高中数学《斜率的计算》专项练习

数学斜率练习题数学斜率是数学中的重要概念，它在几何和代数中都有广泛的应用。

本文将为大家提供一些数学斜率练习题，帮助大家更好地理解和掌握数学斜率的计算方法和应用场景。

练习题1：已知一条直线通过点A(2, 3)和点B(6, 9)，求该直线的斜率。

解答：斜率的计算公式为：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)根据题目中给出的点A(2, 3)和点B(6, 9)，代入公式，可得斜率 = (9 - 3) / (6 - 2) = 6 / 4 = 3/2练习题2：已知一条直线的斜率为2/3，且通过点C(4, 5)，求该直线的方程。

解答：直线的方程一般形式为：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

根据题目中给出的斜率和过点C(4, 5)，代入公式，可得：5 = (2/3)* 4 + b解方程可得：b = 5 - (2/3) * 4 = 5 - 8/3 = (15 - 8) / 3 = 7/3所以，该直线的方程为：y = (2/3)x + 7/3练习题3：已知一条直线的斜率为-3/4，且通过点D(-2, 1)，求该直线的方程。

解答：同样地，根据题目中给出的斜率和过点D(-2, 1)，代入公式：1 = (-3/4) * (-2) + b解方程可得： b = 1 - (3/4) * (-2) = 1 + 6/4 = (4 + 6) / 4 = 10/4 = 5/2所以，该直线的方程为：y = (-3/4)x + 5/2练习题4：已知直线L1经过点E(1, 3)和点F(5, k)，当k为何值时，L1与直线L2的斜率相等，直线L2的斜率为1/2，且经过点E(1, 3)。

解答：首先，根据题目中给出的直线L2的斜率为1/2和经过点E(1, 3)，代入斜率公式可得：3 = (1/2) * 1 + b解方程可得：b = 3 - (1/2) = 5/2所以，直线L2的方程为：y = (1/2)x + 5/2然后，使用题目中给出的直线L1经过点E(1, 3)和点F(5, k)以及斜率公式进行计算：斜率L1 = (k - 3) / (5 - 1)等式两边同时乘以4得：4(k - 3) = 1/2 * 4化简得：4k - 12 = 2移项得：4k = 14计算得：k = 14/4 = 7/2所以，当k = 7/2时，直线L1与直线L2的斜率相等。

斜率的判定练习题斜率的判断练题一、选择题1. 已知直线的斜率为$2$，则该直线倾斜角为（）。

A. $30^{\circ}$B. $45^{\circ}$C.$60^{\circ}$ D.$75^{\circ}$2. 若过点$(3,4)$和$(x+y, x-y)$的直线斜率为$2$，则$x$和$y$的值分别为（）。

A. $1$，$2$B. $-1$，$2$C. $1$，$-2$D. $-1$，$-2$3. 曲线$y = x^2$在$x=1$处的切线斜率为（）。

A. $0$B. $1$C. $2$D. $-1$4. 两直线$y=ax+b$和$y=cx+d$（$a>0, c>0$），若这两条直线的交点在$y$轴的正半轴内，则（）。

A. $a>c>b>d$B. $a\geq c\geq b>d$C. $a>c>d>b$D. $a>c>b\geq d$5. 设抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(1,2)$，则$a+b+c$等于（）。

A. $2$B. $1$C. $0$D. $-1$二、计算题1. 已知直线$y=kx+1$与曲线$y=\dfrac{1}{x}$相交于点$P$、$Q$，且点$P$在$x$轴第三象限，点$Q$在$x$轴正半轴，则$k=$（）。

2. 已知$y=x^3+ax^2+bx+1$的图像过点$(-1,2)$，$a=0$，$b=-1$，则曲线在点$(1,f(1))$处的切线的斜率为（）。

3. 若过点$(1,1)$的直线垂直于$y=2x-1$，则过点$(2,-1)$的直线斜率为（）。

4. 已知直线$y=kx+1$与曲线$y=\sqrt x$相交于点$P$、$Q$，则$\angle POQ$的正切值为（）。

5. 如果过点$(2,3)$，且与$x$轴夹角为$45^{\circ}$的直线在坐标轴上截距之和为$4$，则此直线方程为（）。

斜率：1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a 2．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 3．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在4.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ）Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°直线方程：1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）A ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 3．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．4.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=05.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=06. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）7. 已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ） A ．965⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C ．(][)36-∞+∞，，D ．[36]， 8.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=09．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值X 围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan 21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan 21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用X 围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解：∵A 、B 、C 三点共线，∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°，∴tan α＝31.1因此，直线l的斜率是3说明：由2α的正切值确定α的X围及由α的X围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.。

高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案一、选择题1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k 为( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C解析：k ＝0－23－0 ＝－23 .2．直线x ＋ 3 y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．23 πD ．56 π答案：D解析：由x ＋ 3 y ＋1＝0，得y ＝－33 x －33 ，∴直线的斜率k ＝－33 ，其倾斜角为56 π.3．已知直线l 过点P(－2，5)，且斜率为－34 ，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A解析：由点斜式得y －5＝－34 (x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0．4．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3 ”是“k> 3 ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵当π2 <α<π时，k<0，∴α>π3 D ⇒/k> 3 ； 当k> 3 时，π3 <α<π2 ，∴k> 3 ⇒π3 <α<π2 ，∴α>π3是k> 3 的必要不充分条件． 5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ． 3 x －y ＋1＝0B ． 3 x －y － 3 ＝0C ． 3 x ＋y － 3 ＝0D ． 3 x ＋y ＋ 3 ＝0答案：D解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3 .又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y ＝－ 3 (x ＋1)，即： 3 x ＋y ＋ 3 ＝0.6．经过点P(1，2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝0答案：D解析：若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab>0，bc<0B ．ab>0，bc>0C ．ab<0，bc>0D ．ab<0，bc<0答案：A解析：ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b ，又直线过一、二、四象限，∴－a b<0且－c b>0，即ab>0，bc<0. 8．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎝⎛⎭⎫π2，π 答案：B解析：设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1，1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π .9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤34，2B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1，2]答案：B解析：直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P(1，1)，k PA ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞).二、填空题10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a 的值为________．答案：4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4 ＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．答案：45°解析：y′＝3x 2－2，当x ＝1时，该曲线的导函数值为1，∴k ＝1，其倾斜角为45°.12．过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率为1，则m ＝________.答案：1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。

直线斜率练习题直线斜率，作为解析几何中的重要概念，是描述直线斜度的数值指标。

在解析几何中，我们通常通过计算两个点之间的斜率来确定直线的特征。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用直线斜率的概念。

一、斜率的定义与计算方法在开始解答练习题之前，我们先回顾一下斜率的定义与计算方法。

设直线上两个不同点为A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），则直线AB的斜率k可以通过以下公式计算得到：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)这个公式是斜率的基本计算方法，通过求出两点之间的纵坐标之差与横坐标之差的比值，我们可以得到直线的斜率。

