新高考数学一轮复习教师用书：第10章 8 第8讲 离散型随机变量的均值与方差
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第8讲
离散型随机变量的均值与方差
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)D(X)＝∑ni＝1 (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b（2）D（aX＋b）＝a2D（X）(a,b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
X X服从两点分布 X～B(n,p)
E(X) p(p为成功概率) np
D(X) p(1－p) np(1－p)
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机变量的均值是常数,样本的平均数是随机变量,它不确定．( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小．( )
(3)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
[教材衍化]
1．(选修23P68A组T1改编)已知X的分布列为
X －1 0 1
P 12 13 16
设Y＝2X＋3,则E(Y)＝________．
解析：E(X)＝－12＋16＝－13,
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.
答案：73
2．(选修23P68A组T5改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为：
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2
0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是________．
解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9,
因为E(Y)
所以乙技术好．
答案：乙
[易错纠偏]
(1)期望、方差的性质不熟导致错误；
(2)二项分布的数学期望公式用法不当．
1．已知两个随机变量X,Y满足X＋2Y＝4,且X～N(1,22),则E(Y),D(Y)依次是________．
解析：由X～N(1,22)得E(X)＝1,D(X)＝4.又X＋2Y＝4,所以Y＝2－X2,所以E(Y)＝2－12E(X)＝32,D(Y)＝14D(X)＝1.
答案：32,1
2．在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为23,且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y,则Y的数学期望为________．
解析：由题意知Y的可能取值为0,1,2,3,且Y～B3，23,则E(Y)＝3×23＝2.
答案：2
离散型随机变量的均值、方差的求解(高频考点)
离散型随机变量的均值、方差的求解,比较大小,求实际问题中的均值、方差是浙江新高考的热点．主要命题角度有：
(1)直接求均值、方差；
(2)两个随机变量的均值、方差大小比较；
(3)实际问题中的均值、方差的求解．
角度一 直接求均值、方差
(1)(2019·高考浙江卷)设0
X 0 a
1
P 13 13 13
则当a在(0,1)内增大时,( )
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15,E(ξ)＝1,则D(ξ)＝____________．
【解析】 (1)由题意可得,E(X)＝13(a＋1),所以D(X)＝（a＋1）227＋（1－2a）227＋（a－2）227＝6a2－6a＋627＝29a－122＋34,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大．故选D.
(2)设P(ξ＝1)＝a,P(ξ＝2)＝b,
则15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得a＝35，b＝15，
所以D(ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.
【答案】 (1)D (2)25
角度二 两个随机变量的均值、方差大小比较
已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi,P(ξi＝0)＝1－pi,i＝1,2.若0＜p1＜p2＜12,则( )
A．E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2)
B．E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2)
C．E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2)
D．E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2)
【解析】 根据题意得,E(ξi)＝pi,D(ξi)＝pi(1－pi),i＝1,2,因为0
【答案】 A
角度三 实际问题中的均值、方差的求解
(2020·台州市书生中学高三质检)公园游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色之外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率,②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
【解】 (1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3),则P(A3)＝C23C25·C12C23＝15.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝C23C25·C22C23＋C13C12C25·C12C23＝12,且A2,A3互斥,
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝710.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,
P(X＝0)＝1－7102＝9100；
P(X＝1)＝C127101－710＝2150；
P(X＝2)＝7102＝49100.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 9100 2150 49100
所以E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.
求方差和标准差的关键是求分布列,只要有了分布列,就可以依据定义求数学期望,进而求出方差、标准差,同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为________．
解析：记不发芽的种子数为Y,则Y～B(1 000,0.1),
所以E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y,所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200. 答案：200
均值、方差的应用(高频考点)
本考点属于均值、方差的简单应用．主要命题角度有：
(1)已知均值、方差求参数；
(2)已知均值、方差求最值问题．
角度一 已知均值、方差求参数
(1)(2020·杭州高三质检)体育课的排球发球项目的考试规则是：每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止,设学生一次发球成功的概率为m(m≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)＞1.75,则m的取值范围是( )
A.0，712 B.712，1
C.0，12 D.12，1
(2)(2020·台州市书生中学高三期中)若X是离散型随机变量,P(X＝a)＝23,P(X＝b)＝13,且a＜b,又已知E(X)＝43,D(X)＝29,则a＋b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)X的可能取值为1,2,3,因为P(X＝1)＝m,P(X＝2)＝(1－m)m,P(X＝3)＝(1－m)2,所以E(X)＝m＋2m(1－m)＋3(1－m)2＝m2－3m＋3,由E(X)＞1.75,即m2－3m＋3＞1.75,解得m＜12或m＞52(舍去),所以0＜m＜12.
(2)由E(X)＝43,D(X)＝29得
23a＋13b＝4323a－432＋13b－432＝29,
解方程组可得a＋b＝3.
【答案】 (1)C (2)C
角度二 已知均值、方差求最值问题
(1)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩,未射中9环或10环就以0环记,该运动员在练习时射中10环的概率为a,射中9环的概率为b,即未射中9环也未射中10环的概率为c(a,b,c∈[0,1)),如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环,则当10a＋19b取最小值时,c的值为( )
A.111 B.211
C.511 D．0
(2)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为
X1 5%
10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5
0.3
①在A、B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2)；
②将x(0≤x≤100)万元投资项目A,100－x万元投资项目B,f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润方差的和．求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值．
【解】 (1)选A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环得10a＋9b＝9,所以10a＋19b＝10a＋19b10a9＋b＝1019＋10ba＋a81b,当且仅当ba＝a81b,即a＝9b时,10a＋19b取得最小值,解得a＝911，b＝111，此时c＝1－a－b＝1－911－111＝111.
(2)①由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
