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P +=83.065.05185.0529.052=´+´+´ 8334)()/()()/(222==B P A B P A P B A P2．解：设iA ：表示第i 箱产品（i =1，2）i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1）)/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.0301821501021=´+´ （2）同理4.0)(2=B P（3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P +=19423.02917301821499501021=´´+´´ 4856.04.019423.0)()()/(12112===B P B B P B B P （4）4856.04.019423.0)()()/(212121===B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3）101)(1=A P 10191109)(21=´=A A P1018198109)(321=´´=A A A P所以拨号不超过三次接通电话的概率为3.0101101101=++如已知最后一位是奇数，则如已知最后一位是奇数，则51)(1=A P 514154)(21=´=A A P51314354)(321=´´=A A A P 所以拨号不超过三次接通电话的概率为60515151=++ 4．解：)()()(1)(1)(C P B P A P C B A P C B A P -=ÈÈ-=ÈÈ=6.04332541=-5．解：设21,B B 分别表示发出信号“A ”及“B ” 21,A A 分别表示收到信号“A ”及“B ”)/()()(1111B A P B P A P =)/()(212A A P B P +=30019701.031)02.01(32=+- 197196)()/()()()()/(111111111===A P B A P B P A P B A P A B P第一章 复习题一．填空题一．填空题1．0.3，0.5 2、0.2 3、2120 4、153，1535、158，32，31 6．4)1(1p --二．单项选择题二．单项选择题1、B2、B3、 D4、D5、A 三．计算题三．计算题1． 解：设i A ：i 个人击中飞机（i =0，1，2，3） 则09.0)(0=A P 36.0)(1=A P 41.0)(2=A P 14.0)(3=A PB ：飞机被击落：飞机被击落)/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P ++)/()(00A B P A P +=458.0009.0114.06.041.02.036.0=´+´+´+´ 2．解：设i A ： i 局甲胜（i =0，1，2，3）（1）甲胜有下面几种情况：）甲胜有下面几种情况： 打三局，概率36.0打四局，概率12136.06.04.0××C打五局，概率122246.06.04.0××CP （甲胜）=36.0+11221136.06.04.0××C +1122222246.06.04.0××C =0.68256 （2）93606.06.0*4.0*6.06.0*4.0*6.06.0)()()()()/(2222321321212121=++===A A P A A A P A A P A AA P A A A P3．解：设A ：知道答案：知道答案 B ：填对：填对)/()()(A B P A P B P =475.0417.013.0)/()(=´+´=+A B P A P197475.0417.0)()/()()()()/(=´===B P A B P A P B P B A P B A P 4．解：设iA ：分别表示乘火车、轮船、汽车、飞机（i =1，2，3，4）B ：迟到：迟到)/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P ++)/()(44A B P A P +=203052121101315141103=´+´+´+´2120341103)()/()()()()/(11111=´===B P A B P A P B P B A P B A P同理94)/(2=B A P 181)/(3=B A P5．解：A ：甲袋中取红球；B ：乙袋中取红球：乙袋中取红球)()()()()()()(B P A P B P A P B A P AB P B A AB P +=+=È =40211610106166104=´+´习题三 第二章 随机变量及其分布一、填空题一、填空题1、19272、23、134、0.85、010.212()0.52313x x F x x x <ìï£<ï=í£<ïï³î6、113~0.40.40.2X -éùêúëû二、单项选择题二、单项选择题1、B2、A3、B4、B 三、计算题三、计算题1、解：由已知~(15,0.2)X B ，其分布律为：1515()0.20.8(0,1,2,...,15)kk kP X k C k -===至少有两人的概率：(2)1(2)1(0)(1)0.833P X P X P X P X ³=-<=-=-==多于13人的概率：(13)(14)(15)P X P X P X >==+==02、解、解 设击中的概率为p ，则X 的分布率为的分布率为 X123456k p p （p p )1- （p p 2)1- （p p 3)1- （p p 4)1- （p p 5)1-+（6)1p -3、解：X 的分布律为：的分布律为：X34 5 k p0.10.30.6X 的分布函数为：0,30.1,34()0.4,451,5x x F x x x <ìï£<ï=í£<ïï³î4、解：由已知，X 的密度函数为：1,33()60,x f x ì-££ï=íïî其它此二次方程的22(4)44(2)16(2)x x x x D =-××+=--（1）当0D ³时，有实根，即2(2)021x x x x --³Þ³£-或 所以{}{21}{2}{1}P P X X P X P X =³£-=³+£-方程有实根或3123111662dx dx --=+=òò（2）当0D =时，有重根，即2(2)021x x x x --=Þ==-或所以{}{21}{2}{1}0P P X X P X P X ===-==+=-=方程有重根或 （3）当0D <时，无实根，1{}1{}2P P =-=方程有实根无实根 5、解：设X 为元件寿命，Y 为寿命不超过150小时的元件寿命。

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。

2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。

3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。

4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。

5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。

6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。

（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P 2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。

(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。

一．填空：（每空3分，共30分）1．投篮3次，事件i A 表示第i 次投中(i =1,2,3)，则事件“至少一次没有投中”可用i A 表示为 。

2．设一次掷两颗骰子，则点数之和等于3的概率为 。

3．随机事件B A ⊂，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A|B)= ，P(B|A)= 。

4．已知随机变量X ),(~2σμN ，则)5.0(=X P = 。

5．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则)()(X D X E = 。

6．二维连续型随机变量),(Y X ，其联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其它010,10),(y x a y x f ，则a = 。