二、练习题下面，我们将给出一些直线斜率的练习题，希望读者通过计算斜率来解答这些问题。

问题一：已知直线上两点A（2，5）和B（-4，1），求直线AB的斜率。

解答一：根据斜率的计算公式，我们可以得到：k = (1 - 5) / (-4 - 2) = -4 / -6 = 2 / 3因此，直线AB的斜率为2/3。

问题二：已知直线上两点C（3，-2）和D（5，7），求直线CD的斜率。

解答二：根据斜率的计算公式，我们可以得到：k = (7 - (-2)) / (5 - 3) = 9 / 2因此，直线CD的斜率为9/2。

问题三：已知直线上两点E（-1，4）和F（-1，-3），求直线EF的斜率。

解答三：根据斜率的计算公式，我们可以得到：k = (-3 - 4) / (-1 - (-1)) = -7 / 0由于分母为0，直线EF的斜率不存在。

通过以上三个问题的解答，我们对直线斜率的计算方法有了一定的了解。

接下来，我们将继续进行更多的解答。

问题四：已知直线上两点G（-2，1）和H（-7，4），求直线GH 的斜率。

解答四：根据斜率的计算公式，我们可以得到：k = (4 - 1) / (-7 - (-2)) = 3 / -5因此，直线GH的斜率为-3/5。

问题五：已知直线上两点I（6，8）和J（6，-2），求直线IJ的斜率。

※ 卜人入州八九几市潮王学校学习新知1直线的倾斜角2直线的斜率3直线的斜率公式※ 典例探究【例1】直线的倾斜角，求直线的斜率：〔1〕︒=30α〔2〕︒=45α〔3〕65πα= 〔4〕32πα=〔5〕︒=135α〔6〕2=α【例2】根据斜率求倾斜角：〔1〕当1,____,(2)_____kk αα==== 【例3】直线l 的倾斜角为α，且1312cos =α，那么此直线的斜率为 【例4】〔1〕当且仅当m 为何值时，经过两点)3,1(),6,(m B m A -的直线的斜率为12 (2)假设三点)4,()0,4()8,0(--m C B A 一共线，务实数m 的值。

【例5】(1)点Ａ〔２，３〕，Ｂ〔３，２〕，过P(0，－２)的直线与线段ＡＢ总有公一共点，求直线l 的斜率的范围。

(2)点Ａ〔－２，３〕，Ｂ〔３，２〕，过P(0，－２)的直线与线段ＡＢ总有公一共点，求直线l 的斜率的范围。

※ 当堂稳固1倾斜角是过原点和)32,2(的直线倾斜角2倍的直线的斜率是2假设直线AB 的斜率为2，将直线绕点A 按逆时针方向旋转︒45后，所得直线的斜率是为3当且仅当m=时，经过两点)12,(),2,(--mm B m A 的直线的倾斜角为 60 4〔1〕假设直线l 的倾斜角取值范围为2[,],33ππ那么斜率的取值范围是〔2〕假设直线l 的斜率的取值范围是[-，那么其倾斜角的取值范围是※ 课后作业1. 直线l 的倾斜角为30度，那么其斜率为2.直线l 的斜率为-1，那么其倾斜角为3．以下3〔1〕假设直线的倾斜角为α，那么此直线的斜率为tan α，〔2〕假设直线的倾斜角为α，那么α的取值范围为(0,)π； 〔3〕任意一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都有斜率4．三点A 〔0，a 〕，B(2,3),C(4,5a)一共线，那么a=,该直线斜率为5设直线的倾斜角为α，假设3sin 5α=，求此直线的斜率 6.A(x,0)，B 〔2，3〕，且直线AB 的倾斜角为060，求直线AB 的斜率和x 的值。

求斜率练习题题目一：已知直线L1过点A(2，5)和点B(4，9)，求直线L1的斜率。

解答一：首先，我们知道直线的斜率可以通过两点的坐标来计算。

对于直线L1而言，我们可以任意选取两个点，然后通过斜率的公式来求解。

设直线L1过点A(2，5)和点B(4，9)，则点A的横坐标为x1=2，纵坐标为y1=5；点B的横坐标为x2=4，纵坐标为y2=9。

直线的斜率可以用以下公式表示：斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)代入已知数据，可得：斜率 k = (9 - 5) / (4 - 2)计算得到：斜率 k = 4 / 2 = 2所以，直线L1的斜率为2。

题目二：已知直线L2的斜率为3，且L2经过点C(7，10)，求直线L2的方程。

解答二：对于直线的方程，一般可以用点斜式或斜截式来表示。

由于已知直线L2的斜率为3且经过点C(7，10)，我们可以采用点斜式来求解。

点斜式表示为：y - y1 = k(x - x1)其中，k为斜率，(x1，y1)为通过的点的坐标。

代入已知数据，可得：y - 10 = 3(x - 7)化简得到：y - 10 = 3x - 21移项得到：y = 3x - 21 + 10化简得到：y = 3x - 11所以，直线L2的方程为y = 3x - 11。

