2016-2017学年河北省定州中学高一下学期期末考试数学试题

河北省保定市定州中学高一数学下学期期末试卷（含解析）一、选择题（共12小题，共60分）1．已知⊙C的圆心在曲线y=上，⊙C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．82．过点M（1，2）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是（）A．x=1 B．y=1 C．x﹣y+1=0 D．x﹣2y+3=03．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2=15．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定6．设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=0，0＜a＜1时原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定7．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．8．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B． C．D．9．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直10．若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y+2=011．直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=012．经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．2二、填空题（4小题，共20分）13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．14．已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为．15．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．三、解答题（8小题，共70分）17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．（1）求证：EH∥平面PBA；（2）求三棱锥P﹣AFH的体积．18．如图，已知一四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：BD⊥AE．（3）求二面角P﹣BD﹣C的正切值．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG（2）若F是线段AB的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．（Ⅰ）证明：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）求三棱锥Q﹣BAD的体积．21．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC：（Ⅱ）若=时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．22．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．23．已知圆C：x2+（y﹣2）2=5，直线l：mx﹣y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．24．已知直线l：2x+y+2=0及圆C：x2+y2=2y．（1）求垂直于直线l且与圆C相切的直线l′的方程；（2）过直线l上的动点P作圆C的一条切线，设切点为T，求PT的最小值．2015-2016学年河北省保定市定州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，共60分）1．已知⊙C的圆心在曲线y=上，⊙C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】设圆心坐标为（a，），可得圆的方程，即可求出三角形OAB的面积．【解答】解：设圆心坐标为（a，），则r=，∴⊙C的方程为（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=2a，∴三角形OAB的面积为×||×|2a|=4；故选C．2．过点M（1，2）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是（）A．x=1 B．y=1 C．x﹣y+1=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【分析】由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，求出直线的斜率即可．【解答】解：由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，设圆心为O，则O（2，0），∴K OM==﹣2．∴直线l的斜率k=，∴l的方程为y﹣2=（x﹣1）．即x﹣2y+3=0；故选D3．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x【考点】轨迹方程．【分析】结合题设条件作出图形，观察图形知图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程．【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2．故选B．4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y=0相切，可得圆心到直线的距离d==r=1，化简得：|4a﹣3b|=5①，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=﹣1（舍去），把b=1代入①得：4a﹣3=5或4a﹣3=﹣5，解得a=2或a=﹣（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A5．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选C．6．设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=0，0＜a＜1时原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定【考点】圆的一般方程．