行程问题6变速问题

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法.对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中,为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法;⑶比例法行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中,有些条件（如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．模块一、变速问题【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变,小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米?【例 2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地.求甲原来的速度。

一、相遇与追及1、路程和路程差公式【例1］如下图，某城市东西路与南北路交会于路口 A .甲在路口A南边560米的B点, 乙在路口A .甲向北，乙向东同时匀速行走. 4分钟后二人距A的距离相等.再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等.问：甲、乙二人的速度各是多少？3、多次相遇【例3］甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米？行程问题【难度］2星【题型］解答画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：A r--【考点】行程问题【难度】3星【关键词】2003年，明心奥数挑战赛【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程•那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：（米/分）。

第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了以北走的路程乙走的总路程•那么，从第二次甲比乙共多走了4 24 28（分钟），两人的速度差：甲速要比乙速要快；甲速（140 20）2 80（米/ 分），乙速【答案】甲速80米/分，乙速60米/分2、多人相遇【例2】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米行程问题【难度】2星560 28 20（米/分），甲速20 ,解这个和140 80 60（米/分）.560 4 140A点，且在A点560米，共走了乙速140，显然【解析］甲、丙6分钟相遇的路程：10075 6 1050 （米）；甲、乙相遇的时间为：10508075210（分钟）;东、西两村之间的距离为：10080210 37800（米）【答案］37800米【考点】可以发现第一次相遇意味着两车行了一个车共行了三个A、B两地间的距离•当甲、时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两乙两车共行了一个A、B两地间的距离A、B两地间的距离时，甲车就行了【题型】解答【考点】差问题，甲速【题型】解答95千米，即95X 3=285 （千米），而这 285千米比一个 A 、B 两地间的距离多 25 千米，可得：95X 3-25=285-25=260（ 千米）.【答案】260千米二、 典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a ） 根据另一个列车每小时走 72千米，所以，它的速度为：72000 £600 = 20 （米/秒）， 某列车的速度为：（25O — 210） - （25 — 23）= 40^2= 20 （米/秒）某列车的车长 为：20X 25-250 = 500-250 = 250 （米），两列车的错车时间为： （250 + 150） -（20 + 20 ）= 400^40 = 10 （秒）。

行程专题之变速运动典型例题例1、【相遇后再变速】1.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.出发时,甲,乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时,乙离开A 地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米?2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:2他们第一次相遇后甲的速度提高了20%,乙的速度提高了1/3,这样,当甲到达B 地时,乙离A地还有41千米,那么A、B两地相距多少千米?3.甲乙两车分别从AB两地同时相向而行,出发时甲乙两车的速度比为3:2,两车相遇后,甲车提速20%,乙车提速30%,当甲车到B地时,乙车离A地还有56千米,AB两地相距多少千米?4.(2008年清华附中入学测试题)如图,甲、乙分别从A、C两地同时出发,匀速相向而行,他们的速度之比为5:4,相遇于B地后,甲继续以原来的速度向C地前进,而乙则立即调头返回,并且乙的速度比相遇前降低1/5,这样当乙回到C地时,甲恰好到达离C地18千米的D处,那么A、C两地之间的距离是____千米。

ABCD5.客货两车同时从甲乙两地相对开出,相遇时客货两车所行的路程比是5:4,相遇后货车每小时比相遇前每小时多行27千米,客车仍按原速前进,结果两车同时到达对方的出发站。

已知客车一共行了10小时,问甲乙两地相距多少千米?6.上午8点整,甲从A地出发匀速去B地, 8点20分甲与从B地出发匀速去A 地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变;8点30分,甲、乙两人同时到达各自的目的地。

那么,乙从B地出发时是8点几分?7.一天,小张开拖拉机从甲镇到乙镇,同时小李驾驶小轿车沿同一条路从乙镇去甲镇.在超过两镇之间公路中点15千米的地方,小李见到了小张,之后,小张按原来的速度继续前进,小李则把车速提高1/5,小李到达甲镇后立即顺原路返回乙镇,在离乙镇30千米的地方追上小张.甲乙两镇间的路程有多远?例2.【爬山变速】1.(难度等级※※)甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。

行程问题7大经典题型归纳总结拓展简单地将行程问题分类：（1）直线上的相遇、追及问题（含多次往返类型的相遇、追及）（2）火车过人、过桥和错车问题（3）多个对象间的行程问题（4）环形问题与时钟问题（5）流水、行船问题（6）变速问题一些习惯性的解题方法：（1）利用设数法、设份数处理（2）利用速度变化情况进行分段处理（3）利用和差倍分以及比例关系，将形程过程进行对比分拆（4）利用方程法求解1. 直线上的相遇与追及直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基础例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：东西两地间的距离是多少千米？例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？2. 火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。

