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等差数列与等比数列的综合应用题下面是2000字的文章，涉及到等差数列和等比数列的综合应用题。
等差数列和等比数列的综合应用题数列是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。
其中等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们在实际问题中有着丰富的应用。
本文将探讨其中一些有趣的综合应用题。
一、等差数列的综合应用1. 现有一连续数列，首项为a，公差为d，共有n项。
若已知该等差数列的和为Sn，则求出该数列的最后一项。
解析：根据等差数列的性质，我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。
将该式子中的Sn替换为已知的值，整理后得到一个关于未知数的一元二次方程，通过解方程，我们可以求得该数列的最后一项。
2. 小明上学迟到了，他每天比前一天迟到10分钟，第一天迟到15分钟，到第九天小明迟到多久？解析：这是一个等差数列的应用题，题目中已经给出了首项和公差，我们需要求出第九项。
根据等差数列的性质，我们知道第九项可以表示为a9 = a1 + (9-1)d。
将已知的值代入公式，计算得到小明第九天迟到了85分钟。
二、等比数列的综合应用1. 小明通过研究发现，他所在的城市每年的垃圾总量是前一年的1.5倍。
今年城市的垃圾总量为2000吨，请计算出5年后的城市垃圾总量是多少吨。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
将已知的值代入公式，计算得到5年后的城市垃圾总量为3750吨。
2. 一颗植物的高度是前一天的2倍，已知第一天植物的高度为10厘米，请计算出第五天的植物高度。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等差数列和等比数列应用案例等差数列和等比数列是初中数学中比较基础的知识点，但其应用却非常广泛。
下面列举几个等差数列和等比数列的应用案例。
等差数列的应用楼梯的台阶数假设一栋楼有100层，在不知道具体台阶数目的情况下，如何计算其总台阶数？答案是使用等差数列。
学过初中数学的同学都知道，连续两个数之间的差值相同，这一串数字就是等差数列。
因此，这栋楼的总台阶数就是100个等差数列的和。
a1 = 1 # 第1阶台阶数d = 1 # 公差n = 100 # 阶数S = (a1 + an) * n / 2= (1 + (1 + (n-1)*d)) * n /2= (1 + 100) * 100 / 2= 5050所以这栋楼一共有5050阶台阶。
等差数列的平均数突然有一个问题，已知等差数列的首项和公差，求前10项的平均数。
我们可以先求出该等差数列的第10项。
a10 = a1 + (10-1)*d然后，这个等差数列的首项到第10项的和就是：S10 = (a1 + a10) * 10 / 2最后，该等差数列前10项的平均数就是其和除以10。
average = S10 / 10等比数列的应用等比数列的增长和下降假设有一只兔子，它每个月都可以繁殖出一对兔子。
如果每对兔子的寿命都是1个月，假设有一开始就有一对兔子。
那么，过了1个月之后，这些兔子的数量将变成2。
因为兔子繁殖是等比数列增长，我们可以用公式计算出第n个月兔子的数量。
a1 = 1 # 第1个月有1对兔子q = 2 # 繁殖系数n = 6 # 第6个月an = a1 * q**(n-1)= 1 * 2**(6-1)= 32因此，过了6个月之后，这些兔子的数量将变成32对。
复利的计算在银行存款中，我们常常会听到复利的概念。
因为存款利率是一定的，因此我们可以用等比数列来计算存款每年的增长情况。
比如，我们现在存入元，存款年利率为5%，存款期限为5年，那么，在第5年结束时，我们的存款总额是多少呢？P = # 本金r = 0.05 # 存款年利率n = 5 # 存款年限amount = P * (1 + r)**n所以，经过5年的存款，我们的存款总额为$$10000*(1+0.05)^5$$元。
等差数列与等比数列的综合应用【考情分析】考试要求等差数列C级要求；等比数列C级要求；运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题；能运用数列的等差关系或等比关系知识解决实际问题．【知识清单】1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型(1) 银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋rx)．(2) 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x(x∈N且x>1)．(3) 产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x(x∈N且x>1)．(4)分期付款模型设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则x＝ar （1＋r ）（1＋r ）－1(n ∈N 且n>1)．【课前预习】1. (必修5P47练习5改编)现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为________．答案：10解析：1＋2＋3＋…＋n<200，n （n ＋1）2<200.当n ＝19时，剩余钢管最少，用去19×202＝190根．2. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则数列{a n }的公差为________． 答案：2解析：设公差为d ，其中d ≠0，则S 1，S 2，S 4分别为1,2＋d,4＋6d .由S 1，S 2，S 4成等比数列，得(2＋d )2＝4＋6d ，即d 2＝2d .因为d ≠0，所以d ＝2.3. 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n ∈N *)等于________．答案：6解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以2＋22＋23＋…＋2n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32，26＝64，n ∈N *.