等差数列等比数列的综合应用

等差数列与等比数列的综合应用题下面是2000字的文章，涉及到等差数列和等比数列的综合应用题。

等差数列和等比数列的综合应用题数列是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。

其中等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们在实际问题中有着丰富的应用。

本文将探讨其中一些有趣的综合应用题。

一、等差数列的综合应用1. 现有一连续数列，首项为a，公差为d，共有n项。

若已知该等差数列的和为Sn，则求出该数列的最后一项。

解析：根据等差数列的性质，我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。

将该式子中的Sn替换为已知的值，整理后得到一个关于未知数的一元二次方程，通过解方程，我们可以求得该数列的最后一项。

2. 小明上学迟到了，他每天比前一天迟到10分钟，第一天迟到15分钟，到第九天小明迟到多久？解析：这是一个等差数列的应用题，题目中已经给出了首项和公差，我们需要求出第九项。

根据等差数列的性质，我们知道第九项可以表示为a9 = a1 + (9-1)d。

将已知的值代入公式，计算得到小明第九天迟到了85分钟。

二、等比数列的综合应用1. 小明通过研究发现，他所在的城市每年的垃圾总量是前一年的1.5倍。

今年城市的垃圾总量为2000吨，请计算出5年后的城市垃圾总量是多少吨。

解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。

根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

将已知的值代入公式，计算得到5年后的城市垃圾总量为3750吨。

2. 一颗植物的高度是前一天的2倍，已知第一天植物的高度为10厘米，请计算出第五天的植物高度。

解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。

根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

“一题多问、一题多变”有效教学模式的课例探究——等差、等比数列的综合应用作者：何淑娟来源：《新课程·上旬》 2014年第5期文/何淑娟有效教学坚持以学生发展为本的教学目标，不仅关注学生的考试分数，更关注学生体魄的健壮、情感的丰富和社会适应性的提升，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度去促进学生个体的全方位发展，使学生获得知识与基本技能的同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。

与低效、无效教学不同，有效教学特别注重教学目标和学生发展的全面性、整体性和协调性。

“三维目标”是一个完整、协调、互相联系的整体。

同时，“三维目标”不是三个独立的目标，而是一个问题的三个方面。

在课堂教学中，不能完成了一维目标再落实另一维目标，而是要注重“三维目标”的整体性和协调性。

因此，有效教学主张教师树立教学目标的整体结构观念，全面实现“三维目标”，使教学目标价值的实现统一于同一教学过程中，从而充分实现教学的基本价值，促进学生全面和谐的发展。

在推进数学教学改革的实践中，我校提出课例研究主题为“开展有效课堂教学”。

目的是通过有效课堂教学，使复习更有效，更有利于学生的高考，同时又能减轻学生的负担。

在课堂教学中又能培养学生参与意识、合作意识、创新素质，一步一个脚印地面向全体学生，使每个学生有所发展，获得有价值的数学。

使他们在数学学习中摆脱枯燥乏味，而是能真正地了解数学、体会数学，甚至爱上数学。

本次的课例研究也是围绕这个主题开展的。

我选择的是高三的一节数学课作为课例研究的载体，课题为《等差、等比数列的通项及其求和》，教学课时为高考二轮专题复习课。

第一次授课：一、创设情境，引入新课教师：我们已经熟练掌握了等差、等比数列的通项公式及其前n项和公式，也能根据等差、等比数列的基本性质求出等差、等比数列的通项，运用公式求前n项和。

下面请同学们动手做一下浙江2012年样卷中的数列大题。

例1.（浙江2012年样卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，已知a1=b1=1，a2+b2=a3，S3=3（a3+b3）。

1等差数列和等比数列的综合应用1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 4．求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： （1）．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ．（2）．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q≠1时，S n ＝ ．（3）．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．（4）．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．例1. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.2解析：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3，…得a 2＝31S 1＝31a 1＝31，a 3＝31S 2＝31(a 1＋a 2)＝94，a 4＝31S 3＝31(a 1＋a 2＋a 3)＝2716 由a n ＋1－a n ＝31(S n －S n －1)＝31a n (n≥2)，得a n ＋1＝34a n (n≥2)，又a 2＝31，∴a n ＝31·(34)n －2(n≥2)∴ {a n }通项公式为a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-2)34(31112n n n(2) 由(1)可知a 2、a 4、…a 2n 是首项为31，公比为(34)2，项数为n 的等比数列.∴ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝31×22)34(1)34(1--n ＝73[(34)2n －1] 变式训练1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。