因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关下面教你一招——以静制动法解决火车过桥问题。

呵呵～～这种类型的题目，看起来复杂，眼花缭乱，其实我们可以以静制动，只看火车头或火车尾在整个行程中的路程。

而当有多个变量（火车过人、两辆火车齐头并进，齐尾并进等）时可以把其中一个变量看做静止，只需要研究另一个变量的行程以及二者的速度和或速度差，就可以轻松求解、屡试不爽。

例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。

求列车与货车从相遇到离开所用的时间。

例题4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。

一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（这道题超级经典~）例题5 有2列火车同时同方向齐头行进,12秒钟后快车超过慢车，已知快车每秒行驶18米，慢车每秒行10米，求快车车身长度多少米？如果这两列火车车尾相齐，同时同方向行进，则9秒钟后快车超过慢车，那么慢车车身长度是多少米。

应用题板块-行程问题之变速行驶（小学奥数六年级）变速行驶是行程问题中的综合题，常常需要混合使用多个解题手法，复杂度也直线上升。

本文对常见的题型和解题思路进行梳理分析，答题也就游刃有余了。

【一、题型要领】变速问题常见的有两类一是单人从A到B，以初始速度行驶，在路途中间加速或减速，最终提前或推迟到达目的地。

二是甲乙两人在AB异地同时出发，甲的速度始终不变，乙在行驶一段距离后速度发生改变，最终影响两人到达目的地的时间答题方法主要有分段法，图示法，比例法，方程法。

1. 分段法【基本概念】在非匀速即分段变速的行程问题中，公式（路程 = 速度 * 时间）不能直接套用。

这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。

2. 图示法【基本概念】在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具，示意图包括线段图和折线图。

图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。

另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。

3. 比例法【基本概念】行程问题中有很多比例关系，在只知道和差，比例时，用比例法可求得具体数值。

更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程，速度，时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例法解题4.方程法【基本概念】在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。

【二、重点例题】例题1【题目】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶40千米，返回时每小时行驶50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟。

求甲乙两地之间的路程？【分析】汽车从甲地开往乙地又从乙地开往甲地，来回所走距离相同。

有去时速度 * 去时时间 = 返回速度 * 返回时间已知去时速度 = 40千米/小时，返回速度 = 50千米/小时，因此去时时间：返回时间 = 5：4又知返回时间 - 去时时间 = 48分钟，可得返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟），最后可求出甲乙两地的距离【解】去时时间：返回时间 = 返回速度：去时速度 = 5：4返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟）甲乙两地之间的路程 = 50 ÷ 60 * 192 = 160（千米）【答】甲乙两地之间的路程是160千米例题2【题目】甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比为3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有28千米。

变速问题教学目标1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52 米，小强每分走70 米，二人在途中的A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走90 米，则两人仍在A处相遇。

一、相遇与追及1、路程和路程差公式【例1】某城市东西路与南北路交会于路口．甲在路口南边560米的点，乙在路口．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少2、多人相遇【例2】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米3、多次相遇【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米二、典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟2、流水行船【例5】甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行千米，乙艇每小时行千米．现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．水流速度是多少3、猎狗追兔【例6】猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。

已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它4、环形跑道【例7】甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。

求此圆形场地的周长5、走停问题【例8】小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间6、变速问题【例9】（时间相同模型）甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是，相遇后甲的速度减少，乙的速度增加．这样当甲到达地时，乙离地还有千米．那么、两地相距多少千米【例10】（路程相同模型）一列火车出发1小时后因故停车小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚小时．若出发1小时后又前进90公里再因故停车小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里7、自动扶梯【例11】小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒个台阶和每秒个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时秒和秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒8、发车间隔【例12】某人沿着电车道旁的便道以每小时千米的速度步行，每分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少电车之间的时间间隔是多少9、接送问题【例13】甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.10、钟表问题【例14】小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间三、综合行程（主要运用比例法）【例15】A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A,B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米【例16】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高，而乙的速度立即减少，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是多少米【例17】A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处.甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航.水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是多少1．羊跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离羊跑7步，现在羊已跑出30米，马开始追它。