【分析】将原点代入x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=（a﹣1）2＞0，即可得出结论．【解答】解：将原点代入x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=（a﹣1）2＞0，所以原点在圆外．故选：B7．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．8．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B． C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选：B．9．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．【解答】解：两直线的斜率分别为和，△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选A．10．若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y+2=0【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】由题意可得，直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l 的方程．【解答】解：由于圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程为 x﹣y+2=0，故选：D．11．直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1=0上，∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选D．12．经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．2【考点】直线的倾斜角．【分析】首先根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值．【解答】解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k==y+2又因为直线的倾斜角为，所以k=﹣1，所以y=﹣3．故选：B．二、填空题（4小题，共20分）13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为3π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，设内切球的球心为O'，半径为r，连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，然后根据等积法计算得到半径r，再由球的表面积公式计算即可得到．【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，设棱长为a，PD=a，OD=a，OP==a．则OD+PD=a+a=a=2⇒a=3，V棱锥=×a2×a=9，设内切球的球心为O'，半径为r，连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，即为4××a2r=×18r=6r．由等积法，可得，9=6r，解得，r=．则内切球的表面积为S=4πr2=3π．故答案为：3π．14．已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】f（x，y）表示两点A（x，4+）和B（y，﹣）的距离的平方．则A在上半圆x2+（y﹣4）2=1运动，B在下半椭圆+n2=1上运动，由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值，运用两点的距离公式和二次函数的最值，结合椭圆的性质，即可得到最大值．【解答】解：f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，表示两点A（x，4+）和B（y，﹣）的距离的平方．由A在上半圆x2+（y﹣4）2=1运动，B在下半椭圆+n2=1上运动，由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值．设半椭圆上P（m，n）（﹣1≤n≤0），即有|CP|===，当n=﹣时，|CP|取得最大值3，则有f（x，y）的最大值为（3+1）2=28+6．故答案为：．15．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===．故答案为：．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣13，13）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于1即可．【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，c的取值范围是（﹣13，13）．三、解答题（8小题，共70分）17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．（1）求证：EH∥平面PBA；（2）求三棱锥P﹣AFH的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）根据平面ABCD是菱形推断出AD=AB，进而根据PA=AB，推断出PA=AD，利用∠B=60°判断三角形ABC为等边三角形，同时E为中点进而可推断出∠BAE=30°，进而推断出∠EAD=90°，通过PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，判断出PA⊥AE，则可判定△PAE≌△DAE，推断出PE=PD，根据EH⊥PD，推断出H为PD的中点，进而利用FH∥CD∥AB，根据线面平行的判定定理知FH∥平面PAB，根据E，F分别为BC，PC的中点推断EF∥AB，利用线面平行的判定定理推断出EF∥平面PAB，进而根据面面平行的判定定理知平面EFH∥平面PAB，最后利用面面平行的性质推断出EH∥平面PAB．（2）根据F，H为中点，V P﹣AFH=V P﹣ACD，则三棱锥P﹣AFH的体积可求．