数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。

数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。

一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。

数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。

根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。

1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。

等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。

等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。

1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。

首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。

因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。

2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。

首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。

因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。

等差数列与等比数列的应用数学中，等差数列和等比数列是两种重要的数列类型。

它们都有着广泛的应用，在各个领域中发挥着重要的作用。

本文将重点讨论等差数列和等比数列的应用，以展示其在实际问题中的实用性和重要性。

一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与前一个数之间的差相等。

等差数列在计算中具有许多有用的应用，以下将介绍其中的几个。

1. 算术平均数等差数列的一个显著特点是，数列中的每个数与其相邻的数之间的差是相等的。

这使得我们可以很方便地计算这些数的平均值，即算术平均数。

算术平均数在日常生活中经常被使用，例如计算考试成绩的平均分、某个班级学生的平均身高等等。

2. 投资和贷款计算等差数列在金融领域中也有重要的应用。

以投资为例，如果我们将一定金额的资金按照等差数列的规律进行投资，每期的收益也会按照等差数列的规律增加。

根据等差数列的性质，我们可以方便地计算出未来每期的收益，并进行投资判断。

同样，贷款计算中也可以利用等差数列的概念，计算每期偿还的本金和利息。

3. 几何构造等差数列的性质常常在几何构造中得到应用。

例如，我们可以利用等差数列的增长规律，在平面上构造出等差数列的图形。

这在建筑、设计等领域中都起着重要作用。

同时，等差数列的性质也可以用于解决几何问题，如寻找各个角度的度数、构造等边三角形等等。

二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与前一个数的比值相等。

等比数列也有许多实际应用，以下将介绍其中的几个。

1. 指数增长等比数列在指数增长中起着关键作用。

例如，许多自然界现象中的增长规律都可以用等比数列来进行模拟和解释。

比如细菌繁殖、财富的增长等等。

通过等比数列，我们可以计算出未来各个阶段的增长情况，并做出相应的决策。

2. 利润计算等比数列在商业中的应用也十分广泛。

以利润为例，如果某个企业的利润以等比数列的方式增长，我们可以方便地计算出未来每个时间段的利润，并进行经营分析和决策。

实用文档§3.4等差数列与等比数列的综合应用（一）【复习目标】1． 灵活运用等差、等比数列的通项公式和求和公式及数列的有关性质；2． 会运用数列知识解决有关代数、几何、三角等问题。

【重点难点】培养综合解题能力【课前预习】1． 在等比数列{}n a 中，若3a ，9a 是方程091132=+-x x 的两根，则6a 的值是 （ ）A ．3B ．±3C ．3±D ．以上答案都不对2．等差数列{}n a 的通项公式204n a n =-，这个数列的前多少项和最大 （ ）A ．前三项B ．前四项或前五项C ．前五项D ．前六项3．若两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项之和分别是n S 、n T ，已知37+=n n T S n n ，则=55b a 。

4．等差数列中，)(n m s s n m ≠=，则n m s += 。

【典型例题】例1 已知数列{a n }为等差数列，且公差d ≠0（1） 求证：对任意k ∈N ，所有方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0均有一个相同的根；（2） 若方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0的另一个根分别为α1,α2……，求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k α11也成等差数列。

实用文档例2 已知数列}{n a 是公比大于1的等比数列，且15210a a =，n n a a a s +++=......21， 12111......n n T a a a =+++，求满足n n T S >的最小正整数n.例3 已知函数f(x)=(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q(q∈R,q ≠1)的等比数列。

若a 1=f(d －1),a 3=f(d+1),b 1=f(q －1),b 3=f(q+1)（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n 均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求c 1+c 3+c 5+…+c 2n －1的值；试比较1313+-n n b b 与21++n n a a 的大小，并证明你的结论。