行程问题7大经典题型归纳总结拓展引言行程问题是数学中常见的问题之一，主要研究物体在不同速度、时间、距离条件下的运动情况。

本文将对行程问题中的7大经典题型进行归纳总结，并进行拓展分析。

题型一：相遇问题定义相遇问题是指两个或多个物体从不同地点出发，以不同的速度相向而行，最终在某一点相遇的问题。

公式设A、B两点相距( d )，甲从A点出发，速度为( v_a )；乙从B点出发，速度为( v_b )。

若甲乙相遇于C点，则相遇时间为( t )，有：[ t = \frac{d}{v_a + v_b} ]拓展可以拓展到多物体相遇问题，考虑物体间的速度差和相对运动。

题型二：追及问题定义追及问题是指一个物体追赶另一个物体，两者以不同速度运动，最终追上的问题。

公式设甲从A点出发，速度为( v_a )；乙从B点出发，速度为( v_b )，甲追上乙所需时间为( t )，则：[ t = \frac{d}{v_a - v_b} ]拓展考虑追及过程中的加速、减速情况，以及追及的临界条件。

题型三：往返问题定义往返问题是指物体在两点间来回运动，可能涉及速度变化的问题。

公式设A、B两点相距( d )，物体速度为( v )，往返一次所需时间为( t )，则：[ t = \frac{2d}{v} ]拓展考虑物体在往返过程中速度的变化，以及往返次数与时间的关系。

题型四：流水行船问题定义流水行船问题是指船只在有水流的河流中航行，需要考虑船速与水流速度的问题。

公式设船在静水中的速度为( v_s )，水流速度为( v_r )，船顺流而下的速度为( v_{up} )，逆流而上的速度为( v_{down} )，则：[ v_{up} = v_s + v_r ][ v_{down} = v_s - v_r ]拓展考虑船只在不同水流速度下的航行策略，以及如何最优化航行时间。

题型五：环形跑道问题定义环形跑道问题是指物体在环形跑道上运动，可能涉及速度和圈数的问题。

行程板块之变速问题知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

例题精讲：【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？解析;因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。

（70×4）÷（90-70）=14 分钟可知小强第二次走了 14分钟，他第一次走了 14＋4=18 分钟；两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）【例2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 25秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

解析：因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 25秒，则相遇前两人和跑一圈也用 25秒。

以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 25 秒的路程与以（V +2 ）跑了 25 秒的路程之和等于 400米，25V +25（V +2 ）=400 易得V = 7米/秒【例3】甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点16 千米．甲车原来每小时行多少千米？解析;设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。

甲增加速度后，两车在 E 处相遇。

由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。

于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。

一、相遇与追及1、路程和路程差公式【例1】如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2003年，明心奥数挑战赛【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程．那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：5604140÷= (米/分)。

第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程=乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了=，显然42428÷=(米/分)，甲速+乙速140 +=(分钟)，两人的速度差：5602820甲速要比乙速要快；甲速-乙速20=，解这个和差问题，甲速=-=(米/分)．14020280（）(米/分)，乙速1408060=+÷=【答案】甲速80米/分，乙速60米/分2、多人相遇【例2】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】甲、丙6分钟相遇的路程：()+⨯=(米)；1007561050甲、乙相遇的时间为：()÷-=(分钟)；10508075210东、西两村之间的距离为：()+⨯=(米).1008021037800【答案】37800米3、多次相遇【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【答案】260千米二、典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a)根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒），某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米），两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）。

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．模块一、变速问题【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？【例 2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

