高等数学习题及解答(1)

高等数学习题及解答(1) 1 / 21

一般班高数作业（上）

第一章 函数

1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因：

（2） y sin(arcsin x) 与

（6） y arctan(tan x) 与

y x； （4）

y x； （8）

y x 与 y x2 ；

y f ( x) 与 x f ( y) 。

解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。

（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；

（4） y x2 x ，两个函数同样；

（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；

（8） y f (x) 与 x f ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。

2、求以下函数的定义域，并用区间表示：

x 2 1 1

（2） y

x ；

（7） y e x

x ； （3） y 2 x arcsinln 1

x

解：（2） x [ 2,0) ；

（3） x [1 e2 ,0) (0,1 e 2 ] ；

（7） x (0, e) (e, ) 。

1 。

1 ln x

f (x) x2 1, x 0

3、设 1 x2 , x ，求 f ( x) f ( x) 。

0

解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x) 0 x 0 f ( x)

x 。

2 0

4、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间） ：

（2） y 4x x2 ； （4） y x x 。

解：（2） y 4x x2 4 ( x 2) 2 单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。

（4） y x x 2x x 0 ) 。

0 x ，定义域为实数集，单减区间为 ( ,

0

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5、议论以下函数的奇偶性：

（2） f ( x) x x2 1 tanx ； （ 3） f (x) ln( x2 1 x) ；

（6） f ( x) cosln x ； 1 x, x 0

（7） f (x)

x, x 0 。

1

解：（2）奇函数；（3）奇函数；（ 6）非奇非偶函数；（ 7）偶函数。

6、求以下函数的反函数及反函数的定义域：

2x), D f ( ,0) ； （ ） f ( x) 2x 1, 0 x 1 （ ） 。 1 y ln(1 6

2 ( x 2) 2 ,1 x 2

解：（1）反函数为 y 1 ex (0, ) ；

，其定义域为 D f 1

2

x 1 , 1 x 1

（6）反函数为 y

2

2 x , 1 x 。

2 2

7 、（ 1 ）已知 f (x 1) x2 ，求 f (x) ；（ 2）已知 f (x2 1) ln x2 ，且

x 1 x4 x 2 2

f [ (x)] ln x 求 ( x) 。

解：（ ）令 u x 1 ， f (x) 1 ；

1 x x2 2

（2）令 u x2 1 ，求出 f (u) ln u 1 ， (x) x 1 。

u 1 x 1

8、以下各对函数 f (u) 与 u g (x) 中，哪些能够复合组成复合函数 f [ g(x)] ？哪些

不行复合？为何？

（2） f (u) arccosu, u x

2 ；

（ 4） f (u) ln(1 u), u sin x 。 1 x

解：（2）能够组成复合函数；（4）能够组成复合函数。

9、某企业整年需购某商品 1000 台，每台购进价为 4000 元，分若干批进货。每批进

货台数同样，一批商品售完后立刻进下一批货。每进货一次需耗费资用 2000 元，商

品均匀投放市场（即均匀年库存量为批量的一半） ，该商品每年每台库存费为进货价钱的 4%。试将企业整年在该商品上的投资总数表示为每批进货量的函数。

解：设每批进货量为 x ，企业整年在该商品上的投资总数 y 能够表示为：

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y 4000 1000 2000 1000 4000 4% x 4000000 2000000 80x