【解答】（1）证明：∵平面ABCD是菱形，∴AD=AB，∵PA=AB，∴PA=AD，∵AB=BC，∠B=60°，BE=EC，∴∠BAE=30°，∴∠EAD=90°，∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，即∠PAE=90°，∴△PAE≌△DAE，∴PE=PD，∵EH⊥PD，∴H为PD的中点，∵FH∥CD∥AB，∴FH∥平面PAB，∵E，F分别为BC，PC的中点∴EF∥AB，∵AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，∵EF∩FH=H，EF⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，∴平面EFH∥平面PAB，∵EH⊂平面EFH，∴EH∥平面PAB．（2）∵F，H为中点，∴V P﹣AFH=V P﹣ACD=•••2•2•sin60°•2=18．如图，已知一四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：BD⊥AE．（3）求二面角P﹣BD﹣C的正切值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）四棱锥P﹣ABCD的体积V=，由此能求出结果．（2）连结AC，由已知条件条件出BD⊥AC，BD⊥PC，从而得到BD⊥平面PAC，不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，由此能证明BD⊥AE．（3）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣C的正切值．【解答】（1）解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，PC=2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积：V===．（2）证明：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴BD⊥AE．（3）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，0），∴，，设平面PBD的法向量，则，取x=2，得，由题意知，设二面角P﹣BD﹣C的平面角为θ，则cosθ=cos＜＞==，∴tanθ=2．∴二面角P﹣BD﹣C的正切值为2．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG（2）若F是线段AB的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设CE∩BD=O，连接OG，只需证明OG∥AC，即可证明AC∥平面BDG．（2）由三棱锥B﹣EFC的体积等于三棱锥E﹣BCF的体积，求出底面△BCF的面积，高BE=CD，即得所求．【解答】解：如图，（1）证明：设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，∴；又∵F是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CF⊥AB，∴，又平面ABC⊥平面BCDE，EB⊥BC，∴EB⊥平面BCF，∴．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．（Ⅰ）证明：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）求三棱锥Q﹣BAD的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）连接AC交BD于O，再连接OE，根据中位线定理可得到PC∥OE，再由线面平行的判定定理可证明PC∥OE，得证．（II）先根据PA⊥平面ABCD确定QA为棱锥Q﹣BAD的高，进而根据棱锥的体积公式可求出四棱锥Q﹣BAD的体积．【解答】证明：（I）连接AC交BD于O，连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．又∵E是PA的中点，∴PC∥OE．∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE∴PC∥平面BDE．…（II）∵侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．∴棱锥Q﹣BAD的高QA=1，又∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴棱锥Q﹣BAD的底面面积S△BAD=2，∴．…21．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC：（Ⅱ）若=时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，∴OE⊥FC；（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2，∵=，∴AC=，则OC=建立以O为坐标原点，OC，OB，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则F（0，﹣1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（，0，0），则=（﹣，1，1），=（0，﹣2，0），设平面FCE的法向量为=（x，y，z），则．∴=（1，0，），∵=（0，0，1），=（，﹣1，0），∴同理可得平面CEB的法向量为=（1，，0），∴cos＜，＞==，∵二面角F﹣CE﹣B是钝二面角，∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣．22．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率，即可求直线l的倾斜角；（2）设点A（x1，mx1﹣m+1），点B（x2，mx2﹣m+1 ），由题意2=，可得2x1+x2=3．①再把直线方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圆C，化简可得x1+x2=②，由①②解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线L的方程．【解答】解：（1）由于半径r=，|AB|=，∴弦心距d=，再由点到直线的距离公式可得d==，解得m=±．故直线的斜率等于±，故直线的倾斜角等于或．（2）设点A（x1，mx1﹣m+1），点B（x2，mx2﹣m+1 ），由题意2=，可得 2（1﹣x1，﹣mx1+m ）=（x2﹣1，mx2﹣m ），∴2﹣2x1=x2﹣1，即2x1+x2=3．①再把直线方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，化简可得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，由根与系数的关系可得x1+x2=②．