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22.1 二次函数的图像和性质第二课时【知识梳理】知识点一 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质函数y =ax 2+bx +c （a >0）y =ax 2+bx +c （a <0）开口方向向上向下顶点坐标（2b a -，244ac b a-）（2b a -，244ac b a-）对称轴x =2ba -x =2b a-增减性x >2b a -时，y 随x 的增大而增大；x <2b a -时，y 随x 的增大而减小x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；x <2b a -时，y 随x 的增大而增大最大（小）值当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a- 当x =2b a -时，y 最大值= 244ac b a-知识点二 二次函数的三种解析式⑴一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）. 对称轴，顶点坐标（2b a -，244ac ba-）.⑵顶点式：y =a （x -h ）2+k （a ≠0）. 对称轴x= h ，顶点坐标（h ，k ）.⑶交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）. 对称轴，顶点坐标.知识点三 二次函数的平移问题解析式y =a （x +m ）2+n （a 、m 、n 都是常数，a ≠0）分情况讨论m >0，n >0m >0，n <0m <0，n >0m <0，n <0变换过程由y =ax 2向左平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向左平移|m |个单位，向下平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向下平移|n |个单位总结左加右减，上加下减a b x 2-=221x x x +=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2221221x x a x x ，【题型探究】题型一、把一般式化成顶点式1．用配方法将二次函数y =x 2﹣8x ﹣9化为y =a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y =（x ﹣4）2+7B ．y =（x +4）2+7C ．y =（x ﹣4）2﹣25D ．y =（x +4）2﹣25【答案】C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．2．学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式2y ax bx c =++（a ≠0）化成2()y a x h k =-+的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式如下：两位同学做法正确的是（ ）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【答案】C【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；故答案选：C ．【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．3．把二次函数2241y x x =-+-配方成顶点形式()22y x h k =-++，则h ，k 的值分别为（ ）A ．1h =-，1k =B ．1h =-，2k =-C ．1h =，1k =D ．1h =，3k =-【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：Q 二次函数()()22224122121211y x x x x x =--=--++-=--++，1h \=-，1k =，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．题型二、二次函数的平移问题4．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+C ．()2y 211x =---D ．()2y 211x =-+-【答案】B【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．5．在平面直角坐标系中，抛物线(2)(4)y x x =+-经变换后得到抛物线(2)(4)y x x =-+，则下列变换正确的是（ ）A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位【答案】C【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y =（x +2）（x ﹣4）=（x ﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．y =（x ﹣2）（x +4）=（x +1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．所以将抛物线y =（x +2）（x ﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y =（x ﹣2）（x +4），【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+【答案】A【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式2C ，再因为关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数，由此可直接得出抛物线3C 的解析式．【详解】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x ，即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.故选：A ．【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数．题型三、待定系数法求二次函数解析式7．已知，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，求该抛物线的解析式和顶点坐标．【答案】2=23y x x --；()14-，【分析】先将抛物线与坐标轴的交点代入解析式，即可求得b c ，的值，从而得出抛物线的解析式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：Q 抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，103b c c -+=ì\í=-î，解得23b c =-ì\í=-î，\抛物线的解析式为：2=23y x x --，()222314y x x x =--=--Q ，\顶点坐标为：()14-，，故答案为：2=23y x x --；()14-，．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式和顶点坐标，根据题意将已知点代入进行求解是解本题的关键．8．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为；(6)已知二次函数图象经过点A (3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．解方程组即可得到答案；（7）根据函数图象平移的规律即可得到答案．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax ，把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a ，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝2x -；故答案为：y ＝2x -（2）解：设二次函数的解析式为y ＝22ax +，把点(1，4)代入得，4＝a ＋2，解得a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝222x +；故答案为：y ＝222x +（3）解：设二次函数的解析式为y ＝()22a x -，把点(1，－4)代入得，﹣4＝()212a -，解得a ＝﹣4，∴二次函数的解析式为y ＝()242x --,即y ＝241616x x -+-；故答案为：y ＝241616x x -+-（4）解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，∴可设二次函数的解析式为y ＝()()31a x x +-，把点(0，3)代入得，3＝()()0301a +-，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝()()31x x -+-，即y ＝223x x --+；故答案为：y ＝223x x --+（5）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax bx c ++，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î，9．已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，顶点在直线1x =上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为_________．【答案】226y x x =-+或224y x x =--或224y x x =-++或226y x x =-+-【分析】两个抛物线的形状相同，可知1a =±，则抛物线的解析式为2y x bx c =±++；顶点在1x =上，可以求出b 的值；又顶点到x 轴的距离是5，可以得到这个二次函数顶点纵坐标的绝对值是5，分情况讨论即可求出c 的值．