高考数学复习集合与函数概念1.2.2函数的表示法(第一课时)同步练习新人教A版

第一课时函数的表示法【选题明细表】1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( D )(A)y=2x(B)y=2x(x∈R)(C)y=2x(x∈{1,2,3,…})(D)y=2x(x∈{1,2,3,4})解析:题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.2.已知函数f(2x+1)=3x+2,且f(a)=2,则a的值为( C )(A)-1 (B)5 (C)1 (D)8解析:法一令2x+1=t,则x=,所以f(t)=3×+2=t+.所以f(a)=a+=2,解得a=1.故选C.法二由3x+2=2得x=0,所以a=2×0+1=1.故选C.3.已知f()=,则f(x)的解析式为( C )(A)f(x)= (B)f(x)=(C)f(x)=(x≠0) (D)f(x)=1+x解析:因为f()==,所以f(x)=(x≠0).故选C.4.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( A )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:对于第一幅图,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正确.5.已知函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),则函数y=-f(x)的图象一定过点( D )(A)(2,-2) (B)(2,2) (C)(-4,2) (D)(4,-2)解析:因为函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),所以f(4)=2,所以函数y=-f(x)的图象一定过点(4,-2).故选D.6.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式为( D )(A)y=20-2x (B)y=20-2x(0<x<10)(C)y=20-2x(5≤x≤10) (D)y=20-2x(5<x<10)解析:由题意得y+2x=20,所以y=20-2x,又2x>y,即2x>20-2x,即x>5,由y>0即20-2x>0得x<10,所以5<x<10.故选D.7.已知f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)= .解析:由已知得g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2,代入g(x+2)=2x+3,则有g(t)=2(t-2)+3=2t-1.所以g(x)=2x-1.答案:2x-18.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(0)]= .解析:由图象可知f(0)=4,f(4)=2,f[f(0)]=2.答案:29.(2018·沙坪坝区高一期中)若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1-x) =-,则f(2)的值为( D )(A)- (B) (C)- (D)解析:因为f(x)+2f(1-x)=-,令x=2,则有f(2)+2f(-1)=-①令x=-1,则有f(-1)+2f(2)=3 ②由①②解得f(2)=.故选D.10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于( B )(A)12 (B)6 (C)3 (D)2解析:令x=y=0,得f(0)=0;令x=y=1,得f(2)=2f(1)+2=6;令x=2,y=1,得f(3)=f(2)+f(1)+4=12;令x=3,y=-3,得0=f(3-3)=f(3)+f(-3)-18=12+f(-3)-18,所以f(-3)=6.故选B.11.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y= ax+.且当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.且此产品生产件数不超过 20件.(1)写出函数y关于x的解析式;(2)用列表法表示此函数,并画出图象.解:(1)将代入y=ax+中,得⇒⇒所以所求函数解析式为y=x+(x∈N,0<x≤20).依据上表,画出函数y的图象如图所示,是由20个点构成的点列.12.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( B )解析:观察题图,根据图象的特点,发现取水深h=时,注水量V′>,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶容积的一半,A中V′<,C,D中V′=,故排除A,C,D.故选B.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第1课时 函数的表示法A 级 基础巩固一、选择题1．以下形式中，不能表示“y 是x 的函数”的是( ) A.B.C ．y ＝x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：根据函数的定义可知，x 2＋y 2＝1不能表示“y 是x 的函数”． 答案：D2．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2＋2C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2. 答案：B3．已知f (x )的图象恒过点(1，1)，则f (x －4)的图象恒过点( ) A ．(－3，1) B ．(5，1) C ．(1，－3)D ．(1，5)解析：由f (x )的图象恒过点(1，1)知，f (1)＝1，即f (5－4)＝1.故f (x －4)的图象恒过点(5，1)．答案：B4．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2B ．3x ＋1C ．3x －1D ．3x ＋4解析：方法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.方法二：因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2. 答案：A5.在函数y ＝|x |(x ∈[－1，1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )解析：由题意知，当t >0时，S 的增长会越来越快，故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大．答案：B 二、填空题6．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为x ＝____________． 解析：f [g (1)]＝f (3)＝1.因为g [f (x )]＝2， 所以f (x )＝2， 所以x ＝1. 答案：1 17．已知f (x )是一次函数，且其图象过点A (－2，0)，B (1，5)两点，则f (x )＝__________． 解析：据题意设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 又图象过点A (－2，0)，B (1，5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，a ＋b ＝5，解得a ＝53，b ＝103.所以f (x )＝53x ＋103.答案：53x ＋1038.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 答案：2 三、解答题9.若x ∈R，y ＝f (x )是y ＝2－x 2，y ＝x 这两个函数中的较小者，画出y ＝f (x )的图象，并求y ＝f (x )的值域．