1-3 圆周运动

第1节 圆周运动1．理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度，会用线速度大小的公式v ＝ΔsΔt进行计算．（重点）2．理解角速度的概念，会用公式ω＝ΔφΔt 进行计算．（重点） 3．知道周期的概念．4．理解线速度、角速度和周期的关系：v ＝rω＝2πrT．（重点＋难点）一、形形色色的圆周运动物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动．圆周运动是一种常见的运动，如教材P 20图2－1－1所示．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．2．线速度(1)物理意义：描述做匀速圆周运动的质点运动快慢的物理量． (2)定义：v ＝ΔsΔt(3)矢量性：线速度的方向和半径垂直，和圆弧相切(4)说明：匀速圆周运动是一种变速运动，这里所说的匀速只是速率不变的意思． 3．角速度(1)物理意义：描述做匀速圆周运动的质点转动快慢的物理量．(2)定义式：连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt 的比值，即ω＝ΔφΔt ．(3)单位：弧度每秒，符号为rad/s(4)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动．(5)周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间． 三、线速度、角速度和周期之间的关系 1．v ＝2πr T ．2．ω＝2πT ．3．v ＝rω．物体做圆周运动时，如果线速度较大，是否说明其角速度一定大？提示：由v ＝rω可知，因物体圆周运动的半径大小不知，故即使物体做圆周运动的线速度较大，其圆周运动的角速度也不一定大．对圆周运动的理解1．描述圆周运动的各物理量之间的关系2．对公式v ＝rω的加深理解线速度v 和角速度ω都可以用来描述圆周运动的快慢，公式v ＝rω反映了它们和半径之间的关系．(1)r 一定时，v ∝ω举例：骑自行车时，车轮转得越快，角速度就越大，车轮边缘上各点的线速度就越大． (2)ω一定时，v ∝r举例：地球上各点都绕地轴做圆周运动，且角速度相同，但地球表面纬度越低的地方，到地轴的距离就越大，因此线速度就越大，赤道上各点的线速度最大．(3)v 一定时，ω∝1r举例：如图所示的皮带传动装置中，两轮边缘上各点的线速度大小相等，但大轮的r 较大，所以ω较小．(1)v、ω、r间的关系是瞬时对应的．(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系．(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看角速度或周期．质点做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )①在任何相等的时间里，质点的位移都相等②在任何相等的时间里，质点通过的弧长都相等③在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同④在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等A．①②B．③④C．①③D．②④[解题探究] (1)线速度和角速度的物理含义各是什么？(2)匀速圆周运动的线速度和角速度有什么特点？[解析]匀速圆周运动是变速运动，故在相等的时间内通过的弧长相等，但位移方向不同，故①错误，②正确．因为角速度是不变的，故④正确．平均速度是位移与时间的比值，所以③错误．[答案] D传动装置1．共轴传动如图所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：ωA＝ωB，v Av B＝rR，T A＝T B，并且转动方向相同．2．皮带传动如图甲所示，A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．轮子转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：v A＝v B，ωAωB＝rR，T AT B＝Rr，并且转动方向相同．甲乙3．齿轮传动如图乙所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合．齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：v A＝v B，T AT B＝r1r2＝n1n2，ωAωB＝r2r1＝n2n1，两点转动方向相反．式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数．如图所示为一种滚轮——“平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动．如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1、从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )A．n2＝n1xr B．n2＝n1rxC．n2＝n1x2r2D．n2＝n1xr[解析]平盘上距离主动轴轴心x处的线速度为v＝2πxn1，滚轮与平盘间不打滑，则滚轮的转动线速度等于v，因此，滚轮的转速与其线速度之间满足v＝2πrn2，故v＝2πxn1＝2πrn2，即n2＝xr n1，选项A正确，其他选项均错．[答案] A1．如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )A ．πnr 1r 3r 2B ．πnr 2r 3r 1C ．2πnr 1r 3r 2D ．2πnr 2r 3r 1解析：选C ．前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条线上的线速度相等可得：ω1r 1＝ω2r 2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn ，v ＝ω3r 3，所以v ＝2πnr 1r 3r 2，C 正确．圆周运动的周期性引起的多解问题1．分析多解原因：匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去．2．确定处理方法(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2n π，具体n 的取值应视情况而定．