变速行程问题解题思路一、引言变速行程问题是机械设计与制造中常见的问题之一，尤其在汽车、摩托车等交通工具的设计中尤为重要。

变速器是这些交通工具中最关键的组成部分之一，它可以使发动机在不同转速下输出不同的扭矩和功率，从而满足不同路况下的需求。

变速行程问题指的是如何设计合适的变速器行程，以使得变速器能够平稳地切换到不同档位，并且能够在档位之间实现平滑过渡。

本文将介绍解决变速行程问题的思路和方法。

二、确定目标在解决任何问题之前，首先需要明确目标。

对于变速行程问题来说，我们需要确定以下几个目标：1. 平稳切换：变速器应该能够平稳地切换到不同档位，避免出现顿挫或抖动等现象。

2. 平滑过渡：当从一个档位切换到另一个档位时，应该能够实现平滑过渡，避免出现跳档或猛加油等现象。

3. 转速范围：每个档位应该有相应的转速范围，以保证发动机输出的扭矩和功率都在合适的范围内。

4. 操作力：变速器的操作力应该适中，既不能太轻易误操作，也不能太重影响驾驶舒适度。

5. 耐久性：变速器应该具有较高的耐久性，能够在长时间的使用中保持稳定可靠的性能。

三、分析问题在确定目标之后，我们需要对问题进行分析。

变速行程问题涉及到多个方面，包括机械结构、控制系统和驾驶者操作等。

因此，在分析问题时需要考虑以下几个方面：1. 变速器结构：不同类型的变速器结构会影响行程设计。

例如手动变速器和自动变速器的行程设计有所不同。

2. 液压系统：自动变速器通常采用液压系统实现换挡。

液压系统的设计和控制会影响到换挡过程中的顺畅度和平稳度。

3. 电子控制系统：现代汽车通常采用电子控制系统来控制变速器。

电子控制系统可以通过调整油门踏板、转速等参数来实现平滑过渡。

4. 驾驶者操作：驾驶者的操作习惯和技术水平也会影响到变速器行程的设计。

因此，在设计变速器行程时需要考虑到不同类型的驾驶者。

四、解决问题在分析问题之后，我们可以采取以下几种方法来解决变速行程问题：1. 优化机械结构：通过优化变速器机械结构，例如改变齿轮比、加入同步器等方式来实现平稳切换和平滑过渡。

行程问题7大经典题型归纳总结拓展简单地将行程问题分类：（1）直线上的相遇、追及问题（含多次往返类型的相遇、追及）（2）火车过人、过桥和错车问题（3）多个对象间的行程问题（4）环形问题与时钟问题（5）流水、行船问题（6）变速问题一些习惯性的解题方法：（1）利用设数法、设份数处理（2）利用速度变化情况进行分段处理（3）利用和差倍分以及比例关系，将形程过程进行对比分拆（4）利用方程法求解1. 直线上的相遇与追及直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基础例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：东西两地间的距离是多少千米？例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？2. 火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。

因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关下面教你一招——以静制动法解决火车过桥问题。

呵呵～～这种类型的题目，看起来复杂，眼花缭乱，其实我们可以以静制动，只看火车头或火车尾在整个行程中的路程。

而当有多个变量（火车过人、两辆火车齐头并进，齐尾并进等）时可以把其中一个变量看做静止，只需要研究另一个变量的行程以及二者的速度和或速度差，就可以轻松求解、屡试不爽。

例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。

求列车与货车从相遇到离开所用的时间。

例题4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。

一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（这道题超级经典~）例题5 有2列火车同时同方向齐头行进,12秒钟后快车超过慢车，已知快车每秒行驶18米，慢车每秒行10米，求快车车身长度多少米？如果这两列火车车尾相齐，同时同方向行进，则9秒钟后快车超过慢车，那么慢车车身长度是多少米。

