行程问题6变速问题

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法.对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中,为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法;⑶比例法行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中,有些条件（如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．模块一、变速问题【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变,小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米?【例 2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地.求甲原来的速度。

变速行程解题技巧和方法1. 嘿，变速行程问题可别小瞧啊！就像你跑步时一会儿加速一会儿减速，那计算起来可得有窍门哦！比如一辆车先以每小时 40 公里的速度行驶，然后突然加速到每小时 60 公里，那这中间的路程和时间咋算呢？得抓住关键信息呀！2. 哎呀呀，解决变速行程问题，一定要清楚各个阶段呀！好比你玩游戏过不同关卡，每个关卡速度都不一样。

就像那辆自行车，开始慢悠悠地骑，后来猛地加速，这不同阶段可得搞清楚呢，不然怎么算对呀！3. 你们知道不，变速行程解题有个超重要的方法，就像找到宝藏的钥匙一样！比如说那艘船，先顺流速度超快，后来逆流速度就慢下来了，这时候就得好好想想怎么去分析啦，是不是很有意思？4. 哇塞，变速行程解题技巧真的很关键呀！就好像走迷宫，找对了路就一路通畅。

比如那列火车，一会儿加速一会儿减速，不掌握技巧怎么能算得清楚它到底跑了多远呢？5. 嘿哟，变速行程可不能瞎算呀！这就跟做饭一样，得有步骤有方法。

像那个运动员跑步，一会儿冲刺一会儿慢跑，你得知道每个阶段的时间和距离呀，这样才能得出正确答案嘛！6. 哈哈，变速行程解题，那可得动点小脑筋哦！就像解谜题一样有趣。

比如那架飞机，飞行过程中速度不断变化，你不仔细分析能行吗？7. 哇，变速行程问题其实不难的啦！只要掌握了方法，就像开锁一样简单。

好比那辆车在山路上一会儿快一会儿慢，你得找到关键数据呀，不然怎么解题呢？8. 哎呀，变速行程的方法一定要学会呀！这就好像打仗要有战术。

比如那个滑板少年，滑的速度时快时慢，你得清楚怎么去计算他的行程呀，对吧？9. 嘿，变速行程解题技巧超有用的好不好！就像有了魔法棒一样。

比如那只小兔子在田野里蹦蹦跳跳，速度不一样，你得用对技巧才能算出它跑的路程呀！10. 哇哦，变速行程，掌握了技巧和方法，那都不是事儿！就像你掌握了游戏的秘籍。

比如那艘快艇在水面上疾驰，速度变化多端，你得有办法应对呀，这样才能算得准确无误呀！我的观点结论：变速行程解题并不难，只要用心去理解和掌握这些技巧和方法，多做练习，大家都能轻松应对变速行程问题。

一、相遇与追及1、路程和路程差公式【例1］如下图，某城市东西路与南北路交会于路口 A .甲在路口A南边560米的B点, 乙在路口A .甲向北，乙向东同时匀速行走. 4分钟后二人距A的距离相等.再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等.问：甲、乙二人的速度各是多少？3、多次相遇【例3］甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米？行程问题【难度］2星【题型］解答画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：A r--【考点】行程问题【难度】3星【关键词】2003年，明心奥数挑战赛【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程•那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：（米/分）。

