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26.1.3 二次函数2()y a x h k=-+的图象第一课时教学目标1．知识与技能会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响．能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．了解抛物线y=ax2上下平移规律．2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．.3．情感、态度与价值观进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力．教学重点难点1．重点作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质．2．难点函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆二次函数y=ax2的图象与性质．从而导人探求函数y=ax2＋c的图象导语二一个长方形的长为x（cm)，宽为12x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？【答案】y=12x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.导语三比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（二）合作交流解读探究1．二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】，在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象．教师在学生做完以后，可提供如下解答过程． 解：先列表x…-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x 2+1 …83-138…然后描点画图，如图26-1-5【想一想】抛物线y=x 2+1，y=x 2， y=x 2-1有哪些相同点和不同点 相同点：①开口方向相同，它们的开口都向上 ②对称轴相同，它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？①用幻灯片展示，将抛物线y=x 2向上平移1个单位后抛物线y=x 2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x 2与y=x 2+1完全重合③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2，y=x 2+1的形状、大小完全相同.【议一议】抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 有何联系？【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax 2的形状完全相同，只是位置不同.②抛物线y=ax 2c −−−−→向上平移个单位y=ax 2+c. y=ax 2c −−−−→向下平移个单位y=ax 2-c 【练一练】教科书P7练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表③抛物线2y=x 2向上平移k(k>0)个单位后抛物线2y=x 2+k 完全重合.（三）应用迁移巩固提高类型之一函数y=ax 2+c 的图象特征与性质的运用例1 抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x 2+3 ，它是由抛物线y=-5x 2向上平移 3 个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c 的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5. 又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3.∴y=-5x 2+3.它是由抛物线y=5x 2向上平移3个单位得到的.【点评】①解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+c 的图象与性质来解.a 确定抛物线的形式及开口方向，c 确定顶点的位置.②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二求二次函数的解析式例2若抛物线y=ax 2+c 经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.解：由已知条件得22a (1)c 2a 0c 4⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得a 6c 4=⎧⎨=-⎩∴所求解析式为y=6x 2-4.【点评】二次函数y=ax 2+c 中有两个待定系数a 、c ，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a 、c 的值例3 已知抛物线y=ax 2+c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2.试求a 、c 的值【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.解：根据题意知，a 3c 22=-⎧⎨-=⎩，解得a 3c 4=-⎧⎨=⎩，【点评】可根据规律直接求出a 、c. （四）总结反思拓展升华【总结】本节所学知识是函数y=ax 2+c 的图象与性质以及抛物线y=ax 2上下平移规律. 所学的思想方法图象法、数形结合的思想.【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x 2+3 【拓展】若抛物线y=ax 2+c 与y=-2x 2+5关于x 轴对称.求a 、c 的值. 【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6【点评】此类题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a 、c 的值 （五）当堂检测反馈1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标（0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax 2+c 的特征解答即可.2. 抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式 为 y=3x 2+1或y=-3x 2+1.解：∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，故a=±3, 又∵其顶点坐标为（0，1），∴c=1. ∴所求抛物线y=3x 2+1或y=-3x 2+1【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3. 抛物线y=-212x +7向下平移 10 个单位后得到抛物线y=-212x -34. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ D ）A.y=2x 2与y=3x 2B. y=212x +2与y=2x 2+12C.y=2x 2与y=x 2+2D.y=x 2+2与y=-x 2-2， 【分析】根据a 的值相同判断即可5．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（B ）解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a 和c 的正、负情况保持一致.故选择B6．若抛物线y=ax 2+c 经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式解：由已知得222(3)10a c a c ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩，解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴所求抛物线的解析式为y=13x 2-1ABD。