由①②解得x1=，故点A的坐标为（，）．把点A的坐标代入圆C的方程可得m2=1，故m=±1，故直线L的方程为x﹣y=0，或x+y﹣2=0．23．已知圆C：x2+（y﹣2）2=5，直线l：mx﹣y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）利用直线l：mx﹣y+1=0经过定点D（0，1），而定点（0，1）在圆的内部，从而证明结论成立．（2）设中点M的坐标为（x，y），由AB⊥OM 可得三角形DCM为直角三角形，利用勾股定理求得点M的轨迹方程．【解答】解：（1）证明：∵直线l：mx﹣y+1=0经过定点D（0，1），点D到圆心（0，2）的距离等于1 小于圆的半径，故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．（2）设中点M的坐标为（x，y），则由直线和圆相交的性质可得AB⊥CM．由于定点D（0，1）、圆心C、点M 构成直角三角形，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，∴x2+（y﹣2）2+x2+（y﹣1）2=（2﹣1）2，2x2+2y2﹣6y+4=0，即 x2+=．此圆在圆C：x2+（y﹣2）2=5 的内部，故点M的轨迹方程为：x2+=．24．已知直线l：2x+y+2=0及圆C：x2+y2=2y．（1）求垂直于直线l且与圆C相切的直线l′的方程；（2）过直线l上的动点P作圆C的一条切线，设切点为T，求PT的最小值．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】第（1）问由直线l′与直线l垂直可得其斜率，再利用待定系数法结合直线与圆相切的条件列出关于待定系数的方程求解；第（2）问利用切线的性质，即切线长平方加上半径的平方等于P点到圆心距离的平方，从而把求PT的最小值转化为求动点P到圆心的距离的最小值，显然就是圆心到直线的距离最小．【解答】解：∵l：2x+y+2=0及圆C：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），r=1，（1）∵l′⊥l，∴，设l′的方程为，即x﹣2y+2b=0，则由l′与圆C相切得，解得，所以切线方程为或．（2）如图所示，设切点为T，P是直线上任一点，则由切线的性质可知PC2=PT2+1，所以要使PT最小，只需PC最小，则当PC⊥l时，PC最小，此时PC表示C到直线l的距离，∴PC==，．。

2015-2016学年河北省保定市定州市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）不等式x2﹣1＜0的解集为（）A．[0，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）2．（5分）直线x﹣y+3=0的倾斜角为（）A．150°B．60°C．45°D．30°3．（5分）已知正方体的棱长为1，则其外接球的表面积为（）A．3πB．πC．πD．4．（5分）若等比数列{a n}中，a2a8=1，则a5=（）A．2 B．±1 C．1 D．﹣15．（5分）若直线x+ay﹣1=0与4x﹣2y+3=0垂直，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣6．（5分）在△ABC中，B=60°，BC=，AC=，则角A等于（）A．45°B．135°C．45°或135°D．15°7．（5分）已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中真命题的个数为（）①若α∥β，β∥γ，则α∥γ；②若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b；③若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；④若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γA．0 B．1 C．2 D．38．（5分）若不等式ax2﹣ax+1＞0的解集为R，则a的取值区间为（）A．（﹣4，0]B．（﹣4，4）C．[0，4） D．（0，4）9．（5分）设x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为（）A．2 B．2 C．3 D．410．（5分）当直线（sin2α）x+（2cos2α）y﹣1=0（0＜α＜）与两坐标轴围成的三角形面积最小时，α等于（）A．正切值为的一个锐角 B．C．D．11．（5分）图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S8=4a3，则a6=．14．（5分）用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长cm．15．（5分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，且点A（5，0）到l的距离为1，则直线l的方程为．16．（5分）已知数列{a n}中，前n项和为S n，a2+a3=5，且S n=a n+，则S10=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）关于x的不等式组有实数解，求实数a的取值范围．18．（12分）如图△ABC中，点D在BC边上，且AD⊥AC，AD=AC=，∠BAD=30°．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积．19．（12分）已知在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1）．（1）求AC边上的中线所在的直线方程；（2）求证：∠B=90°．20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b ﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=，试判断△ABC的形状．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．22．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO=．（1）求BF与平面ABCD所成的角的正切值；（2）求证：FC∥平面ADE；（3）求三棱锥O﹣ADE的体积．2015-2016学年河北省保定市定州市高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）不等式x2﹣1＜0的解集为（）A．