通过以上两个例题，我们对求斜率的练习有了初步的了解。

当已知两个点时，可以通过斜率的公式来求解直线的斜率，而当已知斜率和通过的点时，可以通过点斜式来求解直线的方程。

这些都是求解斜率的基本方法，希望能对您有所帮助。

直线的倾斜角与斜率练习题第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若直线l的一个方向向量为(−1,√3)，则它的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A. k1<k2<k3B. k1<k3<k2C. k3<k2<k1D. k3<k1<k23.已知直线l与过点M(−√3,√2)，N(√2,−√3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A. π3B. 2π3C. π4D. 3π44.已知两点A(−1,2)，B(m,3)，且m∈[−√33−1,√3−1]，则直线AB的倾斜角α的取值范围是()A. [π6,π2) B. (π2,2π3]C. [π6,π2)⋃(π2,2π3] D. [π6,2π3]5.已知直线l经过A(−2,−1)，B(1,√3−1)两点，则直线l的倾斜角是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°6.过点P(−1,2)且方向向量为a⃗=(−1,2)的直线方程为()A. 2x+y=0B. x−2y+5=0C. x−2y=0D. x+2y−5=07.直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A. 0º，0B. 0º，不存在C. 45º，−1D. 90º，不存在8.若A(−2,3)，B(3,−2)，C(1,m)三点共线，则m的值为()A. −2B. −1C. 0D. 29.直线l过点P(−1,2)，且倾斜角为45°，则直线l的方程为()A. x−y+1=0B. x−y−1=0C. x−y−3=0D. x−y+3=010. 已知M(1,2)，N(4,3)，直线l 过点P(2,−1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A. (−∞,−3]∪[2,+∞)B. [−13,12]C. [−3,2]D. (−∞,−13]⋃[12,+∞)11. 直线√3x +y −5=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°12. 若点A (a −1,a +1)，B (a,a )关于直线l 对称，则l 的方程为( )A. x −y +1=0B. x +y −1=0C. 2x −2y +1=0D. 2x +y −2=0二、多选题（本大题共2小题，共10.0分） 13. 下列说法正确的是( )A. a⃗ =(2,−1)是直线x +2y −3=0的一个方向向量 B. 点(0,2)关于直线y =x +1的对称点为(1,1) C. 过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D. “ab =4”是“直线2x +ay −1=0与直线bx +2y −2=0平行”的充要条件14. 已知直线l 的一个方向向量为，且l 经过点(1,−2)，则下列结论中正确的是( )A. l 的倾斜角等于150°B. l 在x 轴上的截距等于2√33C. l 与直线垂直D. l 与直线平行第II 卷（非选择题）三、单空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 已知直线ax +3y −12=0与直线4x −y +b =0互相垂直，且相交于点P(4,m)，则b = ．四、解答题（本大题共3小题，共36.0分）16. 已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率e =12，经过点M(c,−3)(C 为椭圆的半焦距)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)∠F1MF2的平分线l与椭圆的另一个交点为N，O为坐标原点，求直线OM与直线ON斜率的比值．17.已知直线l:x+2y−2=0，试求：(1)点P(−2,−1)关于直线l的对称点坐标．(2)直线l1:y=x−2关于直线l对称的直线l2的方程．(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．18.已知点A(4,1)，B(−6,3)，C(3,0)．(1)求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；(2)求过A，B，C三点的圆的方程．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了直线的方向向量(平面)，直线的斜率和倾斜角，属于基础题．由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【解答】解：依题意，(1,−√3)也是直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率k=−√3，所以直线l的倾斜角为120∘．故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的斜率，属于基础题．结合图象进行分析即可得到结论【解答】解：根据图象易得，k1<0，k2>k3>0，∴k1<k3<k2，故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率，两条直线垂直与斜率的关系，属于基础题．先根据条件和斜率公式求出直线MN的斜率，由垂直关系可得直线l的斜率，进而可得其倾斜角．解：∵直线过点M(−√3,√2)、N(√2,−√3)，∴直线MN的斜率为√2−(−√3)−√3−√2=−1，由垂直关系可得直线l的斜率为1，设直线l的倾斜角为α，∵直线l的倾斜角α满足tanα=1，解得α=π4．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于中档题．当m=−1时，直线AB的倾斜角为，当m≠−1时，求出k AB的取值范围，即可求出结果．【解答】解：因为A(−1,2)，B(m,3)，当m=−1时，直线AB的倾斜角为，当m≠−1时，k AB=3−2m+1=1m+1，因为m∈[−√33−1,√3−1]，所以m+1∈[−√33,√3]，所以k AB⩽−√3或k AB⩾√33，所以直线AB的倾斜角α的取值范围是[π6,2π3]．故选D．5.【答案】A【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．先求斜率，再求倾斜角．【解答】解：因为直线l经过A(−2,−1)，B(1,√3−1)两点，所以直线l的斜率k=√3−1+11+2=√33，设直线AB的倾斜角为α，所以，所以α=30∘．故选A．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，属于基础题．根据题意，通过直线的方向向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出直线方程即可答案．【解答】解：根据题意，直线的方向向量为a⃗=(−1,2)，则其斜率k=−2，则其方程为：y−2=−2(x+1)，变形可得：2x+y=0；故选A．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．【解答】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线的斜率，考查了计算能力，属于基础题．根据题意，可得−1=−3−m3，即可得出结果．【解答】解：k AB=−2−33−(−2)=−1，k AC=3−m−2−1=−3−m3．∵A(−2,3)，B(3,−2)，C(1,m)三点共线，∴−1=−3−m3，解得m=0．故选C．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率以及点斜式方程和一般式方程的应用问题，是基础题．根据直线的倾斜角求出斜率k，用点斜式写出直线方程，再化为一般式即可．【解答】解：直线l过点P(−1,2)，且倾斜角为45°，则直线l的斜率为k=tan45°=1，直线方程为y−2=1×(x+1)，即x−y+3=0．故选D．10.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，用直线的斜率公式求出k PN和k PM的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，即k≥3+14−2=2，或k≤2+11−2=−3，∴k≥2，或k≤−3，故选A．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角的求法，是基本知识的应用．求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线√3x+y−5=0的斜率为：−√3，直线的倾斜角为：α，所以tanα=−√3，α=120°，故选：C．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．由题意可得直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点为(2a−12,2a+12)，求出AB的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．【解答】解：∵点A(a−1,a+1)，B(a,a)关于直线l对称，∴直线l为线段AB的中垂线，又AB的中点为(2a−12,2a+12)，AB的斜率为2a+12−a2a−12−a=−1，∴直线l的斜率为1，即直线l的方程为y−2a+12=x−2a−12，化简可得x−y+1=0．故选A．13.【答案】AB【解析】【分析】本题主要考查了直线的方向向量，点关于直线的对称点，两直线的充要条件，属于基础题．对每个选项进行分析，即可求解．【解答】解：A：直线x+2y−3=0的斜率为k=−12，所以该直线的一个方向向量是(1,−12)，可化为(2,−1)，A正确，B：因为(0+12,2+12)在直线y=x+1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为−1，所以B正确，C ：选项需要条件y 1≠y 2,x 1≠x 2，所以C 错误，D ：因为两直线平行，所以斜率相等，即可得ab =4，又因为不能重合，当a =1，b =4时，满足ab =4，但是重合，所以“ab =4”不是“直线2x +ay −1=0与直线bx +2y −2=0平行”的充要条件，所以D 错误．故选：AB ．14.【答案】CD【解析】【分析】本题考查直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率，两条直线平行的判定，两条直线垂直的判定，属于中档题．由题意，可得直线l 的斜率与方程，再根据选项逐一判断即可．【解答】解：∵直线l 的一个方向向量为u ⃗ =(−√36,12)， ∴直线l 的斜率为k =12−√36=−√3，故倾斜角为120°，故A 错误；又过点(1,−2)，故直线l 的方程为y +2=−√3(x −1)，即√3x +y +2−√3=0， 令y =0，解得x =1−2√33，故l 在x 轴上截距为1−2√33，故B 错误； ∵直线√3x −3y +2=0的斜率为k 1=√33，∴k ·k 1=−√3×√33=−1， ∴l 与直线√3x −3y +2=0垂直，故C 正确；∵直线√3x +y +2=0的斜率为k 2=−√3，与直线l 的斜率相等，但在x 轴上截距不等，∴l 与直线√3x +y +2=0平行，故D 正确．故选CD ．15.【答案】−13【解析】【分析】本题考查两条直线垂直的斜率关系，两直线的交点问题，属于基础题．由两直线互相垂直得a =34，由点P(4,m)在直线34x +3y −12=0上，得m =3，再将点P(4,3)代入4x −y +b =0，即可求出结果．【解答】解：由题意，直线ax +3y −12=0与直线4x −y +b =0互相垂直，可得−a 3×4=−1，解得a =34，由点P(4,m)在直线34x +3y −12=0上，得3+3m −12=0，解得m =3，再将点P(4,3)代入直线4x −y +b =0，得16−3+b =0，解得b =−13，故答案为−13．16.【答案】解：(1)∵e =12,a =2c,b =√3c ，设椭圆方程：x 24c 2+y 23c 2=1 代入点(c,−3)椭圆方程：c 24c 2+93c 2=1⟹c =2 则a =4,b =2√3∴椭圆Γ的方程为x 216+y 212=1(2)MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,3)、MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3)，角分线l 的方向向量：MF 1|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(−45,85) ∴l 的斜率为−2，则l 方程：2x +y −1=0联立椭圆方程得到{2x +y −1=0x 216+y 212=1 解得{x =2y =−3,{x =−2219y =6319∴N 点坐标(−2219,6319)所以 k OM k ON =1121.【解析】本题考查椭圆方程、直线方程及斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线的方向向量的合理运用．(1)根据题意设a =2c ，b =√3c ，可设椭圆方程为x 24c 2+y 23c 2=1，把M 点坐标代入可求c ，从而求出结果；(2)根据直线的方向向量求出∠F 1MF 2的平分线l 的斜率，得到解析式，联立椭圆方程求出N 点坐标，即可求出直线OM 与直线ON 斜率的比值． 17.【答案】解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P′(x 0,y 0)，则线段PP′的中点M 在直线l 上，且PP′⊥l ．所以{y 0+1x 0+2×(−12)=−1x 0−22+2×y 0−12−2=0，解得{x 0=25y 0=195， 即P′点的坐标为(25,195)．(2)由{x +2y −2=0x −y −2=0得l 与l 1的交点A(2,0)，在l 1上任取一点B(0,−2)， 设B 关于l 的对称点B′为(x 0,y 0)，则{y 0+2x 0×(−12)=−1x 02+2×y 0−22−2=0, 解得{x 0=125y 0=145即B′(125,145)， 所以l 2的斜率为k AB′=7．所以l 2的方程为：y =7(x −2)，即7x −y −14=0．(3)l:x +2y −2=0上一点M(2,0)，则M 关于点A(1,1)的对称点M′的坐标为(0,2)，且M′在l 关于A(1,1)对称的直线上， 又所求直线与l 平行，所以设所求直线为x +2y +C =0．又过点M′(0,2)，所以C =−4，所以所求直线方程为x +2y −4=0．【解析】本题主要考查点、直线间的对称问题，属中档题．(1)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线垂直;②两点的中点在已知直线上；(2)直线关于直线对称问题，实质上是点关于直线对称问题的延伸，只要求出直线上两点的对称点即可求得方程；(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解．18.【答案】解：(1)已知△ABC 的顶点为A(4,1)，B(−6,3)，C(3,0)，∴BC 所在直线的斜率为3−0−6−3=−13，∴BC 边上的高所在的直线斜率为3，∴BC 边上的高所在的直线的方程为y −1=3(x −4)，即3x −y −11=0．(2)设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{16+1+4D +E +F =036+9−6D +3E +F =09+0+3D +0+F =0，求得{D =1E =−9F =−12, 故过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2+y 2+x −9y −12=0．【解析】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，用待定系数法求过三点的圆的方程，属于中档题．(1)先根据两条直线垂直的性质求得BC 边上的高所在直线的斜率，再用点斜式求BC 边上高所在的直线方程．(2)设△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，把三个顶点的坐标代入，求出D 、E 、F ，可得过A ，B ，C 三点的圆的方程．。