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，∴1a =±，∴抛物线解析式为2y x bx c =±++；，∵抛物线顶点在直线1x =上，∴1a =±，题型四、根据二次函数的图像判断系数符号10．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为=1x -，且过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③2b a =；④420a b c -+=；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④12．在平面直角坐标系中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②20a b -=；③930a b c ++>；④24b ac >；⑤a c b +<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，+<，∴a c b故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题13．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y=-mx-m经过的象限确定m 的正负，对比后即可得出结论．【详解】解：∵y =-mx -m =-m （x +1），∴一次函数图像经过点（-1，0），故C 、D 不合题意；A 、由二次函数y =mx 2的图象开口向上，可知m ＞0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论矛盾，A 选项不合题意；B 、由二次函数y =mx 2的图象开口向下，可知m ＜0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论一致，B 选项符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图像找出每个选项中m 的正负是解题的关键．14．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．15．一次函数y ＝abx +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角内坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图像相比较看是否一致，即可判定．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ab ＞0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＜0，c ＜0，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．题型六、根据二次函数的对称性求值16．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（ ）A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定【答案】B【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y 1，y 2的值即可.A mB m，则b的值为____________．17．抛物线2y x bx c=++的图象上有两点(1,),(5,)18．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x =﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为：﹣3＜x ＜1．【点睛】考点：二次函数的图象．题型七、利用二次函数的对称性求最短路径19．如图，在抛物线2y x =-上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2；在y 轴上有一动点C ，当BC AC +最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0.0）B ．（0，1-）C ．（0，2）D ．（0，2-）【答案】D 【详解】解：如图，点A 关于y 轴的对称点A ′的横坐标为﹣1，连接A ′B 与y 轴相交于点C ，点C 即为使AC +BC 最短的点，当x ＝﹣1时，y ＝﹣1，当x ＝2时，y ＝﹣4，所以，点A ′（﹣1，﹣1），B （2，﹣4），设直线A ′B 为y kx b =+124k b k b -+=-ì\í+=-î1k \=- 2b =-2y x \=--当x=0时，y=-2即C （0，-2）故选D【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C 的位置是解题的关键．20．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3，6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．13【答案】C 【分析】如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，得到PE =PF ，则△PMF 的周长=FM +PM +PF ，则要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，故当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，由此求解即可．【详解】解：如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∵抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，∴PE =PF ，∴△PMF 的周长=FM +PM +PF ，∴要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，∴当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，∵M 坐标为（3，6），∴ME =6，∴PF +PM =6∵F （0，2），【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．21．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当V ACD的周长最小时，点D的坐标为．\D15 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关键．题型八、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质综合问题22．如图，对称轴为直线2x =的抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(10)-，．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD CD +的最小值；(3)若点P 是第四象限内抛物线上一个点，求PBC S V 的最大值．（3）解：如图，∵B 点坐标为(50)，，C 点坐标为设直线BC 的解析式为y kx b =+∴505k b b +=ìí=-î，解得：15k b =ìí=-î，∴BC 的解析式为：=5y x -，()2(23．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上：(1)请直接写出A、B、C三点的坐标；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PADV周长最小，若存在，求出P点的坐标；(3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN的最大值．424．已知抛物线经过点()2,3-，它的对称轴为直线1x =，且函数有最小值为4-．(1)求抛物线的解析式：(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使V的一半，求出此时点P的横坐标．BCPV的面积为ABC设直线BC 的解析式为303k b b +=ìí=-î，解得：b ìíî∴直线BC 的解析式为()2【随堂演练】1．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x +3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（ ）A ．向左平移1个单位B ．向上平移3个单位C ．向右平移3个单位D ．向下平移3个单位【答案】B【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y ＝﹣（x ﹣1）（x +3）=-（x+1）2+4A 、向左平移1个单位后的解析式为：y ＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B 、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C 、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D 、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.2．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >；②0a b c -+<；③210ax bx c +++=有两个相等的实数根；④4a 2a b -<<-.其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-k x+1经过的象限，对比后即可得出结论．【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．4．如图，直线y34=-x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）A．4B．4.6C．5.2D．