[0，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【解答】解：不等式x2﹣1＜0可化为（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1；所以该不等式的解集为（﹣1，1）．故选：B．2．（5分）直线x﹣y+3=0的倾斜角为（）A．150°B．60°C．45°D．30°【解答】解：直线x﹣y+3=0，即y=x+，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于α，∵0°≤α＜180°，∴tanα=，∴α=30°，故选：D．3．（5分）已知正方体的棱长为1，则其外接球的表面积为（）A．3πB．πC．πD．【解答】解：正方体的体对角线的长度，就是外接圆的直径，因为正方体的棱长是1，所以2r=，r=．所以外接球的表面积为：4π=3π．故选：A．4．（5分）若等比数列{a n}中，a2a8=1，则a5=（）A．2 B．±1 C．1 D．﹣1【解答】解：由等比数列的性质可得：a2a8==1，解得a5=±1．故选：B．5．（5分）若直线x+ay﹣1=0与4x﹣2y+3=0垂直，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0与4x﹣2y+3=0垂直，∴4﹣2a=0，解得a=2．故选：A．6．（5分）在△ABC中，B=60°，BC=，AC=，则角A等于（）A．45°B．135°C．45°或135°D．15°【解答】解：∵B=60°，BC=，AC=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵BC＜AC，可得A＜B，∴A=45°，故选：A．7．（5分）已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中真命题的个数为（）①若α∥β，β∥γ，则α∥γ；②若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b；③若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；④若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γA．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据平行于同一平面的两个平面平行，可知①正确；由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b为真命题，即②正确；若α∥β，β⊥γ，根据平面与平面垂直的定义，可得α⊥γ，即③正确；当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直，即④不正确．故选：D．8．（5分）若不等式ax2﹣ax+1＞0的解集为R，则a的取值区间为（）A．（﹣4，0]B．（﹣4，4）C．[0，4） D．（0，4）【解答】解：a≠0时，由题意得，即，解得0＜a＜4；a=0时，恒有1＞0，不等式也成立；综上，a的取值范围是[0，4）．故选：C．9．（5分）设x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为（）A．2 B．2 C．3 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z和x+2y=4重合时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．最大为4，故选：D．10．（5分）当直线（sin2α）x+（2cos2α）y﹣1=0（0＜α＜）与两坐标轴围成的三角形面积最小时，α等于（）A．正切值为的一个锐角 B．C．D．【解答】解：由题意得，（sin2α）x+（2cos2α）y﹣1=0（0＜α＜），令x=0得，y=；令y=0得，x=，∴直线与两坐标轴围成的三角形面积S==，∵0＜α＜，∴0＜2α＜π，则sin2α的最大值是1，此时2α=，即，三角形的面积S=取到最小值是1，故选：C．11．（5分）图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由图中数据，下部的正三棱柱的高是3，底面是一个正三角形，其边长为2，高为，故其体积为上部的球体直径为1，故其半径为，其体积为故组合体的体积是故选：C．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵sinA≤1，（当且仅当A=时，等号成立），∴S=bcsinA≤bc，（当且仅当A=时，等号成立），△ABC又∵b2+c2=2≥2bc，可得：bc≤1，（当且仅当b=c时，等号成立）∴当b=c，A=时，S≤．△ABC则△ABC的面积的最大值为．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S8=4a3，则a6=0．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，∴，解得4a1+20d=0，∴a6=a1+5d=0．故答案为：0．14．（5分）用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长9cm．【解答】解：如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质得．解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm．15．（5分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，且点A（5，0）到l的距离为1，则直线l的方程为3x+4y﹣10=0或y=1．【解答】解：直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0联解，得交点坐标为（2，1），①当直线l与x轴垂直时，方程x=2，满足点A（5，0）到l的距离为3，不满足；②当直线l与不x轴垂直时，设方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1∵点A（5，0）到l的距离为1，∴=1，解之得k=﹣或0，此时直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）或y=1，化简得3x+4y﹣10=0或y=1；故答案为：3x+4y﹣10=0或y=1．16．（5分）已知数列{a n}中，前n项和为S n，a2+a3=5，且S n=a n+，则S10=55．【解答】解：∵S n=a n+，∴当n≥2时，，∴，化为（n﹣2）a n﹣（n﹣1）a n﹣1+1=0，又（n﹣1）a n+1﹣na n+1=0，∴（n﹣1）a n+1﹣2（n﹣1）a n+（n﹣1）a n﹣1=0，∴a n+1+a n﹣1=2a n．