2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二(上)数学期末试卷[答案版]

绝密★启用前【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆的短轴长为（ ）A ．8B ．10C ．5D ．42．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 ， ， ，则 B ．若 ， ，则 C ．若 ， ，则D ．若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 4．有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题； ②“若 ，则 ”的逆命题； ③“若 ，则 ”的否命题；④“若 ，则方程 有实根”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知 ， 则“ 且 ”是“抛物线 的焦点在 轴非负半轴……○…………※※请※※不※……○…………A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题正确的是（ ）A ． 是向量 ， 不共线的充要条件B ．在空间四边形 中，C ．在棱长为1的正四面体 中，D ．设 ， ， 三点不共线， 为平面 外一点，若，则 ， ， ， 四点共面 7．若椭圆与双曲线有公共的焦点， ，点 是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．8．已知 为双曲线右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形 ， ， 现将 沿 折起，当二面角 的大小在时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若长方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ， .分别记二面角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与 的值有关………外……装…………○…订…………○※※要※※在※※装※※订※内※※答※※题※※………内……装…………○…订…………○第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.12．在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.13．设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.14．一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.15．已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.16．已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.17．已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为____.三、解答题………外……………装…………○……………○…………__姓名：___________班级：_：___________………内……………装…………○……………○…………18．已知 ，设命题 ：当 时，函数恒成立，命题 ：双曲线的离心率 .（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.19．如图，在四面体 中， ， ， .（Ⅰ）求点 到平面 的距离； （Ⅱ）求异面直线 与 所成角的大小.20．如图，已知多面体 中， ， 平面 ， ， ， ， .（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.21．已知点 是圆 上的动点，定点 ，线段 的垂直平分线交 于点 .（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 作两条斜率之积为的直线 ， ， ， 分别与轨迹 交于 ， 和 ， ，……○…………线…………题※※……○…………线…………22．如图，点 在抛物线 外，过点 作抛物线 的两切线，设两切点分别为 ， ，记线段 的中点为 .（Ⅰ）求切线 ， 的方程；（Ⅱ）证明：线段 的中点 在抛物线 上；（Ⅲ）设点 为圆 上的点，当取最大值时，求点 的纵坐标.参考答案1．A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4．C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5．A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则＞0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7．B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8．D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PF A＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到P A的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9．C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（，，），∴，，，，，，设AB、CD的夹角为α，则cosα ，∵，∴cos，，∴|1|[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由 β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴ β∴β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。

2018学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

11．(0±，，2yx =± 12． 311(,,),82813． 114． ，7215．16．(1⎤⎦17． ⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分） 解:(Ⅰ）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,3上为增函数，……2分()f x ∴在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为(1)2f =.