2011届高考数学第一轮复习单元检测试题4

2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，所以()U AC B ={}|13x x -≤≤.2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01:3l y x =至点(-２,２)处取得最小值.3.选 Ａ．提示：使得二次函数2()3f x x ax =--的对称轴42ax =≥即可. 4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.5.选 Ｃ．提示：由//a b 有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b =6.选 Ｂ．提示：'tan (1)1f α==. 7.选 Ａ．提示： ①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的必要非充分条件. 8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可.10. ６.提示:用三角形面积公式: 1sin 62s BA BC B =⋅⋅=.11. 223144x y -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.12. 3i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.13.3a .提示:把棱长为a 的空间正四面体ABCD 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值.14．165 . 提示:用直角三角形的面积射影定理. 15． 85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为 35,然后由弦长l =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力) （Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-4sin cos x x =2sin 2x =， ………3分22T ππ== …………………5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分（Ⅱ）由2()43f πθ+=， ∴22sin 2()43πθ+=, …………………7分化简可得1cos 23θ=, ………………9分则2112sin 3θ-=, ∴21sin 3θ=…………………10分 由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故sin 3θ=…………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．………………………4分 ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．8分 ⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===． …………………………………10分所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是：18. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ．………… 4分 （Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，1BB ， ∴11B D =12OB =，12D O =，则2221111OB DO B D +=， ∴11OB DO ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，……… 12分∴AC ⊥平面11BDD B ， 又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥， 又1ACOB O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． ………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结EC ，∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，又1AB ⊂平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CBBE B =，∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分在Rt BEC ∆中，BE =，2BC =∴tan BEC ∠=60BEC ∠=，∴二面角1B AB C --的大小为60． …………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ，则点(1,1,0)O 、1D ，∴1(1,1OD =--又点(2,2,0)B ，(1,1M ，∴(1,1BM =-- ∴1OD BM =， 且1OD 与BM 不共线， ∴1//OD BM ．又1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ……………………………4分（Ⅱ）∵11(1,1(1,10OD OB ⋅=--⋅=，1(1,1(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=∴11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 又1OB AC O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． …………………………8分 （Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，∴(2,0,0)BC =-为平面1ABB 的法向量．∵11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，∴1(1,1OD =--为平面1ABC 的法向量．∴11cos ,2BC OD <>=， ∴BC 与1OD 的夹角为60，即二面角1B AB C --的大小为60．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1AB B ∆，根据射影面积公式可得11cos AB B AB CS S α∆∆=，1112AB B S AB B B ∆=⋅⋅=1112AB C S AC B O ∆=⋅⋅=∴111cos 2AB B AB CS S α∆∆===， ∴二面角1B AB C --的大小为60 …………14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分 则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+2(21)(432)x kx =-+， ………………4分又由已知条件，2242k=·， 于是有6k =， ……5分所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．…………7分（2）根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-18(2)(12)x x =---．………9分…………12分故12x =时，()f x 达到极大值． 因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分 20. （本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分∵FC 是P 的直径，∴FB BC ⊥∵,BC BF b k b k c=-= ∴1bb c-⋅=- --------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分解得c =--------------------------------------5分∴椭圆的离心率c e a ==分（2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------① -----------7分∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------② ---------9分由①②得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== -----11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴ 21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c = ------------------13分由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点∴()23f n n n n =+= -----------------4分 ⑵()(1)9(1)22n n nf n f n n n T ++==119(1)(2)229(1)22n n n nn n T n n n T n +++++⇒==+ -------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分 ∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T ==4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==. ------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立， 只需272m ≤ ∴272m ≥ -------------------9分 ⑶()3228f n n n n b ===8(18)8(81)187n n n S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16111<-+++n n n n tb S tb S ， 化简得，888177812877n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分若1t =时 8817781277nn -<-，81577n<即，显然1n =-------------------12分若1t >时 818077n t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ （﹡）式化简为815877n t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭不可能成立 --------------13分综上，存在正整数1,1n t == 使16111<-+++n n nn tb S tb S 成立. - --------------14分。

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第十三章 第四讲一、选择题1．若变量y 与x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，查表得到相关系数临界值r 0.05＝0.801 3，则变量y 与x 之间( )A ．不具有线性相关关系B ．具有线性相关关系C ．它们的线性关系还要进一步确定D ．不确定 [答案] B2．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( )A ．K 2＞3.841B ．K 2＜3.841C ．K 2＞6.635D ．K 2＜6.635[解析] 比较K 2的值和临界值的大小，95%的把握则K 2＞3.841，K 2＞6.635就约有99%的把握．[答案] A3．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A.y ∧＝x ＋1 B.y ∧＝x ＋2 C.y ∧＝2x ＋1D.y ∧＝x －1[解析] 画散点图，四点都在直线y ∧＝x ＋1上． [答案] A4．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[解析]图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型，故选A.[答案] A5．观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是()[解析]D选项中主对角线上两个柱形高度之积与副对角线上两个柱形高度之积相差最大，选D.[答案] D6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是() 年龄/岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0 A.C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下[解析]将x＝10代入得y＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．故选C.[答案] C二、填空题7．下列命题：①用相关指数R 2来刻画回归的效果时，R 2的值越大，说明模型拟合的效果越好； ②对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”可信程度越大；③两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1；④三维柱形图中柱的高度表示的是各分类变量的频数．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)[答案] ①③④8．若两个分类变量x 和y 的列联表为：则x 与y [解析] x 2＝(5＋15＋40＋10)(5×10－40×15)2(5＋15)(40＋10)(5＋40)(15＋10)≈18.822，查表知P (x 2≥6.635)≈0.1，∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.1＝0.99. [答案] 0.999．若施化肥量x 与水稻产量y 的回归直线方程为y ∧＝5x ＋250，当施化肥量为80 kg 时，预计水稻产量为________．[答案] 650 kg10．根据下面的列联表：得到如下的判断：99%的把握认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为1%；④认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为10%.其中正确的命题为________．[解析] 正确命题为②③. [答案] ②③ 三、解答题11．某体育训练队共有队员40人，下表为跳远和跳高成绩的统计表，成绩分为1～5共5个档次，例如表中所示跳高成绩为4分、跳远成绩为2分的队员为5人，将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，得该卡对应队员的跳高成绩为x 分，跳远成绩为y 分，设x ，y 为随机变量．(注：没有相同姓名的队员)(1)跳高成绩是否“优秀”与跳远是否“优秀”有没有关系？(2)若跳远成绩相等和跳高成绩相等的人数分别为m 、n .试问：m 、n 是否具有线性相关关系？若有，求出回归直线方程．若没有，请说明理由．(回归相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2)[解] (1)根据题中条件，对两变量进行分类，先看跳远成绩“优”的队员有10人，“一般”的有30人；跳高“优”的有15人，“一般”的有25人；于是，列联表如下：假设跳高“优则K 2＝80×(15×30－10×25)240×40×25×55＝1.455＜2.706，显然，没有充分的证据显示跳高“优”与跳远“优”有关． (2)将跳远、跳高成绩及人数整理如下表：易得m ＝8，n ＝8，∑i ＝1k(m i －m)2＝30，∑i ＝1k(n i －n )2＝22，∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )＝5，那么r ＝∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )∑i ＝1k(m i －m)2·∑i ＝1k (n i －n )2＝530×22≈0.194 6，可见变量n 与m 不具有线性相关性．12．某数学教师为了研究学生的性别与喜欢数学之间的关系，随机抽测了20名学生，得到如下数据：(2)根据题(1)系？(3)按下面的方法从这20名学生中抽取1名学生来核查测量数据的误差：将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取学生的序号．试求：①抽到12号的概率；②抽到“无效序号(超过20号)”的概率．参考公式：K 2＝n ×(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参考数据：P (K 2≥k )0.025 0.010 0.005 k5.0246.6357.879[解] (1)根据题中表格数据可得2×2列联表如下：男生 女生 合计 喜欢数学 5 3 8 不喜欢数学 1 11 12 合计61420(2)提出假设H 0：性别与是否喜欢数学之间没有关系．根据上述列联表可以求得K 2的观测值为k ＝20×(5×11－1×3)26×14×8×12≈6.7063.当H 0成立时，P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，而这里6.7063＞6.635. ∴认为性别与是否喜欢数学之间没有关系的概率是1%，∴该数学教师有99%的把握认为：性别与是否喜欢数学之间有关系．(3)将一个骰子连续投掷两次，事件“朝上的两个数字的乘积”有6×6＝36种． ①∵朝上的两个数字的乘积为12的事件有4种：2×6,3×4,6×2,4×3. ∴抽到12号的概率为P 1＝436＝19.②∵朝上的两个数字的乘积为“无效序号(超过20号)”的事件有6种：4×6,5×5,5×6,6×4,6×5,6×6，∴抽到“无效序号(超过20号)”的概率为P 2＝636＝16.亲爱的同学请你写上学习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