∴数列{a n}是等差数列，∵S n=a n+，取n=1，可得，a1=1，取n=3，可得1+a2+a3=+，又a2+a3=5，解得，a2=2，a3=3．∴等差数列{a n}的首项为1，公差为1，∴a n=n．则，∴S10==55．故答案为：55．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）关于x的不等式组有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：由x﹣1＞a2得x＞1+a2，由x﹣4＜2a得x＜4+2a，若要原不等式组有解，则1+a2＜4+2a，解之可得﹣1＜a＜3，即实数a的取值范围是﹣1＜a＜318．（12分）如图△ABC中，点D在BC边上，且AD⊥AC，AD=AC=，∠BAD=30°．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵AD=AC，AD⊥AC，∴∠ADC=45°∵∠BAD=30°，∴∠ABD=15°…（3分）在△ABD中，得AB=…（7分）（2）△ABC的面积S==…（12分）19．（12分）已知在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1）．（1）求AC边上的中线所在的直线方程；（2）求证：∠B=90°．【解答】（1）解：∵A（2，5），C（9，1），∴AC边的中点坐标为．由直线方程的两点式得，即8x+y﹣47=0．（2）证明：∵，∴k AB•k BC=﹣1．∴∠B=90°．20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b ﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：2a2=（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，…（2分）整理得：bc=b2+c2﹣a2，∴cosA==，…（4分）又A为三角形的内角，则A=60°；…（5分）（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，∴B+C=180°﹣60°=120°，即C=120°﹣B，…（6分）代入sinB+sinC=得：sinB+sin（120°﹣B）=，…（7分）∴sinB+sin120°cosB﹣cos120°sinB=，…（8分）∴sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1，…（10分）∴0＜B＜120°，∴30°＜B+30°＜150°，∴B+30°=90°，即B=60°，…（11分）∴A=B=C=60°，则△ABC为等边三角形．…（12分）．21．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．由题意⇒或，所以a n=2n﹣1，b n=2n﹣1或，b n=6n﹣1；（2）①若，则为S n=，数列{b n}的前n项和为，所以数列{a n+b n}的前n项和T n=n2+2n﹣1；②若则数列{a n}的前n项和为S n=，数列{b n}的前n项和为，所以数列{a n+b n}的前n项和T n=．22．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO=．（1）求BF与平面ABCD所成的角的正切值；（2）求证：FC∥平面ADE；（3）求三棱锥O﹣ADE的体积．【解答】（1）解：连接BO，因为正方形ABCD的边长为，所以BD⊥AC，且DB=AC=4，又O 为GC 的中点，所以GO=1，GB=2，BO=…（2分）又FO ⊥平面ABCD ，且，所以∠FBO 即为BF 与平面ABCD 所成的角 所以，tan ∠FBO=…（4分）（2）证明：由正方形ABCD 知BC ∥AD ，所以BC ∥平面ADE ， 又由平行四边形BDEF 知 BF ∥DE ，所以BF ∥平面ADE ，…（6分） 因为BC ∩BF=B ，所以平面BCF ∥平面ADE ，而FC ⊂平面BCF ，所以FC ∥平面ADE ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）解：由上知，AO=3，所以S △ADO ===3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又BDEF 是平行四边形，且FO ⊥平面ABCD ，，所以三棱锥E ﹣ADO 的高为所以V O ﹣ADE =V E ﹣ADO ==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

河北定州中学2015-2016学年度第二学期承智班期末考试数学试题一、选择题（共12小题，共60分）1．求函数64)(2-+-=x x x f ，[]5,0∈x 的值域（ ）A ．[]2,6--B ．[]2,11--C ．[]6,11--D ．[]1,11--2．已知函数2()2ln f x x x =-与()sin()g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的()g x =（ ） A ．sin(2)2x ππ- B ．sin()22x ππ- C ．sin()2x ππ-D ．sin()2x ππ+ 3．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间),0[+∞为增函数，且0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为（ ）A.（21，2） B. ),2(+∞ C.),2()1,21(+∞⋃ D.),2()21,0(+∞⋃4．已知集合{}{}0,1,,,A B z z x y x A yA ===+挝,则B 的子集个数为（ ）A ．8B ．3C ．4D ．75．三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为2的球面上,且23AB BC CA ===，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．43D ．32 6．已知球面上有四个点,,,A B C D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为（ ） A ．4p B ．16p C ．163p D ．323p7．若关于直线,m n 与平面，αβ，有下列四个命题： ①若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m nαβ⊥，且//αβ，则m n⊥；④若//,m nαβ⊥，且αβ⊥，则//m n；其中真命题的序号（）A．