第8 章 物质运动状态的量子力学描述 主要公式 自由平动子：能级 22222 22 ,(1,2,3,) 28 t n h n q n ma ma π ===??? h 简并度1 t ω= 刚性转子：能级 2 (1) 2 r J J I ε +h （I为转动惯量） 简并度21 r J ω=+（J=0，1，2，3，…） 三维各向同性谐振子：能级 3 ( 2 r x y z n n n ε=+++hv 简并度 (1)(2) ,() 2 v x y z n n n n n n v ω ++ ==++ = （f为力常数） 分子能量: t r v e n εεεεεε =++++ 分子简并度: t r v e n ωωωωωω = 例题分析 例8.1双原子分子12C16O，其中原子摩尔质量为m(16O )=15.99491g·mol-1，m(12C )=12.00000g·mol-1。 （1）T=298 K ，在a=1.000m范围内平动，请计算n=1及n=2能级的平动能及两能级之间的能量差，各相当于k B T的多少倍。 （2）当发生转动能级跃迁J=0?1，12C16O微波吸收光谱为115271.20MH z，请计算核间距 co r、 转动惯量I几转动能级能量 ,r t ε及 r ε?。
（3）振动激发时，从低分辨的红外吸收光谱，测得，求振动运动的力常数，振动频率，基态和第一激发态的振动能，能级差。 解析：这是从实验数据及量子力学原理去了解粒子的微观运动状态，这也是统计力学的基础。 说明A 代替ε) （2）根据量子力学原理，B 为转动常数 22,,2(1),28e r r C h B I B J B I μγωωπ==+?=61281 1 115271.2(10/1)(1/1)(10/1)2.997925103.84503Z r z z Z MH H MH s H m cm m s cm ω----= ????= 1/2(0)/2 1.92252r r B cm ωω-=?=-= 161216 122-23-123-1 26()()()() (15.9949112.00000)g mol (10kg/g) (15.9949112.00000)g mol 6.02204510mol 1.13851810kg mol m O m C m O m C μ--?=+???=+???=?? 根据 28c h I B π= [ 46 12 2.799310],(/)(/) e cm kg r m μ--?= 461/2 102.799310( ) 1.130910/e r m kg μ--?==? 222 28,12 7,0(1)128.26510J 22242.00910(0,0)r J B r J J h h I I I k T J εεππε--??+?====?=? ???=?==h （3）1/2 1/2 -1212 -1V 10/N m 5.308810cm 2πc /kg f f ωμμ--???? ?= ≥=? ? ? ? ?? ?? 2 26-1-1122142.61 1.13851810N m 1854.5N m 5.308810f --?? =???=? ? ??? 1/2 25V,0 011 3.2371610J 222h f hv επμ-??===? ??? 25,1119.7115102 v hvo J ε-?? =+=? ?? ?
第十六章 量子力学基础 16-1试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。 答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数(),r t ψ来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别： （1）描述微观粒子的波函数(),r t ψ并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典物理中的波是不同的。 （2）微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。 （3）在经典物理学中，波函数(),r t ψ和(),A r t ψ(A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点i r 和j r 下面的关系必定成立： ()() ()() 222 2 ,,,,i i j j r t A r t r t A r t ψψ= ψψ 所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。这与经典物理中的波也是不同的。 16-2概述概率波波函数的物理意义。 答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。 波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含一个任意的常数因子（即：(),r t ψ与(),A r t ψ描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数
第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道， 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化
为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m） （C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 （A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 （A）粒子处于概率最大的状态 （B）粒子处于势能为0的状态 （C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态
第十九章 量子力学基础（Ⅱ） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，21?)． (B) (2，0，0，21 )． (C) (2，1，-1，21?)． (D) (2，0，1，2 1 )． 【提示】p 电子：l ＝1，对应的m l 可取－1、0、1， m s 可取 21或2 1?。 [ C ]2.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3.（自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4.（自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． 【提示】隧道效应 二. 填空题 1.（基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是_________． 【提示】L 壳层：n ＝2，能够填充的最大电子数是2n 2＝8。考虑到本题m s 只取2 1 ，此时能够填充的最大电子数是4。 2.（基础训练20）在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下：(2) (3 ) (4) (5)． (1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． x O U (x )U 0 a
3.(自 提高16)有一种原子，在基态时 =1和〃 =2的主壳层都填满电子, 3s 次壳层也 作业+—(第十九章 量子力学简介(II)) (薛定谱方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 电子组态 [C ]1.(基础训练10)氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(〃，I, 可能 取的值为 (A ) (2, 2, 1, ")? (B ) (2, 0, 0, O (C ) (2, 1, -1, 少 (D ) (2, 0, 1, 1 【提示】P 电子:Z=b 对应的叫可取一1、0、1,风可取上或一 2 2 2.(基础训练17)在主量子数// =2,自旋磁量子数=上的量子态中，能够填充的最大电 2 子数是 4 . 【提示】主量子数〃 =2的L 克层上最多可容纳2^=8个电子(电子组态为2$22p6),如 仅考虑自旋磁量子数=-的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。 2 填满电子，而3p 壳层只填充一半.这种原子的原子序数是_15 ,它在基态的电子组态为 “2 2s? 2I )6 3S 2 31)3 . 4.(自测提高17)在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子 中电子的状态： 1 I (1) n =2, / = 1 ，如=一1, in.=—. 2 n 1 (2) (2) n =2, / =0, nil = 0 , in,=—. ------ 2 If 1 (3) 〃 =2, / =1? mi — m s =—或-—. 2 2 【提示】/的取值：0,1,2,……(〃-1); 叫的取值：0,±1,±2,……±/; 的取值:±1 激光 [C ]5,(基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性.