5.65．当x ＝x 1和x ＝ x 2（x 1≠x 2）时，二次函数y ＝3x 2﹣3x +4的函数值相等、当x ＝x 1+x 2时，函数值是_________．6．如图，函数2y ax bx c =++经过点()3,0，对称轴为直线1x =：①240b ac ->；②0abc <；③930a b c -+=；④50a b c ++=；⑤若点()11,A a y +、()22,B a y +在抛物线上，则12y y >；⑥2am bm a b +³+（m 为任意实数），其中结论正确的有______．【答案】①④⑥【分析】①根据图象与x 轴有两个交点，0D >即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y 轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(1,0)-，再根据抛物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，可得930a b c ++=，对称轴为1x =，可得2b a =-，将24b a =-代入930a b c ++=，即可判断；⑤根据图象可得0a >，即可得出112a a <+<+，再结合对称轴为1x =，运用二次函数增减性即可判断；⑥根据1x =和x m =时的y 值，结合抛物线的对称轴和开口方向得出当1x =时，y 取最小值，可得2am bm c a b c ++³++，即可判断．【详解】解：①Q 抛物线与x 轴有两个交点，\0D >，240b ac \->，故①正确；②Q 抛物线开口向上，0a \>，Q 抛物线对称轴在y 轴右侧，b \与a 异号，即0b <，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \>，故②错误；③Q 抛物线对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，\抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)-，Q 抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 增大而减小，\当3x =-时，0y >，930a b c \-+>，故③错误；④Q 抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，930a b c \++=，Q 抛物线对称轴为直线1x =，7．已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．【答案】211n £<【分析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，∴抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n £<，故答案为：211n £<．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．8．把2288y x x =-+-配方成()2y a x h k =-+的形式为____________，并将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为___________．9．如图，抛物线2520533y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是_____．10．已知二次函数()211y a x a=--+，当122x££时，函数有最大值2a，则=a______．11．已知抛物线y =ax 2－2ax －3+2a 2 （a <0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数解析式；12．求分别满足下列条件的二次函数解析式：(1)二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．(2)二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．13．为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(1,1)--，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．[观察发现]请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．[思考交流]小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．[概括表达]小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【答案】[观察发现]2y x =-，图象见解析；[思考交流]∵二次函数的图象不经过第一象限，14．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．,A B Q 关于=1x -轴对称PA PB\=APD △的周长等于AD PA PD ++当,,D P B 三点共线时，APD △的周长取得最小值，最小值为由抛物线解析式223y x x =+-，令0y =，即2230x x +-=解得123,1x x =-=数图象的性质是解题的关键．，．15．如图，已知抛物线23=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(30)y x mx++(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；V的面积；(2)求ABC+的值最小时，求点P的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∵点()03C ，，点()30B ，，∴033k b b =+ìí=î，解得：13k b =-ìí=î．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，132y =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为：()12，．【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P 的位置是解此题的关键．【高分突破】一、单选题1．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-=解得：5k =-或2k =2．如果把对称轴为直线1x =的抛物线24y ax bx a =++-沿y 轴平移，使得平移后的抛物线与x 轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2+³+（m为实数）．其中正确结论的个数是（）am bm a bA．1个B．2个C．3个D．4个本题正确的结论有：②③④，3个；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．4．在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．5．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，∵m +1＜0，m ﹣1＜0，∴一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．48．点()112,P y -，()222,P y ，()334,P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y >>B ．213y y y >=C ．132y y y =>D ．123y y y =>【答案】B【分析】根据二次函数解析式得出的图象的开口向下，对称轴是直线1x =，然后根据二次函数的图象的性质进行判断即可．【详解】∵()22211y x x c x c =-++=--++，∴这个二次函数的图象开口向下，对称轴是直线1x =．∵()112,P y -关于对称轴的对称点为()14,y ，点3P 的坐标是()34,y ，∴13y y =，∵2P ，3P 都在这个二次函数的图象的对称轴的右侧，124<<，∴23y y >，∴213y y y >=，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象的性质等知识点的理解和掌握，能熟练运用二次函数的图象的性质进行推理是解本题的关键．二、填空题9．已知抛物线 y= -x 2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y 的最大值是6，则 m 的值是___________．10．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称，则m+n ＝_____．【答案】5．【分析】根据关于y 轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x 换成-x ，y 不变，化简即可得出答案.【详解】Q 抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称\x 2+mx+2=（-x ）2-3（-x ）+n= x 2+3x+n\m=3，n=2\m+n=3+2=5故答案为5【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.11．如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ¹的函数图像经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中 －1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．12．如图，把抛物线y=1x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点2x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．为P，它的对称轴与抛物线y=12。
