等差数列前n项和的综合应用

等差数列前n项和的应用等差数列前n项和的应用，听起来有点严肃，但其实这事儿挺好玩的。

想象一下，有一天你正在数零花钱，发现一张五十块的钞票，一个十块的，接着又看到一张二十的。

这样加起来，哎呀，不自觉就开始想，假如我每周都能收到这些钱，那我一年能攒多少呢？这时候，等差数列就登场了！这玩意儿可是数理中的小精灵，帮你轻松算出那些你可能想不到的数字。

咱们先来聊聊等差数列吧。

简单来说，就是数列中每两项之间的差是一样的。

比如说，你每周都能收到10块，第一周10块，第二周20块，第三周30块，哎呀，真是简单明了。

然后，等差数列的前n项和，简直就是计算它的秘密武器。

你知道吗？公式长得也不复杂，S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，也就是前n项和等于项数n除以2乘以第一项和最后一项的和。

是不是瞬间觉得数学变得不那么可怕了？生活中，等差数列无处不在。

比如说，买东西的时候，店员告诉你打五折，哇，心里乐开了花，接着算算买几件衣服能省多少钱。

每买一件都省下了固定的钱，这不就是等差数列吗？想象一下，你买的第一件衣服打了折，第二件打折后的价格又少了，第三件也是如此，哎，这样算下来，最后的钱就省下来了。

省下的钱越多，心情就越好，真是应了那句“省一分是一分”。

咱们再来看看，如果你想送朋友礼物，手头上有500块，想着这钱怎么花才能让朋友开心。

你打算每个月送他一些钱，第一次送50块，第二次送100块，第三次送150块，没想到这样下去，钱就越来越少了。

结果一算，哎呀，前几个月的心血白费了。

等差数列的魅力在于，每次的增加量都是固定的，能让你精准掌握自己的预算，免得到了月底发现钱包扁得跟什么似的。

再说说学习这事儿。

上学的时候，老师布置作业，一道道作业像山一样压来，感觉快喘不过气。

可是，如果你把作业量看作一个等差数列，比如每周加一题，第一周三道，第二周四道，第三周五道，哎呀，刚开始觉得压力大，后来就会发现，习惯了，慢慢就能应对自如。

等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件． 说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。

等差数列前n项和性质及应用教案一、知识梳理等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则其第n项表示为an = a1 + (n-1)d。

1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式即为等差数列中前n项之和。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和表示为Sn，则：Sn = (a1 + an) ×n / 2 = (2a1 + (n-1)d) ×n / 2。

2. 等差数列前n项和的求解步骤设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和表示为Sn，则求Sn的步骤如下：（1）求出an的值：an = a1 + (n-1)d。

（2）将a1、an代入Sn的公式，得到Sn = (a1 + an) ×n / 2。

（3）化简Sn的公式，得到Sn = (2a1 + (n-1)d) ×n / 2。

（4）根据公式计算Sn的值。

二、应用举例等差数列的前n项和性质及应用在数学问题中有着广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明。

例1：小明在一个等差数列中的第5项为11，公差为3，求该等差数列的前10项和。

解：设该等差数列的首项为a1，公差为d，则a5 = a1 + 4d = 11。

由此可得到方程组：a1 + 4d = 11，a1 + 9d = ?（要求解的第10项）。

解方程组得到a1 = -9，d = 5。

代入等差数列前10项和的公式可得：S10 = (2a1 + 9d) ×10 / 2 = -18 + 225 = 207。

例2：一个等差数列的首项为3，公差为4，它的前n项和等于560，求这个等差数列的第n项。

解：设该等差数列的第n项为an，则根据等差数列前n项和公式可得：Sn = (2a1 + (n-1)d) ×n / 2 = 560。

代入a1 = 3，d = 4，并整理方程，得到：2 ×3n + 4n^2 - 4n - 1120 = 0。

等差数列的前N 项和公式的应用典题探究例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =-，求通项公式n a例2 等差数列16-，12-，8-，，前几项的和为72？例3 在等差数列{}n a 中，已知610a =，55S =，求8a例4 在等差数列{}n a 中，10100S =，10010S =，求110SA 档（巩固专练）1. 若等差数列{}n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若357=S ，则=4a （ ）A ．8B ．7C ．6D ．53. 已知{}n a 是等差数列，1010=a ，其前10项和7010=S ，则其公差d 为（ ）A ．32- B ．31- C ．31 D ．32 4. 若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T ，已知37+=n n T S n n ，则55b a 等于（ ）A ．7B ．32C ．827D ．421 5. 等差数列{}n a 、{}n b 中，1001001=+b a ，1001001=+a b ，则数列{}n n b a +的前100项之和为（ ）A ．0B ．100C ．1000D ．100006. 在等差数列{}n a 中，已知2483=+a a ，则10S 等于________7. 等差数列{}n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于__________8. 已知在等差数列{}n a 中，||||93a a =，公差0<d ，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________9. 数列{}n a 的前n 项和为210n n S n -=，求数列{}||n a 的前n 项和10. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知3010=a ，5020=a（1）求通项n a ；（2）242=n S ，求nB 档（提升精练）1. 在等差数列{}n a 中，已知9015=S ，那么8a 等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．122. 在等差数列{}n a 中，若4128S S =，则da 1等于（ ） A ．109 B ．910 C ．2 D ．32 3. 已知等差数列{}n a 的公差为1，且99999821=++++a a a a ，则++++ 963a a a =+9996a a （ ）A ．99B ．66C ．33D ．04. 在项数为12+n 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．125. 设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）A ．15B ．16C ．49D ．646. 等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和。