故n≥6.4. 若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2(a 1·a 2·…·a 13)＝13，等差数列{b n }满足b 7＝a 7，则b 1＋b 2＋…＋b 13的值为________． 答案：26解析：因为等比数列{a n }满足log 2(a 1·a 2·…·a 13)＝13，所以a 1·a 2·…·a 13＝213，(a 7)13＝213，a 7＝2，所以等差数列{b n }中，b 7＝a 7＝2，b 1＋b 2＋…＋b 13＝13b 7＝13×2＝26.5．已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,2n S a a ==且()*21320,n n n n S S S a n N ++-++=∈，记()*12111,n n T n N S S S =+++∈，若()6n n T λ+≥对*n N ∈恒成立，则λ的最小值为__________． 答案：16解析：()21211322n n n n n n n n n S S S a S S S S a +++++-++=---+ 2120n n n a a a ++=-+= , 即{}211,n n n n n a a a a a +-+-=-∴ 为首项为1 ，公差为211-= 的等差数列， ()()1111,2n n n n a n n S +=+-⨯== ， ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111221 (223)11n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭ ， 由()6n n T λ+≥ 得()()22167n n n n n λ≥=++++ ， 因为2n = 或3n = 时， 267n n++ 有最大值16 ， 16λ∴≥ ，即λ 的最小值为16，故答案为16 .【典型例题】目标1 等差、等比数列的综合问题例1 设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的公比；（2）证明：任意21,,,k k k k N S S S +++∈成等差数列.解析：（1）数列{}n a 的公比为q ，由534,,a a a 成等差数列，所以3452,a a a =+即2341112,a q a q a q =+解之得2q =-或1q =（舍）.（2）所以1111121(1)(1)(2)111k k k k k k a q a q a q q S S q q q ++++----+=+=---， 而112(1)21k k a q S q --=-，由（1）得220q q +-=，所以1120k k k q q q +-+-=，所以111121(2)2(1)211k k k k k k a q q a q S S S q q+-++---+===--. 即对任意21,,,k k k k N S S S +++∈成等差数列.【借题发挥】变式1 设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且21,,k k k a a a ++成等差数列.（1）求数列{}n a 的公比；（2）证明：对任意21,,,k k k k N S S S +++∈成等差数列.解析：（1）由21,,k k k a a a ++成等差数列，所以212k k k a a a ++=+，即220q q +-=，解之可得解之得2q =- 或1q =（舍）.（2）所以1111121(1)(1)(2)111k k k k k k a q a q a q q S S q q q ++++----+=+=---， 而112(1)21k k a q S q --=-，由（1）得220q q +-=，所以1120k k k q q q +-+-=，所以111121(2)2(1)211k k k k k k a q q a q S S S q q+-++---+===--. 即对任意21,,,k k k k N S S S +++∈成等差数列.变式2 设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且21,,k k k S S S ++成等差数列。
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号11sh11sx00学员编号: 年 级： 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 等比数列结论总结及等差与等比数列的综合训练授课日期及时段教学目标1、掌握等差数列与等比数列的性质并会综合运用；2、灵活运用所学知识会解决综合数列题；教学内容☆ 性质总结：1、 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比。
2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m n m a qa -=或n n m ma q a -= 3、 等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A ab =±注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅4、 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、 等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列。
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
【高中数学】等差等比数列的综合应用【高中数学】等差、等比数列的综合应用一、教学内容：等差等比序列的综合应用二、教学目标：综合运用等差等比数列前n项的定义公式、通项公式、性质和求和公式来解决相关问题三、要点：（一）算术序列1.等差数列的前项和公式1：2.算术顺序的前一项和公式2：3.（m，n，p，q∈n）5.算术序列前n项之和有两类最大值问题：（1）利用>0，d<0，前n项和有最大值，可由≤0，求得n的值。