高考数学专题复习题：倾斜角与斜率一、单项选择题（共6小题）1、若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是（）A.45°，1 B.135°，－1 C.90°，不存在 D.180°，不存在2、若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°.则y ＝（）A.23- B.23 C.－1 D.13、斜率为2的直线经过点A (3，5)、B (a ，7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为（）A.a ＝4，b ＝0B.a ＝－4，b ＝－3C.a ＝4，b ＝－3D.a ＝－4，b ＝34、直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是（）A.0°≤a ≤90°B.90°≤a <180°C.90°≤a <180°或a ＝0°D.90°≤a ≤135°5、直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若－1＜k ＜1，则α的范围是（）A.44ππ-（，） B.3[0,)(,)44πππ⋃C.30,(,424πππ⋃（ D.3[0,)(,]44πππ⋃6、已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1，1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.k ≥2或k ≤34 B.34≤k ≤2 C.k ≥34 D.k ≤2二、填空题（共4小题）7、如果过点P (－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝__________.8、如图所示，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________.9、如果经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为__________.10、一条光线从A(3，2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1，6)，则反射光线所在直线的斜率为__________.三、解答题（共2小题）11．求经过下列两点的直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角.（1）(－3，0)，(－2，3)；（2）(1，－2)，(5，－2)；（3）(3，4)，(－2，9)；（4）(3，0)，(3，3).12、光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率.。

斜率函数单元测试题(基础卷)
第一题
已知一条直线上两点坐标分别为 $(2,5)$ 和 $(6,8)$，求这条直线的斜率。

第二题
计算函数 $f(x)=2x^2-4x+1$ 在 $x=1$ 处的斜率。

第三题
已知函数 $f(x)=x^2-3x+2$ 和 $g(x)=5x-4$，求它们的斜率是否相等。

第四题
求函数 $f(x)=x^2+4x+3$ 的单调递增区间和单调递减区间。

第五题
已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值 $-2$，求 $f(x)$ 最小值点的坐标。

第六题
给定函数 $f(x)=3x-2$，求函数 $f(x)$ 的反函数。

第七题
求函数 $f(x)=\frac{1}{x-2}$ 的定义域。

第八题
某商品的原价为 $100$ 元，现按 $8$ 折出售，请完成下面的问题：
1. 按照折扣出售后该商品的售价是多少？
2. 该商品打完折后还剩下多少库存？
第九题
现有两个集合 $A$ 和 $B$，其中 $A=\{1,2,3,4\}$，
$B=\{2,4,6,8\}$。

请问它们的交集、并集、差集、对称差集分别是
什么？
第十题
某校网球队参加比赛，已知男生组队人数为 $x$，女生组队人
数为 $y$，则男生组最多只能有 $3$ 人，女生组最多只能有 $2$ 人。

现已知男女生各有 $20$ 人参赛，请回答下列问题：
1. 若男生组人数不少于 $5$ 人，女生组人数不少于 $10$ 人，
问可组成多少个队伍？
2. 又若男女生组员数都不少于 $2$ 人，问可组成多少个队伍？。

专题2.1.1 倾斜角与斜率5种常见考法归类（58题）题型一 求直线的倾斜角题型二 求直线的斜率（一）由定义求斜率（二）由斜率公式求斜率（三）由方向向量求斜率（四）几何图形中的斜率问题题型三 斜率与倾斜角的关系（一）由倾斜角求斜率值（范围）（二）由斜率求倾斜角的值（范围）题型四斜率公式的应用（一）利用斜率求参数（二）利用直线斜率处理共线问题（三）比较大小（四）斜率公式的几何意义的应用题型五 直线与线段的相交关系求斜率的范围以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.（1）当直线l 与x 轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为0 ；所以倾斜角的取值范围为：0180α≤< ；特别地，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为90.（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.2．对直线倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，当直线与x 轴相交时，直线的倾斜角是由x 轴绕直线与x 轴交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．题型一 求直线的倾斜角解题策略：求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．（2024··江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．()0,πB ．[0,π)C ．(0,π]D ．[0,]p 2．（2024··高二课时练习）对于下列命题：①若q 是直线l 的倾斜角，则0180q °≤<°；②若直线倾斜角为α，则它斜率tan k α=；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线l 经过()1,4A -，()1,2B 两点，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π45．（2024··上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线l 的一个方向向量为(-，则它的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6.（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的倾斜角为α，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为（ ）A ．αB ．90α°-C ．180α°-D ．90α°+7．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线1l 的倾斜角115α=，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向所成的角为120 ，如图，则直线2l 的倾斜角为________．8．（2024·江苏·高二假期作业）如图，直线l 的倾斜角为（ ）A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°9.（2024·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ）.A ．090α≤<B ．0180α<<C ．90180α≤<D ．90180α<<10．【多选】（2024··高二课时练习）若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为α，直线l 绕点A 顺时针旋转45°后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角可能为（ ）A ．45α+°B ．135α+°C ．45α-°D ．135α°-把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.注：（1）倾斜角α不是90 的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角90α= 时，直线的斜率不存在。