①② B．③④ C．②③ D．①8．已知在三棱锥P ABC-中，1PA PB BC===，2AB=，AB BC⊥，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．32π B．3π C．23π D．2π9．已知四面体ABCD中，FE,分别是BDAC,的中点，若4=AB，2CD=，ABEF⊥，则EF 与CD所成角的度数为（）A．ο90 B．ο45 C．ο60 D．ο3010．若直线02)1(=-++ymx和直线082=++ymx平行，则m的值为（）A．1 B．2- C．1或2- D．32-11．两圆221:2220C x y x y+++-=，222:4210C x y x y+--+=的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条12．直线0632=-+yx分别交x轴和y轴于BA、两点，P是直线xy-=上的一点，要使PBPA+最小，则点P的坐标是（）A.）（1,1- B. ）（0,0 C. ）（1,1- D. ）（21,21-第II卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13．已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2log22)(21xxxxfx，则函数)1(xfy-=的最大值为．14．已知666log log log 6a b c ++=，其中*,,a b c N ∈，若,,a b c 是递增的等比数列，又b a -为一完全平方数，则a b c ++=___________.15．已知P 是直线:40l kx y ++=（0k >）上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k =__________.16．过(4,3),(2,1)A B --作直线4320x y +-=的垂线12,l l ，则直线12,l l 间的距离为__________.三、解答题（8小题，共70分）17．已知集合{}{}0|,062|2<==++-=x x B m mx x x A ，若命题“φ=B A I ”是假命题，求实数m 的取值范围．18．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x （单位：平方米）之间的函数关系是120()(0)5C x x x =≥+，记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. （1）建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ．（1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 20．已知命题：“∃x ∈{x|﹣1＜x ＜1}，使等式x 2﹣x ﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ； （2）设不等式（x ﹣a ）（x+a ﹣2）＜0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．21．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，DC AB //，ο60,4,3,5,=∠===⊥PAD AD DC BC AD AB（1）若M 为PA 的中点,求证://DM 平面PBC ； （2）求三棱锥PBC D -的体积.22．平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6. （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于,D E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程； （3）设,M P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线,MP NP 分别交于x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问m n ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由. 23．已知曲线1C ：04222=+--+m y x y x .（1）若曲线1C 是一个圆，且点)1,1(P 在圆1C 外，求实数m 的取值范围；（2）当4=m 时，曲线1C 关于直线0=+y x 对称的曲线为2C .设P 为平面上的点，满足：存在过P 点的无穷多对互相垂直的直线21,L L ，它们分别与曲线1C 和曲线2C 相交，且直线1L 被曲线1C 截得的弦长与直线2L 被曲线2C 截得的弦长总相等. （i ）求所有满足条件的点P 的坐标；（ii ）若直线1L 被曲线1C 截得的弦为MN ，直线2L 被曲线2C 截得的弦为RS ，设PMR ∆与PNS ∆的面积分别为1S 与2S ，试探究21S S ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 24．已知直线)(1)1(:1R k x k y l ∈-+=. （Ⅰ）证明：直线1l 过定点；（Ⅱ）若直线1l 与直线02)2(3:2=+--y k x l 平行，求k 的值并求此时两直线间的距离.参考答案1．B【解析】试题分析：因为22 ()46(2)2f x x x x=-+-=---，又[]5,0∈x，所以21(2)22x-≤---≤-，即函数()f x的值域为[]2,11--，故选B．考点：函数的值域．2．C【解析】试题分析：画出函数()f x的图象如下图所示，由图可知，函数()f x过()()1,1,1,1-，经验证可知C正确.考点：三角函数.3．D【解析】试题分析：根据)(xf是定义在R上的偶函数，在区间),0[+∞为增函数，)31(=f，根据图象关于y轴对称可知，当13x>13x<-()0f x>，所以)(log81>xf181log3x>181log3x<-，解得1(0,)(2,)2x∈⋃+∞，故选D．考点：函数的奇偶性、函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性性质及函数的单调性，函数零点及函数图象，属于难题．解题时一定要注意分析条件，根据条件可知，函数在),0[+∞为增函数且有零点13x=，又函数是偶函数，所以知其在(,0)-∞为减函数且有零点13x=-，因此)(log81>xf4．A 【解析】试题分析：由题意得{}0,1,2B =，其子集为：{}{}{}{}{}{}{}0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2,Φ，共8个，选A ．