解：在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图象，如图所示，根据题意知图中实线部分即为函数y ＝f (x )的图象，由2－x 2＝x 得x ＝－2或1，由图象可知，函数y ＝f (x )的值域为(－∞，1]．10．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象解答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1＜x 2＜1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．解：f (x )＝－(x －1)2＋4的图象，如图所示： (1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)＞f (0)＞f (3)．(2)由图象可以看出， 当x 1＜x 2＜1时，函数f (x )的函数值随着x 的增大而增大， 所以f (x 1)＜f (x 2)．(3)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．B 级 能力提升1．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 解析：方法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22＝－t 2＋2t ＋3（t －1）2.所以f (x )＝－x 2＋2x ＋3（x －1）2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝15.方法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，所以f (12)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.答案：C2．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)的值域是________．解析：画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2，11)．答案：[2，11)3.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边AB 长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域．解：因为AB ＝2x ， 所以CD ︵的长为πx ，AD ＝l －2x －πx 2，所以y ＝2x ·l －2x －πx 2＋πx 22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 2＋lx . 由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，l －2x －πx 2>0，解得0<x <lπ＋2，故函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，l π＋2.。

1.2.2 函数的表示法课后训练1．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( )A ．3()f x x =-B ．3()f x x= C ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x2．已知1=2+32x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则f (6)的值为( ) A ．15 B ．7C ．31D ．173．已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1)，且过(2,2)点，则该二次函数的解析式为( )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝－(x －1)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋1D ．y ＝(x －1)2－14．如图是张大爷晨练时的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )5．已知点(0,0)，(1,2)，(3,1)在函数f (x )的图象上，则1(3)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．7．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝______.8．若函数f (x )满足1()2=3f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则f (2)的值为______． 9．(1)设f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．10．如图所示，用长为l 的铁丝弯成下部分为矩形，上部分为半圆形的框架，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域．参考答案1答案：B2答案：C3答案：C4答案：D5答案：C6答案：y ＝80x 2＋800x (x ＞0)7答案：738答案：－19答案：解：(1)由f (0)＝1，f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，令x ＝y ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)．即f (x )－x (2x －x ＋1)＝1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.(2)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .∴将以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x . 故21()23f x x x =-. 10答案：解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的边AB ＝2x ，设AD ＝a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即22l a x x π=--，半圆直径为2x ，半径为x ， ∴面积221+2=2+2222l y x x x x x lx πππ⎛⎫⎛⎫=--⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 根据实际意义知022l x x π-->，又x ＞0， 解得0<2l x π<+. 即函数22+2y x lx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其定义域为0,2l π⎛⎫ ⎪+⎝⎭.。

