(完整版)湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学理试题++版含答案,推荐文档

2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．已知{}{}(31)222log ,1x A x y B y x y -===+=，则A B =A ．1(0,)3B ．1[2,)3-C ．1(,2]3D ．1(,2)32．若2210()cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于 A ．1- B ．1 C ．2 D ．43．命题“*x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x ≥”的否定形式是（ ）A ． *x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x <B ． *x R n N ∀∈∀∈，，使得2n x <C ． *x R n N ∃∈∃∈，，使得2n x <D ． *x R n N ∃∈∀∈，，使得2n x <4．函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 05．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A ． 1433AD AB AC =-+ B ． 1433AD AB AC =- C ． 4133AD AB AC =+ D ． 431-3AD A AC B = 6．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老实说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩8．设函数的图象为，下面结论中正确的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D．函数在区间上是增函数9．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A． B． C． D．10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A． B． C． D．11．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )A．6 B．7 C．8 D．912．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A． [–1，0） B． [0，+∞） C． [–1，+∞） D． [1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在点处的切线的斜率为，则________.14．已知,x y 满足30350 30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是__________.15．若,则____________.16．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – ．（1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．18．（本小题满分12分）已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x x R =-+∈，．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值． 19．（本小题满分12分）已知为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC −中，平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为，AC ，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B −CD −C 1的余弦值；21．（本小题满分12分）设函数()1ln x xbe f x ae x x -=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,a b ；(2)证明: ()1f x >.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为（t 为参数），直线l 2的参数方程为.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M 为l 3与C 的交点，求M的极径.23（本小题满分10分）．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.高三年级数学（理科）答案一、选择题（12x5）二、填空题（4x5）13. -3 14. 514. 16. 36π三、解答题（70分）17（12分）．解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–，∴B ∈（，π），∴sin B =．由正弦定（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A ==．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =，∴h ==，∴AC 边上的高为．18（12分）．（Ⅰ）解： ()()π2cos sin cos 1sin2cos224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数， 在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．19（12分）．（1）设等差数列的公差为，则由已知，得，解得,故；（2）由已知可得，．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E， F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD 的法向量为，∴，∴，令a =2，则b =-1，c =-4，∴平面BCD 的法向量，又∵平面CDC 1的法向量为，∴．由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为．21．（12分）试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112'ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+. 由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b =.（2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x -=+， 从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <；当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数()2x h x xe e-=-，则()()'1x h x e x -=-. 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <.故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-. 综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >.22（10分）．（1）消去参数得的普通方程；消去参数m 得l 2的普通方程.设,由题设得，消去k 得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为. 23．（10分）解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．。