考点：集合的子集． 5．B 【解析】试题分析：根据题意：半径为2的球面上，且,ABC ∆为截面为大圆上三角形，设圆形为O ，AB 的中点为N ,PAB ABC ⊥Q 平面平面，∴三棱锥P ABC -的体积的最大值时，,PN AB PN ABC ⊥⊥平面∴三棱锥P ABC -的体积的最大值为考点：球的内接几何体.6．B 【解析】试题分析：设球的半径r ，首先因为O 在CD 上，所以CD 为球O 的直径，BCD ∆为直角三角形，2CD r =，若使三角形的面积最大，则点B 到边CD 的距离最大即可，因为,,B C D 三点共面．所以最大距离为半径r ，三角形BCD 面积的最大值为；当点A 距离平面BCD 最大时为r ，则三棱锥A BCD -2r =，所以该球的表面积为4416ππ⋅=，选B ．考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积．7．C 【解析】试题分析：①若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n ，错误，,m n 可能平行，相交或异面； ②m αQ ⊥，,αβ⊥∴，在β存在与m 平行的直线，再由n β⊥得m n ⊥，故②正确；③由,//mααβ⊥得mβ⊥，再由//nβ得m n⊥，故③正确；④当mβ⊂时，由nβ⊥得到m n⊥，故④错．综上正确命题是②③，选C考点：直线与平面，平面与平面的位置关系8．B.【解析】试题分析：如下图所示，设球心为O，则可知球心O在面ABC的投影在ABC∆外心，即AC中点E处，取AB中点F，连PF，EF，OE，OP，由题意得，PF⊥面ABC，∴在四边形POEF 中，设OE h=，∴半径2222213()()()0222r h r h=-+=+⇒=，32r=，即球心即为AC 中点，∴表面积243S rππ==，故选B.考点：空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2222a b c R++= 2.棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即32a R=；棱长为a的正四面体：外接球的半径为64a，内切球的半径为612a；9．D【解析】试题分析：设G 为AD 的中点，连接GF GE ，，则GF GE ，，分别为ABD ACD V V ，的中位线．由此可得GF AB P ，且112GF AB ==， GE CD P ，且122GE CD FEG==∴∠，或其补角即为EF与CD所成角．又,GF AB EF GF EF AB ⊥∴⊥P Q ，，因此，Rt EFG V 中，12GF GE ==，，由正弦的定义，得12GF sin GEF GE ∠==，可得30GEF ∠=︒．∴EF 与CD 所成的角的度数为ο30故选：D 考点：异面直线所成的角 10．C 【解析】试题分析：显然0m ≠，则直线02)1(=-++y m x 和直线082=++y mx 平行即1121228m m m m +-=≠∴==-或考点：直线与直线平行11．B 【解析】 试题分析：221:2220C x y x y +++-= 圆心是（-1,-1）,半径是12r =222:4210C x y x y +--+= 圆心是（2,1）,半径是22r =所以圆心距为22123213O O =+=，121212r r OO r r -<<+，所以两圆相交所以两圆的公切线有且仅有2条。

河北定州2016—2017学年度第二学期期末考试高一年级承智班数学试卷一、选择题1. 已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知考点：直线方程2. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：A的结论可能是，B的结论可能是，C的结论可能是，因此A、B、C均错误，故选D.考点：空间点线面的位置关系.3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为，故选B.【点睛】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.4. 下图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体,所以几何体的体积为:,故选D.点睛:本题考查立体几何三视图的直观图,以及还原几何体后求出相应的体积和表面积.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．5. 直线在y轴上的截距是，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意,设直线为直线l，另一直线的方程为，变形可得,其斜率k=，则其倾斜角为60∘，而直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120∘，且斜率k=tan120∘=−，又由l在y轴上的截距是−1,则其方程为y=−x−1；又由其一般式方程为mx+y−1=0，分析可得：m=−，n=−2；故选：A.点睛：直线在y轴上的截距即为令x=0，解得的y的值，也称为纵截距，截距不同于距离，截距可正可负可为0，在直线中还有横截距，即令y=0，解出x即是.6. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：画出图象如下图所示，直线过定点，由图可知，斜率最小值为，此时直线的倾斜角为，故倾斜角的取值范围是．考点：两条直线的位置关系.7. 如图，在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：三棱锥为正棱锥,对棱互相垂直,，又，而，，即,，将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球.侧棱长为,,正三棱锥外接球的体积是.选B．考点：球的组合体................8. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知此几何体为四棱锥，底面是边长为2的正方形，面积为4，高为3，所以四棱锥的体积，故选D.9. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】该四棱锥的底面是正方形，其中一条侧棱与底面垂直，所以该四棱锥的外接球就是它所在的长方体的外接球，半径，所以体积，故选D. 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 若过点的直线与圆相较于两点，且为弦的中点，则为（）A. B. 4 C. D. 2【答案】A【解析】圆心坐标为，半径为，。