2011年黄冈中学高考一轮复习(内部)系列:高考数学一轮复习单元测试卷（13）—数形结合思想一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知集合P={ 0, m},Q={x │Z x x x ∈<-,0522},若P∩Q≠Φ,则m 等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或25D ．1或22．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点)sin ,(cos ααB 的距离为1的α的一个值是 （ ）A ．12π B ．6π C ．3π-D ．4π-3．将函数x x f 2sin :→的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x 轴的对称变换，得到y x x R =∈c o s 2，的图象，则f x ()可以是 （ ）A ．s in xB ．c o s xC ．2s i n xD ．2c o s x4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是 （ ）A .B .C .D .5．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 （ ）A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π6．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为 （ ）A ．B ．C ．D ．36Cot36Cot 36Cot 36Cot x y O x y O1xy O 1 x y O －7．直角坐标x O y 平面上，平行直线x ＝n （n ＝0，1，2，……，5）与平行直线y ＝n （n ＝0， 1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有 （ ）A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个8．方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2-310．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )A ．()2,0B ．()32,0C ．()32,2D ．[)4,211．若直线1+=kx y 与曲线12+=y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ ）A ．12-<<-kB ．22<<-kC ．21<<k D ．2-<k 或2>k12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满足如图的二次函数关系。

课标理数5.N1如图1－2，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .图1－2给出下列三个结论： ①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG . 其中正确结论的序号是() A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③课标理数5.N1 A 【解析】因为AD 、AE 、BC 分别与圆O 切于点D 、E 、F ，所以AD ＝AE ，BD ＝BF ，CF ＝CE ，又AD ＝AB ＋BD ，所以AD ＝AB ＋BF ，同理有AE ＝CA ＋FC .又BC ＝BF ＋FC ，所以AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ，故①正确；对②，由切割线定理有：AD 2＝AF ·AG ，又AD ＝AE ，所以有AF ·AG ＝AD ·AE 成立；对③，很显然，∠ABF ≠∠AGD ，所以③不正确，故应选A.图1－2课标理数15.N1 (几何证明选讲选做题)如图1－2，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.课标理数15.N135 【解析】因为PA 为圆O 切线，所以∠PAB ＝∠ACB ，又∠APB ＝∠BAC ，所以△PAB ∽△ACB ，所以PB AB ＝AB CB，所以AB 2＝PB ·CB ＝35，所以AB ＝35.课标文数15.N1 (几何证明选讲选做题)如图1－3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，图1－3E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．课标文数15.N1 7∶5图1－4【解析】图1－4延长AD 与BC 交于H 点，由于DC ∥EF ∥AB ，又DC AB ＝24，所以S △HDC S △HAB ＝416，同理S △EFH S △HAB ＝916，所以S △HDC ∶S 梯形DEFC ∶S 梯形EFBA ＝4∶5∶7， 所以梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.图1－2课标理数11.N1如图1－2，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．课标理数11.N1233【解析】连结AO 与AB ，因为A ，E 是半圆上的三等分点，所以∠ABO ＝60°，∠EBO ＝30°.因为OA ＝OB ＝2，所以△ABO 为等边三角形．又因为∠EBO ＝30°，∠BAD ＝30°，所以F 为△ABO 的中心，易得AF ＝233.课标理数22.N1图1－11如图1－11，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．课标理数22.N1【解答】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ， 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．图1－12(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ， 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5，故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标理数22.N1选修4－1：几何证明选讲图1－11如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．课标理数22.N1【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.图1－12(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线图1－10与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.图1－11因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．图1－10已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．课标文数22.N1图1－11【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即AD AC ＝AE AB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与∠DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数12.N1如图1－6所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．图1－6课标理数12.N172【解析】设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝12.∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72，由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72.课标文数13.N1如图1－5，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．图1－5课标文数13.N172【解析】设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF 得2＝8k 2，即k ＝12.∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72，由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换 设矩阵M ＝错误!(其中a >0，b >0)． ①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3.解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数5.N3在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为()A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3课标理数5.N3 D 【解析】点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝ 3.圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)到点(1，3)的距离为 3.课标理数3.N3在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C ．(1，0)D ．(1，π)课标理数3.N3 B 【解析】由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2，故应选B.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )(其中a >0，b >0)．①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标理数14.N3 (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．课标理数14.N3⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255 【解析】把参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ化为标准方程得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t 化为标准方程得y 2＝45x (x >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，y 2＝45x ，得x ＝1或x＝－5(舍去)，把x ＝1代入y 2＝45x 得y ＝255或y ＝－255(舍去)，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255.课标理数9.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．课标理数9. N3 2 【解析】曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α化为普通方程：x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0，1)，r ＝1，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0，则圆心在曲线C 2上，直线与圆相交，故C 1与C 2的交点个数为2.课标文数9.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．课标文数9.N3 2 【解析】曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α，化为普通方程：x 24＋y 23＝1①，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0②.联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2.课标理数15.N3 (1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．课标理数15.N3【答案】x 2＋y 2－4x －2y ＝0【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.课标理数23.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标理数23.N3【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2 3.课标理数23.N3选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．课标理数23.N3【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)． 因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )．因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称．因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.课标文数23.N3在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．课标文数23.N3【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.课标文数23.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标文数23.N3【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α，(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数11.N3已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________．课标理数11.N3 2 【解析】由抛物线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，消去t ，得y 2＝8x ，∴焦点坐标为(2，0)．∴直线l 的方程为y ＝x －2.又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， ∴r ＝|4－2|12＋12＝ 2.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )(其中a >0，b >0)．①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标理数10.N4，E6设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．课标理数10.N4，E6 9 【解析】方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，等号成立．课标理数15.N4 (2)(不等式选做题)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．课标理数15.N4【答案】 5【解析】 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取得最大值5.课标文数15.N4对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为________． 课标文数15.N4设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标理数24.N4【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得 |x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.课标理数24.N4选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．课标理数24.N4【解答】 (1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．课标文数24.N4已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 课标文数24.N4【解答】(1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．课标文数24.N4设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标文数24.N4【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1， 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ， 于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2. 所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．。

阶段质量检测(八) 平面解析几何 (时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷 (选择题，共40分)一、选择题(本大题共8题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2 解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定 解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.116解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－1716 解析：准线方程为y ＝116， 由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C6．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3.答案：A7．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．4 解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2， 点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C8．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.45B.23C.47D.12解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值． ∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|， 由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确答案填在题中横线上) 9．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a2＋b2.答案：a2＋b210．(2009·福建高考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：由焦点弦|AB|＝2psin2α得|AB|＝2psin245°，∴2p＝|AB|×12，∴p＝2.答案：211．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0),2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l 上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解．答案：x25＋y24＝112．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程为______________．解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，|BC|＝23p，BA·BC＝4p·23p·cos30°＝48，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x13．若双曲线22xa－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．解析：由a2＋1＝4，∴a＝3，∴e＝23＝233.答案：23314．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________ 解析：如图 |AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案：22916x y -＝1(x >3) 三、解答题(本大题共6小题，共8分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.16．(本小题满分12分)过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：设M 的坐标为(x ，y )，则A 、B 两点的坐标分别是(2x ,0)，(0,2y )，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM||AB∴=化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程．17．(本小题满分14分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线． 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16. 抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .18． (本小题满分14分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点． (1)求OA ·OB 的值；(2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围． 解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0. 设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)， 则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③ y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ， 故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ，因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可， 解之得3－52≤λ≤3＋52.19．(本小题满分14分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )．(1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点，又因为坐标原点O 为线段AB 的中点， 所以OE 是△ABD 的中位线， 所以|OE |＝12|AD |＝1，所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上， 又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上， 所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)， 由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切， 所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)，将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3).又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2.故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1.20． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )， 则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y .又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1.∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25＝90m 2＋19m 2＋25.∴S △OPQ ＝12|OM ||y P －y Q |＝2×90m 2＋19m 2＋25＝20m 2＋1m 2＋259＝20m 2＋1m 2＋1＋169＝20m 2＋1＋169m 2＋1≤2083＝152， 当m 2＋1＝169m 2＋1， 即m ＝±73时，△OPQ 的面积取得最大值为152，此时直线方程为3x ±7y －12＝0.。