7．已知随机变量X 的数学期望)(X E =2，方差)(X D =1，则)(2X E = 。

8．随机变量X 与Y 相互独立，则相关系数XY ρ= 。

9．有一组样本观测值10.1，9.9，10.1，10.2，9.8；则样本标准差s =________。

二、在10件产品中含有3件次品，现从中任意取两件，求其中至少有一件是次品的概率。

（8分）三、已知随机事件A 、B 相互独立，且P(A)=0.2，P(B)=0.4，试求)(B A P （8分）四、一批玻璃杯共有2箱，其中第一箱100只，有2只次品；第二箱50只，有3只次品。

现在从中任取一箱，再在这一箱中任取一只。

求取到次品的概率。

（10分）五、X 是一维连续型随机变量，其密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它202)(x x x f ，试求（1）P(X<1)；（2）E （X ），)(2X E 。

（12分）六、二维离散型随机变量),(Y X ，其联合分布律如下表。

(1)试确定a 的值；（2）求X 、Y 的边缘分布律，并判断X 、Y 是否独立；（3）求E(Y)。

（12分）七、设总体X 具有概率密度⎩⎨⎧<<=-其它010)(1x x x f θθ（θ>0），试求θ的极大似然估计。

重庆大学《概率论与数理统计Ⅰ》课程试卷A 卷第1页共3页《概率论与数理统计Ⅰ》试卷评分标准及答案2016—2017学年第二学期开课学院：数统学院课程号：考试日期：2017.6.4.考试方式：考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分分位数：0.975 1.96u =，0.05(15) 1.753t =-，0.975(15) 2.131t =。

一、填空题（每空3分，共42分）1.设()()1,0.3P A B P A ==，()P B A =1。

2.学生做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测。

假设学生知道正确答案的概率为0.2，现从卷面上看题是答对了，试问学生确实知道正确答案的概率为：0.5。

3.某路口的显示屏由24块独立发光单元组成，每块发光单元的故障率为0.01，那么该发光显示屏正常显示的概率0.79or 240.99。

4.设连续型随机变量的密度函数为2, >100()0 , Ax f x xx ⎧⎪=⎨⎪≤⎩100则A =100，X 的分布函数()F x =0, x 1001001,100x x ≤⎧⎪⎨->⎪⎩，{1000}P X ≥=0.1。

5.设随机变量X 和Y 独立同分布，且2=3EX DX =，，则2(-)E X Y =6，根据切比雪夫不等式估计概率{|-|5}=P X Y ≥6/25。

6.设X 是样本容量为12且来自总体[]0,12X ~U 的样本均值，则2ES =_12_，2EX =37。

7.设128,,...,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则822i i D X =⎛⎫=⎪⎝⎭∑14，常数a =3，统计量2212823()ii X X Y aX=+=∑～F （2,6）（注明分布）。

8.从正态总体N(3.4,36)中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少为35。

重庆理工大学考试试卷学年第 学期班级 学号 姓名 考试科目 概率与数理统计 A 卷 闭卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································)0.7AB =， B 、0.4 服从参数为(λλ,,n X 是来自正态总体2(,)N μσ2)μ- 2)X - C2、已知随机变量X的分布律为101~0.40.30.3X-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则X的分布函数()F x=。

重庆理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A ）学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称： 统计学 考试科目（代码）：（试题共 4 页）一、综合题（30分）以下数据为来自某总体X 的容量为9的样本： 0.8,1.6,0.9,1.2,0.4,0.7,1.0,1.2,1.1。

2211()1n i i s x x n ==--∑，2211()n n i i s x x n ==-∑， 经计算0.3444s =，0.3247n s =1.求样本均值x ,样本中位数0.5m ,顺序统计量(1)(3),x x （10分）2.简要说明样本均值和样本中位数的区别与联系。

（5分）3.若总体X 的二阶距存在，且均值为μ,方差为2σ,给出参数μ 的矩估计量及2σ的一个无偏估计量。

（5分）4.若给定总体2~(,)X N μσ，且μ,2σ未知，给出μ的1α-的置信区间以及假设检验0010::H VS H μμμμ=≠的拒绝域，显著性水平为α，其中0.05α=；并说明两者之间的关系。

（8分）5.若总体X 的分布不是正态分布，且X 的数学期望存在，设为μ，怎样检验0010::H VS H μμμμ=≠，给出你的方法。

（2分） 本题可能用到的分位数：0.9750.9750.95(8) 2.3060,(9) 2.2622,(8) 1.8595t t t ===。

第 1 页二、抽样分布（30分）设12n x x x ，，，是来自21(,)N μσ的样本，12m y y y ，，，是来自22(,)N μσ的样本，且两样本独立。

1.请说明什么2χ分布，什么是t 分布。

（10分）2.证明212121~()nii x n μχσ=-∑（）。

（5分） 3.设c d ，为任意非零常数，请给出12)((c x d y μμ-+-）的分布,并指出期望和方差。

（5分） 4.对任意非零常数c d ，，证明~2)t t m n =+-（其中，22(1)12x yw n s m s s m n -+-=+-（），12211n xi i s x x n ==--∑（），1221(1i m yi s y y m ==--∑）。

重庆大学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。

从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。

从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。

假定应 考人知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛一颗骰子5次得到点数为 6 的次数记为X ，则(3)P X > = 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Zf --（z ）。

9.设总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453n i i P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。

重庆理工大学考试试题卷2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页,,X是来自正态总体6重庆理工大学考试试题卷2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页X为来自总体,,n2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页····································密························封························线································学生答题不得超过此线重庆理工大学考试答题卷2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页····································密························封························线································。