一、行程问题中的变速（六上）第12讲行程中的变速问题五升六暑期知识点备注一、 平均速度1、邮递员早晨7点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路．上坡的速度是3/千米时，下坡的速度是6/千米时，请问：（2）邮递员去村里的平均速度是________千米/小时．（2）邮递员返回时的平均速度是________千米/小时．（3）邮递员往返的平均速度是________千米/小时．【答案】（1）3.6千米/小时（2）4.5千米/小时（3）4千米/小时【解析】平均速度等于总路程除以总时间课堂例题（1）去时走的总路程是12618+=千米，总时间是123665÷+÷=小时，平均速度是185 3.6÷=千米/小时．（2）返回时总路程是18千米，总时间是126634÷+÷=小时，平均速度是184 4.5÷=千米/小时．（3）往返的总路程是18236⨯=千米，总时间是549+=小时，平均速度是3694÷=千米/小时．2、如图所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行50厘米、20厘米、40厘米．蚂蚁由A 点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？【答案】 113119厘米/分；1327厘米/分【解析】 顺时针爬行一周的平均速度为3113111119502040=++厘米/分，顺时针爬行一周半的平均速度为 4.51322 1.517502040=++厘米/分3、王老师开车回家，原计划按照40/千米时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的A502040速度只有30/千米时，那么在后一半路程中，速度必须达到________千米/小时．才能准时到家？．【答案】60千米/小时【解析】设总路程的一半为1份，原计划速度为40，到家的时间是21 4020=；实际上他走前一半路程的速度是30，用的时间是130；因此他走后一半路程的时间是111 203060-=；要准时到家，他走后一半路程的速度是116060÷=，单位是千米/小时．4、甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4/千米时的速度走了路程的一半，又以6/千米时的速度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以4/千米时的速度行进，另一半时间以6/千米时的速度行进．问：甲、乙两班哪个班将获胜？【答案】乙班【解析】甲班平均速度为24.81146=+千米/小时，乙班平均速度为4652+=千米/小时；乙班获胜．二、直线形路线问题5、男、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步（如图204所示，坡顶为A，坡底为B ）．两人同时从A 点出发，在A ，B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．请问：两人第一次迎面相遇的地点离A 点多少米？第二次迎面相遇的地点离A 点多少米？【答案】96米；3517米【解析】两名运动员走各段路的速度和时间如下表（速度的单位是：米/秒，时间的单位是：秒）用柳卡图表示两人的运动状态，实线表示男运动员，虚线表示女运动员，第一次迎面相遇点离A 点的距离是()6412096644024⨯=+-米； 第二次迎面相遇点离A 点的距离是()()100643120511006488407-⨯=-+-米． A B6、在一条南北走向的公路上有A ，B 两镇，A 镇在B 镇北面4.8千米处．甲、乙两人分别同时从A 镇、B 镇出发向南行走，甲的速度是每小时9千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走3分钟后，便转身往回走2分钟，接着按照先向南走3分钟，再向北走2分钟的方式循环运动．请问：两人相遇的地点距B 镇多少千米？【答案】0.96千米【解析】两镇相距4800米，甲的速度是150米/分，乙的速度是100米/分．以5分钟为一个周期，一个周期内甲往南走了1505750⨯=米，乙往南走了10031002100⨯-⨯=米，两人的距离缩短了750100650-=米．48006507250÷=，这说明走了7个周期35分钟后两人的距离为250米；接下来的3分钟，两人都往南走，距离减少()1501003150-⨯=米，两人距离变成250150100-=米；接下了甲往南走，乙往北走，再过()1001501000.4÷+=分钟后相遇．相遇时甲共走了3530.438.4++=分钟，走了15038.45760⨯=米；相遇点离B 点57604800960-=米，即0.96千米．7、龟兔赛跑，全程1.04千米．兔子每小时跑4千米，乌龟每小时爬0.6千米．乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，……．请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？【答案】13.4分钟【解析】÷⨯=分钟；兔子需要跑1.0446015.6++++<<+++++，兔子在到终点前停了了5次；1234515.6123456+⨯=．到达终点的时间是15.615590.6÷⨯=分钟．乌龟跑完全程需要的时间是1.040.660104-=分钟．兔子先到达，快了10490.613.48、甲、乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进．甲每行5分钟休息2分钟，乙每行210米休息3分钟．甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟了10分钟．已知两人最后一次的休息地点相距70米，求两人的速度．【答案】50米/分钟【解析】甲50分钟从A到B，其中走36分钟，休息14分钟，最后一次休息在距离B点最近的点处．乙共用60分钟，同样走了36分钟，所以休息24分，共休息8次．乙在最后一次休息前共走1680米，所以甲最后一次休息前共走1610米或1750米．如果是1610米，则甲乙的速度为46米/分，此时AB相距1656米，比乙的最后一次休息时走的1680米短，不对．如果是1750米，则甲乙速度为50米/分，此时AB相距1800米．9、（2011华杯赛小学组决赛）A、B两地相距500千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地去B地．甲每天骑30千米，乙每天50千米，但乙骑一天休息一天．第_______天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．【答案】15【解析】若第2a天的行程结束购，乙距B地的路程是甲距B地路程的二倍，则有()⨯-⨯=-⨯，a无整数解；若第21a a250030250050b-天的行程结束后，乙距B地的路程是甲距B地路程的二倍，则有()b b⨯-⨯-=-⨯2500302150050⎡⎤b=，所以第15⎣⎦，解得8天的行程结束后，乙距B地的路程是甲距B地路程的二倍．10、从阿呆家去墨莫家要先坐一段路的车，然后坐船，最后再走一段路．已知三段路的长度都是30千米．现在阿呆和墨莫同时从自己家出发去对方家，已知两人坐的车的速度都是60千米/时，船的速度都是20千米/时，两人走路的速度都是5千米/时．那么他们相遇的地点距离阿呆家多少千米？（不考虑水速）【答案】70【解析】阿呆坐车、坐船总时间为303026020h+=，这2h内阿瓜只走了5210km⨯=，此时两人相距301020km-=．至相遇阿呆还需走20210km÷=，故相遇地点距阿呆家3021070km⨯+=．三、环形路线问题11、如图所示，正方形边长是1200米，甲、乙两人于8:00同时从A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，且两人每到达一个顶点都需要休息1分钟．