2.2 等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和公式及性质【选题明细表】题号知识点、方法易中等差数列前n项和公式应用1、3、9 7、8等差数列前n项和性质的应用2、4等差数列性质的综合应用5、6基础达标1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B )(A)40 (B)42 (C)43 (D)45解析:∵a1=2,a2+a3=13,∴3d=13-4=9,∴d=3,a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B )(A)28 (B)29 (C)30 (D)31解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1,S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1,∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B.3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D )(A)27 (B)36 (C)45 (D)54解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6,∴S9===9a5=54.故选D.4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B )(A)63 (B)45 (C)36 (D)27解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B.5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:由已知得2a n-=0,又a n≠0,∴a n=2,∴S2n-1===2(2n-1),∴S2n-1-4n=-2.故选A.6.等差数列{a n}中,已知a14+a15+a17+a18=82,则S31= .解析:结合已知条件,运用性质可以得出a1+a31=a14+a18=a15+a17=41,所以S31===.答案:7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则= .解析:设公差为d,则a1+4d=5(a1+2d),∴a1=-d,∴==×=×=-.答案:-能力提升8.(2013海州高级中学高二第一学期期中检测)在等差数列{a n}中,S n 是其前n项和,且a1=2,-=2,则数列﹛﹜的前n项和是.解析:设{a n}的公差为d,则S n=2n+d,∴=2+d,∴(2+d)-(2+d)=2,解之,得d=2,∴S n=2n+×2=n2+n,于是===-.∴数列﹛﹜的前n项和++…+=+++…+=1-=.答案:9.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n;(2)若S n=242,求n.解:(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+d,S n=242,得方程12n+×2=242,即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).所以n=11.。

各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。

它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。

二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。

三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。

2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。

3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。

4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。

5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。

§2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列前n 项和公式的推导及简单应用学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用a n 与S n 的关系求a n .知识点一 等差数列前n 项和公式思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？ 答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题： 设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)2.梳理 等差数列的前n 项和公式知识点二 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二思考 在等差数列{a n }中，若已知d ，n ，a n ，如何求a 1和S n?答案 利用a n ＝a 1＋(n －1)d 代入d ，n ，a n ，可求a 1，利用S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d可求S n .梳理 (1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和.(2)依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.知识点三 数列中a n 与S n 的关系思考 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n ? 答案 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又当n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *. 梳理 对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示.若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N *.(×)2.等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍.(√)类型一 等差数列前n 项和公式的应用 命题角度1 等差数列基本量的计算例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 方法一 由题意知S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n .方法二 ∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝310，∴a 1＋a 10＝62，①∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝1 220，∴a 1＋a 20＝122，②②－①，得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60，∴d ＝6，a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n .反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.(2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二. 跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解由⎩⎨⎧a n＝a 1＋(n －1)d ，S n＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎨⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20， 则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5， 即第10个月应付款55.5元.由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255.反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题解 (1)设n 分钟后第1次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解得n ＝7，n ＝－20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n 分钟后第2次相遇，由题意， 得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解得n ＝15，n ＝－28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. 类型二 由S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)， 当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1) ＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－12－⎝⎛⎭⎫2n －12＝2， 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列.引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＋1 ＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式.∴a n＝⎩⎨⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示. 跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *.1.已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于( ) A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 D解析 由a m ＝a 1＋(m －1)d ，得99＝1＋(m －1)×2， 解得m ＝50，所以S 50＝50×1＋50×492×2＝2 500.2.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6 D.7 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 答案 B解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10 ＝19×10＝190.4.已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n 答案 3(n ＋1)解析 由a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，① 得a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)，② ①－②，得na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1) ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)， ∴a n ＝3(n ＋1)(n ≥2).又当n ＝1时，a 1＝1×2×3＝6也适合上式， ∴a n ＝3(n ＋1)，n ∈N *. 5.已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝⎛⎭⎫－12×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4.∴n ＝12，a n ＝a 12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用： 若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3.由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前9项和等于( )A.27B.632 C.45 D.－9考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列前n 项和 答案 A解析 由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.2.在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( ) A.10 000 B.8 000 C.9 000D.11 000考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和答案 A解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.3.在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200 B.100 C.90 D.70 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 B解析 S 10＝10×(－20＋40)2＝100.4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.5.在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 两等差数列和之比与项之比问题 答案 A解析 由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.7.在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A.－9B.－11C.－13D.－15 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34 D.33 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n 答案 C解析 方法一 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1， a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33. ∴a 2＋a 18＝34.方法二 a 2＋a 18＝a 1＋a 19，S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192－2×19，∴a 1＋a 19＝34，即a 2＋a 18＝34.二、填空题9.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题 答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.10.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 答案 15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.11.在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，则a －b ＋c ＝________.考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题答案 －3解析 因为a n ＝2n ＋3，所以a 1＝5，S n ＝(5＋2n ＋3)n 2＝n 2＋4n ，与S n ＝an 2＋bn ＋c 比较，得a ＝1，b ＝4，c ＝0，所以a －b ＋c ＝－3.三、解答题12.已知等差数列{a n }的前三项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 设等差数列{a n }的公差为d ， 则由题意得⎩⎨⎧ a ＋3a ＝2×4，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝2，k ＝50，(k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.13.已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34. (1)证明：{a n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点 a n 与S n 关系题点 由S n 和a n 递推式求通项(1)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去).当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3). 所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2(n ≥2).所以数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列.(2)解 由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.四、探究与拓展14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.考点 等差数列的前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题答案 100解 因为A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，所以a 1＋a 200＝1，所以S 200＝200(a 1＋a 200)2＝100. 15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根. 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c . ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去). 经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。