人教版初二数学上册运用完全平方公式因式分解教案

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14．2.2 完全平方公式

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．(重点)

2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)

一、情境导入

1．教师引导学生复习平方差公式．

学生积极举手回答．

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．

二、合作探究

探究点一：完全平方公式

【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算

利用完全平方公式计算：

(1)(5－a)2；

(2)(－3m－4n)2；

(3)(－3a＋b)2.

解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．

解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；

(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；

(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.

方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

【类型二】 构造完全平方式

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．

解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．

解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.

方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

【类型三】 运用完全平方公式进行简便运算

利用乘法公式计算：

(1)982－101×99；

(2)20162－2016×4030＋20152.

解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．

解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；

(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.

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第2课时 运用完全平方公式因式分解

1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．(重点)

2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)

一、情境导入

1．分解因式：

(1)x2－4y2； (2)3x2－3y2；

(3)x4－1； (4)(x＋3y)2－(x－3y)2.

2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？

二、合作探究

探究点：运用完全平方公式分解因式

【类型一】

判断能否用完全平方公式分解因式

下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )

(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋14；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋14＝(a－12)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.

方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．

【类型二】

运用完全平方公式分解因式

因式分解：

(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(a2＋4)2－16a2.

解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．

解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2； 第 2 页 共 3 页

(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.

第2课时 运用完全平方公式因式分解

基础题

知识点1 完全平方式

1．下列式子为完全平方式的是( )

A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2

C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1

2．二次三项式x2－6x＋k是一个完全平方式，则k的值是________．

3．若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，则m的值是________．

知识点2 直接运用完全平方公式因式分解

4．(安徽中考)下列四个多项式中，能因式分解的是( )

A．a2＋1 B．a2－6a＋9

C．x2＋5y D．x2－5y

5．分解因式后结果是－3(x－y)2的多项式是( )

A．－3x2＋6xy－3y2 B．3x2－6xy－y2

C．3x2－6xy＋3y2 D．－3x2－6xy－3y2

6．4(a－b)2－4(b－a)＋1分解因式的结果是( )

A．(2a－2b＋1)2 B．(2a＋2b＋1)2

C．(2a－2b－1)2 D．(2a－2b＋1)(2a－2b－1)

7．因式分解：

(1)4x2＋y2－4xy；

(2)9－12a＋4a2；

(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.

中档题

8．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是( )

A．m＋1＋m24 B．－x2＋2xy－y2

C．－a2＋14ab＋49b2 D.n29－23n＋1

9．把代数式2ax2－12ax＋18a分解因式为：________．

10．(泰州中考)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．

11．已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．

12．利用因式分解计算：992＋198＋1.

13．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14.

(1)求此长方形的面积；

(2)求ab3＋2a2b2＋a3b的值．

好习惯，好人生。

学习是一件快乐的事。 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解

1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)

2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)

一、情境导入

1．分解因式：

(1)x2－4y2； (2)3x2－3y2；

(3)x4－1; (4)(x＋3y)2－(x－3y)2；

2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？

二、合作探究

探究点一：用完全平方公式因式分解

【类型一】

判定能否利用完全平方公式分解因式

下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )

(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋14；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是a，b两数的积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋14＝(a－12)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是3a和2b两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.

方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．

【类型二】 运用完全平方公式分解因式

因式分解：

(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(a2＋4)2－16a2.

解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解． 好习惯，好人生。

学习是一件快乐的事。 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；