高二数学斜率练习题在高中数学中，斜率是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解直线的性质和变化趋势。

本文将提供一系列高二数学的斜率练习题，帮助学生加深对斜率概念的理解，并提高解题能力。

题目1：已知直线L1过点A(2, 4)，斜率为3，请判断以下哪个点不在直线L1上：A. (5, 19)B. (-1, 1)C. (2, 10)D. (4, 14)解析：根据题意，直线L1的斜率为3，代表直线的斜率为3/1。

通过斜率公式，我们可以得到直线L1的方程为y=3x-2。

根据这个方程，我们可以计算出每个点坐标的y值。

计算后得到：A. (5, 19) 不满足方程，不在直线L1上。

B. (-1, 1) 满足方程，位于直线L1上。

C. (2, 10) 满足方程，位于直线L1上。

D. (4, 14) 满足方程，位于直线L1上。

因此，答案是A. (5, 19)。

题目2：已知点A(1, 2)和点B(5, 8)，求直线L的斜率，其中L过点A和点B。

解析：根据两点间的斜率公式，直线L的斜率可以通过计算两个点的纵坐标差值除以横坐标差值得到。

对于点A(1, 2)和点B(5, 8)，纵坐标差值为8-2=6，横坐标差值为5-1=4。

因此，直线L的斜率为6/4=3/2。

题目3：已知点A(3, 4)和点B(-2, -1)，求直线L的斜率，其中L过点A和点B。

解析：同样使用两点间的斜率公式，直线L的斜率等于点B的纵坐标减去点A的纵坐标，再除以点B的横坐标减去点A的横坐标。

对于点A(3, 4)和点B(-2, -1)，纵坐标差值为-1-4=-5，横坐标差值为-2-3=-5。

因此，直线L的斜率为-5/-5=1。

题目4：已知直线L过点A(2, 5)，斜率为-2，请写出直线L的方程。

解析：根据题意，直线L的斜率为-2，代表直线的斜率为-2/1。

使用点斜式可以得到直线L的方程为y-5=-2(x-2)。

将其展开得到对称形式y=-2x+9。

因此，直线L的方程为y=-2x+9。

斜率函数基础练习题题目一给定函数 $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$，求：1. $f(2)$ 的值2. 过点 $(2, f(2))$ 的切线斜率3. 函数 $f(x)$ 的图像在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程解答一1. 将 $x = 2$ 代入函数 $f(x)$，得到 $f(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 4 = 12$。

所以，$f(2)$ 的值为 $12$。

2. 对函数 $f(x)$ 求导数，得到 $f'(x) = 4x + 3$。

将 $x = 2$ 代入导数 $f'(x)$，得到 $f'(2) = 4(2) + 3 = 11$。

所以，过点 $(2, f(2))$ 的切线斜率为 $11$。

3. 使用点斜式方程，切线方程可以表示为 $y - f(2) = 11(x - 2)$。

展开并化简得到 $y = 11x - 10$。

所以，函数 $f(x)$ 的图像在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y = 11x - 10$。

题目二给定函数 $g(x) = \frac{1}{4}x^3 - 2x^2 + 3x$，求：1. $g(-1)$ 的值2. 过点 $(-1, g(-1))$ 的切线斜率3. 函数 $g(x)$ 的图像在点 $(-1, g(-1))$ 处的切线方程解答二1. 将 $x = -1$ 代入函数 $g(x)$，得到 $g(-1) = \frac{1}{4}(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1) = -\frac{5}{4}$。

所以，$g(-1)$ 的值为 $-\frac{5}{4}$。

2. 对函数 $g(x)$ 求导数，得到 $g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 4x + 3$。

将 $x = -1$ 代入导数 $g'(x)$，得到 $g'(-1) = \frac{3}{4}(-1)^2 - 4(-1)+ 3 = \frac{17}{4}$。