………………………4分当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数11()f x x x a =+>恒成立，得12a >，解得12a >. ……6分 (Ⅱ)若命题q 为真命题，则13a <≤，解得1a ≥， …………………8分 若p 为真命题且q 为假命题，则1201a a ⎧>⎪⎨⎪<<⎩，可得112a <<，……10分若p 为假命题且q 为真命题，则1021a a ⎧<≤⎪⎨⎪≥⎩，此时a φ∈ ,……………12分由上可知，a 的取值范围为112a <<． …………………………14分解：（Ⅰ）作CH OAB H OH ⊥平面于，连,,HE OA E HF OB F CE CF ⊥⊥作于，于连 AO ∴⊥⊥平面CEH,BO 平面CFH ,,,CE OA CF OB CEO ∴⊥⊥∆所以≌CFO ∆,,OE OF OEHF =四边形为正方形，OH AOB ∴∠是的角平分线， ……………3分cos cos cos COE COH EOH ∴∠=∠⋅∠01cos cos 45,2COH COH COH ∴=∠∠=∴∠=即04sin 45CH ∴=⨯= …………………………………………8分(Ⅱ)（方法1）,,OA a OB b OC c BC c b a c b θ=记=,=,=,则=-,记- 0()cos ,()=-44cos608,a c b a c b a c b a c a b 又θ⋅-=⋅-⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯= 0814,4,cos ,60,442a cb θθ=⋅-=∴===⨯即 所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. …………………………15分 （方法2）以,,HF HE HC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)C O A B --,则(4,0,0),(OA BC =-=- ………10分 设异面直线OA 与BC 所成角为,θ则cos cos ,OA BC OA BC OA BC θ⋅==⋅12==……………13分 060,θ∴=所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. ………………15分（用补体法求解同样给分）(Ⅰ)在PBA △中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=， 所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯=，PB = 所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以,,,A B C D 四点共面. 又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A =，所以PB ⊥平面ABCD . ………………………7分 (Ⅱ)(方法一)在Rt PBC △中，PC 在Rt PAD △中，PD =在直角梯形ABCD中，CD =…………………………………………9分 在PDC △中，9cos 10PDC ∠==，sin PDC ∠=所以12PDC S =⨯=△14122ACD S =⨯⨯=△.………………12分 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ⨯⨯=⨯⨯△△，即11233h =⨯所以h =，sin h PA θ===，…………………………………………15分 故直线PA 与平面PCD(方法二)由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAB ，BC AB ⊥. 以点B 为坐标原点，以,,BA BC BP 所在直线分别 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C ，(140)D ，，， 所以(1,0,PA =，(0,2,PC =，(1,2,0)CD =.……………9分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y则2z =，23x =-，所以(=-n . ………………12分 所以sin |||PA PA θ⋅===⋅n n |， 故直线PA 与平面PCD ………………15分 (方法三)延长,DC AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD BC ∥，2AD BC =， 所以BC 为ADE △的中位线，点,B C 分别为,AE DE 的中点. 所以PDE △为等腰三角形. 取PE 中点F ，连,DF AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F =， 所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ， 所以平面ADF ⊥平面PCD . 作AH D F ⊥于H ，连PH ， 所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角.………12分因为AF =4AD =,DF =所以222AF AD DF +=，所以AH =所以sin AH APH AP ∠===， 故直线PA 与平面PCD………………15分 21. （本题满分15分）(Ⅰ)Q PN 点是线段的垂直平分线上的点，QN QP \=，QM QN QP QM MP \+=+==,Q M N \点的轨迹是以为焦点的椭圆，22,a c ==其中1, 1.a c b \==22 1.2x Q y +=因此，点的轨迹方程是 …………5分(Ⅱ)设其中一条直线AB 的方程为(1)y k x =+代入椭圆方程可得：2222(21)4220,k x k x k +++-=AB =…………8分 设1122C(x ,y ),D(x ,y ),则1(1)2x kCD:y=-+ 即x=-2ky-1,代入椭圆方程可得：(4k 222)410,y ky ++-= 设,C D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则12d d +====…………………………………12分121()2S AB d d =⋅+===2=≤=22211""2k =当4k =，即k =时取 …………………………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）解：切线PA 的方程为y-x 21112(),x x x =-即y=2211,x x x -222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2…………4分（另解：211()PA k x x =-设切线的方程为：y-x222112110()y x kx x kx k x x ⎧=⎪--+=⎨=-⎪⎩由消去y 后可得：x y-x 221114402k x kx k x ∆=+-=∴=22111112(),,x x x x x x ∴=--切线PA 的方程为y-x 即y=2 222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2）…………4分（Ⅱ） 证明：因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =- ，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212(,)22x x x x ++ ．………………………………………6分 所以点N 的纵坐标为2221212121()()222N x x x x y x x ++=+=， 即点N 的坐标为21212(,())22x x x x ++．故N 在抛物线C 上．……………8分 （Ⅲ）解 由(Ⅰ)知：2||)]A B =，212()||2x x PM -=，所以||||AB PM ===……………………………12分 设041[11,3]t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++．当[11,3]t =--时，即当014y =时，||||AB PM 的取最大值．……15分。