雅礼中学2019届高三月考试卷(三)数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个，选项中只有一个选项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于 A.1 B ．1- C ．i D ．i -2．若集合{13,11,A y y x x B x x A B ⎧⎫==-≤≤==⋂=⎨⎬⎩⎭，则A.(]1-∞，B.[]11-，C.∅D.{}13．已知向量()1,2a =，向量()(),2,b x a a b =-⊥-且，则实数x 等于A.9B.4C.0D.4-4．已知{}n a 为等差数列，若()15928cos a a a a a π++=+，则的值为A.12- B ． C.12 D 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=(a 是实数)的距离为1，则a 等于A.1±B.±C. D ．±6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是,,a b c ，若角,,,3B a b c π=成等差数列，且6ac b =，则的值是7．如图，函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是()()855y x f f '=-++=，则 A.12 B.1 C.2 D.08．若将函数cos y x x =的图象向左平移()0m m >个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 A.6π B.3π C.23π D.56π 9．不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于 A.32 B.23 C.43 D.3410．阅读右边的程序框图，则输出的S=A.14B.20C.30D.5511.函数()2,0,4sin ,0,x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩则集合()(){}0x f f x =中元素的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()(),2f x f x f x -=--=()2,f x +x ∈且 ()1,0-时，()()()2122018log 205x f x f f =++=，则A.1 B ．45 C.1- D ．45- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是____________cm 3．14.已知()2810,0x y x y x y+=>>+，则的最小值为__________． 15．已知()1,4,A F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____________．16．若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111,1n n a S a n N *+==-∈． (1)证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若()21log nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2项的和2n T ．18．(本小题满分12分)如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2,AD PA CD E F ===、分别是AB 、PD的中点．(1)求证：AF ⊥平面PCD ．(2)求三棱锥P EFC -的体积．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a和n的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数x和中位数m；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：()()()()()22,n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++．20．(本小题满分12分)知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，若16AB=．(1)求抛物线的方程；(2)若AB的中垂线交抛物线于C、D两点，求过A、B、C、D四点的圆的方程．已知函数()1ln f x a x x =+． (1)若()12x f x =是的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)在（1）的条件下，当0m n <<时，求证：()()22112.2m n f m n f n n m n --+-<++．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)(坐标系与参数方程)已知圆的极坐标方程为2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭． (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点(),P x y 在该圆上，求x y +的最大值与最小值的和．23．(本小题满分10分)(不等式选讲)已知函数()f x x a =-．(1)若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．。

- 1 - 雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)
数学(理科)
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第I 卷
一、选择题：本题共
12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集I 是实数集R ，3,310M
x x N x x x 都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为
A. 13x x
B ．13x x
C ．1
3x x D ．13x x 2．设1+1i x yi ，其中,x y 是实数，则x
yi A.1
B ．2 C. 3D ．2 3．已知命题
p ：函数12x y a 的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数1y f x 为偶函数，则函数
y f x 的图象关于直线1x 对称，则下列命题为真命题的是A. p q B ．p q C ．p q D ．p q
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是
[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，
[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数是A.56 B ．60 C ．120 D ．140
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①sin f x x ；②cos f x x ；③1
f x x ；④2
.f x x 则输出的函数是
A. sin f x x
B. cos f x x。