数学斜率的真题及答案解析斜率是数学中的一个重要概念，描述了曲线的变化率。

在解析几何和微积分中，斜率的计算是一个常见的问题。

下面将给出一些真题，并对其答案进行详细解析。

题目1：求函数y=2x+3在点（1,5）处的斜率。

解析：斜率的定义是曲线上两点间的纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值。

根据题目，我们可以求出点（1,5）在函数y=2x+3上的纵坐标和横坐标分别为5和1。

接下来，我们需要找到另外一个点，计算其纵坐标的变化量和横坐标的变化量。

为了方便计算，我们选择点（2,7）。

根据题目中的函数表达式，可以计算出点（2,7）的纵坐标和横坐标分别为7和2。

纵坐标的变化量为7-5=2，横坐标的变化量为2-1=1。

因此，斜率为2/1=2。

题目2：两个曲线y=x^2和y=2x的交点为（1,1），求这两条曲线在交点处的斜率。

解析：题目给出了交点的坐标（1,1），我们可以将这个点代入两个曲线方程中，计算出交点处的纵坐标和横坐标。

对于曲线y=x^2，当x=1时，y=1^2=1；对于曲线y=2x，当x=1时，y=2*1=2。

所以，交点处的纵坐标分别为1和2。

接下来，我们需要计算纵坐标的变化量和横坐标的变化量。

由于交点的横坐标保持不变，所以横坐标的变化量为0。

纵坐标的变化量为2-1=1。

因此，这两条曲线在交点处的斜率为1/0，即不存在斜率。

题目3：已知函数y=f(x)的导函数f'(x)=3x^2-2x+1，求函数y=f(x)在点（2,5）处的斜率。

解析：导函数描述了原函数在每个点处的斜率。

根据题目中给出的导函数，我们可以求出点（2,5）处的斜率。

首先，我们需要找到函数y=f(x)在点（2,5）处的纵坐标和横坐标。

代入函数表达式，得到5=f(2)。

接下来，我们计算导函数在x=2处的值，即f'(2)=3*2^2-2*2+1=11。

因此，函数y=f(x)在点（2,5）处的斜率为11。

通过以上三个真题的解析，我们可以看到斜率的计算过程并不复杂。

第17讲 直线的斜率问题一．解答题（共18小题）1．已知椭圆22:33C x y +=，过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．2．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为(0,1)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ，试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．3．如图，A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是||AF与||FB ||AF 与||FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：Q ，P ，B 三点共线．4．已知椭圆22:13x y E t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4t =，||||AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2||||AM AN =时，求k 的取值范围．5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，左顶点为(2,0)A -．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ，N 两点．试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．6．已知椭圆2222:1(1)x y C a b a b+=>>过点(1,1)P --，c 为椭圆的半焦距，且c =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 与椭圆C 分别交于另两点M ，N ，若线段MN的中点在x 轴上，求此时直线MN 的方程．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F到双曲线E 的一条渐近线y = （1）求双曲线E 的方程；（2）如图，过圆22:1O x y +=上一点M 作圆O 的切线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过双曲线E 的右顶点A ，求直线l 的方程．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，点O 为坐标原点，直线2:a l x c=与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，又2,2OA OB OA OC ==，过点F 的直线m 与双曲线右支交于点M ，N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点． （1）求双曲线的方程；（2）判断B ，P ，N 三点是否共线，并说明理由； （3）求三角形BMN 面积的最小值．9．设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．10．在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于M ，N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？（说明理由） 11．在直角坐标系xOy 中，曲线2:4C x y =与直线(0)y kx a a =+>交于M ，N 两点． （1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且2F 也是抛物线2:4E y x=的焦点，P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点，且25||3PF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(1)y k x =-与椭圆C 交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时，总有OTS OTR ∠=∠？说明理由．13．一个圆经过点(2,0)F ，且和直线20x +=相切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点(1,0)B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点．14．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于M ，N 两点． （1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率；（2）若(,)2p P p ，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行．15．如图，若M 是抛物线2y x =上的一定点(M 不是顶点），动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．证明：直线EF 的斜率为定值．16．已知倾斜角为4π的直线经过抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点F ，与抛物线Γ相交于A 、B 两点，且||8AB =．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(12,8)P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N ．如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点． 17．已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（1）设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ．已知椭圆C 的短轴长为C 过点3(1,)2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于异于点A 的两点P ，Q ，且直线AP 与AQ 的斜率之和等于2，证明：直线l 经过定点．第17讲 直线的斜率问题参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．已知椭圆22:33C x y +=，过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=．所以a 1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a == （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -．直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--． 令3x =，得1(3,2)M y -．所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-．（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =． 又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE ．当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--． 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--．由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=． 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+．直线BM 的斜率为：11211323BM y x y x k x +---=-，因为222211112112122121213312(1)[3](1)3(1)(2)(3)(2)(1)[2()3]131310(3)(2)(3)(2)(3)(2)BM k k k k x x k x x x x k x x x x k k k x x x x x x -+-+--+---------++-++-====------所以1BM DE k k ==，//BM DE ∴．综上，直线BM 与直线D E 平行．2．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为(0,1)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ，试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为(0,1)，∴根据题意得：c =2222c a b =-=①， 把(0,1)代入椭圆方程得：21b =， 把21b =代入①得：23a =，则椭圆C 的标准方程为2213x y +=；（2）直线BM 与直线D E 平行． 证明如下：AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，∴可设1(1,)A y ，1(1,)B y -，(2,1)E ，∴直线AE 的方程为：11(1)(2)y y x -=--，令3x =，得1(3,2)M y -，∴直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-．当直线AB 的斜率不存在时，1BM k =．又直线D E 的斜率10121DE k -==-，//BM DE ∴；当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 令3x =，则点1113(3,)2x y M x +--，∴直线BM 的斜率11212323BMx y y x k x +---=-，联立2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=，由韦达定理，得2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+， 11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3](3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)(3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，1BM DE k k ∴==，即//BM DE ；综上所述，直线BM 与直线D E 平行．3．如图，A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是||AF与||FB||AF 与||FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：Q ，P ，B 三点共线．【解答】（1）解：(1,0)F ，||AF a c =+，||BF a c =-．由2是||AF 与||FB的等差中项，||AF 与||FB 的等比中项．∴2()()4()()a c a c a c a c -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =，1c =， 2223b a c ∴=-=．∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）证明：直线l 的方程为：2x =-，直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠， 联立22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为2222(34)1616120k x k x k +++-=，∴221634A P k x x k +=-+，226834P k x k -∴=+，212(2)34P P k y k x k ∴=+=+， QF AP ⊥，1PF k k∴=-．直线QF 的方程为：1(1)y x k=--，把2x =-代入上述方程可得3Q y k=，3(2,)Q k∴-．222123334684234PQk k k k k k k -+∴==--++，303224BQk k k-==---．PQ BQ k k ∴=，B ∴，P ，Q 三点共线．4．已知椭圆22:13x y E t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4t =，||||AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2||||AM AN =时，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，(2,0)A -， 直线AM 的方程为(2)y k x =+，代入椭圆方程，整理可得2222(34)1616120k x k x k +++-=，解得2x =-或228634k x k -=-+，则2228612|||2|3434k AM k k --=++，由AN AM ⊥，可得21212||1434()3||||AN k kk =-+⋅+，由||||AM AN =，0k >212124343k k k=++，整理可得2(1)(44)0k k k -++=，由2440k k ++=无实根，可得1k =， 即有AMN ∆的面积为221112144||)223449AM ==+；方法二、由||||AM AN =，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA NA ⊥．可得直线AM 的斜率为1，直线AM 的方程为2y x =+，代入椭圆方程22143x y +=，可得271640x x ++=， 解得2x =-或27-，2(7M -，12)7，2(7N -，12)7-，则AMN ∆的面积为1242144(2)27749⨯⨯-+=；（Ⅱ）直线AM的方程为(y k x =，代入椭圆方程，可得22222(3)230tk x x t k t +++-=，解得x =x =（补充求M ，N 的纵坐标的方法：设a =，1m k=，则直线AM 的方程为x my a =-，与椭圆的方程联立，可得22212()03m m y y a a+-=， 因此M 的纵坐标为2263ma m a +，N 的纵坐标为222266)33amam m a a m --=++即有||AM ==2||33AN k k k=++， 由2||||AM AN =，可得3k k+，整理得23632k kt k -=-，由椭圆的焦点在x 轴上，则3t >，即有236332k k k ->-，即有23(1)(2)02k k k +-<-，2k <，即k的取值范围是2)．5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，左顶点为(2,0)A -．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ，N 两点．试判断直线MN 与x【解答】解：（1）根据题意，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，左顶点为(2,0)A -，则1c =，2a =， 则2223b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22143x y +=． （2）根据题意，①当直线MN 与x 轴垂直时，直线AM 的方程为2y x =+， 联立2223412y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640x x ++=，解得()227x x =-=-或舍去． 此时直线MN 的方程为27x =-．直线MN 与x 轴的交点为2(,0)7-． ②当直线MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为y kx m =+．联立223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(43)84120k x kmx m +++-=． 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则2221212122228412312,,434334km m m k x x x x y y k k k--+=-==+++， 且△222(8)4(43)(412)0km k m =-+->，即2243m k <+． 而1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+， 由题意知，AM AN ⊥，即22121212271642()4043m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++==+， 解得27m k =或2m k =（舍去）．当27m k =时，满足2243m k <+．直线MN 的方程为2()7y k x =+，此时与x 轴的交点为2(,0)7-．故直线MN 与x 轴的交点是定点，坐标为2(,0)7-．6．已知椭圆2222:1(1)x y C a b a b+=>>过点(1,1)P --，c为椭圆的半焦距，且c =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 与椭圆C 分别交于另两点M ，N ，若线段MN的中点在x 轴上，求此时直线MN 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由c =，可得223a b =，椭圆2222:1(1)x y C a b a b+=>>过点(1,1)P --，可得22111ab+=，解得24a =，243b =， 所以椭圆的方程为：221443x y +=．．⋯（4分） （Ⅱ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则221122223434x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 两式相减得12121212()()3()()0x x x x y y y y +-++-=， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以120y y +=，从而可得1212()()0x x x x +-=．⋯（7分）若120x x +=，则1(N x -，1)y -．因为过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，所以PM PN ⊥， 所以0PM PN =，得22112x y +=． 又因为221134x y +=，所以解得11x =±， 所以(1,1)M -，(1,1)N -或(1,1)M -，(1,1)N -． 所以直线MN 的方程为y x =-．⋯（10分） 若120x x -=，则1(N x ，1)y -，因为PM PN ⊥，所以0PM PN =，得2211(1)1y x =++． 又因为221134x y +=，所以解得112x =-或1-，经检验：12x =-满足条件，1x =-不满足条件．综上，直线MN 的方程为0x y +=或12x =-．