第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了以北走的路程乙走的总路程•那么，从第二次甲比乙共多走了4 24 28（分钟），两人的速度差：甲速要比乙速要快；甲速（140 20）2 80（米/ 分），乙速【答案】甲速80米/分，乙速60米/分2、多人相遇【例2】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米行程问题【难度】2星560 28 20（米/分），甲速20 ,解这个和140 80 60（米/分）.560 4 140A点，且在A点560米，共走了乙速140，显然【解析］甲、丙6分钟相遇的路程：10075 6 1050 （米）；甲、乙相遇的时间为：10508075210（分钟）;东、西两村之间的距离为：10080210 37800（米）【答案］37800米【考点】可以发现第一次相遇意味着两车行了一个车共行了三个A、B两地间的距离•当甲、时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两乙两车共行了一个A、B两地间的距离A、B两地间的距离时，甲车就行了【题型】解答【考点】差问题，甲速【题型】解答95千米，即95X 3=285 （千米），而这 285千米比一个 A 、B 两地间的距离多 25 千米，可得：95X 3-25=285-25=260（ 千米）.【答案】260千米二、 典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a ） 根据另一个列车每小时走 72千米，所以，它的速度为：72000 £600 = 20 （米/秒）， 某列车的速度为：（25O — 210） - （25 — 23）= 40^2= 20 （米/秒）某列车的车长 为：20X 25-250 = 500-250 = 250 （米），两列车的错车时间为： （250 + 150） -（20 + 20 ）= 400^40 = 10 （秒）。

行程专题之变速运动典型例题例1、【相遇后再变速】1.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.出发时,甲,乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时,乙离开A 地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米?2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:2他们第一次相遇后甲的速度提高了20%,乙的速度提高了1/3,这样,当甲到达B 地时,乙离A地还有41千米,那么A、B两地相距多少千米?3.甲乙两车分别从AB两地同时相向而行,出发时甲乙两车的速度比为3:2,两车相遇后,甲车提速20%,乙车提速30%,当甲车到B地时,乙车离A地还有56千米,AB两地相距多少千米?4.(2008年清华附中入学测试题)如图,甲、乙分别从A、C两地同时出发,匀速相向而行,他们的速度之比为5:4,相遇于B地后,甲继续以原来的速度向C地前进,而乙则立即调头返回,并且乙的速度比相遇前降低1/5,这样当乙回到C地时,甲恰好到达离C地18千米的D处,那么A、C两地之间的距离是____千米。

ABCD5.客货两车同时从甲乙两地相对开出,相遇时客货两车所行的路程比是5:4,相遇后货车每小时比相遇前每小时多行27千米,客车仍按原速前进,结果两车同时到达对方的出发站。

已知客车一共行了10小时,问甲乙两地相距多少千米?6.上午8点整,甲从A地出发匀速去B地, 8点20分甲与从B地出发匀速去A 地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变;8点30分,甲、乙两人同时到达各自的目的地。

那么,乙从B地出发时是8点几分?7.一天,小张开拖拉机从甲镇到乙镇,同时小李驾驶小轿车沿同一条路从乙镇去甲镇.在超过两镇之间公路中点15千米的地方,小李见到了小张,之后,小张按原来的速度继续前进,小李则把车速提高1/5,小李到达甲镇后立即顺原路返回乙镇,在离乙镇30千米的地方追上小张.甲乙两镇间的路程有多远?例2.【爬山变速】1.(难度等级※※)甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。

行程问题7大经典题型归纳总结拓展简单地将行程问题分类：（1）直线上的相遇、追及问题（含多次往返类型的相遇、追及）（2）火车过人、过桥和错车问题（3）多个对象间的行程问题（4）环形问题与时钟问题（5）流水、行船问题（6）变速问题一些习惯性的解题方法：（1）利用设数法、设份数处理（2）利用速度变化情况进行分段处理（3）利用和差倍分以及比例关系，将形程过程进行对比分拆（4）利用方程法求解1. 直线上的相遇与追及直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基础例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：东西两地间的距离是多少千米？例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？2. 火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。

因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关下面教你一招——以静制动法解决火车过桥问题。

呵呵～～这种类型的题目，看起来复杂，眼花缭乱，其实我们可以以静制动，只看火车头或火车尾在整个行程中的路程。

而当有多个变量（火车过人、两辆火车齐头并进，齐尾并进等）时可以把其中一个变量看做静止，只需要研究另一个变量的行程以及二者的速度和或速度差，就可以轻松求解、屡试不爽。

例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。

求列车与货车从相遇到离开所用的时间。

例题4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。

一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（这道题超级经典~）例题5 有2列火车同时同方向齐头行进,12秒钟后快车超过慢车，已知快车每秒行驶18米，慢车每秒行10米，求快车车身长度多少米？如果这两列火车车尾相齐，同时同方向行进，则9秒钟后快车超过慢车，那么慢车车身长度是多少米。

