江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试试卷答案

江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试

1. {-1} 【解析】由题意知A={-1,1},所以A∩B={x|x∈A且x∈B}={-1}.

2. 102 【解析】方法一:由题意知z=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i2=12+32i,

所以|z|= 12 2+ 32 2= 102.

方法二:|z|=|2+i||1-i|= 5 2= 102.

3. 310 【解析】从5本书中取出2本书,基本事件有10个.从3本数学书中取出2本书的事件有3个,故所求的概率为310.

4. 17 【解析】由伪代码可知,I的取值依次为1,3,5,7,相应的S的值为2,5,10,17.故输出的S的值为17.

5. 17 【解析】因为高一年级400人中抽取20人,所以高二年级360人中应抽取18人,所以高三年级学生中应抽取的人数为55-20-18=17(人).

6. 92 【解析】设抛物线的方程为y2=2px.由题意知32=2×1×p,解得p=92,故其焦点到准线的距离为92.

7. -3 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=x-y经过点(1,4)时,取得最小值,且最小值为1-4=-3.

(第7题)

8. 2 【解析】由题意知正四棱锥的高为 ( 10)2-( 6)2=2,所以该正四棱锥的体积为13×2×(2 3)2=8,故原正方体的棱长为2.

9. 7 【解析】在△ABC中,因为cos B=35,所以sin B=45.又A=π4,所以sin

C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 22×35+ 22×45=7 210.由正弦定理𝑐sin𝐶=𝑎sin𝐴,得c=7.

10. 20 【解析】设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S6-2S3=0,不符合题意,舍去,故q≠1.因为S6-2S3=a4+a5+a6-S3=q3S3-S3=(q3-1)S3=5,所以S3=5𝑞3-1,且q3-1>0,所以S9-S6=a7+a8+a9=q6·S3=q6·5𝑞3-1=5·(𝑞3-1+1)2𝑞3-1=5(q3-1)+1𝑞3-1+2≥5×4=20.当且仅当q3-1=1,即q= 23时取等号.故S9-S6的最小值为20.

11. -2 【解析】方法一:由余弦定理得,BC2=9+9-2×3×3×13=12,所以BC=2 3,所以cos∠ABC= 33,所以𝐴𝐷 ·𝐵𝐶 =(𝐵𝐷 -𝐵𝐴 )·𝐵𝐶 =13𝐵𝐶 2-𝐵𝐴 ·𝐵𝐶 =4-6=-2. 方法二:如图,以BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,由方法一知B(- 3,0),C( 3,0),D - 33,0 ,A(0, 6),所以𝐴𝐷 = - 33,- 6 ,𝐵𝐶 =(2 3,0),所以𝐴𝐷 ·𝐵𝐶 = - 33,- 6 ·(2 3,0)=-2.

(第11题)

12. x±3y+4=0 【解析】方法一:设点B的坐标为(x0,y0),因为A是线段PB的中点,所以点A的坐标为𝑥0-42,𝑦02,所以 (𝑥0-1)2+𝑦02=5, 𝑥0-42-1 2+ 𝑦02 2=5,

解得 𝑥0=2,𝑦0=±2,所以直线l的方程为y=±13(x+4),即x±3y+4=0.

方法二:设圆心C到直线l的距离为d,则CA2=d2+ 𝐴𝐵2 2=5,又CP2=d2+ 3𝐴𝐵2 2=25,解得d= 52.设直线l的方程为y=k(x+4),则|5𝑘| 𝑘2+1= 52,解得k=±13,所以直线l的方程为x±3y+4=0.

13. -32,32 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以m=-1,所以f(x)=2x-12𝑥.作出函数f(x)的图象如图(1)所示,则由此得到函数g(x)的图象如图(2)所示.若函数y=g(x)-t有且只有一个零点,根据图象知直线y=t与函数g(x)的图象有且只有一个交点.因为g(1)=-32,所以g(-1)=32,所以实数t的取值范围是-32,32.

图(1) 图(2)

(第13题)

14. 0,1e+1 【解析】作出函数的图象如图所示,由图设点P的横坐标为x0,则点Q的横坐标为-x0.①若点P,Q都在y=-x3+x2(x

𝑥0.令函数f(x)=1(𝑥+1)·ln𝑥,当x≥e时,f(x)为减函数,所以f(x)的值域为 0,1e+1 ,故实数a的取值范围是0,1e+1.

(第14题)

15. (1) 由图象知,A=2. (2分)

因为𝑇4=5π6-π3=π2,且ω>0,

所以T=2π=2π𝜔,即ω=1, (4分)

所以f(x)=2sin(x+φ).

又函数f(x)=2sin(x+φ)过点π3,2,

所以π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,

即φ=π6+2kπ,k∈Z.

又-π2

(2) 当x∈ -π2,π2 时,x+π6∈-π3,2π3, (10分)

所以sin 𝑥+π6 ∈ - 32,1 ,

所以f(x)∈[- 3,2],

因此,当x∈ -π2,π2 时,函数f(x)的值域为[- 3,2]. (14分)

16. (1) 在△A1BC中,因为O是A1C的中点,M是BC的中点,所以OM∥A1B. (4分)

又OM⊄平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,

所以OM∥平面ABB1A1. (6分)

(2) 因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC.又∠ACB=π2,所以BC⊥AC.