郑州四中2011届高三数学一轮复习综合测试（二）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径.如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率：P n（k）＝C p k(1-p)n-k（k＝0，1，2，…，n）.如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）.如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．己知全集，，，则（）(A) (B) (C) (D)2．在2009年全运会女子百米冠军王静传出兴奋剂事件后，许多网民表达了自己的意见，有的网友进行了调查，在参加调查的4258名男性公民中有2360名认为其服用了兴奋剂，3890名女性公民中有2386人认为遭人陷害，在运用这些数据说明王静兴奋剂事件是否遭人陷害时用什么方法最有说服力？（）A．平均数与方差B．回归分析C．独立性检验D．概率3．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．4．若等差数列满足，，则的值是（）A．20 B．36 C．24 D．725根据上表估计新华书店8 月份的销售总数是（）A．1147本B．1110本C．1340本D．12786．设，若线段是△外接圆的直径，则点的坐标是（）A．B．C．D．7．已知命题p：关于的函数在上是增函数.，命题q：为减函数，若为真命题，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 第次观测得到的数据为，具体如下表在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的的值是（）A．6 B．7C．8 D．99．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A．B．C．D．10．已知两点，点为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点到点的距离的最小值为（）A．2B．3C．4D．611．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和的最大值为（）A．8 B．16 C．32 D．6412．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意（2）对任意（3）对任意关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3；②函数为奇函数；③函数的单调递增区间为。

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十五)第十五单元 函数与方程思想(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设直线 ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．设P 是60°的二面角α－l －β内一点，P A ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 为垂足，P A ＝4，PB ＝2，则AB 的长为 A ．2 3B ．2 5C ．27D ．4 23． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 A ．4005B ．4006C ．4007D ．40084．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种5．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M ＝[a ，b ](a <b )，集合N ＝{M x x f y y ∈=),(}，则使M ＝N 成立的实数对(a ，b )有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个6．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为A ．1B ．2C ．3D ．3log 27．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．若函数f (x )＝(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x )A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减9．定义在(－∞，＋∞)上的奇函数f (x )和偶函数g (x )在区间(－∞，0]上的图像关于x 轴对称，且f (x )为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )成立的是A ．a >b >0B ．a <b <0C ．ab >0D ．ab <010．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边．如果a 、b 、c 成等差数列∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋32D ．2＋ 3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于 ． 12．若1(2)n x x+-的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝ ． 13．x 0是x 的方程a x ＝log a x (0<a <1)的解，则x 0，1，a 这三个数的大小关系是 ． 14．已知函数y f x y fx ==-()()与1互为反函数，又y f x y g x =+=-11()()与的图象关于直线y x =对称，若f x x x fx ()log ()()()=+>=-122120，则__ _;g ()6=_______ ．15．已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________．（填上一个正确的数据序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，集合B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，集合C ＝{x |m 822-+x x ＝1，m ≠0，|m |≠1}满足A ∩Bφ， A ∩C ＝φ，求实数a 的值．17．（本小题满分12分）有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11．（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;（2）若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据．18．（本小题满分14分） 求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11．8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p %的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%170p 元，预计年销售量将减少p 万件．（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？20．（本小题满分14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件： f (x －1)＝f (3－x )且方程f (x )＝2x 有等根． （1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ，n （m <n ），使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立．第十五单元 函数与方程思想参考答案(11) 25(12)． 3； (13)． 10或1031-(14)．12214⎛⎝ ⎫⎭⎪-<--xx ()，；(15)． ①或②三、解答题（共80分）16．解：由条件即可得B ＝{2，3}，C ＝{－4，2}，由A ∩B ∅Ù，A ∩C ＝∅，可知3∈A ，2∉A ．将x ＝3代入集合A 的条件得：a 2－3a －10＝0 ∴a ＝－2或a ＝5 当a ＝－2时，A ＝{x|x 2＋2x －15＝0}＝{－5，3}，符合已知条件．当a ＝5时，A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，不符合条件“A ∩C ”＝∅，故舍去． 综上得：a ＝－2．17．解：（1） 依条件得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)2()1(9)1(103212121n x x x n x x x nx x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n 当n ＝10时， 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x ， 此时，62=x ，73=x ，84=x ，95=x ，116=x ，127=x ，138=x ，149=x ．18． 解：,2111)(x x x f -+=' ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少． 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值． 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值．19． 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11．8－p ）万件，年销售收入为%170p -（11．8－p ）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -（11．8－p ）p %（万元）．故所求函数为:y ＝p-1007（118－10p ）p ．11．8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559．（2）由y ≥14，得p-1007（118－10p ）p ≥14．化简得p 2－12p ＋20≤0，即（p －2）（p －10）≤0，解得2≤p ≤10．故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元． （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时， 厂家的销售收入为g （p ）＝%170p -（11．8－p ）（2≤p ≤10）．∵g （p ）＝%170p -（11．8－p ）＝700（10＋100882-p ）为减函数，∴g （p ）max ＝g （2）＝700（万元）．故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元．20．解：(1)∵方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根，∴△＝(b －2)2＝0，得b ＝2．由f(x －1)＝f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x ＝－ab2＝1，得a ＝－1， 故f(x)＝－x 2＋2x ．(2)∵f(x)＝－(x －1)2＋1≤1，∴4n ≤1，即n ≤41． 而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴当n ≤41时，f(x)在[m ，n]上为增函数．若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-nn n m m m 424222⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或又m<n ≤41． ∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]．由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0． 21． 解：（1）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以．（2）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k ＝1，2，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意． 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== ．综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n ＝0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n ＝1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n ＝2n －1，即1，3，5，…，（1） （2）。

·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．1024更多成套系列资源请您访问： （请按ctrl 键单击网址） 成套资源仅2元，以最低成本为您服务，谢谢您的大力支持，欢迎您的宝贵意见！5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：34510121012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0． 14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种 18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第十六章第三讲一、选择题1．已知ξ的分布列为，则Eξ，Dξ分别等于() A．0,0B．0.2,0.7C．－1，－0.3 D．－0.3,0.61[解析]Eξ＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3Dξ＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.[答案] D2．已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝2)＝0.7.则EX和DX的值分别为() A．0.6和0.7B．1.7和0.3C．0.3和0.7D．1.7和0.21[解析]EX＝1×0.3＋2×0.7＝1.7DX＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21∴选D.[答案] D3．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为X，则下列结论正确的是() A．EX＝0.1B．DX＝0.1C．P(X＝k)＝0.01k·0.9910－kD．P(X＝k)＝C k100.99k×0.0110－k[解析]∵X～B(10,0.01)∴EX ＝10×0.01＝0.1.∴选A. [答案] A4．设随机变量X ～B (n ，P )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( )A ．n ＝8，P ＝0.2B ．n ＝4，P ＝0.4C ．n ＝5，P ＝0.32D ．n ＝7，P ＝0.45[解析] ∵X ～B (n ，P ) ∴EX ＝nP DX ＝nP (1－P )从而⎩⎪⎨⎪⎧nP ＝1.6nP (1－P )＝1.28，∴n ＝8，P ＝0.2 ∴选A.[答案] A5．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ、η的分布列分别是据此判定( )A ．甲比乙质量好B ．乙比甲质量好C ．甲与乙质量相同D ．无法判定 [答案] A6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.16[解析] 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为EX ＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤16，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立．[答案] D 二、填空题7．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇到红灯次数的均值为________次．[解析] 设甲在途中遇红灯次数为X ，则X ～B (3，25)∴EX ＝3×25＝1.2.[答案] 1.28．(2009·江门一模)已知某批次产品共10000件，其中有200件次品．有放回地从中抽取200件进行检验，查得次品数的数学期望为________．[答案] 49．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c ． [解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，又2b ＝a ＋c ，∴b ＝13，a ＋c ＝23由Eξ＝0，∴0＝－a ＋c ，∴a ＝13，c ＝13∴Dξ＝(－1－0)2×13＋(0－0)2×13＋(1－0)2×13＝23.[答案] 2310．(2009·上海高考题)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ________.(结果用最简分数表示)[解析] ξ可取0,1,2，因此P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，Eξ＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.[答案] 47三、解答题11．(2009·山东高考卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2.该同学选择先。