1.2.2 函数的表示知识梳理1．常用的函数表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．例如：毛笔每支2元，可用于购买的钱有8元，设购买的支数为x(支)，对应的购买费用为y(元)，用三种方式表示y关于x的函数关系式．解析法：y＝2x(x=0,1,2,3,4)．列表法：x 0 1 2 3 4y0 2 4 6 8 图象法：说明：不是所有函数都能有明确的规律，此时常常用表格或图象表示．例如：2011年7月19日9：30～15：00春兰股份的价格走势图如下，能用解析式表示吗？（不能）2．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．3．映射1）映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．2）一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B 的一一映射．3）映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．题型一 函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式t ＝ax ＋b x，当x ＝2时，t ＝100；当x ＝14时，t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t 的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t 的图象；(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况．解析：(1)由题设条件知： 当x ＝2时，t ＝100，当x ＝14时，t ＝28得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x，又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N *}．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t19710068.35344.238.73532.530.829.6例题讲解1112131415161718192028.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列．如图所示．(4)自变量x共取1～20之间的20个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间与参加任务的人数之间的关系，一开始，完成任务的时间随着人数的增加而减少，而当人数增加到一定的数量，完成工作的时间减少得很慢，人数在达到7人以后，至14人之间，完成工作的时间基本上变化不大；再增加人数，完成工作的时间反而有所增加．由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果．可以再设想，假设工作的人数没有限制，x再增大时，比如，x＝50,100,196,392等数值，则完成工作的时间t＝53.92,101.96,197,392.5，由此可见，工作效率随着人数的增加反而降低．点评：在实际研究一个函数时，通常是将上述三种表示法结合起来使用，即解析式→列表→描点，画出图象，然后再总结出函数的性质．三种方法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中，仍以解析法为主．巩固客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是( )解析：由题意知，在前1小时内客车以60 km/h 的速度匀速行驶，则ΔyΔx ＝60，在1小时～1.5小时内客车未行驶，其路程仍为60 km ，在1.5小时后到2.5小时，又以80 km/h 的速度匀速行驶到达丙地，因此答案为B ．答案：B题型二 求函数解析式例2 已知f (x －1)＝x 2－2x ＋7.(1)求f (2)和f (a )的值； (2)求f (x )和f (x ＋1)的解析式．解析：(1)f (2)＝f (3－1)＝9－2×3＋7＝10；f (a )＝f ((a ＋1)－1)＝(a ＋1)2－2(a ＋1)＋7＝a 2＋6.(2)方法一 (配凑法)f (x )＝f ((x ＋1)－1)＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋7＝x 2＋6，(或f (x －1)＝(x －1)2＋6)，∴f (x )＝x 2＋6. ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7. 方法二 (换元法)设t ＝x －1，即x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋7＝t 2＋6，故f (x )＝x 2＋6.f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7.点评：已知类型为f(g(x))＝h(x)的函数，求f(x)的解析式时，常常使用配凑法和换元法．(在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而问题得以解决)．巩固已知f(x＋1)＝x2－3x＋2.(1)求f(2)和f(a)的值；(2)求f(x)和f(x－1)的解析式．解析：(1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2，∴f(2)＝f(1＋1)＝12－3×1＋2＝0，f(a)＝f((a－1)＋1)＝(a－1)2－3(a－1)＋2＝a2－5a＋6.(2)f(x)＝f((x－1)＋1)＝(x－1)2－3(x－1)＋2＝x2－5x＋6，即f(x)＝x2－5x＋6，f(x－1)＝f((x－2)＋1)＝(x－2)2－3(x－2)＋2＝x2－7x＋12，即f(x－1)＝x2－7x＋12.例3求下列函数的解析式．(1)已知f(x＋4)＝x＋8x，求f(x2)；(2)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x－1，求f(x)．解析：(1)方法一(配凑法)∵f(x＋4)＝x＋8x＝(x＋4)2－16，∴f(x)＝x2－16(x≥4)．∴f(x2)＝x4－16(x≤－2，或x≥2)．方法二(换元法)设x＋4＝t≥4，则x＝t－4，x＝(t－4)2，∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16.∴f(x)＝x2－16(x≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2或x ≥2)． (2)(待定系数法)因为f (x )是一次函数， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.∴f (x )＝2x －13，或f (x )＝－2x ＋1.点评：对于较复杂的这一类问题，换元法比配凑法更有优势，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的表达式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(2)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．巩 固 (1)已知f (2x ＋1)＝x 2＋1，求f (x )的解析式．(2)已知2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，求f (x )的解析式．解析：(1)设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋1.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1.(2)将x 换成－x ，则原式2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2变为： 2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2 由两式解得f (x )＝3x ＋23.题型三 分段函数的求值例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≤－1，x 2－1<x <2，2x x ≥2.(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a )＝3，求a 的值．解析： (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6. (2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3， ∴a ＝1(舍去)；当－1<a <2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3， ∴a ＝±3，其中负值舍去，∴a ＝3； 当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3， ∴a ＝32(舍去)．