高等数学(定积分的应用)习题及解答

积分练习题计算函数的定积分与面积

积分练习题——计算函数的定积分与面积

在高等数学中，定积分是一种重要的数学概念，它可以用来计算函数下面的面积。本篇文章将以练习题的形式，帮助读者更好地理解如何计算函数的定积分以及相应的面积。

练习一：计算定积分

问题：计算函数 f(x) = x² 在区间 [0, 2] 上的定积分。

解答：

要计算函数 f(x) = x² 在区间 [0, 2] 上的定积分，我们可以先求出该函数的不定积分，然后在区间的两个端点处相减。

首先，对于任意幂函数 xⁿ（其中 n ≠ -1），它的不定积分可以表示为：

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

其中 C 是常数。根据这个公式，我们可以求出函数 f(x) = x² 的不定积分：

∫x² dx = x³/3 + C

然后，我们将区间的上限和下限代入不定积分的结果中：

∫[0, 2] x² dx = (2³/3 + C) - (0³/3 + C) 根据这个结果，我们可以得到函数 f(x) = x² 在区间 [0, 2] 上的定积分为：

∫[0, 2] x² dx = 8/3

练习二：计算面积

问题：计算函数 f(x) = sin(x) 在区间 [0, π/2] 上的面积。

解答：

要计算函数 f(x) = sin(x) 在区间 [0, π/2] 上的面积，我们可以使用定积分的概念，并利用几何图形的面积计算方法。

首先，我们可以将函数 f(x) = sin(x) 的图像与 x 轴所围成的图形看作一个矩形和一段曲线所围成的图形。具体而言，我们可以将该图形分为两部分：矩形和扇形。

当 x 在 [0, π/2] 之间时，函数 sin(x) 在此区间上是一个非负函数，因此，所求的面积即为矩形和扇形的面积之和。

首先计算矩形的面积。矩形的高度为 f(x) = sin(x) 在 [0, π/2] 上的最大值 sin(π/2) = 1，矩形的宽度为区间的长度 π/2 - 0 = π/2。因此，矩形的面积为 π/2。

习题6−2

1. 求图6−21 中各画斜线部分的面积:

(1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为

61

]12

[)(12231

=−=−=xxdxxxA.

2300∫

解法一x轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为

0

画斜线部分在y轴上的区间为[1, e]. 所求的面积为 (2)

画斜线部分在

1|)()(11

=−=−=∫xxeexdxeeA,

0

解法二投影

1)1(|lnln=−−=−==∫∫eedyyyydyAe

ee

.

111 (3) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[−3, 1]. 所求的面积为

332

]2)3[(1

32=−−=∫

−dxxxA.

(4)

解 [−1, 3]. 所求的面积为

画斜线部分在x轴上的投影区间为

332

|)

31

3()32(3

1323

12=−+=−+=

−−∫xxxdxxxA.

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

(1) 2

21

xy=与x2+y2=8(两部分都要计算);

解:

38

8282)

2122

222

8(2

02

002

022

1−−=−−=−−=∫∫∫∫dxxdxxdxxdxxxA

32

3cos164

02+=−=∫πtdt. 48

π

34

6)2

12−=−ππS. 2(

2=A

(2)

xy=1

与直线y=x及x=2;

解:

所求的面积为

∫=A −=−2

02ln

23

)1

(dx

xx.

ex, y=e−x与直线x=1;

解:

所求的

(3) y=面积为

∫−+=−=−1

021

)(

eedxeeAxx.

(4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0).

解 所求的面积为

abedyeAb

ayb

ay−===∫ln

lnln

ln

3. 求抛物线y=−x2+4x−3及其在点(0, −3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.

解:

过点(0, −3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y=4(x−3).

章节 第五章 定积分

§1 定积分的概念与性质 课时 2

教

学

目

的 掌握定积分的概念，性质及中值定理

教学

重点

及

突出

方法 定积分的概念，性质及中值定理

教学

难点

及

突破

方法 定积分的概念，性质及中值定理

相关

参考

资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社

《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

教

学

过

程 教学思路、主要环节、主要内容

我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？

我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。

定积分的概念： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a=x0

定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。

第五章 定积分及其应用

本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.

第1节 定积分的概念与性质

定积分问题举例

1.1.1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数)(xfy在区间ba,上非负、连续 由直线0,,ybxax及曲线)(xfy所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧)(xfy称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间ba,中任意插入若干个分点（图5-1）

,1210bxxxxxann

把ba,分成n个小区间

,,10xx,,21xx ,,32xx,,,1nnxx

它们的长度依次为.,,,1122011nnnxxxxxxxxx 经过每一个分点作平行于y轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间iixx,1上任取一点,i 以iixx,1为底、)(if为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形，ni,,3,2,1，把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

niiinnxfxfxfxfA12211.)()()()(

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记,,,,max21nxxx于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令.0所以曲边梯形的面积为