阶段性测试题十四(综合能力测试卷一(文十三))本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，则a 的值是 ( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 由条件知l 1的斜率存在且kl 1·kl 2＝－1a ·12＝－1，∴a ＝12.(理)点A (a,1)与点B (－1，a )位于直线x ＋y ＋1＝0的两侧的一个充分不必要条件是( ) A ．－2<a <0 B ．a >0 C ．－2<a <－1 D ．1<a <2 [答案] C[解析] 由题意得点A (a,1)与点B (－1，a )位于直线x ＋y ＋1＝0的两侧的充分必要条件是(a ＋1＋1)(－1＋a ＋1)<0，即－2<a <0.因此结合各选项知，选C.[点评] 点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.2．(文)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝3a 1，则数{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2 B ．1 C ．－1或2 D ．1或－2 [答案] D[解析] 由S 3＝3a 1，设公比为q ， ∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3a 1. ∵a 1≠0，∴q 2＋q ＋1＝3.∴q ＝1或q ＝－2.(理)在等差数列{a n }中，a 1＝3，且a 1，a 4，a 10成等比数列，则a n 的通项公式为( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝n ＋2 C ．a n ＝2n ＋1或a n ＝3 D ．a n ＝n ＋2或a n ＝3 [答案] D[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 24＝a 1·a 10， ∴(3＋3d )2＝3×(3＋9d )， 解得d ＝0或d ＝1. ∴a n ＝n ＋2或a n ＝3. 3．若(2＋3i)·z ＝－3i ，则复数z 对应的点在复平面内的 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] C[解析] 解出z ＝－3－23i ，∴选C.4．已知平面向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，若9x ＋3y 的最小值是 ( ) A ．2 3 B ．6 C ．12 D ．3 2 [答案] B[解析] a ⊥b ⇔4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ≥232x ＋y ＝6.当且仅当3y ＝9x 即y ＝2x ＝1时等号成立．5．已知双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点恰好是抛物线y 2＝4x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0 B ．x ±3y ＝0 C ．3x ±y ＝0 D ．x ±3y ＝0 [答案] A[解析] y 2＝4x 焦点F (1,0)，∴c ＝1，e ＝c a ＝2.∴a ＝12.∴双曲线方程为x 214－y234＝1，渐近线方程为3x ±y ＝0.6．(文)若函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)，对任意的实数x 满足f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则直线ax －2by ＋c ＝0的斜率是( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，∴对称轴x ＝π4. ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝0.∵f ′(x )＝a cos x ＋b sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝a ·22＋b ·22＝0，∴b ＝－a . ∴k ＝a 2b ＝a －2a ＝－12.(理)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) [答案] A[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2·cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )得， x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋76π(k ∈Z )，故选A. 7．(文)设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5] [答案] C[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，∵f (x )在[1,3]上为单调函数，∴f ′(x )≥0恒成立(或f ′(x )≤0恒成立)．a ＝3时，f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立，排除B 、D ；a ＝－3时，f ′(x )＝x 2－6x ＋5＝(x －1)(x －5)≤0在[1,3]上恒成立，排除A ，∴选C.(理)在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] D[解析] 函数y ＝x 3－8x 的导数y ′＝3x 2－8.∵切线的倾斜角小于π4，∴斜率k 满足0≤k <1，即0≤3x 2－8<1.解得－3<x <－83或83<x < 3.易见x 无整数解，故无坐标为整数的点．选D.8．(文)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 [答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.(理)已知a=(cos2α，sin α)，b=(1,2sin α-1)，α∈ ，若a ·b= ，则tan 的值为( ) A.13 B.27 C.17 D.23 [答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25.∴sin α＝35.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴tan ＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 9．(文)如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为 ( )A ．e1<e2<e3<e4B ．e 1<e 2<e 4<e 3C ．e 2<e 1<e 3<e 4D ．e 2<e 1<e 4<e 3[答案] B[解析] 椭圆①，②的b 值相同，椭圆①的a 值小于椭圆②的a 值，由e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2可得e 1<e 2<1.同理可得1<e 4<e 3，故e 1<e 2<e 4<e 3.(理)(08·湖北)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2; ②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2; ④c 1a 1<c 2a 2.其中正确式子的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ [答案] B[解析] ∵P 点既在椭圆Ⅰ上，又在椭圆Ⅱ上，且F 是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点， ∴PF ＝a －c ，即a 1－c 1＝a 2－c 2，故②正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2得a 1－a 2＝c 1－c 2，c 1＝a 1－a 2＋c 2，∴c 1a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2＋c 2)a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2)a 2＋(a 2－a 1)c 2＝(a 1－a 2)(a 2－c 2)，又∵从图中可以看出，a 1>a 2，a 2>c 2，∴c 1a 2－a 1c 2>0，即c 1a 2>a 1c 2，故③正确，故选B.[点评] 数形结合解答更简便，由图知，a 1－c 1＝|PF |＝a 2－c 2，排除A 、C 选项；由于离心率越大，椭圆越扁，由图知Ⅰ比Ⅱ的离心率大，∴c 1a 1>c 2a 2，即c 1a 2>a 1c 2，∴选B.10．在如图△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 ( )A ． B. 3 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由题设条件知，AH ⊥BC ，tan C ＝2tanC 21－tan 2C 2＝43，∵C 点在以A 、H 为焦点的双曲线上，设双曲线的实、虚半轴及半焦距分别为a 、b 、c ，则有AH ＝2c ，CH ＝b 2a ，∴2c b 2a＝43，∴3ac＝2(c 2－a 2)，∴3e ＝2(e 2－1)，即2e 2－3e －2＝0，∵e >1，∴e ＝2.11．(文)如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为 ( )A ．80+16B ．64＋16 2C ．96D ．80 [答案] A[解析] 由图知，该几何体由同底的正四棱锥和正方体构成；表面由四个三角形和五个正方形组成．三角形的底边都为4，高为22＋⎝⎛⎭⎫422＝22，正方形边长为4.S 几何体＝4S △＋5S 正方形＝4×4×222＋5×4×4＝80＋16 2.(理)一个几何体的三视图如下图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ( )A ．12B ．6C.32D.23[答案] C[解析] 容易看出该几何体是正六棱锥，由正视图为边长为2的正三角形知六棱锥的高为3，由主视图和俯视图知，底面正六边形边长为1，故左视图是底边长为3，高为3的三角形，面积S ＝32.12．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB ＝AC ＝BC ＝23，则球心到平面ABC 的距离为 ( )A ．1 B. 2C. 3 D ．2 [答案] A[解析] S ＝4πR 2＝20π，∴R ＝ 5. △ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝23，∴小圆直径AB sin60°＝2332＝4.∴小圆半径r ＝2.∴球心到截面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有________条． [答案] 4[解析] 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为x a ＋ya＝1，也有两条与已知圆相切．易知①、②中四条切线互不相同．(理)已知两个点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1，②y ＝43x ，③y ＝2，④y ＝2x ，其中为“B 型直线”的是________．(填上所有正确结论的序号)[答案] ①③[解析] 显然使|PM |－|PN |＝6的轨迹为x 29－y 216＝1(x >0)，通过观察图象以及结合渐近线y ＝±43x 的位置，可以得出①③与曲线有交点．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7 (x <0)x (x ≥0)，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 当a <0时，由f (a )<1得⎝⎛⎭⎫12a－7<1， ∴2－a <8，即a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，由f (a )<1得a <1，∴0≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－3,1)．15．(文)设x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≤x －1y ≥0，则z ＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．[答案][解析] 画出不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≤x －1y ≥0，所表示的平面区域如图所示，而z ＝(x －1)2＋(y －1)2表示可行域内的点到点P (1,1)的距离的平方．∵P 到直线y ＝x －1的距离为12，∴z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12. 故z 的最小值为12.(理)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 成角的大小等于________．[答案] 90°[解析] 取AD 中点F ，BC 中点E ，连结A 1F ，B 1E ，EF . 则A 1、F 、E 、B 1四点共面．∵A 1A ＝AD ，AF ＝MD ，A 1F ＝AM ， ∴△A 1AF ≌△ADM . ∴∠AA 1F ＝∠DAM .∴∠MAD ＋∠A 1F A ＝90°. ∴A 1F ⊥AM .∵AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∩A 1F ＝A 1，∴AM ⊥平面A 1B 1EF . ∵OP ⊆平面A 1B 1EF ，∴AM ⊥OP ，即所成角为90°.16．已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)、B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)[解析] 方法1：设P A 与PB 的倾斜角为分别为α、β，直线P A 的斜率是k 1＝5，直线PB 的斜率是k 2＝－12.当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12.故斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． 方法2：设直线l 与线段AB 相交于点M (x ，y )，且M 不同于A 、B 两点．设AM →＝λMB →(λ>0)．由向量相等可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ－21＋λ，－31＋λ.又∵直线l 过点P (－1,2)，∴直线l 的斜率k ＝－31＋λ－23λ－21＋λ－(－1)＝－5－2λ－1＋4λ，整理得λ＝k －54k ＋2.∵λ>0，∴k －54k ＋2>0，解得k >5或k <－12.当M 与A 重合时，k P A ＝2－(－3)－1－(－2)＝5，当M 与B 重合时，k PB ＝2－0－1－3＝－12.综上所述，直线l 的斜率k 的取值范围是 ⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最值和最小正周期；(2)设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |<3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵x ∈R ，∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2，T ＝π.(2)由题意可知：|f (x )－m |<3在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立．∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，即1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2. ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝1.∵|f (x )－m |<3⇔f (x )－3<m <f (x )＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， ∴m >f (x )max －3且m <f (x )min ＋3.∴－1<m <4，即m 的取值范围是(－1,4)．18．(本小题满分12分)(文)在几何体ABCDE 中，∠BAC ＝π2，CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝BE ＝2，CD ＝1，(1)设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE ；(2)设F 是BC 的中点，求证：平面AFD ⊥平面AFE ； (3)求几何体ABCDE 的体积．[解析] (1)证明：∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ， ∴CD ∥EB .∴CD ∥平面ABE .又l ＝平面ACD ∩平面ABE ，∴CD ∥l . 又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ， ∴l ∥平面BCDE .(2)证明：在△DEF 中，FD ＝3，FE ＝6，DE ＝3，∴FD ⊥FE .∵CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AF . 又BC ⊥AF ，∴AF ⊥平面BCDE . ∴AF ⊥FD .∴FD ⊥平面AFE . 又FD ⊂平面AFD ， ∴平面AFD ⊥平面AFE .(3)V ABCDE ＝V A －BCDE ＝13S 四边形BCDE ·AF＝13×12(1＋2)×22×2＝2. (理)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由． [解析] (1)证明：如图，连结AB 1与A 1B 相交于M ，则M 为A 1B 的中点． ∵D 为AC 的中点． ∴B 1C ∥MD .又B 1C ⊄平面A 1BD ， MD ⊂平面A 1BD ， ∴B 1C ∥平面A 1BD . (2)证明：∵AB ＝B 1B ，∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1.又∵AC 1⊥平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. ∴A 1B ⊥B 1C 1.又在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1， ∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)解：当点E 为C 1C 的中点时，平面A 1BD ⊥平面BDE ， ∵D 、E 分别为AC 、C 1C 的中点，∴DE ∥AC 1. ∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴DE ⊥平面A 1BD . 又DE ⊂平面BDE ，∴平面A 1BD ⊥平面BDE .19．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ln x －2x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解析] (1)函数f (x )＝ln x －2x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－2.令f ′(x )>0，∵x >0，∴0<x <12.令f ′(x )<0，∵x >0，∴x >12.∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)由(1)得f ′(1)＝1－2＝－1. ∵f (1)＝－2，∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y ＋2＝－(x －1)，即x ＋y ＋1＝0. (理)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，证明函数f (x )只有一个零点；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x.令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x＝0，∵x >0，∴x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，其值为f (1)＝0.当x ≠1时，f (x )<f (1)，即f (x )<0. ∴函数f (x )只有一个零点．(2)f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，∴f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意．②当a >0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >1a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1a >0，解之得，a ≥1.③当a <0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >－12a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞. 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1a <0，解之得，a ≤－12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)(文)现有编号分别为1、2、3、4、5的五个不同的政治题和编号分别为6、7、8、9的四个不同的历史题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两题的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来．(2)求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率． [解析] (1)共有36个等可能性的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11”为事件A . 即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x ＋y ∈[11,17)，其中x <y ”， 由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)．∴P (A )＝1536＝512.答：(1)共有36个基本事件；(2)甲同学所抽取的两题的编号之和不小于11且小于17的概率为512.(理)某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为23. (1)求选手甲可进入决赛的概率；(2)该选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．[解析] (1)选手甲答3题进入决赛的概率为⎝⎛⎭⎫233＝827； 选手甲答4题进入决赛的概率为C 23·⎝⎛⎭⎫232·13·23＝827.选手甲答5道题进入决赛的概率为C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·23＝1681；∴选手甲可进入决赛的概率P ＝827＋827＋1681＝6481. (2)依题意，ξ的可值为3,4,5.则有P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫232·13·23＋C 23⎝⎛⎭⎫132·23·13＝1027， P (ξ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132＝827， 因此，ξ的分布列为： ∴E (ξ)＝3·13＋4·1027＋5·827＝10727. 21．(本小题满分12分)(文)已知“接龙等差”数列a 1，a 2，…，a 10，a 11，…，a 20，a 21，…，a 30，a 31，…的构成如下：a 1＝1，a 1，a 2，…，a 10是公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2的等差数列；…；a 10n ，a 10n ＋1，a 10n ＋2，…，a 10n ＋10是公差为d n 的等差数列(n ∈N *)，其中d ≠0.(1)若a 20＝80，求d ；(2)设b n ＝a 10n ，求b n ；(3)当d >－1时，证明对所有奇数n 总有b n >5.[解析] (1)由a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列得a 10＝10，a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列得a 20＝a 10＋10d ＝10＋10d ＝80，解得d ＝7.(2)由题意有a 20＝a 10＋10d ，a 30＝a 20＋10d 2，a 40＝a 30＋10d 3，a 10n ＝a 10(n －1)＋10d n －1.累加得a 10n ＝a 10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1＝10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1，所以b n ＝10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10(1－d n )1－d (d ≠1)10n (d ＝1). (3)证明：设n 为奇数，当d ∈(0，＋∞)时，b n ＝10＋10d ＋10d 2＋ (10)n －1>10；当d ∈(－1,0)时，b n ＝10(1－d n )1－d ， ∵1<1－d <2及1－d n >1，∴b n ＝10(1－d n )1－d>102＝5. 综上所述，当n 为奇数且d >－1时，恒有b n >5.(理)已知函数f (x )＝12x 2＋32x .数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)令b n ＝a n 2n －1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n ； (2)令c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12. [分析] ∵点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，∴S n ＝12n 2＋32n ，从而{a n }为等差数列，故{b n }求和可用“乘公比错位相减法”；由于c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，故c n ≥2，从而c 1＋c 2＋…＋c n ≥2n ，因此只须考虑证明c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12，考虑到{a n }为等差数列，故可将c n 的常数项分离出来，只须证余下项的和∈⎝⎛⎭⎫0，12. [解析] (1)解：∵点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，∴S n ＝12n 2＋32n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，适合上式，∴a n ＝n ＋1对任意n ∈N *都成立．∴b n ＝a n 2n －1＝n ＋12n －1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1① 12T n ＝22＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ② ①－②得，12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫1－n ＋12n ＝1－12n 1－12＋1－n ＋12n ＝3－n ＋32n ， ∴T n ＝6－n ＋32n －1. (2)证明：由c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1>2n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋1＝2，∴c 1＋c 2＋…＋c n >2n . 又c n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝1－1n ＋2＋1＋1n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2， ∴c 1＋c 2＋…＋c n＝2n ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋12－1n ＋2<2n ＋12. ∴2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12成立．22．(本小题满分14分)已知圆A 、圆B 的方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝254，(x －2)2＋y 2＝14，圆心分别为A 、B ，动圆P 与此两圆均外切，直线l 的方程为x ＝a ⎝⎛⎭⎫a ≤12. (1)求圆心P 的轨迹方程，并证明：当a ＝12时，点P 到点B 的距离与点P 到定直线l 的距离之比为定值；(2)延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求|PQ |的最小值．[解析] (1)设动圆P 的半径为R ，则|P A |＝R ＋52，|PB |＝R ＋12，所以|P A |－|PB |＝2(定值)． 所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为x 2－y 23＝1(x >0)． 若a ＝12，则l 的方程为x ＝12，为双曲线的右准线．所以点P 到点B 的距离与点P 到l 的距离之比等于离心率2.(2)若PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为y ＝k (x －2)，代入双曲线方程得，(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.由⎩⎨⎧ Δ>0x 1＋x 2＝－4k 23－k 2>0x 1·x 2＝－4k 2＋33－k 2>0得，k 2>3. 所以|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝6(k 2＋1)k 2－3＝6＋24k 2－3>6. 当直线的斜率不存在时，x 1＝x 2＝2，得y 1＝3，y 2＝－3，|PQ |＝6.综上可知，|PQ |的最小值为6.。