⋯（13分）．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F到双曲线E的一条渐近线y =（1）求双曲线E 的方程；（2）如图，过圆22:1O x y +=上一点M 作圆O 的切线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过双曲线E 的右顶点A ，求直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意，222ba abc ⎧=⎪=⎪+=⎪⎪⎩，解得12a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴双曲线E 的方程为2213y x -=；（2）由已知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221m k =+，联立2233x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，得222(3)230k x mkx m ----=．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，∴2222221223044(3)(3)0303k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪=++->⎨⎪+⎪=-<⎪-⎩，解得203k <． 12223mk x x k +=-，212233m x x k +=-， 又(1,0)A ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 以PQ 为直径的圆经过双曲线E 的右顶点A ，∴0AP AQ ⋅=，即12121212(1)(1)(1)(1)()()x x y y x x kx m kx m --+=--+++221212(1)(1)()10k x x mk x x m =++-+++=．∴22222(1)(3)2(1)1033k m mk mk m k k++--+++=--， 则2220m mk k --=，得2m k =或m k =-．①当m k =-时，点M 与右顶点A 重合，不合题意舍去； ②当2m k =时，代入221m k =+，解得k =，满足条件． ∴直线l的方程为33y =+或33y x =--． 8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，点O 为坐标原点，直线2:a l x c=与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，又2,2OA OB OA OC ==，过点F 的直线m 与双曲线右支交于点M ，N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点． （1）求双曲线的方程；（2）判断B ，P ，N 三点是否共线，并说明理由； （3）求三角形BMN 面积的最小值． 【解答】解：（1）2,2OA OB OA OC ==，∴2222a a c a a c ⎧=⨯⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，24a ∴=，4c = 22212b c a ∴=-=∴双曲线的方程为221412x y -=； （2）由（1）可知(1,0)B ，(4,0)F ，由题意直线m 的斜率不为0，所以设直线m 的方程为4x ty =+，代入221412x y -=整理得22(31)24360t y ty -++=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则1(P x ，1)y -．由韦达定理知1212222436,3131t y y y y t t +=-=--， 所以1122(1,),(1,)BP x y BN x y =--=-． 因为122112*********23624(1)(1)()23()23()03131tx y x y x y x y y y ty y y y tt t ----=+--=++=+-=-- ∴向量,BP BN 共线，所以B ，P ，N 三点共线．（3）因为直线m 与双曲线右支交于点M ，N ，所以1212(4)(4)0x x ty ty =++>，得213t <．∴1211||||322BMNS BF y y ∆=-=⨯， 令213u t =-，则(0u ∈，1]，BMN S ∆== 又1[1,)u∈+∞，所以11u=，即0t =时，三角形BMN 面积的最小值18．9．设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠． 【解答】解：（1）1c ==，(1,0)F ∴，l与x 轴垂直，1x ∴=，由22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1x y =⎧⎪⎨⎪⎩或1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2A ∴，或(1,)2， ∴直线AM的方程为y =+y = 证明：（2）当l 与x 轴重合时，0OM A OM B ∠=∠=︒，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，OMA OMB ∴∠=∠， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y，则1x <2x <直线M A ，M B 的斜率之和为MA k ，MB k 之和为121222MA MB y yk k x x +=+--， 由11y kx k =-，22y kx k =-得12121223()4(2)(2)MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--，将(1)y k x =-代入2212x y +=可得2222(21)4220k x k x k +-+-=，2122421k x x k ∴+=+，21222221k x x k -=+，33312122123()4(441284)021kx x k x x k k k k k k k ∴-++=--++=+从而0MA MB k k +=，故M A ，M B 的倾斜角互补，OMA OMB ∴∠=∠，综上OMA OMB ∠=∠．10．在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于M ，N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？（说明理由） 【解答】解：()I 联立24y a x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，不妨取)M a，()N a -，由曲线2:4x C y =可得：2x y '=，∴曲线C 在M点处的切线斜率为y a x -=-，化为0y a --=．同理可得曲线C 在点N0y a ++=．()II 存在符合条件的点(0,)a -，下面给出证明：设(0,)P b 满足OPM OPN ∠=∠．1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线PM ，PN 的斜率分别为：1k ，2k ．联立24y kx a x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，化为2440x kx a --=， 124x x k ∴+=，124x x a =-．1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-++∴+=+==． 当b a =-时，120k k +=，直线PM ，PN 的倾斜角互补，OPM OPN ∴∠=∠．∴点(0,)P a -符合条件．11．在直角坐标系xOy 中，曲线2:4C x y =与直线(0)y kx a a =+>交于M ，N 两点． （1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 【解答】解：（1）联立24y ax y =⎧⎪⎨=⎪⎩，可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a ．12y x '=，故24x y =在x =C在,)a处的切线方程为y a x -=-0y a --=．故24x y =在x =-处的导数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=．0y a --=0y a ++=． （2）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意的点，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ． 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=． 124x x k ∴+=，124x x a =-．∴1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==．当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且2F 也是抛物线2:4E y x=的焦点，P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点，且25||3PF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(1)y k x =-与椭圆C 交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时，总有OTS OTR ∠=∠？说明理由．【解答】解：（1）2F 也是抛物线2:4E y x =的焦点， 2(1,0)F ∴，1c ∴=，且抛物线的准线方程为1x =-，设点0(P x ，0)y25||3PF =， 0513x ∴+=， 023x ∴=，0y ∴==， ∴2248193ab+=，2221a b c -==，解得24a =，23b =，∴椭圆方程为22143x y +=， （2）假设存在(,0)T t 满足OTS OTR ∠=∠．设1(R x ，1)y ，2(S x ，2)y 联立22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 由韦达定理有2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+①，其中△0>恒成立，由OTS OTR ∠=∠（显然TS ，TR 的斜率存在），故0TS TR k k +=即12120y yx t x t+=--②， 由R ，S 两点在直线(1)y k x =-上，故11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 代入②整理有12122(1)()20x x t x x t -+++=③，将①代入③即有：2624034t k-=+④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t = “时成立， 综上所述存在(4,0)T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠． 13．一个圆经过点(2,0)F ，且和直线20x +=相切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点(1,0)B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点．【解答】解：（1）设动圆圆心(,)P x y ，则由抛物线定义易得：点P 是以(2,0)F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线，动圆圆心的轨迹方程为：28y x =（2）设两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，设不垂直于x 轴的直线：:(0)l x ty m t =+≠， 则28x ty my x=+⎧⎨=⎩有：2880y ty m --=，所以：128y y t +=，128y y m =- 因为x 轴是PBQ ∠的角平分线， 所以：0BP BQ k k +=，即：1212011y yx x +=++，即：12122(1)()0ty y m y y +++= 则：16(1)80tm m t -++=， 所以：1m =，:1l x ty =+， 所以直线l 过定点(1,0)14．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于M ，N 两点． （1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率；（2）若(,)2p P p ，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行．【解答】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2p x =，代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±， 所以||2MN p =，但||3MN p =，故直线l 的斜率存在，设其方程为()(0)2p y k x k =-≠．由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则21222k p px x k ++=，所以2121222||||||322p p k p pMN MF NF x x x x p p p k +=+=+++=++=+=，解得k =l的斜率为（2）设直线l 的方程为y x m =-+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ． 得22(22)0x m p x m -++=， 则2121222,x x m p x x m +=+=．由△22(22)40m p m =+->，得2p m >-．又2p m p -+≠，所以32p m ≠，从而l在y轴上的截距的取值范围为33(,)(,)222p pp-+∞．1221121212()()()()22()()2222PM PN p py p x y p x y p y p k k p p p p x x x x --+----+=+=---- 122112()()()()22()()22p px m p x x m p x p p x x -+--+-+--=-- 1212122()()()2()()22px x m x x p m p p p x x -+-+--=-- 2122()(22)()20()()22pm m m p p m p p p x x -+-+--==--， 所以直线PM ，PN 的斜率互补， 从而MPN ∠的平分线始终与y 轴平行．15．如图，若M 是抛物线2y x =上的一定点(M 不是顶点），动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．证明：直线EF 的斜率为定值．【解答】证明：设20(M y ，0)y ，直线ME 的斜率为(0)k k >，方程为200()y y k x y -=-．则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=--．由()()()2002002200210,11,,E E x ky y y ky y y k x y ky ky y xy x k k -+-=⎧-=--⎪⎨--===⎪⎩消去得解得所以 点E 的坐标为2002(1)1(,)ky ky k k --．⋯（5分） 同理可得，点F 的坐标为2002(1)1(,)ky ky k k++-． 所以0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--， 所以直线EF 的斜率为定值．⋯分）16．已知倾斜角为4π的直线经过抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点F ，与抛物线Γ相交于A 、B 两点，且||8AB =．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(12,8)P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N ．如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可设直线AB 的方程为2p y x =-，令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=，123x x p ∴+=， 根据抛物线的定义得，又12||4AB x x p p =++=，又||8AB =，48p ∴=，2p ∴=． 则此抛物线的方程为24y x =．（Ⅱ）设直线1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，直线1l 的斜率为k ，则tan k α=．由于直线1l 、2l 的倾斜角互余，则sin()cos 12tan tan()2sin tan cos()2παπαβαπααα-=-===-， 则直线2l 的斜率为1k．于是直线CD 的方程为8(12)y k x -=-，即(12)8y k x =-+， 联立2(12)84y k x y x =-+⎧⎨=⎩得243240ky y k -+-=，4C D y y k ∴+=， 则241624C D x x kk+=+-，228(12M k k ∴+-，2)k， 同理将k 换成1k得：2(1228N k k +-，2)k ，2212()11112()8()4MN k kk k k k k kk-∴==---+-．则直线MN 的方程为212[(1228)]14y k x k k k k-=-+-+-，即1(4)10k y x k+-=-，显然当10x =，0y =．所以直线MN 经过定点(10,0)．17．已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（1）设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值．【解答】解：（1）依题意，直线1l 的方程为11y y x x =，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线1l的距离122||y x y d -==，因为||2||AB AO ==，所以1221||2||S AB d x y x y ==-； 当1l 与2l 时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为12k-，设直线1l 的方程为y kx =，联立方程组2221y kxx y =⎧⎨+=⎩，消去y解得x =根据对称性，设1x =1y =，同理可得2x =2y =，所以12212||S x y x y =-= 方法二：设直线1l 、2l 的斜率分别为11y x 、22y x ，则121212y y x x =-， 所以12122x x y y =-，∴22221212121242x x y y x x y y ==-，1(A x ，1)y 、2(C x ，2)y 在椭圆2221x y +=上，222222222222112212121221(2)(2)42()1x y x y x x y y x y x y ∴++=+++=，即22221212122142()1x x y y x y x y -++=， 所以212211()2x y x y -=，即1221||2x y x y -=，所以12212||S x y x y =-=18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ．已知椭圆C的短轴长为C 过点3(1,)2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于异于点A 的两点P ，Q ，且直线AP 与AQ 的斜率之和等于2，证明：直线l 经过定点．【解答】解：（1）由已知可得2b =，解得b =又椭圆过点3(1,)2，所以22223()121a b +=，解得2a =，故椭圆的方程为22143x y +=； （2）证明：由（1）可得点(0,A ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 当直线的斜率不存在时，设其方程为x t =，有120y y +=，所以1212()2PA QA y y y y k k t t t+++=+==，解得t =x当直线的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，与椭圆方程联立可得：222(34)84120k x kmx m +++-=，则21212228412,3434mk m x x x x k k --+==++，又1212PA QA k k +==， 所以1221121212()())22x kx m x kx m x x x x x x ++++==，即1212(22)()0k x x m x x -+++=，所以2224128(22)(03434m mkk m k k ---⨯+⨯=++，整理可得0m m +=，因为直线l 不过点A0m ≠0m +=，即m =，所以直线l的方程为)y kx =+，即(0x y =，所以直线恒过定点，此点也在直线x =所以直线恒过定点．。