() 一. 选择题 [ C]1.（基础训练2）下面四个图中，哪一个 正确反映黑体单色辐出度 M Bλ (T)随λ 和T的变化关 系，已知T2 > T1． 解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体的辐 射出射度M0(T)与黑体温度T的四次方成正比，即 . M0 (T)随温度的增高而迅速增加 维恩位移律：随着黑体温度的升高，其单色辐出度最大值所对应的波长 m λ向短波方向移动。 [ D]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能 为E K；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K．(B) 2hν - E K．(C) hν - E K．(D) hν + E K． 解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程：2 1 2m h mv A ν=+， 式中hν为入射光光子能量， A为金属逸出功，2 1 2m mv为逸出光电子的最大初动能，即 E K。所以有：0 k h E A ν=+及' 2 K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。 [ C]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁 到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV．(B) 3.4 eV．(C) 10.2 eV．(D) 13.6 eV． 解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系： 2 11 (1 R n ν λ ==- 式中，71 1.09677610 R m- =?，称为里德堡常数，2,3, n= 最长波长的谱线，相应于2 n=，至少应向基态氢原子提供的能量1 2E E h- = ν， 又因为 2 6. 13 n eV E n - =，所以l h E E h- = ν=?? ? ? ? ? - - - 2 21 6. 13 2 6. 13eV eV =10.2 eV [ A]4.（基础训练8）设粒子运动的波函数图线 分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒 子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 解题要点: 根据动量的不确定关系： 2 x x p ???≥ (B) x (A) x (B) x (C) x (D)
第八章：自旋 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ????=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=??? ??????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4）
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子 Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。 1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验 2、自旋的提出 (1)、每个电子具有自旋角动量s （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mc μ=- ，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=± =± 2B e mc μ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量 （2） 2 z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mc μ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。 §8.1 电子自旋态与自旋算符 一、自旋算符 通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数 ????(,)F F r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s 它是角动量，满足同样的角动量对易关系???s s i s ?= 轨道角动量?l 自旋角动量s ???l l i l ?= ???s s i s ?= ???[,]x y z l l i l = ???[,]x y z s s i s = ???[,]y z x l l i l = ???[,]y z x s s i s = ???[,]z x y l l i l = ???[,]z x y s s i s = 2??[,]0i l l = 2??[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值， 所以