综上所述，a ＝ 3.点评：对于f (a )，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a 所在范围有关，因此要对a 进行讨论．由此我们可以看到：(1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．巩 固 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1 x ≥0，1x x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1，解12a －1>a ，得a <－2与a ≥0矛盾， 当a <0时，f (a )＝1a ，解1a>a ，得a <－1.∴a <－1.题型四 分段函数的图象及应用例5 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解析： (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x . ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10≤x ≤21－x －2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．点评：对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．巩 固 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x －122＋1，x ∈[0，12－2x ＋2，x ∈[12，1]，在平面直角坐标系中作出y ＝f (x )的图象，并写出值域．解析： 如图所示，函数y ＝f (x )的图象是由f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)的图象(抛物线的一段)及f 2(x )＝－2x ＋2，x ∈[12，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．题型五 映射例6 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A 到集合B 的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应法则f ：“加1”； (2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：“求平方根”； (3)A ＝N ，B ＝N ，对应法则f ：“3倍”； (4)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求绝对值”； (5)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求倒数”．解析：(1)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原象与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原象与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故法则f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f ：A →B不是一一映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故法则f 不是从A 到B 的映射．点评：判断对应f ：A →B 是否是A 到B 的映射，须注意两点： (1)明确集合A 、B 中的元素；(2)判断A 的每个元素是否在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B 中的每个元素在A 中是否有原象，集合A 中的不同元素对应的象是否相同．巩 固 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}，f ：a →b ＝(a －1)2； (3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．解析：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数． (3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．例7 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．(1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象．解析：(1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝14x ＋3y －1＝2， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917. 点评：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．巩 固 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的象和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的原象．解析：将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54， 得x ＝12.所以2在B 中的象为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中对应的原象为12.例8 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )．求满足条件的映射的个数．解析：(1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有一个映射； (2)当A 中三个元素对应B 中两个时， 满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个， 分别为2＋0＝2,0＋2＝2， (－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有两个映射， 分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0. 因此满足条件中的映射共有7个．点评：求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．巩 固 若将本例中的条件改为“B ＝{－1,0,1}，f (a )·f (b )＝f (c )”，这样的映射有几个？解析：由于f (a )、f (b )、f (c )的取值属于{－1,0,1}，故f (a )·f (b )＝f (c )时，f (a )，f (b )，f (c )取值的情况如表所示.f (a )f (b )f (c )1 －1 －1 －1 1 －1 1 1 1 －1 －1 1 －1 0 0 0－10 0 0 1 0 0 01由表可知这样的映射有9个．A 组1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y1－1B.x 奇数 0 偶数 y1－1C.x 有理数 无理数 y1－1D.x 自然数 整数 有理数 y1－1解析：A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N (Z ，Q )，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确． 