概率与数理统计复习资料一、单选1.设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P( A)0 , P( B) 0 , 则（ ）A. P( A) 1 P(B) ）B. P(AB) P( A) P(B)C.P( A B) 1D. P(AB) 12.设 A ， B 为随机事件， P( A)0 , P( A | B) 1，则必有（ ）A. P( A B)P( A)B. A BC.P( A) P(B)D. P( AB) P( A)3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 （ ）A. 22B.C 21 C.2!D. 2 !4 222C 4A 44 !4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3，他连续射击直到命中为4止，则射击次数为 3 的概率是（）A. ( 3)3B.( 3)21 C. (1)23 D. C 42( 1 )23444444 45.已知随机变量 X 的概率密度为 f X (x) ，令 Y 2 X ，则 Y 的概率密度 f Y ( y) 为（）A. 2 f x ( 2 y)B. 2 f x ( y)C.1f x ( y)D. 1f x ( y)2 2 22 26.如果函数 f ( x)x, a x b; 0, x 或 是某连续随机变量 X 的概率密度，则区间a x b[ a,b] 可以是（）A. (0,1)B. (0, 2)C. (0, 2)D. (1,2) 7.下列各函数中是随机变量分布函数的为（）1x 0A. F 1 (x)xB. F 2 ( x)x,x 01x 21xC. F 3 (x) e x ,xD. F 4 (x)3 1 arctgx, x4 28.设二维随机向量（ X,Y ）的联合分布列为（）Y012X0 1 2122 121212 110 1212212 121212则 P(X0)A.1B. 2C.4D.5121212129.已知随机变量X 和 Y 相互独立，且它们分别在区间[ 1,3] 和 [2, 4] 上服从均匀分布，则 E( XY )（）A. 3B.6C. 10D.121,事件发生；10.设( x) 为标准正态分布函数，X i事件不发生， i 1,2, ,100 ，且0,A100Y P( A)0.8, X1, X2, , X100相互独立。

概率与数理统计复习资料一、单选1.设随机事件A 与B 互不相容，且()0,()0,P A P B >>则（ ） A.()1()P A P B =-） B.()()()P AB P A P B =⋅ C.()1P A B =D.()1P AB =2.设A ，B 为随机事件，()0P A >,(|)1P A B =，则必有（ ） A.()()P A B P A = B.A B ⊂ C.()()P A P B =D.()()P AB P A =3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ ）A.2224B.1224C C C.242!AD.24!!4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ ）A.33()4B.231()44⨯C. 213()44⨯D.22413()44C5.已知随机变量X 的概率密度为()X f x ，令2Y X =-，则Y 的概率密度()Y f y 为（ ） A.2(2)x f y -B. 2()2x y f - C. 1()22x y f -- D.1()22x y f - 6.如果函数,;()0,x a x b f x x a x b ≤≤⎧=⎨<>⎩或是某连续随机变量X 的概率密度，则区间[,]a b 可以是（ ）A.(0,1)B.(0,2)C. D.(1,2)7.下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ） A.F x x x 1211(),=+-∞<<+∞B.200()01x F x x x x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩C.3(),x F x e x -=-∞<<+∞D.F x arctgx x 43412(),=+-∞<<+∞π8.）则(0)P X == A.112B.212 C. 412D.5129.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[1,3]-和[2,4]上服从均匀分布，则()E XY =（ ） A. 3B. 6C. 10D. 1210.设()x Φ为标准正态分布函数，1,0,i A X A ⎧=⎨⎩事件发生；事件不发生，1,2,,100i =，且()0.8P A =,12100,,,X X X 相互独立。