2019届湖南省高三上第三次月考理数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数，则在复平面内对应的点位于（_________ ）A．第一象限______________ B．第二象限___________ C．第三象限______________________ D．第四象限2. 已知集合，集合，则 =（_________ ）A．______________ B．___________ C．D．3. 已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如右图所示，则这个几何体的体积是（________ ）A．_________________________________ B． ________ C．_______________________ D．4. 设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，则或；④若，，，则 .其中正确命题的个数为（_________ ）A.1B.2C.3D.45. 下列命题错误的是（_________ ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则”B．若命题，则C．中，是的充要条件D．若向量满足，则与的夹角为锐角6.（_________ ）A．1 B． C．2 D．7. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（）A．0．3_________________________________ B．C． 4___________________________________ D．8. 若函数为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为(_________ )A．_____________________________________B．C．D．9. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（________ ）A．________________________ B．____________________________C．________________________ D．10. 用数学归纳法证明“ ” ，从“到”左端需增乘的代数式为（）A．____________________ B．______________ C．________________________ D．11. 直线与曲线围成图形的面积为（________ ）A．____________________________ B．______________________________ C．______________________________ D．12. 如果数列满足，，且 ( ≥2) ，则这个数列的第10 项等于（_________ ）A．_______________________ B．_________________________ C．______________________ D．二、填空题13. 展开式中的系数为________________________________________________ .14. 设的内角的对边分别为且，则＝________.15. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则该椭圆离心率的取值范围为____________________________ ．16. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是____________________________ ．三、解答题17. 已知数列满足（Ⅰ ）求证：数列成等差数列；（Ⅱ ）求数列的前项的和18. 已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ ）求函数的解析式；（Ⅱ ）在△ 中，角的对边分别是，若，求的取值范围．19. 如图 1 ，平行四边形中，，为中点，将沿边翻折，折成直二面角，为中点，（Ⅰ ）求证：平面；（Ⅱ ）求直线与平面所成夹角的正弦值 .20. 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．21. 已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性（Ⅱ）若函数与函数的图像关于原点对称且就函数分别求解下面两问：① 问是否存在过点的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由 .② 求证：对于任意正整数，均有（为自然对数的底数）22. 选修4-1:几何证明选讲如图，直线与相切于点，是的弦，的平分线交于点，连结，并延长与直线相交于点，若，．（ 1 ）求证：；（ 2 ）求弦的长．23. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线（为参数），（为参数）．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线距离的最小值．24. 选修4-5:不等式选讲设函数，其中，为实数．（ 1 ）若，解关于的不等式；（ 2 ）若，证明：参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。

数学资料库 2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．复数(i 为虚数单位)等于A ．1B ．C ．iD ．2．若集合，则A ． ，B ． ，C ．D ．3．已知向量 ，向量 且 ，则实数x 等于A ．9B ．4C ．0D ． 4．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cosa a +的值为 ABCD 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a =A ．1±BCD 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是 ，若角成等差数列，且 ，则的值是A ．B ．C ．D ．7．如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则A ．B ．C ．D ．0 8．把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ． B ． C ． D ． 9．不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A ． B ． C ． D ． 10．阅读右面的程序框图，则输出的S= A ．14 B ．20 C ．30 D ．55 11．函数 则集合 中元素的个数有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 12．已知定义在R 上的函数 满足 且 时， ，则 A ．1 B ． C ． D．二、填空题此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学资料库 13．已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.14．已知 ＞0， ＞ ，则 的最小值为________．15．已知点 ，又 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为__________．16．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是________________．三、解答题17．设数列 的前 项和为 ，且 ．(1)证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项的和 ．18．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， 、 分别是AB 、PD 的中点．(1)求证： 平面PCD ．(2)求三棱锥 的体积．19．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a 和n 的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数 和中位数m ；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：． 