答案：C2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f [1f 2]的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18答案：A3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≥0x x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx ≥0－x 2x <0，则当x <0时，f [g (x )]为( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x2答案：B4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 20≤x ≤12 1<x <2x ＋1 x ≥2的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)答案：D5．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象 B ．B 中每一个元素在A 中必有原象 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象 D ．A 中不同元素的象必不同 答案：A6．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．( ) A ．3个 2个 1个 B ．3个 3个 2个 C ．4个 2个 2个 D ．2个 2个 1个答案：CB 组1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1x B ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x解析：∵y ＝k x ，∴1＝k 2，k ＝2，∴y ＝2x.答案：C2．若f (x ＋1)＝2x ＋3，则f (3)的大小为( ) A ．9 B ．7 C ．11 D ．12解析：取x ＝2，则由f (x ＋1)＝2x ＋3， 得f (3)＝7. 答案：B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π＋1x ＞0，πx ＝0，0x ＜0，则f {f [f (－1)]}＝( )A ．π＋1B ．0C ．π D．－1解析：f {f [f (－1)]}＝f {f [0]}＝f (π)＝π＋1. 答案：A4．(2013·大纲卷)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x －1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ≤0，－2x x ＞0，若f (x )＝10，则x ＝________.解析：若x ≤0，则f (x )＝x 2＋1＝10，即x ＝－3. 若x ＞0，则f (x )＝－2x ＝10，即x ＝－5与x ＞0矛盾，故舍去，故x ＝－3. 答案：－36．下列各个对应不是映射的是( )答案：AC 组1．函数y ＝x |x |的图象大致是( )答案：A8．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x 12 3f(x)23 1x 12 3g(x)13 2填写下列g[f(x)]的表格，其三个数依次为( )x 12 3g[f(x)]A.3,1,2 B．2,1,3C．1,2,3 D．3,2,1答案：D3．已知函数f(x)＝x2ax＋b(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4，求函数f(x)的解析式．解析：将x1、x2代入方程x2ax＋b－x＋12＝0得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)．4．求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )；解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2. 由f (x ＋1)－f (x )＝x －1， 得恒等式2ax ＋a ＋b ＝x －1，得a ＝12，b ＝－32.故所求函数的表达式为f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )，f (x ＋1)，f (x 2)．解析：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1， 又∵x ≥0，x ＋1≥1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)，f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x (x ≥0)， f (x 2)＝(x 2)2－1＝x 4－1(x ≤－1或x ≥1)．1．常用的函数表示法有：(1)解析法．就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法．就是列出表格来表示两个变量的函数关系；图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．2．不同表示法有时侯可以转化．3．分段函数是解析法的重要表达方式，且理解难度较大，必须重点学习．4．常规函数如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，常使用待定系数法求表达式．5．在学习中要注意下列三个方面的问题：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．(2)对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．(3)判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.。

1.2.2 函数的表示法课后训练1．已知映射f：P→Q是P到Q的函数，则P，Q的元素 ( )．A．可以是点 B．必须是实数C．可以是方程 D．可以是三角形2．设函数f(x)＝221,1,2,1,x xx x x⎧-≤⎪⎨+->⎪⎩则f1(2)f⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( )．A.1516B．－2716C.89D．183．给出下列四个对应，其中是映射的是( )．4．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )．5．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1 h到达乙地，在乙地停留了0.5 h，然后以80 km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s(km)与时间t(h)之间关系的图象中，正确的`是( )．6．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．7．(2010·全国卷Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．8．判断下列从A 到B 的对应是否是映射．(1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；(2)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1；(3)A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1；(4)A ＝B ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1.9．已知函数f (x )＝1＋2x x (－2＜x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出函数的图象；(3)写出函数的值域．