26.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象第二课时教学目标 1．知识与技能(1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会做函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k 的图象． (2)能正确说出y=a(x-h)2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)掌握抛物线y=a(x-h)2+k 的平移规律. 2．过程与方法经历探索二次函数y=a(x-h)2＋k 的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法．3．情感、态度与价值观培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识． 教学重点难点 1．重点作出二次函数y=a(x-h)2+k 的图象，探索其性质． 2．难点抛物线的平移规律的理解以及a 、h 、k 的作用的理解． 教与学互动设计（一）创设情境 导入新课导语一 回忆二次函数y=ax 2k −−−−−→向上（下）平移个单位y=a(x-h)2±k.若将y=ax 2向左（或向右）平移h 个单位，会得到什么抛物线呢？导语二 小明作出了函数y=3x 2与函数y=3x 2+6x+5的图象，发现它们又极为相似的地方，却不明白是什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？导语三 回忆(1)抛物线y=2x 2，y=2x 2+3，y=2x 2-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？(2)抛物线y=ax 2中，a 起什么作用？对抛物线有何影响？a 值相同，能说明什么？从而引人新课.（二）合作交流 解读探究 1．函数y=a(x-h)2的图象与性质【探究】，在同一坐标系中，画出函数y=-12(x+1)2和函数y=-12(x-1)2的图象．教师可指导以下两方面.(1)列表取值可按课本中提供的数据完成.(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同.学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品．【想一想】函数y=-12(x+1)2图象和y=-12(x-1)2的图象与y=-12x2有何关系？它们的对称轴，顶点坐标分别是什么？解：函数y=-12(x+1)2图象和y=-12(x-1)2的图象形状大小，开口方向完全一样，只是位置不同相同.抛物线y=-12(x+1)2的对称轴是直线x=-1，顶点为(-1,0), 抛物线y=-12(x-1)2的对称轴是直线x=1，顶点为(1,0).易知（或用多媒体展示抛物线的移动）抛物线y=-12x2向左平移1个单位，能与抛物线y=-12(x+1)2重合；抛物线y=-12x2向右平移1个单位，能与抛物线y=-12(x-1)2重合.【注意】观察图象移动过程，要特别注意特殊点（如顶点）移动的情况.【归纳】（1）二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象形状大小，开口方向都完全相同，但顶点和对称轴不同.（2）抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为（h，0），对称轴是x=h.（3）抛物线y=ax2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2.2．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【做一做】画出函数y=-12(x+1)2-1图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-12x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-12(x+1)2-1？教师引导学生在前一题的基础上，补上函数y=-12(x+1)2-1的图象（或制成幻灯片，让学生观察、比较）如图26-1-8所示解：图象如图26-1-8抛物线y=-12(x+1)2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是(-1,-1).把抛物线y=-12x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到抛物线y=-12(x+1)2-1【注意】可以改变两次平移顺序，即先向左向下平移1个单位，再向下平移1个单位，就得到抛物线y=-12(x+1)2-1 【归纳】（1）抛物线y=a(x-h)2+k 有如下特征：y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 向上 h （h ，k ） a<0向上y 轴（0，2）3.平移规律22h y=ax k y ax =−−−−−→±向上（或下）平移个单位22h (h)y=a(x h)k y a x =±−−−−−→±±向上（或下）平移个单位【注意】①口诀：上加下减，左加右减 ②根据顶点坐标来确定移动的方向与数据. （三）应用迁移 巩固提高类型之一 函数y=a(x-h)2+k 的图象特征的运用 例1 填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标平移h 个单位向左或右平移h 个单位向左或右【分析】可将各解析式统一为y=a(x-h)2+k的式，再根据图象特征填写．解： y=-5x2⇒y=-5(x-0)2+0y=-12x2+5⇒y=-12(x-0)2+5y=-3(x+4)2⇒y=-3(x+4)2+0.y=4(x+2)2-7⇒y=4(x+2)2-7它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别见上表.【点评】①解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+ k的形式，便于解答.类型之二平移规律的应用例2将抛物线y=-3x2向右平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）A. y=-3(x-2)2-5B. y=-3(x+2)2-5C. y=-3(x+2)2+5D. y=-3(x-2)2+5【解析】根据平移规律知D正确．【点评】抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．类型之三二次函数y=a (x-h)2+k的综合应用例3 若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m )2+1的顶点必在第象限A.一B.二C.三D.四【解析】由直线y=3x＋m经过一、三、四象限知，m＜0．又顶点坐标为（m，1).∴抛物线的顶点必在第二象限．【点评】此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．（四）总结反思拓展升华【总结】本节所学的知识是①二次函数y =a (x-h )2 +k的图象画法及其性质的总结．②平移规律所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.【反思】抛物线 y=a(x-h)2+k中，顶点(h, k)在画图象，平移抛物线的过程中，分别起什么作用？【拓展】你能确定二次函数y=3x2+6x+5的开口方向，对称轴和顶点坐标吗?你是怎样想的，与同伴交流．【解析】先将其化为顶点式，再根据顶点式回答相关问题．解：y=3x2+6x+5可化为y=3(x+1)2+2∴开口向上，对称轴为x=-l ，顶点（-1,2)【点评】此题目的，了解一般式与顶点式的转化，为新课学习埋下伏笔.（五）当堂检测反馈1. 二次函数y=12(x-3)2+4的图象可以看作是二次函数y=12x2图象向右平移3个单位，再向上平移 4 个单位得到的.2. 如果二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为x= -l,则h= -1 ；如果它的顶点坐标为（-1，-3)，则k的值为 -3 .3. 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（学生口答）(1)y=-2(x+3)2+4 (2)y=-13(x-3)2-1(3) y=-15( x+1)2 (4) y=16x2-7解：( l )开口向下，对称轴为x＝-3，顶点坐标为（-3, 4 )( 2 )开口向下，对称轴为x =3，顶点坐标为（3，-1) .( 3 )开口向下．对称轴为x＝-1，顶点坐标为（-l, 0 )( 4 )开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7 )4. 把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1的图象.(l)试确定 a, h，k的值．(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标解：(1)原二次函数表达式为y=12(x+1-2)2-1-4即y=12(x-1)2-5∴a=12,h=1,k=-5(2) 它的开口向下，对称抽为x＝l，顶点坐标为（l，-5)【注意】抛物线倒移时，移动方向刚好相反，此处极易出现错误5.二次函数y=a(x-h)2+k的图象经过点（-2, 0）和（4, 0)，试确定h 的值【分析】画草图易发现点（-2, 0 ), (4, 0）关于对称轴x=h 对称，故可求h的值解：∵点（-2 , 0 ) , ( 4 , 0 ）关于直线x = h 对称．h=12(4-2)=1【点评】此题巧妙地利用了抛物线的对称性．抛物线与x轴的两个交点一定关于对称轴对称. .。