2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。

宁波市一7201学年第学期期末九校联考 高二化学参考答案一、选择题（本题包括22小题，1-17题每小题2分，18-22每小题3分,共49分。

每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不得分） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 BC AD B D C C C A 1112 13 14 15 16 17 18 19 20 BC BD A D D B D C 2122 B D二、非选择题23. （8分）（1）2,2-二甲基戊烷 （2分）（2）+ H 2催化剂（2分）（3）CH 3CHO + 2Cu(OH)2+NaOH △CH 3COONa + Cu 2O↓+3H 2O （2分） “写成CH 3CHO + 2Cu(OH)2△CH 3COOH + Cu 2O↓+2H 2O 不扣分” （3）H O C O O H催化剂n O C O n + n H 2O （2分） 24. （10分）（1）CH 3COOHH + + CH 3COO - （2分） 1%（2分） （2）)1010(214−−−aa （2分）（3）CH 3COONa （1分） NaOH （1分）c (Na +) > c (OH -) > c (CH 3COO -) > c (H +) （2分）25. （11分）（1）AD （2分）（2） C H O +COOC H 2C H 3COOC H 2C H 3C H C COOC H 2C H 3COOC H 2C H 3+H 2O N （2分） （3）NHO COOC H 2C H 3（2分） （4）COO H COO HCOO H COO H COOH （3分）（少写一个扣一分） （5）C H O CH 3Cl 光照CH 2Cl H 化CH 2Cl N a O H /H 2O CH 2OH O ,C u或C H O CH 3Cl 光照CH 2Cl H 化CH 2OH N a O H /H2O CH 2OH O ,Cu（2分）若写成下面，扣一分CH 3Cl 光照CH 2Cl N a O H /H2O CH 2OH C H O O ,C u H 化C H O26. （12分）（1）①CH 3CH 2OH+H 2O 2CO+4H 2 （2分）熵效应大于焓效应（1分）（△S>0也给分）②上升 （1分） 恒压充入N 2，相当于体系压强减小，平衡正向移动（2分）（2）③ < （1分）④ 经计算，A 、E 、G 三点平衡常数相同，故反应温度相同（2分） ⑤进气比越高，反应温度越低（1分）⑥趋势正确（1分），且必须穿过F 、G 之间（1分）C O 的平衡转化率/%n (CO ):n (H 2O )27. （10分）I. （1）10-3.0或1/1000 （2分）（2）1000：1或103.0：1（2分）II. （3）FeCl 3溶液（1分）（4）① A （1分）②1122180c c %V V m−（）（2分） ③BD ． （2分） 少选一个扣一分。

2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z虚部为( ) A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】 先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.3.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B. 若//l α,//m α,则//l mC. 若//l m ,m α⊂,则//l αD. 若l α⊥,m α⊥,则//l m【答案】D【解析】在A 中,l 与α相交、平行或l α⊂；在B 中,l 与m 相交、平行或异面；在C 中,//l α或l α⊂；在D 中,由线面垂直的性质定理得//l m ．【详解】由l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,知：在A 中,若l m ⊥,m α⊂,则l 与α相交、平行或l α⊂,故A 错误； B 中,若//l α,//m α,则l 与m 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若//l m ,m α⊂,则//l α或l α⊂,故C 错误；在D 中,若l α⊥,m α⊥,则由线面垂直的性质定理得//l m ,故D 正确．故选D ．4.设()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =,()0,1,0OC =,则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）A. 2B. 2C. 4D. 534 【答案】A【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =可知AB 的中点1312283,,2,,32222P P ++-+⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故P 到点C 2==. 故选：A5.已知A ,B ,C ,D 是空间四个不同的点,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BC 是异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B。

2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二第二学期期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}2．（4分）下列函数中，在定义域上为增函数的是（）A．B．y＝lnx C．y＝3﹣x D．y＝|x|3．（4分）已知函数f（x）＝﹣x，则下列选项错误的是（）A．f（x+1）＝f（x）+1B．f（3x）＝3f（x）C．f（f（x））＝x D．4．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（4分）小明、小红、小泽、小丹去电影院看《红海行动》，四人座位是同一排且相邻的，若小明、小红不坐一起，则不同的坐法种数为（）A．24B．10C．8D．126．（4分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝2x，则f（2）﹣g（2）＝（）A．B．4C．0D．7．（4分）已知a，b，c＞0且，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b8．（4分）已知f'（x）是函数f（x）的导函数，且函数y＝（2﹣x）f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（4分）已知方程2x﹣1+21﹣x+t（|x﹣1|+2）＝0有三个解，则t＝（）A．B．1C．D．﹣110．（4分）已知直线y＝kx+b的图象恒在曲线y＝ln（x+3）的图象上方，则的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知复数z＝（3+i）2，其中i为虚数单位，则|z|＝；若z•（a+i）是纯虚数（其中a∈R），则a＝．12．（6分）若3a＝24，b log23＝1，则3a﹣2b＝；＝．13．（6分）在的展开式中，常数项为；二项式系数最大的项为．14．