导数知识点
考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景 （2）理解导数的几何意义 （3）掌握函数的导数公式
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
知识要点
)(x f y =
1.导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-
2． 导数的四则运算法则：
''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?
''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）
)0(2'''
≠-=
??
?
??v v u v vu v u 3.函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数； 如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.
4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.
也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①
. 此外，函数不
可导的点也可能是函数的极值点②
. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.
②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.
5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
6. 几种常见的函数导数：
I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '
=
1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-=
II. x x 1)(ln '=
e x
x a a log 1
)(log '=
x x e e =')( a a a x x ln )('=
1、(卷)函数3
2
()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)
2.（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）
（A ）2
（B ）3 （C ）4 （D ）5
3. （卷）在函数x x y 83
-=的图象上，其切线的倾斜角小于
4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 4．()已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数(f x 函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( C ）
5.()函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )
(A)
18 (B)41 (C) 2
1
(D)1 6. (卷)曲线y =x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为______8/3____。
7.（卷）（14）曲线3
1y x x =++在点（1,3）处的切线方程是41y x =- 8. ( 全国卷III )曲线3
2y x x
=-
在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0
D
9. （卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ．
高中数学专题训练—二次函数与幂函数
一、选择题
1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴
对称轴－b
a <0，不符合，∴选C.
3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )
A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>1
答案 C
解析类比函数y＝x 1
2即可．
4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么() A．f(2)>f(3)
B．f(3)>f(2)
C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与f(2)的大小关系不确定
答案 C
解析∵f(4)＝f(1)
∴对称轴为5
2，∴f(2)＝f(3)．
5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值围是()
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
答案 C
解析由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选C.
6．(2010·卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是() 答案 D
解析若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－b
2a＞0，函数f(x)的图象与y
轴的交点(c,0)在x轴下方．故选D.
7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0
B．f(x1) C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定 答案 B 解析解法1：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵x1＋x2 2＝ 1－a 2∈(－1， 1 2)，又 对称轴x＝－1，∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x1) 解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(ax21＋2ax1＋4)－(ax22＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a) 又0 8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的围是________． 解析 由题意知? ?? －a ≤0 －1≤a ≤1 ∴0≤a ≤1 9．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8? ????x － m －1162＋m －7－8·? ?? ??m －1162 ∵顶点在x 轴∴m －7－8· ? ?? ??m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10．(2010·调研)设函数f 1(x )＝x 1 2，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________. 答案 1 2010 解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2 f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝1 2010. 11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________． 答案 大 －3 解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0 ∴f (x )有最大值，最大值为c －b 2 4a ＝－3. 12．已知幂函数f (x )＝x 1－α 3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________. 答案 3 13．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值围是________． 答案 2 2 解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1 由题意知??? f (1)<0f (2)>0 ?2 2. 三、解答题 14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－7 2. (1)求m 的值； (2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减 解析 (1)∵f (4)＝－7 2， ∴24－4m ＝－7 2.∴m ＝1. (2)f (x )＝2 x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0 f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2 x 2－x 2) ＝(x 2－x 1)(2 x 1x 2 ＋1)． ∵0 x 1x 2 ＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2 x －x 在(0，＋∞)上单调递减． 15．(2011·省实验中学)已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域． 答案 [－9 4，9] 解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0， ∴－3 2≤a ≤2. ①当－3 2≤a <1时， g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －9 4≤g (a )<4. ②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9. 综上所述，g (a )的值域为[－9 4，9]． 1．若函数f (x )＝log 1 2(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值围是( ) A ．(－∞，1] B ．(3，＋∞) C ．(－∞，3) D ．