如图所示，质点A 从某一时刻开始在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，出发点与圆心等高，与此同时位于圆心的质点B 自由下落．已知圆周半径为R ，求质点A 的角速度ω满足什么条件时，才能使A 、B 相遇．[解析] 要使质点A 和质点B 相遇，则它们从开始运动到相遇经历的时间应相等，即t A＝t B ，考虑到圆周运动的周期性，质点A 从开始运动到相遇经历的时间为t A ＝34T ＋nT （n ＝0，1，2，3，…）对于质点B ，由自由落体运动规律R ＝12gt 2B 得t B ＝2R g由圆周运动的周期公式有T ＝2πω解上述方程得ω＝⎝⎛⎭⎫n ＋34π 2gR（n ＝0，1，2，3，…）． [答案] ω＝⎝⎛⎭⎫n ＋34π 2gR（n ＝0，1，2，3，…） 2．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴上固定两个薄圆盘A 、B ，A 、B 平行相距2 m ，轴杆的转速为3 600 r/min ，子弹穿过两盘留下两弹孔a 、b ，测得两弹孔所在圆盘的半径的夹角是30°，如图所示，则该子弹的速度可能是( )A ．360 m/sB ．720 m/sC ．1 440 m/sD ．108 m/s解析：选C ．子弹从A 盘到B 盘，盘转动的角度 θ＝2πn ＋π6（n ＝0，1，2，3，…），盘转动的角速度ω＝2πT ＝2πf ＝2πn ＝2π×3 60060rad/s ＝120π rad/s ．子弹在A 、B 间运动的时间等于圆盘转动θ角所用的时间，即2 m v ＝θω，所以v ＝2ωθ＝2×120π2πn ＋π6 m/s （n ＝0，1，2，3，…），v ＝1 44012n ＋1 m/s （n ＝0，1，2，3，…）． n ＝0时，v ＝1 440 m/s ； n ＝1时，v ≈110．77 m/s ； n ＝2时，v ＝57．6 m/s ； …．[随堂检测]1．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法正确的是( ) A ．线速度大的角速度一定大B ．线速度大的周期一定小C ．角速度大的半径一定小D ．角速度大的周期一定小解析：选D ．由v ＝rω得ω＝vr ，显然只有当半径r 一定时，角速度与线速度才成正比，故A 项错；由v ＝2πr T 得T ＝2πrv ，只有当半径r 一定时，周期与线速度才成反比，故B 项错；由ω＝v r 知，线速度一定时，角速度与半径成反比，故C 项错；由ω＝2πT 得T ＝2πω，显然周期与角速度成反比，角速度大的，周期一定小，故D 项对．2．如图所示，闹钟和手表之间的争论中，其中闹钟是用哪个物理量来分析圆周运动的( )A ．角速度B ．周期C ．线速度D ．转速解析：选C ．闹钟和手表秒针的角速度相等，根据v ＝rω，半径越大，线速度越大，闹钟秒针的针尖到转轴的距离大于手表的秒针的针尖到转轴的距离，所以v 闹>v 手，闹钟根据自己线速度大而说自己运动得快．故C 正确，A 、B 、D 错误．3．如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成．车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动．已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )A ．ωB ．18ωC ．98ωD ．9ω解析：选D ．手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r ，则有v ＝ω·9r ＝ω′·r ，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D 正确．4．（多选）如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2．已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n解析：选BC ．因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A 错误，B 正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，所以由2πnr 1＝2πn 2r 2，得从动轮的转速为n 2＝nr 1r 2，C 正确，D 错误．5．从我国汉代古墓一幅表现纺织女纺纱的情景的壁画上看到（如图），纺车上，一根绳圈连着一个直径很大的纺轮和一个直径很小的纺锤，纺纱女只要轻轻摇动那个巨大的纺轮，那根绳圈就会牵动着另一头的纺锤飞快转动．如果直径之比是100∶1，若纺轮转动1周，则纺锤转动多少周？解析：纺轮和纺锤在相同时间内转过的圆弧弧长相等，即线速度相等，v 轮＝v 锤，由v ＝ω·r 知角速度之比ω轮∶ω锤＝1∶100即当纺轮转动1周时，纺锤转动100周． 答案：100周[课时作业][学生用书P93（单独成册）]一、单项选择题1．如图所示是一个玩具陀螺．a 、b 和c 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等B ．a 、b 和c 三点的角速度相等C ．a 、b 的角速度比c 的大D ．c 的线速度比a 、b 的大解析：选B ．a 、b 和c 均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B 对，C 错．三点的运动半径关系r a ＝r b ＞r c ，据v ＝ω·r 可知，三点的线速度关系v a ＝v b ＞v c ，A 、D 错．2．如图，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a 、b 、c 三点，已知Oc ＝12Oa ，则下列说法中错误的是( )A ．a 、b 两点线速度相同B ．a 、b 、c 三点的角速度相同C ．c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半D ．a 、b 、c 三点的运动周期相同解析：选A ．同轴转动的不同点角速度相同，B 正确；根据T ＝2πω知，a 、b 、c 三点的运动周期相同，D 正确；根据v ＝ωr 可知c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半，C 正确；a 、b 两点线速度的大小相等，方向不同．A 错误．3．如图所示，直径为d 的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是( )A ．dωπB ．