第一章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布设（X打的分布律対1^6 19 1/181'3 M 19求口-解答=由分布律性质工A - L可知I 6+ 1/9^1 "lfi +1/3 +"+ 1/9-1, 解得£戸込I习題2（丄）2.ig {X, F）的分布ill數为Fa. J'）,试用尺工门表示:尸治Gf £仇F g匸}-尺机t）-尺“疋）,,习題2（2）I2.® （尤n的分布函勒为川斗理），试用/-UJ）表示:（2）p;o<y<忙；尸出町yg冇j =鬥+卫』）三尸（+ 00'0）・习題24）］2■设g y）的分布働対珂扎小试用表示;（3）門疋>0, y<^i *尸尸<郴=F（+<K上）—尸他［解答=1P{max|A； n ^0| -P{Y, 少•个夭于J'O}=pgo} + W20} -P{X20. y纫4 4 3 5**7 7 7 7习題5丨（Kn只取下列数值中的值:(0.0), (-1, I), 、(2.0)且相应釈率依次为扌，，缶存请列出（x,r）的畴分布表，并写出关于啲边缘分布・解答^（I ）因为所给的一组槪率实数显然均大于驭 且有1 + 1 +补+刍=1,故所给的一组实数必6 3 12 12是某二维随机变蚩（x,r ）的麻合概率分布.因（* D 只取上述四组可能值，故事件：-I, r^Ob <X ・0・ y=-h{X- 0, r-1 H |x= 2・ n {*■ 2. y -1},均为不可能事件，其概率必为®.因而得到下表！0 1/3（2）F{f ・0}«P{X=-i, Y 0} +P{X-o, y=o} +P{%・2, r-0} n I 5 7=0H — + —=—,6 12 12同祥可求得P W >I 3j关于的y 边缘分布见下表^0 1/3 712 1/12 1/3 设随机向量（A ； K ）服从二维正态分布M （）・（h 101101（））,其低率密度为1 "八"2«0n求 PIX^Y].解答=丨由于尸氐W Y] 4 P{x> r} = h 且由正态分布图形的对称性，知円 XS n = P{x> r\,故 P{*S Y} = ；.习題7设®机变*（& D 的概率密度为7（6-Jf-卩），0<1<2,2<v<4'-I 0. Mt则⑴确罡常数灯（2）求P{Xvl 』v3”（3）求PXvlS}; （4）求P{X+y<4}・1/65-42 1/12 0 0 1/3 012 p{y=】r,解答；1如s所示(I)由「J：/(x,y)心a”. I >确定常数人-JJ^Z:(6-X-yydydx = Hj6-Ixydx = 8A = I ,⑵ P{X< l,r<3) = 4寸；1(6 7-刃在u 扌・⑶ P{X<\.5}=£ rfx£i(6-j-y)</v=寻.(4) P{无4人42J施广i(6_x-y)妇扌.［习題8」_____________________________________已知财口y的联合密度为C 、'w.OSMl.O 幻 G f{x. V）= <■ K 0, 氏它试求：（I）常数（2）尢和y的联合分布跚凡2）.解答=1⑴由于TH ：/(x, y)dxdy =41 xytfxdy = ~，E = 4 .⑵当X M 0或y 5 0时,显然Fg y) = 0 J当x2 1,y2l日寸，显然F(x,>■) = H设OSM I、0^> < I 有E(x, y} = P J* /{u, v}duJ\ =4(严也卜也=巧》^;设05x<l , v>l；有F{x,y}= P[X< l,K< vJ = =jr)最后，设xA(b OMpSl,有F(jr,v)= P[X< I, y<v\ =4jjM寸;vdv = r. 函数F（儿y）在平面各区域的表达式0, x<0i^<0F, 0<.v< i.>-> lF(")=巧人0<x< 1、0<y< I .r，x>i,OSySI习題9设二维随机变量伉,D的柢率密度为£[4・8只丨-X）. 0<xS l.JT <y< 1心”0, ft它解答:人仗）■匚/Z）创f 4剛1 -x）a 几0, 其它2.4(l-F)(I-x), OSxSl ~1 0,其它♦_ 们4・8叩-x)dx, O£yW I0, H•它_ 2.4r(2-y), OSvSl0,其它•习a丄0 I设ee在邮刼"所ffl戒的区域仃里服从1祠分布J求联台廿布啻虜和边缘分布密度.E域G的面积月三J：b -论==,由题设知（X n的联合分布密度为6, 0盂』MhrWyW.Y/gm 二①11它”从而八h.v)fA =叮:创=(心rb s哲I,&0：—护h 0 W岸兰1.心卞)=J 3(),JI它同样的/ ") =「：rg处=或：必=6由-.V)，u^v< 1^即# f小刃-1■ '■ 1 0, R L ■条件分布与随机变量的独立性二维随机变量(尤n的分布律为0 17/15 7.307/30 1/15(1)y的边缘分布律J(2)求Pr=o|x=oh P w=iro}；⑶判定兀与y是否独立？解答：1⑴由(XJ)的分布律知b y只取0及1两个值・P{y=0} = P{x = 0j = 0} +Pb= l,j = 0；=«j^ +寺= 0.7,j-(j JO 15(2)P{y=Qx = 0}= P{x"0」"0} = ? ?* P{x = 0} 3⑶已知P{2 0,尸= 由⑴知Ptv=0i=0.7,樂以可得尸仪=0}-0.7.因^鬥20,尸0}*{.20}•氏2(1},所以*与y不独i・将某一医药公司9月份和8份的膏莖素针剂的订货里分别记为X与y.据以往积累的资科知X 和y的联合分布律为51 52 53 54z51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.0152 0.07 0,05 0.01 0.01 0.0153 0,05 0.10 0.100.05 0.0554 0.05 0.02 0.01 0,01 0,030.05 QM005 0.01 0-03(1)求边缘分布律；(2)求X月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答=丨X5152 53 54 55 0J8 0.15 035 0.12 0.20 *对应丸的值，将每行的祗率相加b 可得円/"・}•对应y 的值(最上边的一行b 将S 列的柢率相加 可得p{y 可：•52 53 54 55~~6^2~0^~0.13 •⑵当y - 51B 寸'X 的条件分布律为鬥Ei,備宵严=粽，"5WK55.