20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，若 ． (1)求抛物线的方程； (2)若AB 的中垂线交抛物线于C 、D 两点，求过A 、B 、C 、D 四点的圆的方程．21．已知函数 ． (1)若 是 的极值点，求 的值，并求 的单调区间； (2)在（1）的条件下，当 时，求证： ． 22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知某圆的极坐标方程为 （I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （II ）若点 在该圆上，求 的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 数学资料库2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】算出后可计算.【详解】，，故，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．A【解析】【分析】算出的坐标利用可得的值.【详解】，又，故，所以，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.4．A【解析】考点：数列，三角函数．5．B【解析】试题分析：圆心为()3,1，半径为2，由于圆上有3个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离等于1，即考点：直线与圆锥曲线位置关系.6．D【解析】【分析】利用余弦定理可得，结合成等差数列可得，从而.【详解】由余弦定理可以得打，又成等差数列，故，所以，，，所以，因，所以为等边三角形，故，选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.7．C【解析】略8．C数学资料库【解析】，将其图像向左平移个单位长度后得到函数的图象，则其对称轴为即，所以，则。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。

雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)英语试题本试题卷共12页。

时量120分钟。

满分150分。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A．￡19．15． B．￡9r 18． C．￡9．15．答案是C。

1．What do you know about the speakers?A．The woman likes scary movies very much．B．The man is going to see a scary movie．C．Neither of them enjoys scary movies．2．When did the dialogue take place?A．At 2：32 p．m B：At 2：23 a．m． C．At 3：22 P．m．3．What do we know about Susan?A．She's the youngest child in her family．B．She's her father's favorite child．C．She's the spoiled child in her family．When will the woman go to meet the man tomorrow morning?．4．A．At 10：00． B．At 10：30． C．At 11：00．5．What does the man mainly do in his spare time at present?A．He learns a language．B．He does some sports．C．He plays the violin．第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

2019届湖南省雅礼中学高三第一次月考数学（理）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7．考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}22230,||0A x x x B x log x =+-<=<，则（）(A).()0,1AB = (B)()3,1A B =-(C).AUB R = (D).(1,1)AUB =-2.已知13z i =+，则21izz =-（） (A)29- (B)29 (C)29i - (D)29i3.命题“00,30x x R ∃∈≤”的否定是（）(A)不存在00,30xx R ∈> (B)存在00,30xx R ∈≥ (C),30xx R ∀∈≤ (D)以,30xx R ∀∈>4.若正方形ABCD 边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于（） (A)132 (B)78 (C)38 (D)185.()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为（）(A)20 (B)8 (C)-20 (D)-286.要得到函数y cosx =的图象，只需将函数()3y sin x π=-的图象（）(A)向右平移56π个单位 (B)向右平移23π个单位 (C)向左平移23π个单位 (D)向左平移56π个单位7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为4，2.则输出v 的值为（）(A)5 (B)12 (C)25 (D)508.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知85,2a c C A ==，则cosC =（） (A)725 (B)725- (C)725± (D)24259.如图是某几何体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该几何体的体积为（）(A)43 (B)83 (C)163 (D)10310.已知函数()23 cos ,f x sin x sin x x x R ωωω=+∈，又()()10,f a f β==，若||a β-的最小值为34π，则正数的值为（） (A)29 (B)13 (C)49 (D)9811.已知正方形ABCD 四个顶点均在双曲线22221x y M a b-=：()0,0a b >>上，M 的焦点在正方形内，则M 的离心率e 的取值范围是（）(A)351,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)()2,+∞(C)()1,2 (D)512,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭12.定义在D 上的函数()f x 若同时满足:①()f x 的图像存在对称中心；②存在，0M >使得对任意的12x x D ∈，，都有()()12||f x f x M -<.则称()f x 为“P 一函数”已知函数121()21x xf x -=+和22()lg(1)f x x x =+-x)，则以下结论一定正确的是（）(A)()1f x 和()2f x 都是P 一函数(B)()1f x 是P 一函数，()2f x 不是P 一函数 (C ()1f x 不是P 一函数，()2f x 是P 一函数 (D)()1f x 和()2f x 都不是P 一函数第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．254．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．76．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为．16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）【分析】可解出B＝{x|x＜1，或x＞4}，根据A∪B＝R即可得出，解出a的范围即可．