（6分）已知函数，则f（2018）＝；不等式f（f（x））＞1的解集为．15．（4分）甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试．按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有种．16．（4分）已知函数f（x）＝ax+ln（x）（a＞0），若对任意的x1，，都有，则a的最大值为．17．（4分）已知函数有零点，则b2+c2的取值范围是．三、解答题：共74分18．（14分）（1）解不等式（2）已知（3x﹣5）n＝且a2＝135，求．19．（14分）已知数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n （1）求S1，S2，S3，试猜想S n的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．20．（14分）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在P（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的取值范围．21．（16分）已知函数f（x）＝x|x﹣2a|+bx，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若b＝2且a＞0，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值M（a）．22．（16分）已知函数．（1）（ⅰ）讨论函数f（x）的极值点个数；（ⅱ）若x0是函数f（x）的极值点，求证：；（2）若x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a﹣4．2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二第二学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：A＝{x|x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，0.1，2，3}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．2．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣，为反比例函数，在其定义域不是增函数；不符合题意；对于B，y＝lnx，为对数函数，在定义域（0，+∞）上为增函数；符合题意；对于C，y＝3﹣x＝（）x，为指数函数，在其定义域是减函数；不符合题意；对于D，y＝|x|＝，在其定义域不是增函数；不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．3．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x+1）＝﹣（x+1）＝﹣x﹣1，f（x）+1＝﹣x+1，f（x+1）≠f（x）+1，A 错误；对于B，f（3x）＝﹣3x，3f（x）＝3（﹣x）＝﹣3x，f（3x）＝3f（x），正确；对于C，f（x）＝﹣x，f（f（x））＝﹣（﹣x）＝x，正确；对于D，f（）＝﹣（）＝﹣，＝＝﹣，则f（）＝，正确；故选：A．【点评】本题考查函数值的计算以及函数解析式，属于基础题．4．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：函数是（1，+∞）上的连续增函数，f（2）＝ln2﹣3＜0；f（3）＝ln3﹣＝ln＜0，f（4）＝ln4﹣1＞0；f（3）f（4）＜0，所以函数的零点所在的大致区间为：（3，4）．故选：C．【点评】本题考查零点判定定理的应用，是基本知识的考查．5．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将小泽、小丹排好，考虑2人的顺序，有A22种情况，②，2人排好后，有3个空位可选，在3个空位中任选2个，安排小明、小红，有A32＝6种情况，则小明、小红不坐一起的排法有2×6＝12种；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，不能相邻问题用插空法．6．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝2x，∴则f（﹣2）+g（﹣2）＝2﹣2＝，即f（﹣2）﹣g（2）＝，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．7．【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a，b，c＞0，且，，，∴0＜a＜1，0＜b＜1，c＞1．分别画出函数y＝2x，y＝，y＝的图象，则0＜a＜b＜1．综上可得：a＜b＜c．故选：C．【点评】本题考查了指数与，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：由y＝（2﹣x）f'（x）的图象知，当x＝2时，y＝0，当x＞2时，y＞0，则f′（x）＜0，此时函数为减函数，排除A，D，设函数最小的零点为a，当x＜a时，y＜0，此时f′（x）＜0，此时函数为减函数，排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断排除是解决本题的关键．9．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：将方程变形为t（|x﹣1|+2）＝﹣（2x﹣1+21﹣x），再做代换，令x﹣1＝m∈R，则上式变形为t（|m|+2）＝﹣（2m+2﹣m），则函数f（x）＝t（|m|+2）与函数g（x）＝﹣（2m+2﹣m）的图象有三个不同的交点，接下来我们分析怎么徒手做这两个函数的图象，对函数f（x）＝t（|m|+2）而言，函数y＝|m|+2的图象恒过点（0，2），开口向上，两条折线的夹角为90°，则函数f（x）＝t（|m|+2）恒过点（0，2t），开口和夹角都随k的正负变换，是动态图象，而函数g（x）＝﹣（2m+2﹣m），是偶函数，过定点（0，﹣2），开口向下，可以借助导数判断，当m≥0时，y＝2m+2﹣m单调递增，m≤0时，y＝2m+2﹣m单调递减，故g（x）在区间（﹣∞，0]单调递增，在区间[0+，∞）单调递减；最高点为（0，﹣2）在同一个坐标系中做出两个函数的图象，由图象可知，当2t＝﹣2时，即t＝﹣1时，二者有三个交点，即t＝﹣1，故选：D．【点评】①深刻理解我们为什么需要将数的问题转化为形的问题来求解，该如何转化．②平常学习中需要有效积累一些函数的图象，比如y＝k|x|的动态图象，y＝e x+e﹣x的图象，y＝e x﹣e﹣x的图象等，会有助于我们的解题．10．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由题意，直线y＝kx+b的图象恒在曲线y＝ln（x+3）的图象上方，则k ＞0．令h（x）＝kx+b﹣ln（x+3），其定义域（﹣3，+∞）．则h′（x）＝k．∵k＞0．令h′（x）＝0，可得x＝．当x∈（﹣3，）时，h′（x）＜0，则h（x）在区间（﹣3，）单调递减；当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，则h（x）在区间（﹣3，）单调递增；则h（x）min＝h（）＝k（）+b﹣ln＞0．即1﹣3k+b＞ln恒成立；由k＞0．那么g（k）＝3﹣+•ln设＝t，（0＜t）令f（t）＝t•lnt+3﹣t，则f′（t）＝lnt＝0则t＝1．