高二数学椭圆求斜率练习题教学内容：椭圆方程中斜率的求解一、椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上距离两个固定点（称为焦点）之和与一个定值（称为长轴）之比等于一的点的集合。

对于椭圆来说，焦点与长轴之间的距离称为椭圆的离心率，离心率小于1。

椭圆方程的一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

二、椭圆上一点的切线斜率的求解方法要求椭圆上一点的切线斜率，可以通过求导得到切线的斜率表达式。

设椭圆方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，并设点P的坐标为(x₁,y₁)。

对椭圆方程两边同时对x求导，可以得到：(x-h)/a² + (y-k) *(dy/dx)/b² = 0，进一步整理得到：dy/dx = -a² * (x-h) / b² * (y-k)三、示例题目与解答例1：已知椭圆的方程为(x+1)²/9 + (y-2)²/4 = 1，求椭圆上点P(-2,0)处切线的斜率。

解答：根据求解方法，代入给定的椭圆方程中，有h=-1，k=2，a=3，b=2。

代入点P(-2,0)的坐标：dy/dx = -3² * (-2+1) / 2² * (0-2) = 1/4例2：已知椭圆的方程为2(x-1)² + 9(y+3)² = 18，求椭圆上点P(1,0)处切线的斜率。

解答：根据求解方法，代入给定的椭圆方程中，有h=1，k=-3，a=√2，b=√(2/3)。

代入点P(1,0)的坐标：dy/dx = -2 * (1-1) / (√2)² * (0+3) = 0例3：已知椭圆的方程为(x-2)²/4 + (y+1)²/9 = 1，求椭圆上点P(2,2)处切线的斜率。