列表如口习题3 1 已乳(X n 的分布律如下表所示y-^ -1^LrL •(1) uy=i 的条件下，戈的条件分布律,(2) 在X«2的条件下，y 的条件分布律.f 解答=1由麻合分布律得关于X. y 的两个边缘分布律为故⑴在y-1条件下，尢的条件分布律为_0 1 23/11 8/11 0 ⑵在X=2的条件下.y 的条件分布律为4/7 0 3/7(I)边缘分布律丄 X "719/24 8/24 7/241024 11'24 3/24由尢与y 相互独立知PiX=x,. r=j ；j=P{X=xJP{y=yJ, /=l,2,3.4, 7=1,2.3, 从丽（A ； y ）的K 合祗率分布为P{X+y=\}= P{X«・ P{X«O, y=l}=—+ — = 16 4K 12P{X+ y*0} = I - P{X+ F 二0}= 】-P{X 二-b y=i}-p4x== -二2 2 1 I 32S12 6 4习題5丨丸与y 相互独立，其概率分布如表S ）及表⑹所示，求：（KK ）的联合概率分布, Pj%+r=iH P{*+y*o}・-20 1/2-1/2 1/4 1/3 142 1/31/21/4 1/4表3)解答： (I)由题设易知fk I人(-4—， I a M 尼又y 卜相互独立，故A ■与》的联合槪率密度为L tk 找它⑵因2有实根｝-:判另弑A=-4A^'-4ys()! - ｛用2鬥,I + y-yr舌则图所示得到:、 」■尸加有实根｝ =P ｛X-> Y ｝ = H “儿 ，曲T 町V 讪」/「 rr '%工=l - ； ."dr-r HLclx-二维随机变量函数的分布r?=1 一莎J 壮一丘『厂必■ ■ =]—血他⑴―山⑹，又tl>(IJ-0.MI.3 I 小(冊三2^于杲巾(I)-伽(0)-03413』所以 尸旧有实根！ = 1 — 血冲(I)—职仙] -2.51贰0加13 = (1」4工=-t（i ）z=r +y 酚布律为•2 0 A 1/10151/2 110 no-2 1/21/5 1/10 1/10 1/10J/2 1/51'5 3/10 151 10(4)Z.max1Xri 的分布律习那]设二维隨机向S （x, y ）眼从矩形区,或D “（2）IOSM 2・0<八H 的均匀分布，且 ■ , fo.xsy “ 3*s2yU=1 ； v=）J, x>2r解答：I依题(U 耳的概率分布为P{CZ=O, V^Q}^P{X^KX<Y\=P{X^Y}咖:扑w ，p{(7=o,I j = P{XM}；x>2r}M(bp {c/=i,r=o}=p {x>y,x<2y}=p<y<xs2Y}=例：5心，p{u-1, r-1}=1 -p{r=o, r=o|-P|c/=o, r= i }-p {u= i, r=o} = iz2,（3） Z 二*"的分布律-2 1/101/57/10[\.X> y求0与A 的联合概率分布.I习題4 I设（x,r）的联合分布密度为I E —e " 2n求2的分布密度.解答：依翹意，由_____当xO时，FX Z)=P(0)=O J当沦0时，F^z).P{X'+r'^z^)- JJ /{x.yydxdy・« ・1 ■p・5 =-j；x^ 曲» [g ,dp■ 1 - e •故2的分布函数为FQ・0, 2<02的分布密度为ze \ 2>0L 0, 2<0习題5〕颇机变量（X "师率密度为・a + v)<? A”, x>0.y>0r(x 丿” \ 2I 0,煤它（I ）冋;V 和y 是否相互独立？（2）求7«* †+ y 的概率密度• 解答=1（|）/7力=厂/（"曲依题童，x,y 的柢率密度分布为fl, Owl心0.其它'由卷积公式得Z«x+ y 的概率密度为//2)=匸：/(xteG ~x)dx,于是当 0<x<l, z-x>O01,广(x)j?U-x)*O,故兰 Ovx<Nv I 日寸，有 /'/z)=£t* '• m 办=1-t? r ；当沦I 时，有//z>=£e» *■ **rfr=e*即2的駅率密度为x> 0 一时，/(X. z-.v)*O,所 X<2-xe ^dx = —z^e :. ? 2习题6 1设随机变S* y相互独i,若刘艮从(0, I)上那咖布，｝服从参数I的指数分布，求随机变量z=x+y的率密度.解答=IQp八0鮒)0. «它■-e—e0＜二＜I习題7 I0. VMO01lt0, M<0 (1-C 于丁〒OS“vl ・设随机变量(X y)的槪率密度为bgWj 0<xvl,0<y<+80,具它(1)试确定常数切⑵求边缘概率密度/e), ⑶求函数U= max数.⑴由J 工 J{x,y}dxdy = 1 ,确定常数 b.J ；厶J ；仏 'e Py-W-e *)/(x.y} =-—e Ovx< 1,0vyV+8 e~'0, 其它(2)由边缘概率密度的定义得--- e 0,-e(叫几Ovxvl 淇它0. «它~e0•氏它I0,氏它⑶因为/(x,j)=/,Xx)/,<v),所以龙与y 独立，故F(W) = Pfmax {兀 Y] W i/} =P{X^ u, r<H J =fyw)FK■ f ] ■ JI其中 Fv(X)-£-j-^<// Ovxvl,所以0, H SO-eI -a-,Q<x< 1 •"1同理£c ⑷,0<y<+ « 1—严；0vy<4oo0, y<0习題7 I1 -<?',习題B设系统丄是由两个相互独立的子系统丄和E 职串联方式联接而成，人和丄，的寿命分另I 伪A 与 b 其概奉密度分另怙，隹(h ・)i(K .Y<0解答：设 Z-inin{y, V\ 则F(d = FM>二}-你miti{*= }= l-r|niiii(-\； }-r{X^2. } S J} =1-IIP""川 1 —珥 ^二}|= }-[}-F,[=]][}=由于* z>0认 z<nf I -r 巴 z>0 尺㈡* I 0, Z<n0, z<(l从而3>()习题9设随机变童疋湘互独立』且服从.