应用题板块-行程问题之变速行驶（小学奥数六年级）变速行驶是行程问题中的综合题，常常需要混合使用多个解题手法，复杂度也直线上升。

本文对常见的题型和解题思路进行梳理分析，答题也就游刃有余了。

【一、题型要领】变速问题常见的有两类一是单人从A到B，以初始速度行驶，在路途中间加速或减速，最终提前或推迟到达目的地。

二是甲乙两人在AB异地同时出发，甲的速度始终不变，乙在行驶一段距离后速度发生改变，最终影响两人到达目的地的时间答题方法主要有分段法，图示法，比例法，方程法。

1. 分段法【基本概念】在非匀速即分段变速的行程问题中，公式（路程 = 速度 * 时间）不能直接套用。

这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。

2. 图示法【基本概念】在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具，示意图包括线段图和折线图。

图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。

另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。

3. 比例法【基本概念】行程问题中有很多比例关系，在只知道和差，比例时，用比例法可求得具体数值。

更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程，速度，时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例法解题4.方程法【基本概念】在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。

【二、重点例题】例题1【题目】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶40千米，返回时每小时行驶50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟。

求甲乙两地之间的路程？【分析】汽车从甲地开往乙地又从乙地开往甲地，来回所走距离相同。

有去时速度 * 去时时间 = 返回速度 * 返回时间已知去时速度 = 40千米/小时，返回速度 = 50千米/小时，因此去时时间：返回时间 = 5：4又知返回时间 - 去时时间 = 48分钟，可得返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟），最后可求出甲乙两地的距离【解】去时时间：返回时间 = 返回速度：去时速度 = 5：4返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟）甲乙两地之间的路程 = 50 ÷ 60 * 192 = 160（千米）【答】甲乙两地之间的路程是160千米例题2【题目】甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比为3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有28千米。

变速问题教学目标1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52 米，小强每分走70 米，二人在途中的A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走90 米，则两人仍在A处相遇。

行程问题7大经典题型归纳总结拓展引言行程问题是数学中常见的问题之一，主要研究物体在不同速度、时间、距离条件下的运动情况。

本文将对行程问题中的7大经典题型进行归纳总结，并进行拓展分析。

题型一：相遇问题定义相遇问题是指两个或多个物体从不同地点出发，以不同的速度相向而行，最终在某一点相遇的问题。

公式设A、B两点相距( d )，甲从A点出发，速度为( v_a )；乙从B点出发，速度为( v_b )。

若甲乙相遇于C点，则相遇时间为( t )，有：[ t = \frac{d}{v_a + v_b} ]拓展可以拓展到多物体相遇问题，考虑物体间的速度差和相对运动。

题型二：追及问题定义追及问题是指一个物体追赶另一个物体，两者以不同速度运动，最终追上的问题。

公式设甲从A点出发，速度为( v_a )；乙从B点出发，速度为( v_b )，甲追上乙所需时间为( t )，则：[ t = \frac{d}{v_a - v_b} ]拓展考虑追及过程中的加速、减速情况，以及追及的临界条件。

题型三：往返问题定义往返问题是指物体在两点间来回运动，可能涉及速度变化的问题。

公式设A、B两点相距( d )，物体速度为( v )，往返一次所需时间为( t )，则：[ t = \frac{2d}{v} ]拓展考虑物体在往返过程中速度的变化，以及往返次数与时间的关系。

题型四：流水行船问题定义流水行船问题是指船只在有水流的河流中航行，需要考虑船速与水流速度的问题。

公式设船在静水中的速度为( v_s )，水流速度为( v_r )，船顺流而下的速度为( v_{up} )，逆流而上的速度为( v_{down} )，则：[ v_{up} = v_s + v_r ][ v_{down} = v_s - v_r ]拓展考虑船只在不同水流速度下的航行策略，以及如何最优化航行时间。