求甲从出发到第一次看见乙所用的时间．【答案】65min【解析】易知甲休息的次数不少于乙，故甲有效的追及时间至少为()120012010060min÷-=．甲每走120012010min÷=休息1min，故走60min实际花了65min．乙每走120010012min÷=休息1min，故走60min休息4次，实际花了64min．易知第65min乙恰好在休息，故65min 后甲可看见乙．12、小明和小强从400米环形跑道的同一点出发，背向而行．当他们第1次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小强转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小强两人交替调转方向．两人的速度在运动过程中始终保持不变，小明每秒跑3米，小强每秒跑5米．试问：当他们第99次相遇时，相遇点距离出发点多少米？【答案】200米【解析】将两人前几次相遇时的运动状态表示出来，图中短箭头表示小明的运动方向，长箭头表示小强的运动方向．发现第四次相遇后两人的运动状态和初始状态完全相同，因此两人的运动状态以每相遇4次为一个周期；，因此第99次相遇时的情况和第3次相遇时的情况相同；距离出发点200米．1、阿瓜去小高家玩．一共要走1200米，前400米阿瓜的速度是5米/秒，后面800米的速度是2.5米/秒．那么他全程的平均速度是多少？【答案】3/m s【解析】 总时间4008004005 2.5s +=，故平均速度为12004003/m s ÷=．2、一只蚂蚁沿如图所示的等边三角形的三条边爬行，它在三条边上的速度分别为60厘米/分、30厘米/分、20厘米/分．那么蚂蚁从A 点出发，顺时针爬行两周半的平均速度是__________厘米/分．（答案请用带分数表示．）【答案】1327A 603020 随堂练习【解析】等边三角形的三条边是相等的，但是具体的长度未知，不妨采用设数法设出边长，设等边三角形的边长是60厘米则，则总路程等于603 2.5450⨯⨯=厘米，总时间等于606060606022146030206030⎛⎫++⨯++÷= ⎪⎝⎭分，所以平均速度是4502251321477==．3、在30世纪的某一天，卡莉娅和墨莫两人在地球和火星间进行往返旅行．如果卡莉娅从地球飞向火星的速度是300万公里/天，而从火星返回地球的速度是400万公里/天；墨莫从地球飞向火星的速度是200万公里/天，而从火星返回地球的速度是300万公里/天．现两人同时从地球出发，在地球和火星间往返，请问两人第二次迎面在太空中相遇时距地球多少万公里？（已知地球和火星间的距离约为6000万公里）【答案】2250【解析】 易知第二次相遇在卡莉娅完成一个来回以后．卡莉娅第一次回到地球用时6000600035300400+=天，墨莫到火星需600030200=天，故35天后两人距离为()600030035304500-⨯-=万公里．卡莉娅从地球飞向火星的速度与墨莫从火星返回地球的速度相等，因此，两人第二次迎面在太空中相遇时距地球450022250÷=万公里．4、在东西方向上的A 、B （A 地在B 的西面）两地相距6千米．甲乙分别同时从A 、B 两地出发向东走，甲的速度是每小时12千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动的过程中始终不改变方向，而乙向东走了2分钟后，便转身往回走1分钟，再转向东走2分钟，再转身走1分钟……那么甲、乙两人相遇的地点距B 地多远？【答案】1.2km【解析】乙运动的周期为3min ．每3min 内，甲向东走了3120.660km ⨯=，乙向东走了2160.160km -⨯=，即每3min 内差距缩小0.60.10.5km -=，相遇需60.5336min ÷⨯=，此处距B 点360.1 1.23km ⨯=．5、（金帆六年级秋季）如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向出发．如果甲每分钟走90米，乙每分钟走70米，那么经过多长时间甲才能看见乙？【答案】216min 3【解析】甲看见乙时两人距离最多为正方形边长，即300m ，故甲至少要追上3002300300m ⨯-=，需()300907015min ÷-=，此时甲共走90151350m ⨯=，不在顶点，甲无法看到乙，但只需到下个顶点即可，故还需()230051350901min 3⨯-÷=，总时间为2215116min 33+=．课后作业1、如图所示，一个蜗牛从A点出发沿着一个等边三角形的三边爬行，速度如图所示（单位：厘米/分），那么这个蜗牛顺时针爬行一周的平均速度是______厘米/分．【答案】40【解析】设等边三角形的边长为[]30,40,60120=，则平均速度为120336040/min 120120120432304060cm⨯==++++．2、山谷和森林相距2000米，小老虎从森林出发去山谷，速度为5米/秒．它每走120米都会休息10秒钟，那么走完全程一共需要________秒．【答案】544【解析】走120米需120524s÷=，故周期为241034s+=．20001201680÷=，故需走16个完整周期后再走80米．耗时3416805544s⨯+÷=．3、如图，B 地是AC 两地的中点，AC 之间的距离是12千米．人在AB 上的速度是3千米/时，在BC 上的速度是2千米/时．现在甲、乙二人分别从A 、C 两地同时出发相向而行 ，_____分后两人相遇．【答案】150【解析】1226AB BC km ==÷=．甲到B 耗时632h ÷=，此时乙距B 点由6222km -⨯=，至相遇还需()2220.5h ÷+=，共耗时20.5 2.5150min h +==．4、如图所示，AB 两地相距200米．甲、乙分别从A 、B 两地同时出发，按照箭头所示的方向行走，甲在行进过程中方向始终不变，速度为每分钟20米，而乙按照先走3分钟，再转身走1分钟，转身再走3分钟，……这样的方式走，并且速度是每分钟10米，那么甲、乙两人相遇的地点距B 地______米．（同一时间在同一地点就算相遇）【答案】 2003【解析】乙运动的周期为4min ．每4min 内，甲向东走了20480m ⨯=，乙向东走了()103120m ⨯-=，即每4min 内差距缩小802060m -=，相遇需40200604min 3÷⨯=，此处距B 点402002020033m ⨯-=．5、甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行．出发时，甲的速度为50千米/时，乙的速度是40千米/时，相遇后，甲的速度减少15，乙的速度增加15．这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米，那么，A 、B 两地相距______千米．【答案】882【解析】设两车于C 点相遇，则易知甲在AC 、BC 的速度分别为50/km h 、40/km h ，乙分别为48/km h 、40/km h ，即两人只在AC 段不同，5048104905048AC km +=⨯=-，544908825AB km +=⨯=．6、如图，一个正方形房屋的边长为20米．小山羊和鹿宝宝两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进．小山羊每秒行5米，鹿宝宝每秒行2.5米，且两人每到达一个顶点都需要休息1秒钟．问：出发后经过______________秒小山羊第一次追上鹿宝宝．【答案】小山羊鹿宝宝202022【解析】两者都不休息时需要()405 2.516÷-=秒，此时小山羊走了51680⨯=米，所以小山羊共休息了4次，休息了4秒钟，鹿宝宝走了2.51640⨯=，休息了2次休息了2秒钟，两者时间差是42=2秒，这个时候两者之间的距离是2.525⨯=米，还需要()55 2.52÷-=秒，所以共用时间16+4+2=22秒．。