同一分布』试证明；P {(t < niiniX 卄"2 ［鬥出］丄—［PiX> * 口»ff 答：设血i^F}二乙则尸旧wruMfJ ； F)"} =£//>) = ◎(&)』/7二尸尸{min f A ；打"} — 1 —鬥min |兀 冷“} -l-nX>z r>r^- I -F{#dz}P{FHz} 二丨TFfvr 门代入得/^{u<imii{A ； n 5； = I - If {人、忧F-(l -f汗}打""耐证毕.复习总结与总习题解答0. v<()苴中,』>{)，“〉(b 回，试束系?盍丄的寿命Z 的柢率密Rr) = *1 —严+吒£>0习題1丨在一箱子中装有12只开关，其中2只罡次品，在其中取两次，毎次任取一只，考虑两种试殓;（I ）放回抽样八2）不放回披样•我们走义随机变量X. y 如下:-0若第一次取出的是止品""：1■芳® —次取卅的走次品' 解答：（I ）有放回抽样,（X, n 分布律如下：p.v=o,r=o, = ^ = g,P{x=.,x=o, = ^ = l（2）不放回抽祥，（尤n 的分布律如下：P{X=（）. y=（）} =竺11 =竺，P{x=o,y=i} =史11 =凹12x11 66 12x11 66 P {灼，—“^二黑砒"—2二=£ 12x 11 66I2x II 66假设随机变量y 服从聲数为1的指数分布，随机变量母屮仟仏3求（兀冷的联合分布率与边缘分布率.0■若第二次取Hi 的是lE 品 1,若箔一次取出的是次跖 砂别就（I ），（2）两种谢兄，写出/和 > 的联合分布律•Y=<劭y服从劳数为啲指数分布，血=『电"|,所以有11,若 1= I} = P| y> I} = J* % ^dy = c ',f{y, = 0} = l-eP{X=I}= P{y>2}=J；l 'dy = e 2,P{Xj = O} =1 -e 2,= l)=P{y>2)=e SrjA^,= l,Yj = O( = f{X,= l}-r{X, = UXj = l} =e '-e P{X, = O,A；=O}=P{r^t!= !-<?*',p {/=o,& = H = Ptv,=o}-PM>o,y=o}=(), 故e，Ay联合分布率与边壕分布率如下表所示:在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香嵐今从袋中随机抽出4只，以乂记橘子数，y记苹果数，求gn的联合分布•解答=IX可取值为0,1,23 y可取值0, 1,2,则Ptv=o, r=o3=p{0( = o, P{Y=o, y=i}=c：c；c"c；=2/7o, 門X=o, y=2} =C；GC：/C：= 3/7O, = 1, r= GJ = CjC^Cj/C'； = 3/70,P{X= I, Y=\}= C；C；G/G = I 8/70, P {%= I, r=2} = C；C；C；/C = 9/70,P{X=2, r=<)}=qc^c5/C； = 9/7O, P{X = 2, r=|>=c^cjc；/q= 18/70, 門X=2,r=2}=C；C；C；/C； = 3/7(b P{X=3, r=()! =C；C；rl/C；=3/7O,P{X=3, r=l5=C；CX7C'； = 2/7O, P|Y=3, X=21=PJ0} = O,所以，(X, 合芬布如下：设斑机变量兀与y相互独立，下勵tt 了二维随机变量（x, n的联合分布律及关于尢与y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值《入表中的空a处：解答=]由题设X与y相互独立》即有"厂几几0- 1.2; R 1,2,3），又由独立性，有故化笃从而円产5・方-§，又由几产几P"即从而P产才类似的育I 1 3卩严亍如蔦'卩2蔦将上述数值填入衰中有(2)(x(一=呼Array n s鎗當墨(2)因窗賞J: 2X0-r叭工 <dsxa 一灶yAI-B 「FumnoJ◎脏一八 2yI -讥弋A o 畀-F(XQ )H P C SH一・y H—二 H -、4J 显X22、—-^ycoBq》 F (X ・S H 2X »一•y" — 二4P亠尢》2・y »— 二H5二2j显一人xa2;>0尹F (x・0»^x»-・ T—二*史XH 厂◎肛X W2;W O 尹/%R・Y )H P K H一・n H —二+2X H2・ PH I 二 + p 亠X H 厂 〉+解答：I 2应彳，£.由分布律的性质可知I 九=丨，故习題9 I _________________________ 设H 随机变量(尤naw 率密度函数为Ct?0,儿它⑴确定常数门(2) 求X"的边缘概率密度函数J (3) 羽联合分伟国数尸(X 』)； (4) 求 P{ysx}； (5) 求条件槪率密度函数 (6) 求P{X<2\Y<\} •I 解答=1⑴由匚工 /(X, y](ix(iy^ 1 求常数 f - i ：r-即0+0=■•3又因九与y 相互独立，故pjx=A r=ZJ = P^x=/iP{X=7b 从而 «・P{*・2, K-2}«P{r -i|P{r-/!r 1 VI 、V9 A4J2 *6，0 = P{X=3、X=2}=PJT=3JP{Y=2} fl I -+ -U 31+#]转1+0A3*3. 〔訂⑵A(x)=J y(x,v)Jv =■「2宀“ x>020・hx>O/Q) ■匸/(xj)必= J 「2eW 血y>00, «它严y>0 10, ySO(3)f J 〉■ r r /(“• v}dvdu< ■«! .rXJJ ：2° 叫'dvdu. x>0,r>0 0,氏它J(1-宀)(iy)・ x>0,y>0 "I 0.其它•(4) 門卩£卫=厂叫2€ % 7/1 =j^ 2e -'(I-e ")必=\(5) 当八0时，，2r — ♦<-x>0 J2e, x>0 0. x<Q to ，"0(6) P{X< 2|r<I} = P'Xu 2,F(2, 1) (\-e-■ --------- : --- = 1 — e?0. xSO二/（"）二J：e M 设随机变置以槪率I取值为(b而y是任—e意的随机变量，iiP加与丫相互独立.解答=I因为必的分布函数为0, %r<offfF(x)=< . 