第十一章第二节排列与组合[理]课下练兵场一、选择题1．不等式A x8＜6A x－28的解集为() A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}解析：8！(8－x)！＜6×8！(10－x)！，∴x2－19x＋84＜0，∴7＜x＜12，又x≤8，x－2≥0，∴7＜x≤8即x＝8.答案：D2．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a，b，c，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有() A．72条B．96条C．128条D．144条解析：当a＞0时，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c＜0；当a＜0时，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c＞0，所以坐标原点在抛物线内部⇔ac＜0.故满足条件的抛物线共有3×4×6×A22＝144条．答案：D3．将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”(可以不相邻)，这样的排列数有() A．12种B．20种C．40种D．60种解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置给A、B、C且A、B、C有两种站法即C35×2，②然后让D、E排在剩余两个位置上有A22种排法；由分步乘法原理所求排列数为C35×2×A22＝40.答案：C4．(2010·海淀模拟)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为() A．360 B．520 C．600 D．720解析：若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种．答案：C5．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域为[a，b]，其中a、b∈Z，且a＜b.若函数f(x)的值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有() A．2个B．5个C．6个D．8个解析：函数f(x)＝41,0,241,0,2xxxx⎧-≥⎪⎪+⎨⎪-<⎪-+⎩是R上的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)∈[0,1]，则定义域区间可以取[－2,2]，[－2，0]，[－2,1]，[－1,2]，[0,2]，共有5个．答案：B6．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是() A．384 B．396 C．432 D．480解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有C12C12C12C12A44＝384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4，则共有A44＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3则共有A44＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384＋24＋24＝432.答案：C二、填空题7．(2009·重庆高考)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：选出两人看成整体，再排列，共有C24A33＝36.答案：368．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．解析：由于教师A在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师A上，则第四节课必由教师C上，此时有A24＝12种，如果第一节由教师B上，则第四节应由教师A、C中一人上，此时有A12A24＝24，故共有36种不同的排法．答案：369．(2010·青岛模拟)在△AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上O点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有________个．解析：C312－C36－C37＝165.答案：165三、解答题10．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A34种放法．由分步计数原理，知共有C24A34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C14种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C14A24种方法；②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C24种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C24种选法，共有C24C24种方法．由分类计数原理知共有C14A24＋C24C24＝84种不同的放法．11．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本．解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60种．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22 A33＝15种．12．(1)以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，又因为AB上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？(2)在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？(3)设有等距离的3条平行线和另外等距离的4条平行线相交，试问以这些交点为顶点的三角形的个数是多少？解：(1)分类讨论：A、B只含有一个点时，共有2(C36＋C26C14)＝160个；既含A又含B时，共有C26＝15个；既不含A也不含B时，共有C410－1－C34C16＝185个．所以共有160＋15＋185＝360个．(2)含A点时，可构成C15C14＝20个三角形；不含A点时，可构成C25C14＋C15C24＝70个三角形．故共有20＋70＝90个三角形．(3)除了同一平行线上的点不能构成三角形以外，还要注意对角线上的点也不能构成三角形．所以共有C312－(C34×3＋C33×4＋4)＝200个．。

Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

第五章 数列(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知实数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于 ( ) A.－4 B.±4 C.－2 2 D.±2 2 解析：∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，∴y ＝－2(正不合题意)，∴xyz ＝－2 2. 答案：C2.等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S nn}的前11项和为( )A.－45B.－50C.－55D.－66 解析：S n ＝(a 1＋a n )n 2，∴S n n ＝a 1＋a n2＝－n ， ∴{S nn}的前11项的和为－66. 答案：D3.已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( ) A.4 B.14 C.－4 D.－14解析：∵{a n }是等差数列， ∴S 5＝5a 3＝55，∴a 3＝11. ∴a 4－a 3＝15－11＝4， ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝41＝4. 答案：A4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12·a 8的值为 ( )A.4B.6C.8D.10解析：由已知得：(a 2＋a 10)＋(a 4＋a 8)＋a 6＝5a 6＝80⇒a 6＝16，又分别设等差数列首项为a 1，公差为d ，则a 7－12a 8＝a 1＋6d －12(a 1＋7d )＝12(a 1＋5d )＝12a 6＝8.答案：C5.记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n (n －1)，则该数列是 ( )A.公比为2的等比数列B.公比为12的等比数列C.公差为2的等差数列D.公差为4的等差数列解析：由条件可得n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n －1)－2(n －1)(n －2)＝4(n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，代入适合，故a n ＝4(n －1)，故数列{a n }表示公差为4的等差数列. 答案：D6.定义：在数列{a n }中，a n ＞0且a n ≠1，若aa n ＋1n 为定值，则称数列{a n }为“等幂数列”.已知数列{a n }为“等幂数列”，且a 1＝2，a 2＝4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2009＝( )A.6026 B .6024 C.2 D.4 解析：12aa ＝24＝16＝aa 32＝4a 3， 得a 3＝2，同理得a 4＝4，a 5＝2，…， 这是一个周期数列. ∴S 2009＝2009－12×(2＋4)＋2＝6026. 答案：A7.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).试问三角形数的一般表达式为 ( ) A.n B.12n (n ＋1) C.n 2－1 D.12n (n －1)解析：由1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)可得. 答案：B8.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，那么S 100的值等于 ( ) A.2500 B.2600 C.2700 D.2800 解析：据已知当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0⇒a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2⇒a n ＝n ，10050501(),()11...1246 (100)n an nn S ⎧=⎨⎩=++++++++奇数故这偶数故＝50＋50×2＋1002＝2600. 答案：B9.在函数y ＝f (x )的图象上有点列{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为 ( ) A.f (x )＝2x ＋1 B.f (x )＝4x2C.f (x )＝log 3xD.f (x )＝(34)x解析：结合选项，对于函数f (x )＝(34)x 上的点列{x n ，y n }，有y n ＝(34)x n .由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝(34)x n ＋1(34)x n ＝(34)x n ＋1－x n ＝(34)d，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列. 答案：D10.数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2008＝ ( )A.20072008 B.20071004 C.20082009 D.40162009解析：因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，则可猜得数列的通项a n ＝n (n ＋1)2，∴1a n＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2008＝2(1－12＋12－13＋…＋12008－12009)＝2(1－12009)＝40162009答案：D11.各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.－1－52 D.5－12或5＋12解析：设{a n}的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝1＋52.从而a4＋a5a3＋a4＝q＝1＋52.答案：B12.已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n＝lg a n，b3＝18，b6＝12，则数列{b n}前n项和的最大值等于 ( )A.126B.130C.132D.134解析：由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又∵b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6.即q＝10－2，∴a1＝1022.又∵{a n}为正项等比数列，∴{b n}为等差数列，且d＝－2，b1＝22.故b n＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴S n＝22n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋23n＝－(n－232)2＋5294.又∵n∈N*，故n＝11或12时，(S n)max＝132.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)13.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝. 解析：设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1.∴S6＝1－q61－q＝4(1－q3)1－q.∴q3＝3.∴a1q3＝3.答案：314.已知数列{a n}满足a n＋1a n＝n＋2n(n∈N*)，且a1＝1，则a n＝.解析：由已知得a na n－1＝n＋1 n－1，a n－1 a n－2＝nn－2，…a2 a1＝31，a 1＝1，左右两边分别相乘得a n ＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2答案：n (n ＋1)215.“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n }，则数到 2 008时对应的指头是 ，数列{a n }的通项公式a n ＝ .(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).解析：注意到数1,9,17,25，…，分别都对应着大拇指，且1＋8×(251－1)＝2 001，因此数到2 008时对应的指头是食指.对应中指的数依次是：3,7,11,15，…，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1. 答案：食指 4n －116.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S n n2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是 . 解析：∵{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26， 可解得S n ＝2n 2－n ，∴T n ＝2－1n，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值≤M 即可.又T n ＝2－1n<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求{a n }前n 项和S n 的最大值. 解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件得，1111,3,2,45,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＜0,3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列.解：(1)证明∵2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴{a n }是等差数列.又∵a 1＝14，a 2＝34，∴a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14，(2)证明：∵b n ＝13b n －1＋n 3(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＋1－a n ＋1＝13b n ＋n ＋13－2n ＋14＝13b n －2n －112＝13(b n －2n －14)＝13(b n －a n ). 又∵b 1－a 1＝b 1－14≠0，∴{b n －a n }是以b 1－14为首项，以13为公比的等比数列.19.(本小题满分12分)(2010·苏北三市联考)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝3，a 5＝6，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n ； (2)求数列{b n }的通项公式.解：(1)设{a n }的公差为d ，则：a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d .125133,6,,46a d a a a d +=⎧∴==⎨+=⎩所以∴a 1＝2，d ＝1∴a n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.M n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1， 由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，T n －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(b n －1－b n )，即b n ＝12(b n －1－b n ).∴b n ＝13b n －1.∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列.∴b n ＝23·(13)n －1＝23n .20.(本小题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ 解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清， 则每次交付欠款的数额顺次构成数列{a n }， 故a 1＝100＋2000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(万元)， …a n ＝100＋[2000－100(n －1)]×0.01＝120－(n －1)＝121－n (万元)(1≤n ≤20，n ∈N *).因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列. 故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)，20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2210(万元).∴实际要付300＋2210＝2510(万元).即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2510万元. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的每一项都是正数，满足a 1＝2且a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0；等差数列{b n }的前n 项和为T n ，b 2＝3，T 5＝25. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)比较1T 1＋1T 2＋…＋1T n与2的大小；(3)[理]若b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＜c 恒成立，求整数c 的最小值. 解：(1)由a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0， 得(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0，由于数列{a n }的每一项都是正数，∴a n ＋1＝2a n ，∴a n ＝2n. 设b n ＝b 1＋(n －1)d ，由已知有b 1＋d ＝3,5b 1＋5×42d ＝25， 解得b 1＝1，d ＝2，∴b n ＝2n －1. (2)由(1)得T n ＝n 2，∴1T n ＝1n2，当n ＝1时，1T 1＝1＜2.当n ≥2时，1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n.∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＜1＋11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝2－1n＜2. (3)[理]记P n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n .∴12P n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减得P n ＝3－2n ＋32n .∵P n 递增，∴12≤P n ＜3，P 4＝3716＞2，∴最小的整数c ＝3.22.(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)∵数列{a n }是等差数列， ∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36.∵a 2＝3，∴a 5＝9，∴3d ＝a 5－a 2＝6，∴d ＝2， 又∵a 1＝a 2－d ＝1，∴a n ＝2n －1.(2)由等比数列{b n }满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24， 得b 4＋b 5b 1＋b 2＝q 3＝8，∴q ＝2， ∵b 1＋b 2＝3，∴b 1＋b 1q ＝3，∴b 1＝1，b n ＝2n －1，∴a n ·b n ＝(2n －1)·12n －.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·22n －＋(2n －1)·12n －，则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·12n －＋(2n －1)·2n，两式相减得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·12n －－(2n －1)·2n，即－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋212n －)－(2n －1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n －1)·2n＝(3－2n )·2n－3， ∴T n ＝(2n －3)·2n＋3.。