因为CC1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,

所以BC⊥平面ACC1A1. (8分)

又AC1⊂平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.

因为四边形ACC1A1是正方形,

所以A1C⊥AC1.

又BC⊂平面A1BC,A1C⊂平面A1BC,且BC∩A1C=C,

所以AC1⊥平面A1BC. (12分)

因为AC1⊂平面ABC1,

所以平面ABC1⊥平面A1BC. (14分) 17. 方法一:由条件①得,𝑃𝐴𝑃𝐵=5030=53. (2分)

设PA=5x,PB=3x,

则cos∠PAB=(5𝑥)2+162-(3𝑥)22×16×5𝑥=𝑥10+85𝑥, (6分)

所以点P到直线AB的距离h=PA·sin∠PAB=5x· 1- 𝑥10+85𝑥 2

= -14𝑥4+17𝑥2-64

= -14(𝑥2-34)2+225, (10分)

所以当x2=34,即x= 34时,h取得最大值15 km.

即垃圾发电厂P的选址应满足PA=5 34 km,PB=3 34 km. (14分)

方法二:如图,以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy, (2分)

(第17题)

则A(-8,0),B(8,0).

由条件①,得𝑃𝐴𝑃𝐵=5030=53. (4分)

设P(x,y)(y>0),

则3 (𝑥+8)2+𝑦2=5 (𝑥-8)2+𝑦2,

化简得,(x-17)2+y2=152(y>0), (10分)

即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆且位于x轴上方的半圆, 则当x=17时,点P到直线AB的距离最大,且最大值为15 km.

故点P的选址应满足在上述坐标系中,其坐标为(17,15)即可. (14分)

18. (1) 因为椭圆C的右焦点坐标为( 3,0),

所以圆心M的坐标为 3,±12 , (2分)

所以圆M的方程为(x- 3)2+ 𝑦±12 2=14.

(2) ①因为圆M与直线OP:y=k1x相切,

所以|𝑘1𝑥0-𝑦0| 𝑘12+1=2 55,

即(4-5𝑥02)𝑘12+10x0y0k1+4-5𝑦02=0. (6分)

同理,有(4-5𝑥02)𝑘22+10x0y0k2+4-5𝑦02=0,

所以k1,k2是方程(4-5𝑥02)k2+10x0y0k+4-5𝑦02=0的两个根, (8分)

所以k1k2=4-5𝑦024-5𝑥02=4-5 1-14𝑥02

4-5𝑥02=

-1+54𝑥024-5𝑥02=-14. (10分)

②设点P1的坐标为(x1,y1),点P2的坐标为(x2,y2),联立 𝑦=𝑘1𝑥,𝑥24+𝑦2=1,解得𝑥12=41+4𝑘12,𝑦12=4𝑘121+4𝑘12.

(12分)

同理,𝑥22=41+4𝑘22,𝑦22=4𝑘221+4𝑘22, 所以OP2·OQ2=41+4𝑘12+4𝑘121+4𝑘12·

41+4𝑘22+4𝑘221+4𝑘22

=4(1+𝑘12)1+4𝑘12·4(1+𝑘22)1+4𝑘22

=4+4𝑘121+4𝑘12·1+16𝑘121+4𝑘12 (14分)

≤ 5+20𝑘122 2(1+4𝑘12)2=254,当且仅当k1=±12时取等号,

所以OP·OQ的最大值为52. (16分)

19. (1) 由题意得,f'(x)=𝑎(1-𝑥)e𝑥,

因为函数f(x)在x=0处的切线方程为y=x,

所以f'(0)=𝑎1=1,得a=1.

(2) 由(1)知f(x)=𝑥e𝑥<1𝑘+2𝑥-𝑥2对任意的x∈(0,2)恒成立,

所以k+2x-x2>0,即k>x2-2x对任意的x∈(0,2)恒成立,所以k≥0. (6分) 又不等式整理可得k

令g'(x)=0,得x=1. (8分)

当x∈(1,2)时,g'(x)>0,函数g(x)在(1,2)上单调递增;

当x∈(0,1)时,g'(x)<0,函数g(x)在(0,1)上单调递减.

所以k

综上所述,实数k的取值范围是[0,e-1). (10分)

(3) 结论是g' 𝑥1+𝑥22 <0. (11分)

证明:由题意知函数g(x)=ln x-x-b,

所以g'(x)=1𝑥-1=1-𝑥𝑥(x>0),

易得函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以只需证明𝑥1+𝑥22>1即可. (12分)

因为x1,x2是函数g(x)的两个零点,

所以 𝑥1+𝑏=ln 𝑥1,𝑥2+𝑏=ln 𝑥2,两式相减得x2-x1=ln 𝑥2𝑥1.不妨令𝑥2𝑥1=t>1,

则x2=tx1,

则tx1-x1=ln t,

所以x1=1𝑡-1ln t,x2=𝑡𝑡-1ln t,

即证𝑡+1𝑡-1ln t>2,

即证明φ(t)=ln t-2·𝑡-1𝑡+1>0. (14分)