当t∈（0，1）时，f′（t）＜0，则f（t）在区间（0，1）单调递减；可得g（k）＝3﹣+•ln在区间（0，1）单调递增；当t∈（1，+∞）时，f′（t）＞0，则f（t）在区间（1，+∞）单调递增；可得g（k）＝3﹣+•ln在区间（1，+∞）单调递减；∴g（k）max＝g（1）＝2．即．故选：B．【点评】本题考查了导函数的综合应用，难点是对参数的分类讨论和构造函数，把恒成立问题转换为最值问题二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z＝（3+i）2＝8+6i，则|z|＝＝10；若z•（a+i）＝（8+6i）（a+i）＝8a﹣6+（6a+8）i是纯虚数（其中a∈R），则8a﹣6＝0，且6a+8≠0，解得a＝．故答案为：10，．【点评】本题考查了复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义，考查了推理能力、计算能力，属于基础题．12．【考点】4H：对数的运算性质．【解答】解：∵3a＝24，b log23＝1，∴a＝log324，b＝log32，∴3b＝2，∴3a﹣2b＝＝＝6，＝＝＝log28＝3．故答案为：6，3．【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：由二项式展开式的通项公式，令6﹣r ＝0，可得r＝4，即展开式的中第5项是常数项．常数项为：＝240．二项式展开式的性质，可知，共有7项，中间项的二项式系数最大，即第4项．故答案为：240，第4项．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．14．【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：函数，可得f（2018）＝f（2016）＝f（2014）＝…＝f（4）＝f（2）＝f（0）＝f（﹣2）＝4﹣3＝1；由x≥0，f（x）＝f（x﹣2），可得0≤x＜2时，﹣2≤x﹣2＜0，f（x）＝（x﹣2）2﹣3，作出y＝f（x）的图象，如右图：可令t＝f（x），则f（t）＞1，可得t＜﹣2，即f（x）＜﹣2，即有﹣1＜x＜0或2n﹣1＜x＜2n，n∈N*，可得不等式f（f（x））＞1的解集为（2n﹣1，2n），n∈N．故答案为：1，（2n﹣1，2n），n∈N．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值和解不等式，注意运用函数的图象，以及函数的性质，考查运算能力，属于中档题．15．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：若甲监考数学和英语，则乙、丙从剩下的4门中任选2门即可，故有C42A22＝12种，若甲监考数学和不监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，丙从剩下的3门（包含语文不含英语）选2门，剩下的2门乙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学和监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，乙从剩下的3门（包含语文不含数学）选2门，剩下的2门丙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学也不监考英语，则甲从物理、化学、生物选2门，乙一定需要监考英语，在剩下的2门（包含语文不含数学）选1门，剩下的2门丙监考，故有C32C21＝6种，根据分类计数原理，共有12+9+9+6＝36种，故答案为：36．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，考查了转化能力，属于中档题．16．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵f（x）＝ax+lnx，a＞0∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵x1，，不妨设x1＞x2，∴f（x1）＞f（x2）．∵，对任意的x1，恒成立∴f（x1）﹣f（x2）≤2（﹣），即f（x1）+≤f（x2）+恒成立．令g（x）＝f（x）+，x∈[，]，则g（x）在[，]上应时减函数，∴g′（x）＝a+﹣≤0对x∈[，]恒成立．即a≤﹣对x∈[，]恒成立，由y＝﹣在[，]为减函数，∴y min＝，∴a≤，故a的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，属于难题．17．【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：f（x）＝（x+）2+2b|x+|+3c﹣2，设t＝|x+|，当x＞0时，x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，则t≥2，∴f（t）＝t2+2bt+3c﹣2，在t∈[2，+∞）上有零点，∴方程t2+2bt+3c﹣2＝0在[2，+∞）上有解，∴2+4b+3c≤0，作出平面区域如图所示，由图形可知平面区域内的点到原点的最短距离d＝，∴b2+c2≥，故答案为：[，+∞）【点评】本题考查了基本不等式，函数零点存在定理，线性规划，属于中档题．三、解答题：共74分18．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1）不等式⇒（n﹣2）（n﹣3）﹣4n+12≤0，⇒n2﹣9n+18≤0⇒3≤n≤6∵n∈N+，∴n＝3，4，5，6．故原不等式解集为：{3，4，5，6}．（2）∵（3x﹣5）n＝[1+3（x﹣2）]n，a2＝135，∴，解得n＝10．（3x﹣5）n＝中令n＝10，x＝2，可得a0＝1．（3x﹣5）n═[1+3（x﹣2）]n＝中令n＝10，x﹣2＝，可得a0+＝＝210．∴．【点评】考查二项式定理、二项展开式中通项公式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：（1）a n＝＝﹣，当n＝1时，S1＝a1＝1﹣＝，当n＝2时，S2＝a1+a2＝1﹣+﹣＝1﹣＝，当n＝3时，S2＝a1+a2+a3＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝，猜想S n＝1﹣，证明（2）：①当n＝1时，等式成立，②假设n＝k时，等式成立，则S k＝1﹣，那么n＝k+1时，S k+1＝S k+a k+1＝1﹣+﹣＝1﹣＝1﹣，即n＝k+1时等式成立，由①②可得S n＝1﹣，对任意n∈N*都成立．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n＝1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n 都成立．20．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）f′（x）＝（cos x+sin x﹣），∴f′（0）＝1﹣，又f（0）＝﹣1．∴曲线y＝f（x）在P（0，f（0））处的切线方程为：y+1＝（1﹣）x，即（1﹣）x﹣y﹣1＝0．（2）令f′（x）＝0，x∈[0，π]，可得：sin＝，解得x＝，或x＝．可得函数f（x）在，上单调递减，在内单调递增．可得极小值为＝﹣，极大值为＝0．又f（0）＝﹣1，f（π）＝﹣．可得最小值为：﹣，最大值为0．