x 2 x

第二章 极限与连续

1、求以下数列的极限：

n n

（2）设 0 q 1 ， xn q k ( ak a1 a2 an ), n 1,2

k 1 k 1

（3）设 an 2n 2 ， xn n n

k ak ( ak a1 a2 an ), n 1,2

1 k 1

（5） xn n 3 n2 n3 , n 1,2 。

解：（2） 0 q 1 ， lim xn lim q(1 qn ) q ；

n n 1 q 1 q

lim x 1 1 2

（3） lim 2 2n ；

n n n

（5）运用根式有理化得，

lim x n 1。

n 3

；

；

2、用夹逼定理证明 lim sin nx 0 对一确实数 x 建立。

n n

证明： 1 sinnx 1 ， lim sin nx 0 。

n n n n n

3、求极限 lim 3n

sin n 。

n 2n cosn

解： lim 3n sin n 3

n 2n cosn 2

、（ ）设 yn 1 1 1 ，求极限 lim yn 。

4 2 n 2 1 n 2 2 n 2 n n

解： 1 1 1 ， lim yn 1 。

2

2

n

n n n k n

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、由函数

y 2 x 的图形观察极限 lim 2 x ， lim 2 x ， lim 2 x 。

5 x x x

解： lim 2 x 0 ， lim 2 x ， lim 2 x 不存在。

x x x

6 、 由 函 数 y x2 x x 的 值 的 变 化 趋 势 考 察 极 限 lim ( x 2 x x ) ，

x

lim ( x 2 x x) ， lim ( x 2 x x) ， lim ( x 2 x x ) 。

x x x 1

解： lim ( x 2 x x ) 1 ， lim ( x2 x x) ， lim ( x2 x x) 不存

x 2 x x

在， lim ( x2 x x) 2 1。

x 1

7、求以下函数极限：

（ ） lim (x x2 2 x2 ) ； （ ） lim ( 1 2 x 1) ； 1 5

x 0

x x

x

x

（ ） lim 2x 7 3 lim x x3 x5 x7 4 ;

3 ; （ 9） x 1 7 x 1 x 1 x 1

（10） lim (1

x)10 1; （ ） lim x n 1 ( n 1) x n (n为正整数 ) 。

(1

x)11 1

( x 1) 2

x 0 12 x 1

（ ） lim ( 1

2 x 1) 1 ；， 5

0 x

x

x

x

（7） lim 2 x 7 3 1（; 分子分母同时有理化 ，消零因子）

3 x 1

x 1

(9)x2n 1 1 ( x 1)(x2n x2n 1 x2n 2 x2n 2 x2 x 1)

x x3 x5 x7 4 16 lim

x 1

x 1

(10)t n 1 (t 1)( t n 1 t n 2 t n 3 t 1), lim (1 x )10 1 t 1 x 10 ;

x 0 (1 x)11 1 11

（ 12 ）

x n 1 ( n 1) x n lim x ( x n 1) n( x 1) n ( n 1) lim ( x 1) 2 1 ( x 1) 2 2 。

x 1 x

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1, x 0

、设 f ( x ) 0, x 0 ，试议论 lim f ( x ) 能否存在？

8

1, x x 0

0

解： lim f (x) 不存在。

x 0

2 x 1,0 x 1

、设 f ( x ) ，已知存在 lim f (x ) ，求 a 的值。 9

a ln x, x 1 x 1

解： a 3 。

10、议论极限 lim 1 能否在？ 1

x 0

ex

1 1

解： lim 不存在。 1 x 0

ex

1

11、利用变量替代 y x 1 lim ( x 1)tan x

，求极限 x 1 。

2

解：进行变量替代 y x 1 ， lim ( x 1) tan x - 2 .

x 1 2

12、求以下函数极限

（1） lim 1 arctanx ； （ 2） lim (sin x 1 sin x ) ；

x x x

（3） lim sin 3x ; （ ） lim (cos x)1 cot2 x ; （ ） lim 2x 1

x 0 tan5x 4 5

x 0 3x 1 x 0

1

x 。

解：（ ） lim 1 arctanx 0 （有界函数乘以无量小量还是无量小量） ； 1 x x

（ ） lim (sin x 1 sin x ) lim 2 cos x 1x sin x 1x 2 2 ，

x x 2

lim (sin x 1 sin x) 0；

x

（ ） lim sin 3 x lim 3x

3 ;

3x 0 tan 5 x x 0 5x 5 ·