【解答】解：B＝{x|x＜1，或x＞4}；∵A∪B＝R；∴；∴1＜a＜3；∴a的取值范围是（1，3）．故选：B．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的概念及运算．2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）与f（﹣）的值，结合函数奇偶性的性质可得f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（）＝﹣1＝﹣1，f（﹣）＝g（﹣）﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，解可得：g（﹣）＝；故选：A．【点评】本题考查分段函数的奇偶性，涉及函数的求值，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．25【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴＝a1•a5，∴（1+d）2＝1•（1+4d），解得d＝2．∴S5＝5+＝25．故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝（1+2）×1＝，高h＝1，故体积V＝Sh＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图形可知A（2，2）当直线y＝﹣2x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：6．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．【分析】由已知＝1，结合cos（π﹣B）＝可得a cos B，结合余弦定理可求a及cos B，代入△ABC的面积S＝可求．【解答】解：∵AB＝1，AC＝3，＝1，∴cos（π﹣B）＝＝，∴a cos B＝﹣1，由余弦定理可得，a×＝﹣1，∴a2+1﹣9＝﹣2，∴a2＝6即a＝，cos B＝﹣，则△ABC的面积S＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，解题中要注意向量夹角定义的应用．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称【分析】由图象经过两点，解方程可得函数f（x）的解析式，由对称轴的特点可判断A；由对称中心解方程可判断B；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断C；运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断D．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），可得2sinφ＝1，由|φ|＜）即有φ＝，由2sin（ω+）＝﹣2，0＜ω＜1，即有ω+＝，可得ω＝，则f（x）＝2sin（x+），由f（﹣）＝2sin（﹣+）＝0不为最值，故A错；可令x+＝kπ，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，即有对称中心为（2kπ﹣，0），故B错；由f（x）≥1即sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤2kπ+，即4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，故C对；f（x）的图象向右平移个单位可得y＝2sin（x﹣+），即y＝2sin x，所得函数图象关于原点对称，故D错．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、图象平移，考查化简运算能力，属于中档题．8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】利用对数的换底公式及单调性比较a，b，c的大小．【解答】解：∵a＝log23＝，b＝ln3＝，且lge＞lg2＞0，∴b＜a＝log23＜log24＝2，而c＝（）＞＝2．∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，结合三角函数的性质求出极小值点即可．【解答】解：∵f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x﹣x＝x（cos x﹣），令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝2kπ±，令k＝1，则k＝1时，x＝或，显然x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，函数的极小值点是，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道常规题．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意知∠PD1A1是异面直线PD1与BC所成的角，长方体的对角线是外接球的直径，由此求出异面直线PD1与BC所成角的余弦值．【解答】解：由题意，BC∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥PD1，∴∠PD1A1是异面中心PD1与BC所成的角；连接BD1，取BD1的中点O，连接OP，如图所示；由题意知该几何体外接球的直径为BD1，半径为OP；连接A1C1，则交OP于点O1，且O1是A1C1的中心；∴BD1＝＝4，∴OP＝2，∴O1P＝1；又O1D1＝××＝，∴PD1＝＝2；取A1D1的中点M，连接PM，则△PMD1是直角三角形，∴cos∠PD1M＝＝＝，即异面直线PD1与BC所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成角的大小计算问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，再算出|AB|，|BC|后用余弦定理算出cos A【解答】解：取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，∴|AD|＝1，|OD|＝3，∴|BD|＝，∴|AB|＝＝2，∴cos A＝＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理．属中档题．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】先利用导数求出函数的极小值，再分类讨论，即可求出关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝，若a＜0，则a≤f（x）≤0，由图可知，无论a取何值均有无数个整数解，当a＞0时，则0≤f（x）≤a，此时f（x）在x＝2取得最小值，故有一整数根x＝2，∵f（1）＝，f（3）＝＜，∴另一整数根为x＝3，此时≤a＜，∴x1+x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝﹣．【分析】利用两个向量垂直的性质求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则•＝2cosθ﹣sinθ＝0，故tanθ＝2．故sin（θ+）cos（θ+）＝sin（2θ+）＝cos2θ＝•＝•＝•＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，二倍角公式的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．【分析】根据奇函数的性质和定积分的计算法则计算即可．【解答】解：因为f（x）＝x cos x为奇函数，所以f（x）dx＝0，因为x2dx＝＝[23﹣（﹣2）3]＝，故（x2+f（x））dx＝，故答案为：．【点评】本题考查定积分的计算和奇函数的性质，属于基础题15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为2．