第十章 量子力学基础 思 考 题 10-1 什么是绝对黑体？它与平常所说的黑色物体有何区别？ 答：(1)在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光，这种物体称为绝对黑体，简称黑体。但黑体自身要向外界辐射能量，黑体并不一定是黑色，它的颜色是由它自身所发射的辐射频率决定的。若温度较低，则它辐射的能量就很少，辐射的峰值波长会远大于可见光波长，会呈现黑色；若温度较高，则它辐射的能量就很大，辐射的峰值波长处于可见光波长范围内，会呈现各种颜色。 (2)平常所说的黑色的物体，用肉眼看起来是黑色的，只表明它对可见光强烈吸收，并不能说它对不可见光（红外线、紫外线）都强烈吸收，所以黑色物体的单色吸收本领并不恒等于1，一般不能称为黑体。 10-2 若一个物体的温度(绝对温度数值)增加一倍，它的总辐射能增加到多少倍? 答：根据斯特藩－玻耳兹曼定律，绝对黑体的总辐出度(总辐射能)为 ()()40 d T T M T M B B σλλ==?∞ 现在，212=T T ，于是 1624 4 1212==??? ? ??=T T M M 即绝对黑体的温度增加一倍，它的总辐射能将增至为原来的16倍。 10-3 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩位移定律估算人体的电磁辐射中单色辐出度的最大波长（设人体的温度为310K ）。 答：根据维恩位移定律 m T b λ= 可得 (m)1035.9310 10898.263 --?=?==T b m λ 10-4 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要能够被眼睛观察到，必须需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40～0.78μm ；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm 附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。
第十九章量子力学简介（Ⅱ） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，m l，m s)可能取的值为 (A) (2，2，1，)． (B) (2，0，0，)． (C) (2，1，-1，)． (D) (2，0，1，)． [ ]2.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ ]3.（自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ ]4.（自测提高9）粒子在外力场中沿x轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为E< U0从左向右运动的粒子，若用ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x
二. 填空题 1.（基础训练17）在主量子数n=2，自旋磁量子数的量子态中，能够填充的最大电子数是_________． 2.（基础训练20）在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下： (1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． 3.（自测提高16）有一种原子，在基态时n= 1和n= 2的主壳层都填满电子，3s次壳层也填满电子，而3p壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 4.（自测提高17）在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： (1) n =2，l =_____，m l= -1，． (2) (2) n =2，l =0，m l =_____，． (3) n =2，l =1，m l = 0，m s = ． 三. 计算题 1.（自测提高22）已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 ，n = 1, 2, 3, … 试计算n = 1时，在x1 = a/4 →x2 = 3a/4区间找到粒子的概率。
第9章 量子力学基础 思考题解答 1. 试用复数来表示驻波。 解：驻波可由振幅相同而方向相反的两个平面波重叠而成。设沿正反方向传播的两个平面波用复数表示的波函数分别为 )]/i( πexp[201t x νλψΨ+= )]/i( πexp[202t x νλψΨ?= 叠加后的波函数为 )] i π2exp() i π2)[exp(/i π2(021t t x ννλψΨΨΨ?+=+= )2cos()() πcos(22)/i πexp(20t x t x πνψνλψ=?= (1) （注意αααcos 2)i exp()i exp(=?+）可见振幅随x 变化， )/i πexp(22)(0λψψx x = (2) 式(1)为用复数表示的驻波的波函数，式(2)为用复数表示的驻波的振幅。 2. 为什么说波粒二象性是统计规律，而不确定原理是二象性的必然结果。 解：微粒在空间的运动并没有确定的轨迹。例如在电子衍射中，单个电子出现在荧光屏上的位置是不确定的，只有当大量电子同时运动或单个电子重复多次才出现衍射环纹，即电子在空间一定的概率分布。因此，这种微粒的波动性是大量粒子运动的统计结果。正是由于微粒在空间的运动具有波动性，如果波长一定即动量一定，则坐标无法确定；如果坐标完全一定，则必须由无穷多个不同波长的波叠加，动量就不确定；也就是它的坐标和动量不能同时确定，即为不确定原理。 3. 宏观物体的状态是如何描述的，力学量与状态的关系是怎样的。微观粒子的运动状态又是如何描述的，力学量与状态的关系又是怎样
·156· 思考题和习题解答 的。 解：宏观物体的状态是用坐标和动量描述的，状态的变化遵循牛顿力学。力学量与状态（坐标和动量）间具有确定的函数关系。微观粒子的状态是用波函数来描述的，状态的变化遵循量子力学。每一个力学量 F 都对应着一个算符F ?，力学量的统计平均值F 与状态（波函数Ψ）的关系由下式计算τΨΨd ?*F F ∫=。 4. 为什么波函数必须是品优函数。 解：品优函数要求函数是单值的、对坐标是连续可微的、并且是平方可积的，即函数平方对全空间积分是有限的。波函数是描述粒子运动状态的函数，是薛定谔方程的解，必须满足有关物理意义和数学要求。波函数的平方代表粒子在空间某处的概率，概率有确定值，因此波函数一定是单值函数；空间的概率和必为有限值，因此波函数平方对空间积分必定是有限值；薛定谔方程是波函数对坐标的二阶偏微分方程，因此要求波函数连续可微，因为只有波函数和波函数对坐标的一阶偏导数连续，才能保证其二阶偏导数存在。 5. 力学量算符的本征函数是否就是波函数。 解：力学量算符的本征函数不一定是波函数。只有与哈密顿算符H ?可以对易的力学量算符的本征函数才是波函数。例如动量算符x p ?与H ?不可对易，它的本征函数就不是波函数，而动量平方算符2?x p 与H ?可对易，波函数就是它的本征函数。 6. 微观粒子的波函数与经典波函数有什么不同。试从振幅与能量的关系，波的叠加等方面进行讨论。 解：微观粒子的波函数与经典波函数有类似之处，但也有原则差异。首先物质波振幅的平方正比于粒子在空间的强度以及在空间出现的概率密度，而经典波振幅的平方只代表波的强度。再从波的叠加来说，虽然两者都遵循波的叠加原理，但也有差别。经典波叠加后，形成新的状态，具有新的能量。而物质波叠加后，一般形成了一种混合状态，由1ψ、