变速相遇行程问题是指两个物体在同一直线上运动，其中
一个或两个物体速度不同，最终它们相遇的问题。

这类问题
需要我们理解相对速度的概念，并能够运用速度、时间和距
离之间的关系进行求解。

解题技巧：
1. 确定参照物：选择一个物体作为参照物，以便更好地
描述其他物体的运动情况。

通常选择速度较快的物体作为参
照物。

2. 找出相对速度：根据两个物体的速度和方向，计算出
它们之间的相对速度。

相对速度是两个物体速度之差或之和，取决于它们的运动方向。

3. 运用公式求解：根据题意，选择适当的公式进行求解。

常用的公式有：距离 = 速度× 时间。

对于变速运动，可以
使用平均速度公式：平均速度 = 总距离 / 总时间。

4. 注意陷阱：题目中可能存在一些陷阱，例如隐含的条
件或多余的信息。

在解题过程中要仔细审题，排除干扰信息。

5. 检验答案：解出答案后，要回过头来检验是否符合题
意和实际情况。

通过掌握以上技巧，我们可以更好地解决变速相遇行程问题。

这类问题不仅考察我们对相对速度的理解，还要求我们
能够灵活运用速度、时间和距离之间的关系进行计算。

通过
不断的练习和总结，我们可以提高解决这类问题的能力。

行程问题——变速、追及、相遇问题【基本公式】：路程＝速度×时间相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；一、变速问题例1、小红上学，每分钟行 60 米，需要 30 分钟，如果速度提高51，可以提前几分钟？举一反三、1、甲从 A 地去 B 地，每小时行 15 千米。

返回时速度提高51，结果少用 3小时。

请问 A 、B 两地的距离是多少千米？2、甲乙两地相距 60 千米，一辆汽车先用每小时12 千米的速度行了一段路，然后速度提高41 继续行驶，共用 4.4 小时到达，请问这辆车出发几小时后开始提速？二、相遇问题例2、甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米．两人几小时后相遇？举一反三、甲乙两艘轮船分别从A 、B 两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇．两地间的水路长多少千米？例3、东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍，3小时后两人相距56千米．两人的速度各是多少？举一反三、小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A 处相遇。