【分析】先根据裂项求和求出S n，即可得到λ＞1+，问题得以解决【解答】解：a n＝＝＝1+＝1+＝1+﹣，∴S n＝n+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝n+1﹣＝n+，∵S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴n+＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴λ＞1+，∵数列为单调递减数列，∴λ＞1+＝，故正整数λ的最小值为2，故答案为：2【点评】本题考查了求和公式，以及数列的函数特征，属于中档题16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为4．【分析】利用外接球的表面积求解外接球的半径，推出A1B的长，设出设AC＝x，BC＝y，转化求解阳马A1﹣BCC1B1体积，求解最大值．【解答】解：鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，可得外接球的半径为r，4πr2＝25π，可得r＝，则A1B＝5，设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2+9＝25，x2+y2＝16，∵当阳马A1﹣BCC1B1体积最大，∴V＝×x×3×y＝xy，∵xy≤＝8，当且仅当x＝y＝2时，取等号，V的最大值为：4．故答案为：4．【点评】本题考查阳马A1﹣BCC1B1体积的求法，外接球的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）利用正弦定理转化求解即可．（2）利用余弦定理以及正弦定理，以及两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∴，∴；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C⇒c2＝2+4+4，∴，由，∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）分n＝1和n≥2两种情况，根据数列的通项公式的定义求得a n＝2n﹣1，然后代入已知条件推知{b n}的通项公式；（2）利用错位相减法求得T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，﹣1当n＝1时也适合，故a n＝2n﹣1，所以1+log2a n＝n，故nb n+1＝n（b n+2）．b n﹣b n+1＝2，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）a n b n＝（2n﹣1）•2n﹣1．T n＝1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①2T n＝2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，②由①﹣②得：﹣T n＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+2（2n﹣2）﹣（2n﹣1）•2n，T n＝（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了数列的求和、“错位相减”法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．【分析】（1）利用和与差公式打开，化简，即可求解单调递增区间；（2）根据区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，结合单调性即可求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．＝（cosπx cos﹣sinπx sin）（cosπx cos+sinπx sin）＝cos2πx sin2πx＝＝cos2πx令2kπ﹣π≤2πx≤2kπ，k∈Z得：k﹣≤x≤k∴f（x）的单调递增区间为[k﹣，k]，k∈Z．∵x∈[，a]上∴2πx∈[，2πa]上f（x）值域为[﹣，﹣]，≤cos2πx．结合余弦函数的性质：π≤2πa．解得：故得a的取值范围是[，]．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC，交BD于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BEF⊥平面SAD．（2）设OS＝h，则S（0，0，h），求出平面BEF的法向量和平面ABCD的法向量，由平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，得h＝，利用向量法能求出直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点O，建立如图所示空间直角坐标系，∵SA＝，∴OS＝，则S（0，0，），A（，0，0），D（0，﹣，0），B（0，，0），E（，0，），F（0，﹣，），设G是AD的中点，则G（，﹣，0），＝（，﹣，﹣），＝（﹣，﹣，0），＝（﹣），∵＝0，＝0，∴SG⊥EF，SG⊥EB，∵EF∩EB＝E，∴SG⊥平面BEF，∵SG⊂平面SAD，∴平面BEF⊥平面SAD．解：（2）设OS＝h，则S（0，0，h），E（，0，），F（0，﹣，），则＝（﹣，﹣，0），＝（﹣，，﹣），设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣），取平面ABCD的法向量＝（0，0，1），∵平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，∴cos＝＝，解得h＝，∴＝（），∴sin＜，＞＝＝＝．∴直线SC与平面BEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）f′（x）＝，令y＝x2+ax﹣a，当△≤0即﹣4≤a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，△＞0，x2+ax﹣a＝0的两根为x1＝，x2＝，∵x2＜0＜x1，∴f（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增，当a≤﹣4时，△＞0，0＜x2＜x1，故f（x）在（0，x2），（x1，+∞）递增，在（x2，x1）递减；（2）由已知得a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝2﹣e x﹣2x，h′（x）＝﹣e x﹣2＜0，故h（x）＜h（0）＝1，∵h（）＜0，∴h（x）在（0，）上存在零点，设为x0，则＝2﹣2x0，g（x）≤g（x0）＝，x0∈（0，），设m（x）＝，则m′（x）＝＞0，故m（x）在（0，）递增，故m（x）∈（0，），故整数a的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【分析】（1）根据x1，x2是方程2a（x+1）2﹣（x+1）+1＝0的两正实根，得到a的取值范围，（2）求出f（x1）+f（x2）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1，令2a＝t，0根据函数令2a＝t，，的单调性证明即可．【解答】解：（1）＝；∵函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．∴y＝2at2﹣t+1有两个正实根x1+1，x2+1，∴．∴0．（2），由，（（x2+1）＝．f（x1）+f（x2）＝+ln（x1+1）（x2+1）＝a[（2﹣2x1x2]+（2a﹣1）（﹣2）﹣ln（2a）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1令2a＝t，0，，．∴g（t）单调递增，g（t）＝2ln2﹣．∴f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题．。