7〔1,畑側设y的分布因数为几0), (x, n的分布国数为Fgy),则兰工"时，对任意厂有F{x,y} = P{X<x, Y^y} = P{{X<x}r>(y<y}}= F{0C(F)}=F{0}=O= F3F3当20时，对任意F，有川儿卩)-PiX<x, Y<y} - P {(XS)c(FQ，)}- 勺刘-/>{〉<，} = FQ)=F/MO).依罡义,由Fg y) = F#r)厲仞知,北与V独立.设连续型随机变S(x,y)的两个弁S尢和*相互独立，且服从同一分布，试证P{X<Y\ = \fl.解答：I因为A； y独立，所咲/(X」)=//x)/)0).P伫r：=『心刃艸 =口/的/QMS•cSy jrSr■ {二［/0龙8^0皿皿・「：［/\0)尸0)］妙=J /^XvWv)=—L：=-.J" 2 2注：也可以利用对称性来证，因为X」独立同分布，所以有P\X<Y}=P\y<X\,而p{xs rj \ P{X2 Y} = \,故F{/Vsr}-I/I2.习題121设二维随机变量(A ； D 的联合分布律为“2 X 、 a 1/9 c? "9A13若久与y 相互独立,求参数a,人C 的值• 解答：］关于*的边缘分布为a + - A+ - C —9 93关于y 的边缘分布为,4 fl + c+ • b+ • 99 由于X 与y 独立，则有几2=P 、Pa 得 ( ./>= b4- /)+V 9八 由P\2訴P"得由式①得"二彳，代入式②得"右，由分布律的性质,rt + />4c + — + - -1—9 9 3代入"IV g?得心•易验证，所求绒也C 的值，对任倉的j 和/坷荐足甘化XPj.因此,所求依处的值为"丄，』，c=l18 96P K/ f9.习題14 I设(工K)的联合密度I 邂故为P ，『打匕用f(x,y)=< H R ・ ,0, K 它⑴求北与^的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问龙与y 是否独立？⑴当 *<-/?或^>/?时，f/x) = J ^/(x, y)</v=J *0命=0； 当一RS T WRE 寸,AW 叮并』如爲几4 =务戸• 于是'乍■尺"/Q) = 1宛斤V 0,兀它由于X 和y 具有对称性，同法可得y 的边缘#［率密度为/爲光厂,*曲0,其它值位于IM W J R ' -}2这个范围内,/'(儿y)才有非零JlR1/ 灿)=-7 —= / . 2 '即件1R 率密JS 为—r===, 1X |M JP ■“ /WMy)= 2j 用-尸0, 它同法可得X= X 时y 的条件祗率密度为f« 2{疋-£ .(),It 它 由于条fMR 率密度与边編R 率密度不相等，所以尢与y 不独立.⑵/>0卜)=少亠，注意到在y 处X ・/心)值，敌在此范團内，有霞 一5H H-心鼻働奮吐長o r n +y 叭Z)MOJ肛0览八一孚- Es«pbv+yn 一—=n (n d oe+r*r;令«z{2lz)l5(2lzr+ (hl-)2J吐ZW2鼻』=/'(XG)4zva ・nfuYfyxan一 • 3 0.2(21^13(21* I VN A O22搭AS H 一 2 I P匚P一从0人2・t 习題IT I设H 随机娈量(X X)的概率密度为2g52.q 2()j>00,其它 求随机变Sx-乂+2y 的分布佛.按定义/7Z) = P{x 千即当 ZM0时，F/Z)= JJ f{x,y}dx<iy = JJ 0厶妙=0.J( *2*" X * 2> S J 当-A O 时，F/Z)= JJ /(斗划厶亦I 叫幼 J *2yS ：=£e '(I - e" 9iZv=[(e “-e •)<Zx = [-e"*^|^-ze'* =l-g7-二 g7,0, 注0习題W 1设随机变MX 与y 相互独立，其概率密度函数分别为Ae^\y>010. yso驰(I)常数‘4; (2)随机变量Z-2X+ >的概率密度(酬•(1) 1 «「：/0)心《」「才吆 3" •(2) 因^与F 相互独立，故(A ；y)的联合概率密度为e"\ OS N M I, v>0 •， 0,氏它 于是当zwO 时，有F ⑵二P{2W Z }M P{2X+ r^r}=Oj当OS 注2时，有F(z) = P{2X +ysz}=['住% VvJ 如当A 2时，有F(z) = P{2X+ ys2}=f ：次匸 \ Vv =j^(l 仙.利用分布1跚法求^寻7亠2X+ y 删率密度a 数为0,匸<0(M -1)0 ¥2.沦 2{//*)= (l-e 9/2, O<2<2・/g)=故分布酗为F") M \1 ^-se •, z> 0 一、I.OSxSl 八、朋£・其它，如十习ai9 I is 阴机变量K.y 相互独立，若尤与y 分别服从区间（0, I ）与（仇2）上的均匀分布，求U= max{X 幷与 r-minM ； Y\«答=I由题设知，尢与F 的概率密度分别为1, 0<x<1 .0, It 它'于是，①尢与啲分布函数分另|］为0, xMO X. 0 M X V 1， I 1, 21从而U= max{A ； Y ］的分布为K w22故n 的柢率密度为W, 0<u<l/tO/) =②龍，由r,b')=i-[I -F A X 呱 1-®] =人何 + F") -FXv)F,{v) =尸3)+ 厲3)-耳3)， 得y=niin{X n 踽布瀏为f 0,OSv< I,故心min W}的概率密度为'3I - - V, 0<v< I.A （v ）=b ^,0, K 它注；（I ）用卷积公式，主S 的困难在于店丫的《?率密度为分段函数，故卷积需®分段计亀 ⑵先分别求出X 」的分布函数FQ ）与FQ ）,然后求出片何，再求导得/沖）；同理先求 出FQ ）,求导即得/a.ri/2.0<>-<2M 0.其它 0. > <0 y/2, OSy V2,F,4w) = FJw)F|-(w) =0, M<0ir/2, 0<«< 1w/2, 1 S w V 2vvO* — Xt习題IT I"如x>00, ,<0 r畔I-/e Wx>0-20. je<o-(X+ l)e \ x>0(),丫<0-（V + I）e \ y> 0由対称+蜘,显然I 0, pMO.Z'g"A（x）/Q），JC>0.y>0, 所以龙与y不独立.（2）用卷积公式求= 当｛即•当时，//r） = Oj 当"0吋，/血）=帛于是，z="+y的积率密度为12>0 zMO。