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第十六章 第一讲一、选择题1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗1点，另一颗3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点[解析] ∵抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X 表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和．∴X ＝4＝1＋3＝2＋2，∴选D. [答案] D2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12 D.23[解析] 设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功． ∴由P ＋2P ＝1 得P ＝13，故应选B.[答案] B3．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜ξ≤4)＝( )A.116B.18C.316D.14[解析] P (2＜ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316，∴选C.[答案] C4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝C ·(23)i ，i ＝1,2,3，则C 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.2719[解析] C[(23)＋(23)2＋(23)3]＝1，∴C ＝2738.[答案] B5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4) [解析] X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4.[答案] C6．(2009·重庆高考题)12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组(每组4个队)，则3个强队恰好被分在同一组的概率为( )A.155B.355C.14D.13[解析] 因为将12个组分成4个组的分法有C 412C 48C 44A 33种，而3个强队恰好被分在同一组分法有C 33C 19C 48C 44A 22，故个强队恰好被分在同一组的概率为C 39C 19C 48C 44A 22C 412C 48C 44A 33＝355. [答案] B 二、填空题7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于第一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．[解析] X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．。

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第七章 第八讲一、选择题 1．(2009·全国Ⅱ，5)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35[答案] C 2．(2009·浙江，5)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C3．点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则P A 与BD 所成角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 将其补成正方体，如右图P A 与BD 成60°角，故选C.[答案] C 4．(2009·全国Ⅰ，10)已知二面角α－l －β为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] C5．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，12，0)，P (x,0,1)∴AM →＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，12，－1)AM →·PQ →＝0×(12－x )＋1×12＋12×(－1)＝0，∴AM →⊥PQ →.[答案] D 6．(2007·深圳二模理7)在教材中，我们学过“经过点P (x 0，y 0，z 0)，法向量为e ＝(A ，B ，C )的平面的方程是：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0)＝0”．现在我们给出平面α的方程是x －y＋z ＝1，平面β的方程是x 6－y 3－z6＝1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是( )A.23B.33C.39D.223 [答案] A 二、填空题 7．(2009·四川，15)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．[答案] 90°8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于____________．[解析] 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，底面对角线BD ＝26，则边长BC ＝2 3.作SO ⊥底面ABCD ，作OE ⊥CD ，连SE ，则∠SEO 就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由V ＝13×(23)2·SO ＝12，得SO ＝3.则在Rt △SEO 中，tan ∠SEO ＝3，∴∠SEO ＝π3，即侧面与底面所成的二面角等于π3.[答案] π39．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系． 则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D (32，－12，2) ∴CD →＝(32，－12，2)，CB 1→＝(3，1,2)设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·CB 1→＝0解得 n ＝(－3，1,1)又∵DA →＝(32，－12，－2) ∴sin θ＝1，cos<DA →·n >＝45.[答案] 4510．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．[解析] 解法一：A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 的距离为A 1到平面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥平面D 1EF ，则A 1H 即为所求，在Rt △A 1D 1E 中， A 1H ＝A 1D 1·A 1E D 1E＝1×121＋(12)2＝55. 解法二：等体积法，设h 为G 到平面D 1EF 的距离． ∵VG －D 1EF ＝VA 1－D 1EF ＝VF －D 1A 1E ，∴12×1×52×h ＝12×1×12×1，∴h ＝55. [答案] 55三、解答题 11．(2009·全国Ⅱ，18)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解法一：(1)[证明] 取BC 中点F ，连接EF ，则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE . 又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1.从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)如图(1)作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.(1)∴AB ＝2，BC ＝2 2.∴AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝ 2.故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，∴四边形ADEF 为正方形．∵BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连接AE ，DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF . ∴EH ⊂平面DEF ，∴EH ⊥平面BCD .连接CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角．因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1.又EC ＝12B 1C ＝2，∴∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.解法二：(1)[证明] 以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图(2)所示的直角坐标系A －xyz .(2)设AB ＝1，则B (1,0,0)，C (0，b,0)，D (0,0，c )，则B 1(1,0,2c )，E (12，b2，c )．于是DE →＝(12，b2，0)，BC →＝(－1，b,0)．由DE ⊥平面BCC 1知DE ⊥BC ，即DE →·BC →＝0，求得b ＝1. 所以AB ＝AC .(2)设平面BCD 的法向量AN →＝(x ，y ，z )，则AN →·BC →＝0，AN →·BD →＝0.又BC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1,0，c )， 故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1,1，1c)．又平面ABD 的法向量AC →＝(0,1,0)，由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →〉＝60°，故AN →·AC →＝|AN →|·|AC →|·cos60°，求得c ＝12.于是AN →＝(1,1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)，cos 〈AN →，CB 1→〉＝AN →·CB 1→|AN →|·|CB 1→|＝12， ∴〈AN →，CB 1→〉＝60°.∴B 1C 与平面BCD 所成的角为30°. 12．(2008·广东理)如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P －ACFE 的体积．(1)求V (x )的表达式；(2)当x 为何值时，V (x )取得最大值？(3)当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． [解] (1)∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥PE .又∵PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ，且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE .∵EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴EF ∥CD . ∴EF CD ＝x BD ⇒EF ＝CD BD x ＝x 6. ∴四边形ACFE 的面积S 四边形ACFE ＝S △ABC －S △BEF ＝12×66×3－12×16x 2＝96－126x 2.∴四棱锥P －ACFE 的体积V P －ACFE ＝13S 四边形ACFE ·PE ＝36x －166x 3，即V (x )＝36x －166x 3(0＜x ＜36)．(2)由(1)知V ′(x )＝36－126x 2.令V ′(x )＝0⇒x ＝6.∵当0＜x ＜6时，V ′(x )＞0，当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0， ∴当BE ＝x ＝6时，V (x )有最大值，最大值为V (6)＝12 6.(3)解法一：如图，以点E 为坐标原点，向量EA →、EF →、EP →分别为x 、y 、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则E (0,0,0)，P (0,0,6)，F (0，6，0)，A (66－6,0,0)，C (36－6,3,0)．于是AC →＝(－36，3,0)，PF →＝(0，6，－6)． AC 与PF 所成角θ的余弦值为cos θ＝AC →·PF →|AC →||PF →|＝3654＋9＋00＋6＋36＝17.∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.解法二：过点F 作FG ∥AC 交AE 于点G ，连接PG ，则∠PFG 为异面直线AC 与PF 所成的角．∵△ABC 是等腰三角形， ∴△GBF 也是等腰三角形． 于是FG ＝BF ＝PF ＝BE 2＋EF 2＝42，从而PG ＝PE 2＋GE 2＝BE 2＋BE 2＝6 2.在△GPF 中，根据余弦定理得cos ∠PFG ＝PF 2＋FG 2－PG 22PF ·FG ＝17.故异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.亲爱的同学请写上你的学习心得。