若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？例4、两列货车从相距450 千米的两个城市相向开出，甲车每小时行40 千 米 ，乙车每小时比甲车多行41，出发几小时后两车相遇？举一反三、甲乙两列火车同时从A 、B 两个城市对面开来，甲火车每小时行36 千米，乙火车每小时比甲火车多行92，开出4 小时后两车相遇。

求A 、B 两地之间的距离是多少千米？例5、甲乙两人同时从A 地去B 地，甲每小时行15 千米，乙每小时慢52，甲到达B 地后返回，在距离B 地 24 千米的地方遇到乙，请问A 、B 两地之间的距离是多少千米？举一反三、甲乙两人分别从A 、B 两地出发相向而行，如果甲提前2 小时出发，则再行4.2 小时相遇，如果乙提前2 小时出发，则再行4.8 小时相遇。

行程问题——变速、追及、相遇问题【基本公式】：路程＝速度×时间相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；一、变速问题例1、小红上学，每分钟行 60 米，需要 30 分钟，如果速度提高51，可以提前几分钟？举一反三、1、甲从 A 地去 B 地，每小时行 15 千米。

返回时速度提高51，结果少用 3小时。

请问 A 、B 两地的距离是多少千 米？2、甲乙两地相距 60 千米，一辆汽车先用每小时12 千米的速度行了一段路，然后速度提高41 继续行驶，共用 4.4 小时到达，请问这辆车出发几小时后开始提速？二、相遇问题例2、甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米．两人几小时后相遇？举一反三、甲乙两艘轮船分别从A 、B 两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇．两地间的水路长多少千米？例3、东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍，3小时后两人相距56千米．两人的速度各是多少？举一反三、小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A 处相遇。

若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？例4、两列货车从相距450 千米的两个城市相向开出，甲车每小时行40 千 米 ，乙车每小时比甲车多行41，出发几小时后两车相遇？举一反三、甲乙两列火车同时从A 、B 两个城市对面开来，甲火车每小时行36 千米，乙火车每小时比甲火车多行92，开出4 小时后两车相遇。

求A 、B 两地之间的距离是多少千米？例5、甲乙两人同时从A 地去B 地，甲每小时行15 千米，乙每小时慢52，甲到达B 地后返回，在距离B 地 24 千米的地方遇到乙，请问A 、B 两地之间的距离是多少千米？举一反三、甲乙两人分别从A 、B 两地出发相向而行，如果甲提前2 小时出发，则再行 4.2 小时相遇，如果乙提前2 小时出发，则再行4.8 小时相遇。

应用题专题一行程问题知识要点：行程问题是小学课本及奥数关注的重点及难点，有下面几种类型1.相遇问题：相遇路程=路程和=相遇时间×速度和；速度比=路程比（时间是相等的）2.追及问题：相距路程=路程差=追及时间×速度差；速度比=路程比（时间是相等的）3.火车问题：火车过桥所行路程=桥长+车身长；会车：两车长和=会车时间×速度和；车经过同向的行人：车长=经过时间×速度差；车经过相向的行人：车长=经过时间×速度和.4．流水问题：逆水船速=静水船速-水流船速；顺水速度=静水速度+水流船速5. 变速问题：时间1：时间2=速度2：速度1（同一段路程用两种不同速度走完）对于复杂的行程问题，可以画出线段图帮助解题.例1 列车A从甲地出发开往乙地，同时列车B、C从乙地出发与A相向而行开往甲地，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。

已知Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分别是每小时９０千米、８０千米、６０千米，那么甲、乙两站的路程是多少千米？【能力提升】甲乙两人同时A、B两地同时出发，甲的速度是乙的速度的倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A、B两地的距离是多少米？例2.列车A和B相向而行，A车的车身长280米，B车的车身长385米，坐在A车上的小明看见B车驶过的时间是11秒，则坐在B车上的小强看见A车驶过的时间是多少秒？两列车会车的时间是多少秒？【能力提升】甲乙两人相向而行，速度相同。

火车从甲身后开来，速度是人的17倍，车经过甲用18秒，然后又过了2分16秒钟完全经过了乙的身边。

甲乙还需多少分钟相遇？例3Ａ，Ｂ两地相距１０千米，一艘船从Ａ地出发抵达Ｂ地后立即返回，共用３小时。

已知第一小时比第三小时多行８千米，那么水速为每小时多少千米？【能力提升】在静水中，甲船的速度是乙船速度的两倍。

甲乙两船沿河分别从Ａ、Ｂ两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是3：1，如果甲乙分别从B、A同时出发，相向而行，相遇时距A、B 的距离之比为多少？例4一列火车出发1小时后因故停车小时，然后以原速的34前进，最终到达目的地晚小时。