什么时候≤ 0，二次函数匹配法得到最大值n。
（二）等比数列1.等比数列的前n项和公式：∴当①或②当q=1时，使用公式②2、是等比数列不是等比数列② 当Q≠ - 1或K是奇数，它仍然形成一个等比序列3、等比数列的性质：若mn=pk，则[典型示例]例1.在等差数列{＋＋＋。
解：根据等偏差的平均项公式：+，=2++=450，++=180＋＋＋＋=（++）+（）+=9是项目的总和。
解：（用错项相消法）①①-②时，此时，例3将序列项的总和设为，if，ask:sequence，∴即∴即：例4如果第一项是一个正数等比序列，前一项的和为80，前一项中最大值的项为54，则找到该序列。
解：由题意替换（1）以便∴项中数值最大的项应为第项∴∴∴‡这个序列是例5.求集合m={mm=2n－1，n∈n*，且m＜60＝的元素个数及这些元素的和。
，及∵ N∈ n*∴满足不等式n＜==900答：M集中有30个元素，总和是900。
【模拟1.已知等比序列的公比为2，前四项之和为1，则前八项之和为（）a.15b.17c.19d.212.如果序列{an=3n-2已知，则取序列{an}中的ak2，AKN，…形成等比序列。
如果K1=2，K2=6，那么K4的值（）a.86b.54c.160d.2563.系列a.750b 610c。
510d。
五百零五4.<0的最小的n值是（）a、 5b。
6c。
7天。
八5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个序列有（）a.13项b.12项c.11项d.10项和6。
1.4.1 等差数列和等比数列的综合应用教学目标：⑴理解等差数列和等比数列的概念，通项公式、求和公式。
⑵灵活运用等差、等比数列的有关知识解决问题。
⑶会运用错项相消法。
重点、难点：等差、等比数列知识的应用教学过程1、复习等差数列、等比数列的定义，通项公式及有关性质。
2、知识运用例1：⑴数列a,a ……a …… (a R ∈) （ ）A 、是等差数列，但不是等比数列B 、是等比数列，但不是等差数列C 、既是等差数列，又是等比数列D 、是等差数列，但不一定是等比数列⑵某种机器原始价值为2300元/台，第一年的折旧费为100元/台，第二年的折旧费为120元/台，以后每年的折旧费都比上一年增加20元/台，当它的价值降到400元/台时，这台机器就报废，那么，一台这种机器能使用 年。
例2：求和n n n S 2164834221+++++= 例3：等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比都是d(d ≠1)，且a 1=b 1，a 4=b 4 ，a 10=b 10⑴求a 1和d 的值；⑵b 16是不是{}n a 中的项？如果是，是第几项？如不是，说明理由。
例4、有一批钢管共137根，要求存放时堆成正三角形垛，可以堆成一堆或两堆，请你设计一种堆法，使余下的钢管数量小。
巩固练习（11）1、等比数列{}n a 中，a 1=1，a 9=9，a 5= （ ）A 、±3B 、3C 、±5D 、52、某工厂在2002年底制定生产计划，要使2012年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为 （ ）A 、15101-B 、14101-C 、13101- D 、14111-3、一凸边形，各内角的度数成等差数列，公差为100，最小内角为1000，则边数n= 4、若{}n a 是等差数列，且a 4=6，a 6=4，则a 10=5、已知{}n a 是由正数组成的等比数列，且30303212=⋅⋅a a a a ，则=⋅⋅29852a a a a6、数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知，N n n s n )(1)2(log *2∈+=+试问{}n a 是否为等比数列？证明你的结论。
实用文档§3.4等差数列与等比数列的综合应用（一）【复习目标】1． 灵活运用等差、等比数列的通项公式和求和公式及数列的有关性质；2． 会运用数列知识解决有关代数、几何、三角等问题。
【重点难点】培养综合解题能力【课前预习】1． 在等比数列{}n a 中，若3a ，9a 是方程091132=+-x x 的两根，则6a 的值是 （ ）A ．3B ．±3C ．3±D ．以上答案都不对2．等差数列{}n a 的通项公式204n a n =-，这个数列的前多少项和最大 （ ）A ．前三项B ．前四项或前五项C ．前五项D ．前六项3．若两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项之和分别是n S 、n T ，已知37+=n n T S n n ，则=55b a 。
4．等差数列中，)(n m s s n m ≠=，则n m s += 。
【典型例题】例1 已知数列{a n }为等差数列，且公差d ≠0（1） 求证：对任意k ∈N ，所有方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0均有一个相同的根；（2） 若方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0的另一个根分别为α1,α2……，求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k α11也成等差数列。
实用文档例2 已知数列}{n a 是公比大于1的等比数列，且15210a a =，n n a a a s +++=......21， 12111......n n T a a a =+++，求满足n n T S >的最小正整数n.例3 已知函数f(x)=(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q(q∈R,q ≠1)的等比数列。
若a 1=f(d －1),a 3=f(d+1),b 1=f(q －1),b 3=f(q+1)（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n 均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求c 1+c 3+c 5+…+c 2n －1的值；试比较1313+-n n b b 与21++n n a a 的大小，并证明你的结论。