参考答案1. 答案：B 当且仅当P ，Q 均是非空数集时，映射f ：P →Q 才是P 到Q 的函数．2. 答案：A ∵f (2)＝22＋2－2＝4， ∴2111151(2)4416f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 3. 答案：A 选项A 符合映射的定义，是映射；选项B ，集合M 中的元素2和4在N 中无与之对应的元素，故不是映射；选项C ，集合M 中的元素在N 中均有两个元素与之对应，故不是映射，选项D 也不是映射．4. 答案：D 函数y ＝x |x |＝22,0,,0,x x x x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩故选D. 5. 答案：C 从甲地到达乙地以60 km/h 匀速行驶1 h ，行驶路程为60 km ，此时图象为过(0,0)，(1,60)的线段；在乙地停留0.5 h ，此时图象为过(1,60)，(1.5,60)的线段；然后从乙地以80 km/h 匀速行驶1 h 到达丙地，行驶路程为80 km ，此时的图象为过(1.5,60)，(2.5,140)的线段．6. 答案：y ＝0.5,0100,100.4,100x x x x ≤≤⎧⎨+>⎩根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .7. 答案：51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭y ＝x 2－|x |＋a ＝2211,0,2411,0.24x a x x a x ⎧⎛⎫-+-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 画出直线y ＝1和曲线y ＝x 2－|x |＋a 的图象如图所示．由图知1,11,4a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得1＜a ＜54. 8. 答案：解：对于(1)，集合A 中的元素在集合B 中都有唯一的对应元素，因而是映射；对于(2)，集合A 中的任一元素x 在对应关系f 作用下，在B 中都有唯一元素与之对应，因而是映射；对于(3)，由于当x ＝3时，f (3)＝2×3－1＝5，在集合B 中无对应元素，因而不满足映射的定义，不是映射；对于(4)，满足映射的定义，是映射．9. 答案：解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋2x x -＝1，当－2＜x ＜0时，f (x )＝1＋2x x --＝1－x.故f(x)＝1,02,1,20.xx x≤≤⎧⎨--<<⎩(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)的值域为[1,3)．。

第一课时函数的表示法选题明细表基础巩固1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是( C )(A)这天15时的温度最高(B)这天3时的温度最低(C)这天的最高温度与最低温度相差13℃(D)这天21时的温度是30℃解析:这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14(℃),故C错.2.(2019·辽宁省葫芦岛协作校高一上学期第一次联考)已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是( A )(A)f(x)=3x-1 (B)f(x)=3x+1(C)f(x)=3x+2 (D)f(x)=3x+4解析:由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.故选A.3.(2018·河南洛阳期中)已知f(2x+1)=4x2,则f(-3)等于( B )(A)36 (B)16 (C)4 (D)-16解析:令2x+1=t,则x=,所以f(t)=4·()2=(t-1)2,故f(-3)=(-3-1)2=16.4.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则方程g(f(x))=x的解集是( A )(A){3} (B){2} (C){1} (D)解析:当x=1时,f(1)=2,g[f(1)]=g(2)=2不满足 g[f(x)]=x,当x=2时,f(2)=3,g[f(2)]=g(3)=1,不满足 g[f(x)]=x,当x=3时,f(3)=1,g[f(3)]=g(1)=3.故选A.5.已知函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),则函数y=-f(x)的图象一定过点( D )(A)(2,-2) (B)(2,2)(C)(-4,2) (D)(4,-2)解析:因为函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),所以f(4)=2,所以函数y=-f(x)的图象一定过点(4,-2).故选D.6.(2019·浙江温州十五校联合体高一上期中联考)设f(x)=,则下列结论错误的是( A )(A)f(-x)=-f(x) (B)f()=-f(x)(C)f(-)=-f(x) (D)f(-x)=f(x)解析:因为f(x)=,所以f(-x)=,所以f(-x)=f(x),故A错;B中,f()==-=-f(x),同理C对,D对.7.若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1-x)=-,则 f(2)的值为( D )(A)- (B) (C)- (D)解析:因为f(x)+2f(1-x)=-,令x=2,则有f(2)+2f(-1)=- ①令x=-1,则有f(-1)+2f(2)=3 ②由①②解得f(2)=.故选D.8.(2018·北京西城13中期中)已知一次函数f(x)=4x+3,且f(ax+b)=8x+7,则a-b= .解析:因为f(x)=4x+3,所以f(ax+b)=4(ax+b)+3=8x+7,所以所以所以a-b=1.答案:19.二次函数的对称轴方程为x=1,且当y=0时,x=-1;当x=0时,y=3,则其解析式为. 解析:因为二次函数的对称轴方程为x=1,则点(-1,0)关于x=1的对称点为(3,0),所以二次函数可设为f(x)=a(x+1)(x-3),由f(0)=3知a=-1,故f(x)=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.答案:f(x)=-x2+2x+3能力提升10.(2018·山东德州期末)设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)+2f()=3x,则f(2 018)等于( B )(A)2 016 (B)-2 016 (C)-2 017 (D)2 017解析:分别令x=1和x=2 018得解得f(2 018)=-2 016.故选B.11.(2019·江西南昌市八一中学、洪都中学高一联考)已知函数f(-1)=-x,则函数f(x)的表达式为( D )(A)f(x)=x2+2x+1(x≥0)(B)f(x)=x2+2x+1(x≥-1)(C)f(x)=-x2-2x-1(x≥0)(D)f(x)=-x2-2x-1(x≥-1)解析:令t=-1,可得x=(t+1)2,从而有f(t)=-(t+1)2,其中t≥-1,所以有f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D.12.函数y=的大致图象是( A )解析:因为y===1-,所以将 y=-的图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再将其向上平移1个单位长度得到所求图象.探究创新13.如图所示,从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数,并求出其定义域.解:依题意知,长方体铁盒高为x,底面正方形的边长为(2a-2x),则V=(2a-2x)2·x=4x(a-x)2. 因为所以因为a-=>0,所以0<x≤.所以铁盒容积V=4x(a-x)2,定义域为{x|0<x≤}.。