阶段质量检测(四)平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷 (选择题，共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝ ( ) A.－1－i B.－1＋I C.1－i D.1＋i 解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋1＋i 2＋2i ＝1＋i.答案：D2.设P 1(2，－1)，P 2(0,5)，且P 在P 1P 2的延长线上，使|1p p |＝2|2p p|，则点P 为( )A.(－2,11)B.(34，3)C.(23，3) D.(2，－7)解析：由题意知P 1P 2＝P 2P ， 设P (x ，y )，则(－2,6)＝(x ，y －5)， ∴2,56x y =-⎧⎨-=⎩∴2,11x y =-⎧⎨=⎩∴点P 的坐标为(－2,11). 答案：A3.设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA ＝4i ＋2j ，OB＝3i ＋4j ，则△OAB 的面积等于 ( )A.15B.10C.7.5D.5 解析：由已知：A (4,2)，B (3,4).则OA OB ＝12＋8＝20，|OA |＝25，|OB |＝5.∴cos OA OB AOB OA OB∠===∴sin AOB ∠= ∴1sin 2OABS OA OB AOB =∠1 5.2⨯=答案：D4.在△ABC 中，D 为BC 的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则在下列向量中与AD同向的向量是 ( ) A.a |a |＋b |b | B.a |a |－b|b | C.a ＋b |a ＋b |D.|a |a ＋|b |b 解析：a ＋b |a ＋b |是a ＋b 的单位向量，a ＋b 与向量是AD 同向.答案：C5.已知向量p ＝(2，x －1)，q ＝(x ，－3)，且p ⊥q ，若由x 的值构成的集合A 满足A ⊇{x |ax ＝2}，则实数a 构成的集合是 ( ) A.{0} B.{23} C.∅ D.{0，23}解析：∵p ⊥q ，∴2x －3(x －1)＝0， 即x ＝3，∴A ＝{3}.又{x |ax ＝2}⊆A ， ∴{x |ax ＝2}＝∅或{x |ax ＝2}＝{3}， ∴a ＝0或a ＝23，∴实数a 构成的集合为{0，23}.答案：D6.设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数x －y i1＋2i ＋i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x ＋y i 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的 ( )解析：因为x －y i 1＋2i＋i ＝x －2y 5＋－2x －y ＋55i ，所以由题意得20,5250,5x y x y -⎧>⎪⎪⎨--+⎪⎪⎩即≥ 20.250x y x y ->⎧⎨+-⎩≤画出不等式组表示的平面区域即可知应选A. 答案：A7.(2010·黄冈模拟)已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(1＋sin A,1＋cos A )，q ＝(1＋sin B ，－1－cos B )，则p 与q 的夹角是 ( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 解析：锐角△ABC 中，sin A ＞cos B ＞0，sin B ＞cos A ＞0，故有p ·q ＝(1＋sin A )(1＋sin B )－(1＋cos A )(1＋cos B )＞0，同时易知p 与q 方向不相同，故p 与q 的夹角是锐角. 答案：A8.在△ABC 中，若2,BC AB BC CB CA BC BA =++ 则△ABC 是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2(),()0,AB BC CB CA BC BA BC AB BA CB CA CB CA BC CB CA BC BC CA BC BA ∴++=++=-=+==解析:∴,2B π∠=∴ ABC 为直角三角形.答案：B第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上) 9.已知复数a －ii－i 的对应点在复平面坐标系第二、四象限的角平分线上，则实数a ＝ .解析：已知复数a －ii －i ＝－1－(a ＋1)i ，由题意知a ＋1＝－1，解得a ＝－2.答案：－210.已知复数z 1＝4＋2i ，z 2＝k ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数k ＝ . 解析：z 2＝k －i ，z 1·z 2＝(4＋2i)(k －i)＝(4k ＋2)＋(2k －4)i ， 又z 1·z 2是实数，则2k －4＝0，即k ＝2. 答案：211.已知向量a 与b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则|a ||b |＝ .解析：由题意知a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12|a ||b |.又∵c ⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝0， ∴a 2＋a ·b ＝0，即|a |2＝－a ·b ＝12|a ||b |，∴|a ||b |＝12.答案：1212．在△ABC 中，若对任意t ∈R ，恒有|BA tBC - |≥|AC|，则∠C ＝________.解析：如图，设t BC BD =∴,BA tBC DA -= ∴,AD AC≥由于上式恒成立，∴AC BC⊥∴90.C ∠=︒ 答案：90︒13.已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC＝mOA ＋n OB (m 、n ∈R)，则mn 等于 .解析：如图所示，建立直角坐标系.则OA ＝(1,0)，OB＝(0，3)， ∴OC ＝m OA ＋n OB＝(m ，3n )， ∴tan30°＝3n m ＝33，∴m n ＝3. 答案：314.(2009·四川高考)设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射f ：V →V ，a ∈V ，记a 的象为f (a ).若映射f ：V →V 满足：对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f (λa ＋μb )＝λf (a )＋μf (b )，则f 称为平面M 上的线性变换.现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a 、b ∈V ，则f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )；②若e 是平面M 上的单位向量，对a ∈V ，设f (a )＝a ＋e ，则f 是平面M 上的线性变换； ③对a ∈V ，设f (a )＝－a ，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a ∈V ，则对任意实数k 均有f (ka )＝kf (a ). 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号). 解析：①当λ＝μ＝1时，f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )成立. ②∵f (a )＝a ＋e ，∴f (λa ＋μb )＝λa ＋μb ＋e . λf (a )＋μf (b )＝λ(a ＋e )＋μ(b ＋e )＝λa ＋μb ＋(λ＋μ)e . f (λa ＋μb )≠λf (a )＋μf (b ). ∴f 不是平面M 上的线性变换.③∵f (a )＝－a ，∴f (λa ＋μb )＝－λa －μb ， λf (a )＝－λa ，μf (b )＝－μb . ∴f (λa ＋μb )＝λf (a )＋μf (b ). ∴f 是平面M 上的线性变换.④∵f 是M 上的线性变换，∴当λ＝k ，μ＝0时，有f (λa ＋μb )＝f (ka )＝kf (a )＋0f (b )＝kf (a ). 答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分12分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)， (1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影.解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线.又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210.(2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.16.(本小题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝2，(1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |；(2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.解：(1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝1＋2×1×2×cos π3＋2＝3＋ 2.∴|a ＋b |＝3＋ 2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0. ∴|a |2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝|a |2. 设a 与b 的夹角为θ.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝11×2＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.所以向量a 与b 的夹角为π4.17.(本小题满分14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即a ·a 2R ＝b ·b 2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形.(2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)， ∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.18.(本小题满分14分)已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，|z 1－z 2|＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sin β＝－513，求sin α的值.解：(1)∵z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α－sin β)，|z 1－z 2|＝255，∴(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝255，∴cos(α－β)＝2－452＝35.(2)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365. 19.(本小题满分14分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，25,10.AB AD AD ==(1)求D 点坐标；(2)若D 点在第二象限，用AB ，AD 表AC；(3)AE ＝(m,2)，若3AB ＋AC 与AE 垂直，求AE坐标.解：(1)设D (x ，y )，AB ＝(1,2)，AD＝(x ＋1，y ).由题得222125,(1)10,AB AD x y AD x y ⎧=++=⎪⎨====⎪⎩2224,(1)10,x y x y +=⎧⎨+==⎩即 ∴2,2,3 1.x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ∴D 点坐标为(－2,3)或(2,1). (2)∵D 点在第二象限，∴D (－2,3).∴AD＝(－1,3).∵AC ＝(－2,1)， 设AC ＝m AB ＋n AD ，则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)，∴2,123.m n m n -=-⎧⎨-==⎩∴11.m n =-⎧⎨=⎩∴AC ＝－AB ＋AD .(3)∵3AB ＋AC＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)， AE＝(m,2)，∴(3AB ＋AC )·AE＝0.∴m ＋14＝0.∴m ＝－14.∴AE＝(－14,2).20.(本题14分)已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB ·BC＝6，AB 与BC 的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋3cos 2θ的最小值. 解：(1)由题意知：AB ·BC ＝|AB ||BC|cos θ＝6， ①S ＝12|AB||BC |sin(π－θ)＝12|AB||BC |sin θ， ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又θ为AB 与BC的夹角，∴θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，π4].(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4).∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4].∴当2θ＋π4＝3π4，θ＝π4时，f (θ)取最小值3.。