∴函数f（x）在区间[0，π]上的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、三角函数的单调性与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）①当a＝0时，f（x）＝x|x|+bx，函数的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣bx＝﹣x|x|﹣bx＝﹣f（x），此时，函数y＝f（x）是奇函数；②当a≠0时，函数的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣x|﹣x﹣2a|﹣bx＝﹣x|x+2a|﹣bx，此时，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），此时，函数y＝f（x）是非奇非偶函数；（2）b＝2时，函数f（x）＝，①当0＜a≤1时，有a﹣1＜2a＜2a﹣4，y＝f（x）在[0，4]上单调递增，M（a）＝f（4）＝24﹣8a；②当1＜a＜2时，0＜a﹣1＜a+1＜2a＜4，y＝f（x）在[0，a+1]上单调递增，在[a+1，2a]上单调递减，在[2a，4]上单调递增，所以，M（a）＝max{f（4），f（a+1）}，f（a+1）＝（a+1）2，f（4）＝24﹣8a，而f（a+1）﹣f（4）＝（a+1）2﹣（24﹣8a）＝a2+10a﹣23．（i）当时，M（a）＝f（4）＝24﹣8a；（ii）当时，M（a）＝f（a+1）＝（a+1）2；③当2≤a＜3时，a﹣1＜a+1＜4≤2a，所以，函数y＝f（x）在[0，a+1]上单调递增，在[a+1，4]上单调递减，此时，M（a）＝f（a+1）＝（a+1）2；④当a≥3时，a+1≥4，所以，函数y＝f（x）在[0，4]上单调递增，此时，M（a）＝f（4）＝8a﹣8．综上所述，当x∈[0，4]时，．【点评】本题考查函数最值的求解，考查了分类讨论思想，属于难题．22．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）（ⅰ）函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，令f′（x）＝0，得x＝a﹣2．①当a﹣2≤﹣1时，即当a≤1时，对任意的x＞﹣1时，f′（x）＞0，此时，函数y＝f（x）在定义域上是增函数，无极值点；②当a﹣2＞﹣1时，即当a＞1时，若﹣1＜x＜a﹣2，则f′（x）＜0；若x＞a﹣2，则f′（x）＞0．此时，函数y＝f（x）只有一个极值点；（ⅱ）由（ⅰ）知，当a＞﹣1时，函数y＝f（x）在定义域上有且只有一个极值点x0＝a﹣2，且x0＞﹣1，＝＝ln（x0+1）﹣x0，要证f（x0）＜e x0﹣1﹣x0，即证ln（x0+1）＜e x0﹣1，令t＝x0+1＞0，即证lnt＜e t﹣2，先证不等式lnt≤t﹣1，构造函数g（t）＝t﹣1﹣lnt，其中t＞0，则．当0＜t＜1时，g′（t）＜0；当t＞1时，g′（t）＞0．所以，函数y＝g（t）在t＝1处取得极小值，亦即最小值，即g（t）min＝g（1）＝0，即g（t）≥0，所以，当t＞0时，lnt≤t﹣1．再证当t＞0时，t﹣1＜e t﹣2，构造函数h（t）＝e t﹣2﹣t+1，其中t＞0，则h′（t）＝e t﹣2﹣1．当0＜t＜2时，h′（t）＜0；当t＞2时，h′（t）＞0．所以，函数y＝h（t）在t＝2处取得极小值，亦即最小值，即h（t）min＝h（2）＝0，所以，h（t）≥h（2）＝0，所以，当t＞0时，t﹣1＜e t﹣2．由于函数y＝g（t）的最小值和函数y＝h（t）的最小值不在同一处取得，所以，当t ＞0时，lnt＜e t﹣2，即；（2）由于函数y＝f（x）有两个零点x1、x2，则函数y＝f（x）在定义域上必不单调，所以，a＞1，设x1＜x2，则﹣1＜x1＜a﹣2＜x2，构造函数m（x）＝f（x）﹣f（2a﹣4﹣x），则m′（x）＝f′（x）+f′（2a﹣4﹣x）＝＝＝，∵a＞1，所以，对任意的x＞﹣1，m′（x）≤0，此时，函数y＝m（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，因为﹣1＜x1＜a﹣2＜x2，则2a﹣4﹣x1＞a﹣2，由m（x1）＞m（a﹣2）＝0，即f（x1）﹣f（2a﹣4﹣x1）＞0，即f（x1）＞f（2a﹣4﹣x1），由于x1、x2是函数y＝f（x）的两个零点，所以，f（x1）＝f（x2），所以，f（x2）＞f（2a﹣4﹣x1），因为函数y＝f（x）在区间（a﹣2，+∞）上单调递增，所以，x2＞2a﹣4﹣x1，因此，x1+x2＞2a﹣4．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论思想，属于难题．。

浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A. ，2B. ，2C. ，D. ，2.直线的倾斜角为A. B. C. D.3.已知空间向量1，，，且，则A. B. C. 1 D. 24.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A. 1B.C. 或1D. 2或15.对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.若x，y满足约束条件，则A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值7.设a，b为空间两条直线，，为空间两个平面，则下列命题中真命题的是A. 若a不平行，则在内不存在b，使得b平行aB. 若a不垂直，则在内不存在b，使得b垂直aC. 若不平行，则在内不存在a，使得a平行D. 若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直8.已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A. B.C. D.9.已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.10.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．12.命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一13.已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C外切，则a的值为______．14.已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条15.已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示16.如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．17.已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．19.如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．20.如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．21.已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．22.已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）23.