量 子 力 学 习 题 第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比，即 λm T=b (常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布罗意波长。 1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程 2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r . 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内（即向原点）传播的球面波。 2.2 一粒子在一维势场 a x a x x x U >≤≤?? ?>=, 0, 0)(0 中运动，求束缚态(0 () 一. 选择题 [ D ]1.（基础训练1）在加热黑体过程中，其最大单色辐出度（单色辐射本领）对应的波长由0.8 μm 变到0.4 μm ，则其辐射出射度（总辐射本领）增大为原来的 (A) 2倍． (B) 4倍． (C) 8倍． (D) 16倍． ［ ］ 提示: 由维恩位移定律：T m λ=b ，∴m λ∝ T 1，即1221 m m T T λλ= 又由斯特藩-玻耳兹曼定律，总辐射出射度： 0400 ()()M T M T d T λλσ∞ ==? 444022140112()0.8 ()(16()0.4 M T T M T T λλ∴==== [ D ]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最 大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大 动能为： (A) 2 E K ． (B) 2h ν - E K ． (C) h ν - E K ． (D) h ν + E K ． 提示: 根据爱因斯坦光电效应方程：2 012 m h mv A ν=+， 式中h ν为入射光光子能量，0A 为金属逸出功，2 12 m mv 为逸出光电子的最大初动能，即E K 。 所以有：0k h E A ν=+及' 02K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。 [ C ]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV ． (B) 3.4 eV ． (C) 10.2 eV ． (D) 13.6 eV ． 提示: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系：2 1 1 (1)R n νλ = =- 最长波长的谱线，相应于2n =，至少应向基态氢原子提供的能量12E E h -=ν，又因为26.13n eV E n - =，所以l h E E h -=ν=???? ??---2216.1326.13eV eV =10.2 eV 第八章 量子力学基础 8.1 同光子一样，实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长，即德 布罗意波长给出。试计算下列波长。（1 eV=1.6021771910-? J ，电子质量9.1093110-?kg ，中子质量1.6742710-?kg ） (1) 具有动能1eV ，100 eV 的电子； (2) 具有动能1eV 的中子； (3) 速度为640m/s 、质量为15g 的弹头。 解：德布罗意波长可以表示为：p h m v h == λ，那么将上述的实物粒子的质量和动能带入公式即可得： （1）动能1eV 的电子的波长为 m m mE h p h k 9193134 10266.110602177.1110109.9210626.62----?=??????===λ 动能100eV 的电子 m m mE h p h k 10193134 10266.110602177.110010109.9210626.62----?=??????===λ （2）动能1eV 的中子的波长为 m m mE h p h k 11192734 10861.210602177.1110674.1210626.62----?=??????===λ （3）速度为640m/s 、质量为15g 的弹头的波长为 m m mv h 353 34 10902.6640 101510626.6---?=???==λ 8.2 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解 产生影响？怎样影响？ 解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schr?dinger 方程为 ()()() ()()()()()2 22 2 2 2222d 2d d d '2d 2d x C x E x m x x x E C x E x m x m x ψψψψψψψ-+=∴-=-?-= 边界条件不变，因此Schr?dinger 方程的解为 第八章 WKB 近似 WKB （Wenzel ，Kramers, Brillouin ）1方法是得到一维定态Schr?dinger 方程的近似解的一种技术（它的基本思想同样可应用于许多其他形式的微分方程和三维Schr?dinger 方程的径向部分）。此法对计算束缚态能量和势垒穿透率都是非常有用的。 