第⼆学期概率论与数理统计试卷参考答案重庆⼤学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年第⼆学期开课学院：数统学院课程号：10029830 考试⽇期：考试⽅式：开卷闭卷其他考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =⼀、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ?= 0.25 。

从⼀副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中⾄少有2张花⾊相同的概率为 0.602 。

从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取⼀个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.⼀个有5个选项的考题，其中只有⼀个选择是正确的。

假定应考⼈知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛⼀颗骰⼦5次得到点数为 6 的次数记为X ，则(3)P X > = 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的⾯积Y的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ?<。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Zf --（z ）。

9.设总体2(,)X N µσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453n i i P X X n σσ=??≤-≤∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来⾃总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。

一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、若()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A B 的值是（ B ）A 、0.6B 、0.7C 、0.8D 、0.9 2、设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数为()f x 和()F x ，则下列正确的是（ C ）。

A 、()()P X x f x ==B 、()()P X x F x ==C 、()()P X x F x =≤D 、()0P X x =≠3、设X 与Y 相互独立且服从区间[0,8]上的均匀分布，则{min(,)6}P X Y ≤=（ A ） A 、2114⎛⎫- ⎪⎝⎭ B 、214⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、234⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、2314⎛⎫- ⎪⎝⎭4、设127,,,X X X 取自总体2~(0,0.5)X N ，则7214i i P X =⎧⎫>≈⎨⎬⎩⎭∑（ B ） (22220.050.0250.010.05(7)14.067,(7)16.012,(7)18.474,(6)12.592χχχχ====) A 、0.5 B 、0.025 C 、0.05 D 、0.015、设随机变量X 22(220,3),(225,4)N Y N ，X Y 与相互独立，则{}P X Y <=（ B ）A. 0.5B. (1)ΦC. 1(1)-ΦD. (2)Φ 6、设总体X ～N(μ,1)，X 1,X 2,X 3为总体X 的一个样本，若321CX X 31X 21ˆ++=μ为未知参数μ的无偏估计量，则常数C=( D ) A 、21 B 、31 C 、41 D 、61 7、总体~(,1)X N μ，12,,,n X X X 是X 的样本，则21()n i i X μ=-∑服从分布( A ) A 、2()n χ B 、2(1)n χ- C 、()t n D 、(1)t n -8、设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为1, 01,01(,)0, 其它x y f x y <<<<⎧=⎨⎩，则{}P X Y >=（ A ）。

东莞理工学院（本科）试卷（D 卷）2011 --2012 学年第二学期《概率论与数理统计》试卷（答案）开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场一、选择填空题（共70分 每空21、设A 、B 为两个事件，P(A)=0.5，P(A-B)=0.2，则P(B A )为( C ) （A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.7 （D ）0.82、A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则P （B A ）等于（ D ） (A) 0 (B) 42.0 (C) 88.0 (D)13、已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,且A 与B 相互独立,则)(B A P 等于（ C ） （A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.94、事件A 、B 相互独立，)(A P =0.3，)(A B P =0.6，则)(A P +)(B P 等于（ C ） （A ）0.5 （B ）0.3 （C ）0.9 （D ）15、设A 、B 为两个事件，则B A -表示( D ) （A ）“A发生且B 不发生” （B ）“A、B 都不发生” （C ）“A、B 都发生”（D ）“A不发生或者B 发生”6、 某事件发生的概率为10，如果试验10次，则该事件（D ）（A ）一定会发生1次 （ B ） 一定会发生10次 （C ） 至少会发生1次 （D ）发生的次数是不确定的 7、已知离散型随机变量X 概率函数为1)(+==i pi X P ，1 ,0=i ，则p 的值为( A )（A ）(-1+5)／2 （ B ）(1+5)／2 （ C ）(-l ±5)／2 （ D ） 1／2 8、某大学统计系06级3班共有60名同学。

至少有2名同学生日相同的概率为（ D ） （一年按365天计算）（A ） 6060!365（B ） 6036560365P （ C ）!36560365P （ D ） 60365601365P -9、 红星游乐园入口处的每辆汽车的载客人数服从2λ=的泊松分布，今任意观察一辆到达公园门口的汽车，车中无乘客的概率为（A ）（A ） 2e- （B ） 2 （C ） 2e （ D ）!22-e10、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。