[5，＋∞) 答案 D 解析 f (x )的减区间为(5，＋∞)，若f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D. 2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52 答案 B 解析 ∵b >0，∴不是前两个图形， 从后两个图形看－b 2a >0，∴a <0. 故应是第3个图形． ∵过原点，∴a 2－1＝0.结合a <0.∴a ＝－1. 3. 如图所示，是二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c a C ．± c a D ．无法确定 答案 B 解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|c a|＝－c a(∵a<0，c>0)． 4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝() A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 答案 C 解析函数在[1，＋∞)上单增 ∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)． 5．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值围是() A．0≤a≤1 B．0≤a≤2 C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0 答案 D 解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2 若f(x) 在[0,1]上最大值是a2， 则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D. 1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________. 答案x2－x＋1 解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b ＝2x ∴a＝1，b＝－1. ∴f(x)＝x2－x＋1. 2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是() A．减函数 B．增函数 C．常函数 D．可能是减函数，也可能是常函数 答案 D 解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0 当a＝1时，f(x)为常函数 当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D. 3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a A．α C．a<α 答案 A 解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α 4．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c 答案 B 解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋3 2＝1， 所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)． 5．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值围是( ) A ．a ≥－1 B ．a ≥0 C ．a ≤3 D ．a ≤1 答案 A 解析 令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立． 令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1 则f (0)＝1>0 (1)当－a －1 2≤0即a ≥1时恒成立 (2)当－a －1 2>0即a <1时． 由Δ＝(a －1)2－4≤0 得－1≤a ≤3 ∴－1≤a <1 综上：a ≥－1. 6．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________． 答案 c 解析 ∵f (x 2)＝f (x 1)，∴x 2＋x 1＝－b a ，∴f (x 1＋x 2)＝f (－b a )＝c . 高中数学专题训练—变化率与导数一、选择题 1．若f′(x0)＝a≠0，则li m Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝() A．a B．－a C.1 a D．－ 1 a 答案 A 2．(2010·调研)已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为() A．sin1－1 B．1－sin1 C．1＋sin1 D．－1－sin1 答案 C 解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1 x＋sin x，∴f′(1)＝1＋sin1. 3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则() A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 答案 B 解析切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<0 4．(2010·新课标全国)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为() A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2 答案 A 解析由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得在点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A. 5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足() A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 答案 C 6．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x－1 2在点(a，a－ 1 2)处的切线与两个坐标轴围 成的三角形的面积为18，则a＝() A．64 B．32 C．16 D．8 答案 A 解析求导得y′＝－1 2x－ 3 2(x>0)，所以曲线y＝x－ 1 2在点(a，a－ 1 2)处的切 线l的斜率k＝y′|x ＝a ＝－ 1 2a－ 3 2，由点斜式得切线l的方程为y－a－ 1 2＝－ 1 2a－ 3 2 (x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a －1 2，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 1 2＝18，解得a ＝64. 7．(2010·卷)已知点P 在曲线y ＝4 e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值围是( ) A ．[0，π4) B ．[π4，π 2) C ．(π2，3π4] D ．[3π 4，π) 答案 D 解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝ －4 e x ＋1e x ＋2 ，因为e x ＞0，所以由均值不等式得k ≥ －42 e x ×1e x ＋2 ，又k ＜0，∴－1≤k ＜0，即 －1≤tan α＜0，所以3π 4≤α＜π. 8．下列图象中，有一个是函数f (x )＝1 3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( ) A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 答案 B 解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a )2－1 ∴y ＝f ′(x )是开口向上，以x ＝－a 为对称轴(－a ，－1)为顶点的抛物线． ∴(3)是对应y ＝f ′(x )的图象 ∵由图象知f ′(0)＝0，对称轴x ＝－a >0. ∴a2－1＝0，a<0 ∴a＝－1 ∴y＝f(x)＝1 3x 3－x2＋1 ∴f(－1)＝－1 3选B. 二、填空题 9．曲线y＝tan x在x＝－π 4处的切线方程为______ 答案y＝2x＋π 2－1 解析y′＝(sin x cos x)′＝ cos2x＋sin2x cos2x＝ 1 cos2x，所以在x＝－ π 4处的斜率为2， 曲线y＝tan x在x＝－π 4处的切线方程为y＝2x＋ π 2－1. 10．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________. 答案－2 解析由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2) ∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2. 11．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________． 答案3x－y－11＝0 解析y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3 当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1时y＝－14 ∴切线方程为y＋14＝3(x＋1) 即3x－y－11＝0 12．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝1 2x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝______ 答案 3 解析在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝1 2x＋2， ∴点M在y＝1 2x＋2上． ∴f(1)＝1 2·1＋2＝ 5 2. f′(1)＝1 2，∴f(1)＋f′(1)＝3. 13．(09·)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．