dω2πC ．dω3πD ．dω5π解析：选B ．圆筒上只有一个弹孔，表明子弹从一个位置进入和离开圆筒，故子弹穿过圆筒的时间t 内，转过的角度θ＝（2n ＋1）π（n ＝0，1，2…），故子弹的速度v ＝d t ＝dωθ＝dω（2n ＋1）π．n ＝0时，v ＝dωπ，A 对．n ＝1时，v ＝dω3π，C 对．n ＝2时，v ＝dω5π，D 对．4．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm ，当该型轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h ”上，可估算出该车车轮的转速约为( )A ．1 000 r/sB ．1 000 r/minC ．1 000 r/hD ．2 000 r/s解析：选B ．据车速与转速的关系知v ＝2πr ·n 即120×103＝2π×0．3n 1，解得每小时的转速n 1≈6．4×104r/h ．120×10360＝2π×0．3n 2，解得每分钟的转速n 2≈1 000 r/min ．120×1033.6×103＝2π×0．3n 3，解得每秒钟的转速n 3≈18 r/s ．二、多项选择题5．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是( ) A ．速度 B ．速率 C ．角速度D ．转速解析：选BCD ．速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度方向不变．综上，B 、C 、D 正确．6．某老师在做竖直面内圆周运动快慢的实验研究，并给运动小球拍了频闪照片，如图所示（小球相邻影像间的时间间隔相等），小球在最高点和最低点的运动快慢比较，下列说法中正确的是( )A ．最高点附近小球相邻影像间弧长短，线速度小，运动较慢B ．最低点附近小球相邻影像间圆心角大，角速度大，运动较快C ．小球在相邻影像间运动时间间隔相等，最高点与最低点运动一样快D ．无法比较最高点和最低点的运动快慢解析：选AB ．由所给频闪照片可知，在最高点附近，相邻影像间弧长较小，表明最高点附近的线速度较小，运动较慢，A 对；在最低点附近，相邻影像间弧长较大，对应相同时间内通过的圆心角较大，故角速度较大，运动较快，B 对．7．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )A ．它们的半径之比为2∶9B ．它们的半径之比为1∶2C ．它们的周期之比为2∶3D ．它们的周期之比为1∶3解析：选AD ．因为v 1v 2＝r 1ω1r 2ω2＝23，且ω1ω2＝3，因此r 1r 2＝23×ω2ω1＝29，选项A 正确，选项B 错误；匀速圆周运动的周期T ＝2πω，则T 1T 2＝ω2ω1＝13，选项C 错误，选项D 正确． 8．假设某一飞船升空后，先运行在近地点高度为200 km 、远地点高度为350 km 的椭圆轨道上，实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n 周，起始时刻为t 1，结束时刻为t 2，运行速度为v ，半径为r ，则计算其运行周期可用( )A ．T ＝t 2－t 1nB ．T ＝t 1－t 2nC ．T ＝2πr vD ．T ＝2πv r解析：选AC ．由题意可知飞船做匀速圆周运动n 周所需时间Δt ＝t 2－t 1，故其周期T ＝Δt n ＝t 2－t 1n ，选项A 正确；由周期公式有T ＝2πr v，选项C 正确． 三、非选择题9．如图所示，在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，已知三个轮的半径之比r 1∶r 2∶r 3＝3∶2∶1，则A 、B 、C 三点的线速度大小之比为v A ∶v B ∶v C ＝ ；A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ ；A 、B 、C 三个轮子的转速之比n 1∶n 2∶n 3＝解析：由于O 1、O 3两轮共轴，所以A 、C 两点角速度相等，即ωA ＝ωC ；由于O 1、O 2通过皮带传动，所以A 、B 两点线速度的大小相等，即v A ＝v B ，由v ＝ωr ，r 1∶r 3＝3∶1，ωA＝ωC ，则v A ∶v C ＝3∶1，整理得：v A ∶v B ∶v C ＝3∶3∶1；由ω＝v r，r 1∶r 2＝3∶2，v A ＝v B ，则ωA ∶ωB ＝2∶3，整理得：ωA ∶ωB ∶ωC ＝2∶3∶2，由ω＝2πn ，得：n 1∶n 2∶n 3＝2∶3∶2．答案：3∶3∶1 2∶3∶2 2∶3∶210．如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，O 轴离地面高为2R ，轮上a 、b 两点与O 点连线相互垂直，a 、b 两点均粘有一小物体，当a 点转至最低位置时，a 、b 两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上．(1)试判断圆轮的转动方向．(2)求圆轮转动的角速度的大小．解析：(1)由题意知，a 、b 两点处的物体脱离圆轮后在空中的运动时间相等，因h b >h a ，所以脱离时b 点处物体的速度应竖直向下，即圆轮的转动方向为逆时针．(2)a 、b 两点处的物体脱落前分别随圆盘做匀速圆周运动v 0＝ωR ①脱落后a 点处物体做平抛运动h a ＝12gt 2＝R ②b 点处物体做竖直下抛运动h b ＝v 0t ＋12gt 2＝2R ③ 联立以上方程得ω＝g 2R ．答案：(1)逆时针 (2) g 2R11．如图所示，小球A 在光滑的半径为R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a 点时，在圆形槽中心O 点正上方h 处，有一小球B 沿Oa 方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a 点与A 球相碰，求：(1)B 球抛出时的水平速度多大？(2)A 球运动的线速度最小值为多大？解析：(1)小球B 做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B 的水平速度为v 0，则R ＝v 0t① 在竖直方向上做自由落体运动，则h ＝12gt 2 ② 由①②得v 0＝R t ＝R g 2h ． (2)A 球的线速度取最小值时，A 球刚好转过一圈，B 球落到a 点与A 球相碰，则A 球做圆周运动的周期正好等于B 球的飞行时间，即T ＝2h g 所以v A ＝2πR T＝2πR g 2h ． 答案：(1)Rg 2h (2)2πR g 2h。