已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A. ，2B. ，2C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由圆C的方程为，可得它的圆心和半径分别为，．故选：C．直接由圆的标准方程求出圆心和半径即可．本题考查了圆的标准方程，是基础题．24.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：直线的斜率等于，设它的倾斜角等于，则，且，，故选：A．直线的斜率等于，设它的倾斜角等于，则，且，求得值，即为所求．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到，是解题的关键．25.已知空间向量1，，，且，则A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】解：解得故选：C．利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出向量等式；利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出x 的值．本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量数量积公式：对应坐标乘积的和．26.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A. 1B.C. 或1D. 2或1【答案】D【解析】解：，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距为，解得；综上所述，实数或．故选：D．根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．27.对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示双曲线，则，得，则“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C．根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键．28.若x，y满足约束条件，则A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】解：x，y满足的平面区域如图：当直线经过A时z最小，经过B时z最大，由得到所以z的最小值为，由于区域是开放型的，所以z无最大值；故选：B．画出x，y满足的平面区域，利用的截距的最值求得z的最值．本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值．29.设a，b为空间两条直线，，为空间两个平面，则下列命题中真命题的是A. 若a不平行，则在内不存在b，使得b平行aB. 若a不垂直，则在内不存在b，使得b垂直aC. 若不平行，则在内不存在a，使得a平行D. 若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直【答案】D【解析】解：若a不平行，则当时，在内存在b，使得，故A错误；若a不垂直，则在内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若不平行，则在内在无数条直线a，使得a平行，故C错误；若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选：D．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．30.已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：当，时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，是直角三角形，要使直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线相交，且，圆心O到直线的距离，平方得，即，即，得，即，又，实数k的取值范围是，故选：D．根据是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线相交，且，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键．31.已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线，的渐近线方程均为，，，，，，，，，，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B．根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，即，再根据基本不等式即可求出．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程基本不等式，考查运算能力，属于中档题32.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：四棱锥为阳马，且，底面是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，，．故选：A．由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到，从而．本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）33.椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．【答案】10【解析】解：由椭圆可知，椭圆焦点在y轴上，，长轴长，左顶点的坐标为．故答案为：10；．直接由椭圆的性质得答案．本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题．34.命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一【答案】若两个整数a，b不都是偶数，则不是偶数假【解析】解：命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则不是偶数”，由a，b均为奇数，可得为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则不是偶数，假．由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则为偶数，即可判断真假．本题考查命题的否命题和真假判断，考查判断能力和推理能力，是一道基础题．35.已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C外切，则a的值为______．【答案】3【解析】解：由得，若方程表示圆，则，得，即实数a的取值范围是，圆心，半径，若圆与圆C外切，则，即，即，即，得，故答案为：，3．利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解即可．本题主要考查圆的一般方程以及两圆外切的应用，根据配方法求出圆心和半径是解决本题的关键．36.已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条【答案】4【解析】解：作出长方体，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．作出长方体，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数．