答案 4 解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 三、解答题 14．(2011·统考)点P是曲线x2－y－2ln x＝0上任意一点，求点P到直线y ＝x－2的最短距离． 答案 2 解析y＝x2－2ln x＝x2－ln x(x>0)，y′＝2x－1 x，令y′＝1，即2x－ 1 x＝ 1，解得x＝1或x＝－1 2(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直 线y＝x－2的距离2即为所求． 15．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标． 答案y＝－1 4x，( 3 2，－ 3 8) 解析∵直线过原点，则k＝y0 x0(x0≠0)． 由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x30－3x20＋2x0， ∴y0 x0＝x 2 －3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2， ∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.∴x20－3x0＋2＝3x20－6x0＋2. 整理得2x20－3x0＝0.解得x0＝3 2(x0≠0)． 这时，y0＝－3 8，k＝－ 1 4. 因此，直线l的方程为y＝－1 4x，切点坐标是( 3 2，－ 3 8)． 1．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2011(x)＝() A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 答案 D 解析f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…， f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4. ∴f2011(x)＝f3(x)＝－cos x. 2．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为() A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)， 由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20 切线方程为：y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0) ∵P(2,2)在切线上 ∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0) 即x30－3x20＋2＝0 (x0－1)(x20－2x0－2)＝0 由x0－1＝0得x0＝1 由x 20－2x 0－2＝0得x 0＝1±3. ∵有三个切点，∴由P 向S 作切线可以作3条． 3．(09·)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π 12]，则导数f ′(1)的取值围是________． 答案 [2，2] 解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π 3)． ∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]，∴sin(θ＋π3)∈[2 2，1]． 4．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则二切线之间距离为________． 答案 16 27 2 解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1得 x 1＝1或x 2＝－1 3 ∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－14 27) 切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －5 27＝0 d ＝|1＋527| 2 ＝162 27 5．(2010·卷，文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )． 当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程． 解析 当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2 x －1，x ∈(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝x 2＋x －2 x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1， 即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2， 所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 即x －y ＋ln 2＝0. 1．(2011·海淀区)设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________． 答案 0 解析 由题意得f ′(5)＝lim Δx →0 f (5＋Δx )－f (5)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0) Δx ＝f ′(0)，且 f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝－lim －Δx →0 f (0－Δx )－f (0) －Δx ＝－f ′(0)，f ′(0)＝0， 因此f ′(5)＝0. 高中数学专题训练—函数的单调性和最值 一、选择题 1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增 D ．先增后减 答案 C 解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数． 2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 <0” 的是( ) A ．f (x )＝1 x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 答案 A 解析 满足f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 <0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值围是( ) A ．a <－3 B ．a ≤－3 C ．a >－3 D ．a ≥－3 答案 B 解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3. 4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln 2－x 2＋x D ．y ＝e x ＋e －x 答案 D 5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞) 答案 A 解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3) ∴y ＝log a 5>0，∴a >1 由复合函数单调性知 单减区间须满足??? x 2＋2x －3>0 x <－1 ，解之得x <－3. 6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 >0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确 的是( ) A ．f (－5)>f (3) B ．f (－5) C ．f (－3)>f (－5) D ．f (－3) 解析 由f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 >0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x ) 在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C. 7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( ) A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－2，－3) D ．(0,5) 答案 B 解析 令－2 8．(09·)已知函数f (x )＝??? x 2＋4x ，x ≥0， 4x －x 2 ，x ＜0. 若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C 解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增． 又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0， ∴f (2－a 2)＞f (a )?2－a 2＞a ?a 2＋a －2＜0?－2＜a ＜1，故选C. 9．(2010·卷)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 1 2(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 B 解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中 的函数是由函数y ＝log 1 2x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B. 二、填空题 10．给出下列命题 ①y ＝1 x 在定义域为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1 x 在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________． 答案 3 解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立． 11．函数f (x )＝|log a x |(0 12．函数f (x )＝－x 2 ＋|x |的递减区间是________． 答案 ??????－12，0与???? ?? 12，＋∞ 解析 数形结合