3圆周运动的实例分析圆周运动是物体在绕着固定轴线做旋转运动的一种形式。

在自然界和科学实验中，圆周运动是非常常见的现象。

本文将通过分析三个实例来说明圆周运动的特点和应用。

第一个实例是地球围绕太阳的公转。

地球每年绕着太阳做一圈，形成一个近似椭圆的轨道。

这个运动符合圆周运动的特征：地球始终围绕着太阳旋转，轴线是固定不变的。

地球的公转速度恒定且方向一致，因此地球与太阳之间的距离也是保持不变的。

这个实例的重要应用是确定地球的运行轨道和计算地球公转的时间。

第二个实例是电子在原子核周围的轨道运动。

原子核带正电荷，电子带负电荷，它们之间形成静电力。

因此，电子会受到中心力的作用，绕着原子核做圆周运动。

这个实例也符合圆周运动的特点：电子的运动轨道是固定的，轴线是静止的原子核。

电子的速度恒定且方向一致，因此距离原子核的距离保持不变。

这个实例的重要应用是解释原子的结构和性质。

第三个实例是汽车在直道上行驶时的转弯运动。

当汽车在直道上行驶时，可以看作是做着圆周运动。

汽车的轮胎信号和地面之间会产生摩擦力，并提供一个向心力。

这个向心力使汽车沿着弯道做圆周运动。

这个实例也符合圆周运动的特点：汽车的运动轨道是固定的，轴线是路面。

汽车的速度恒定且方向一致，因此转弯时，汽车与弯道之间的距离保持不变。

这个实例的重要应用是研究汽车的制动和转向性能。

总结起来，圆周运动是一种常见的物理现象，在自然界和科学实验中有广泛的应用。

地球围绕太阳的公转、电子在原子核周围的轨道运动和汽车在直道上行驶时的转弯运动都是典型的圆周运动实例。

通过分析这些实例，我们可以深入了解圆周运动的特点和应用。