本题考查长方体中与已知棱异面且垂直的棱的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．37.已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示【答案】17或1【解析】解：双曲线的一个焦点为，，，，为双曲线上一点，且，，，或，故答案为：17或1根据已知条件，直接利用双曲线的定义进行求解即可．本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义，是解题的关键，属基础题．38.如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．【答案】【解析】解：由，得，在平面内，以D为原点建立坐标系如图，设，则，整理得，设圆心为M，求得，的取值范围是：，故答案为：．首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，得解．此题考查了点的轨迹的求法，圆外一点到圆上点的距离最值问题，难度适中．39.已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______【答案】【解析】解：两直线：，：互相平行，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，，，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，当直线CD的方程为：时，取最小值，联立，得，联立，得，的最小值为：．故答案为：，．利用两平行线间的距离公式能求出；当直线CD的方程为：时，取最小值．本题考查线估长的求法，考查三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）40.在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ由，解得，，则点由于点，且所求直线l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入得，解得．故所求直线l的方程为．圆的标准方程为，所以圆心为，半径为2，若直线l的斜率不存在，此时，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，解得【解析】联立方程组求出点，由点，且所求若l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出直线l的方程．求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．本题考查直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，直线和圆的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．41.如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．【答案】Ⅰ证明：连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．，平面，平面，，则，同理，由，可得，则．；Ⅱ解：，，或其补角就是直线AD与CF所成的角．，，，，又，，由余弦定理可得，得．直线AD与CF所成的角为．【解析】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；Ⅱ找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．本题考查异面直线所成角，考查平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，是中档题．42.如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．【答案】证明：Ⅰ平面平面MCD，平面平面，，平面ABCD，平面MCD，平面MCD，，又，，平面ADM．解：Ⅱ由平面ADM，知，，过M作，交CD于O，平面平面MCD，平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，2，，2，，0，，1，，设，，则，，0，，，设平面MBC的一个法向量y，，则由，得，取，得1，，设直线AF与平面MBC所成的角为，则，，解得，是DM的中点．【解析】Ⅰ推导出平面MCD，，再由，能证明平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，从而，过M作，交CD于O，则平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面角的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．43.已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ设，焦点以及的外接圆的圆心为Q，点的纵坐标为，Ⅱ抛物线C的准线方程为，，解得，抛物线C的方程．Ⅲ可知，，，为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，点Q到直线AB的距离，设，，联立方程组，消y可得，，，，，解得，即，直线l的方程为【解析】Ⅰ根据焦点以及的外接圆的圆心为Q，即可求出；Ⅱ由题意可得，解得，即可求出抛物线方程；Ⅲ先判断为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．本题考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．44.已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ可知，又M在E上，所以，另外，所以可解得，，得E的方程为；Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点，，则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点在E上，所以，，即，代入，即．当时，得；当时，则得或．此时，或，也满足方程．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆除去四个点、、、的曲线；Ⅲ因为点到直线：的距离，且易知，所以，的面积为．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，面积的最大值为；一几何相切法：设l的平行直线 ：，由，得，由得．可得此时椭圆与相切的切点为、，易得面积的最大值为因为二三角换元法：由Q的轨迹方程，设，，代入，．易得面积的最大值为因为【解析】Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；Ⅱ设点，设点，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线 ：与椭圆E相切，联立，利用，得出m 的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l 距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出面积的最大值．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程、动点的轨迹方程以及三角形的面积的计算，考查计算能力，属于难题．。