题型五：环形跑道问题定义环形跑道问题是指物体在环形跑道上运动，可能涉及速度和圈数的问题。

一、 相遇与追及1、路程和路程差公式【例 1】 如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A ．甲在路口A 南边560米的B 点，乙在路口A ．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距A 的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A 的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2003年，明心奥数挑战赛【解析】 本题总共有两次距离A 相等，第一次：甲到A 的距离正好就是乙从A 出发走的路程．那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：5604140÷=(米/分)。

第二次：两人距A 的距离又相等，只能是甲、乙走过了A 点，且在A 点以北走的路程=乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了42428+=(分钟)，两人的速度差：5602820÷=(米/分)，甲速+乙速140=，显然甲速要比乙速要快；甲速-乙速20=，解这个和差问题，甲速14020280=+÷=（）(米/分)，乙速1408060=-=(米/分)．【答案】甲速80米/分，乙速60米/分2、多人相遇【例 2】 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程：()1007561050+⨯=(米)；甲、乙相遇的时间为：()10508075210÷-=(分钟)；东、西两村之间的距离为：()1008021037800+⨯=(米).【答案】37800米3、多次相遇【例 3】 甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相对开出，第一次在离A 地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B 地25千米处相遇．求A 、B 两地间的距离是多少千米？【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A 、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A 、B 两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A 、B 两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A 、B 两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A 、B 两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【答案】260千米二、典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a)根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒），某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米），两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）。

行程板块之变速问题知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

例题精讲：【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？解析;因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。

（70×4）÷（90-70）=14 分钟可知小强第二次走了 14分钟，他第一次走了 14＋4=18 分钟；两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）【例2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 25秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

解析：因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 25秒，则相遇前两人和跑一圈也用 25秒。

以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 25 秒的路程与以（V +2 ）跑了 25 秒的路程之和等于 400米，25V +25（V +2 ）=400 易得V = 7米/秒【例3】甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点16 千米．甲车原来每小时行多少千米？解析;设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。

甲增加速度后，两车在 E 处相遇。

由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。

于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。

一、相遇与追及1、路程和路程差公式【例1】如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2003年，明心奥数挑战赛【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程．那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：5604140÷= (米/分)。

第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程=乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了=，显然42428÷=(米/分)，甲速+乙速140 +=(分钟)，两人的速度差：5602820甲速要比乙速要快；甲速-乙速20=，解这个和差问题，甲速=-=(米/分)．14020280（）(米/分)，乙速1408060=+÷=【答案】甲速80米/分，乙速60米/分2、多人相遇【例2】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】甲、丙6分钟相遇的路程：()+⨯=(米)；1007561050甲、乙相遇的时间为：()÷-=(分钟)；10508075210东、西两村之间的距离为：()+⨯=(米).1008021037800【答案】37800米3、多次相遇【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【答案】260千米二、典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a)根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒），某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米），两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）。

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．模块一、变速问题【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？【例 2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