它的基本思想如下：假设能量为E 的粒子穿过势能V(x)的区域，其中V(x)为常量。当E>V 时，则波函数的形式为 ()ikx x Ae ψ±=，其中 ()2k m E V ≡- 正号表示粒子向右运动，而负号表示它向左运动（当然，通解是两项的线性组合）。波函数为振荡函数，具有固定的波长（λ=2π/k ）和不变的振幅（A ）。现在设想V(x)不是一个常量，但是变化相比λ非常缓慢，因此包含许多全波长的区域中的势能可以认为基本上是不变的。这样，除了波长和振幅随x 缓慢的变化外，可以合理地认为ψ实际上仍然保持正弦形式。这就是隐藏在WKB 近似后面的核心思想。它将依赖x 的问题有效地分为两种不同层次：快速振荡和由振幅和波长逐渐变化的调制。 同理，当E 第八章自旋 8-1 设电子处于β状态，求S 与Z 轴的夹角。 8-2 证明[]),,(,0?,?2z y x S S ==αα 8-3 α和β组成正交归一完全系，试将x S ?的本征值分别为2/ =x S 和2/ -的本征函数用它们展开。 8-4 试证明α和β是2?x S 的本征函数，但不是x S ?的本征函数。 8-5 试证明i z y x =σσσ ??? 。 8-6在“自旋”向下态β中，求x S 和y S 的涨落x S ?，y S ?以及x S ?y S ? 。 8-7 求y S ?的本征值和本征函数（取z S 表象）。 8-8 （1）在x σ表象中求z y x σσσ??,?和 的归一化本征函数；（2）证明1?±=?=n n σ σ ，并求相应的本征函数；（3）在1=n σ态内，求1,11,1-==-==z z x x σσσσ及的几率。 8-9 设电子自旋Z 分量为2/ ，问沿着与Z 轴成θ角的'z 轴方向上，自旋取2/ 及2/ -的几率为多少？求此方向上自旋分量的平均值。 8-10 证明不存在和σ ? 的三个分量均反对易的非零二维矩阵。 8-11 测得一电子自旋Z 分量为2/ 。再测x S ，可能得何值，各值的几率为多少？平均值为何？ 8-12 设λ为常数，证明λσ λσλsin ?cos ?z i i e z += 8-13 设B A ?,? 为和σ ? 对易的任何矢量算符，证明)??(???)??(B A i B A A ??+?=?σσ 8-14 化简z z i i e e σλασλσ???- ，y x ,=α ，λ为常数。 8-15 证明??? ? ??=--θθθσi i i e e e z 00 8-16 定域电子受到均匀磁场B 的作用，B 指向x 轴方向，磁作用势为x c eB H σμ?2? = ，设t=0 作业十一（第十九章 量子力学简介（Ⅱ）） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 电子组态 [ C ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ， m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1-)． (B) (2，0，0，21 )． (C) (2，1，-1，2 1-)． (D) (2，0，1，21 )． 【提示】p 电子：l ＝1，对应的m l 可取－1、0、1， m s 可取21或2 1 -。 2.（基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是 4 ． 【提示】主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳2 28n =个电子（电子组态为2622s p ），如仅考虑自旋磁量子数2 1 = s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。 3.（自测提高16）有一种原子，在基态时n = 1和n = 2的主壳层都填满电子，3s 次壳层也填满电子，而3p 壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 15 ，它在基态的电子组态为 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 3 . 4.（自测提高17）在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： (1) n =2，l = 1 ，m l = -1，21 - =s m ． (2) (2) n =2，l =0，m l = 0 ，2 1 =s m ． (3) n =2，l =1，m l = 0，m s =11 22 或-． 【提示】2 1 ;210;1210± ±±±-的取值：，，，的取值：）（，，，的取值： S l m l m n l 激光 [ C ]5.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． 目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.doczj.com/doc/0216058947.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ??-- =11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+=? (3) =?axdx e ax cos )sin cos (22bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1 sin 2-=? (5) =?axdx x sin 2ax a x a ax a x cos )2(sin 2222-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1 cos 2+=? (7) ax a a x ax a x axdx x sin )2 (cos 2cos 3222-+=?)第十九章 量子力学基础( I ) 作业参考答案(2015)
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