一、行程问题中的变速（六上）第12讲行程中的变速问题五升六暑期知识点备注一、 平均速度1、邮递员早晨7点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路．上坡的速度是3/千米时，下坡的速度是6/千米时，请问：（2）邮递员去村里的平均速度是________千米/小时．（2）邮递员返回时的平均速度是________千米/小时．（3）邮递员往返的平均速度是________千米/小时．【答案】（1）3.6千米/小时（2）4.5千米/小时（3）4千米/小时【解析】平均速度等于总路程除以总时间课堂例题（1）去时走的总路程是12618+=千米，总时间是123665÷+÷=小时，平均速度是185 3.6÷=千米/小时．（2）返回时总路程是18千米，总时间是126634÷+÷=小时，平均速度是184 4.5÷=千米/小时．（3）往返的总路程是18236⨯=千米，总时间是549+=小时，平均速度是3694÷=千米/小时．2、如图所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行50厘米、20厘米、40厘米．蚂蚁由A 点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？【答案】 113119厘米/分；1327厘米/分【解析】 顺时针爬行一周的平均速度为3113111119502040=++厘米/分，顺时针爬行一周半的平均速度为 4.51322 1.517502040=++厘米/分3、王老师开车回家，原计划按照40/千米时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的A502040速度只有30/千米时，那么在后一半路程中，速度必须达到________千米/小时．才能准时到家？．【答案】60千米/小时【解析】设总路程的一半为1份，原计划速度为40，到家的时间是21 4020=；实际上他走前一半路程的速度是30，用的时间是130；因此他走后一半路程的时间是111 203060-=；要准时到家，他走后一半路程的速度是116060÷=，单位是千米/小时．4、甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4/千米时的速度走了路程的一半，又以6/千米时的速度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以4/千米时的速度行进，另一半时间以6/千米时的速度行进．问：甲、乙两班哪个班将获胜？【答案】乙班【解析】甲班平均速度为24.81146=+千米/小时，乙班平均速度为4652+=千米/小时；乙班获胜．二、直线形路线问题5、男、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步（如图204所示，坡顶为A，坡底为B ）．两人同时从A 点出发，在A ，B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．请问：两人第一次迎面相遇的地点离A 点多少米？第二次迎面相遇的地点离A 点多少米？【答案】96米；3517米【解析】两名运动员走各段路的速度和时间如下表（速度的单位是：米/秒，时间的单位是：秒）用柳卡图表示两人的运动状态，实线表示男运动员，虚线表示女运动员，第一次迎面相遇点离A 点的距离是()6412096644024⨯=+-米； 第二次迎面相遇点离A 点的距离是()()100643120511006488407-⨯=-+-米． A B6、在一条南北走向的公路上有A ，B 两镇，A 镇在B 镇北面4.8千米处．甲、乙两人分别同时从A 镇、B 镇出发向南行走，甲的速度是每小时9千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走3分钟后，便转身往回走2分钟，接着按照先向南走3分钟，再向北走2分钟的方式循环运动．请问：两人相遇的地点距B 镇多少千米？【答案】0.96千米【解析】两镇相距4800米，甲的速度是150米/分，乙的速度是100米/分．以5分钟为一个周期，一个周期内甲往南走了1505750⨯=米，乙往南走了10031002100⨯-⨯=米，两人的距离缩短了750100650-=米．48006507250÷=，这说明走了7个周期35分钟后两人的距离为250米；接下来的3分钟，两人都往南走，距离减少()1501003150-⨯=米，两人距离变成250150100-=米；接下了甲往南走，乙往北走，再过()1001501000.4÷+=分钟后相遇．相遇时甲共走了3530.438.4++=分钟，走了15038.45760⨯=米；相遇点离B 点57604800960-=米，即0.96千米．7、龟兔赛跑，全程1.04千米．兔子每小时跑4千米，乌龟每小时爬0.6千米．乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，……．请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？【答案】13.4分钟【解析】÷⨯=分钟；兔子需要跑1.0446015.6++++<<+++++，兔子在到终点前停了了5次；1234515.6123456+⨯=．到达终点的时间是15.615590.6÷⨯=分钟．乌龟跑完全程需要的时间是1.040.660104-=分钟．兔子先到达，快了10490.613.48、甲、乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进．甲每行5分钟休息2分钟，乙每行210米休息3分钟．甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟了10分钟．已知两人最后一次的休息地点相距70米，求两人的速度．【答案】50米/分钟【解析】甲50分钟从A到B，其中走36分钟，休息14分钟，最后一次休息在距离B点最近的点处．乙共用60分钟，同样走了36分钟，所以休息24分，共休息8次．乙在最后一次休息前共走1680米，所以甲最后一次休息前共走1610米或1750米．如果是1610米，则甲乙的速度为46米/分，此时AB相距1656米，比乙的最后一次休息时走的1680米短，不对．如果是1750米，则甲乙速度为50米/分，此时AB相距1800米．9、（2011华杯赛小学组决赛）A、B两地相距500千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地去B地．甲每天骑30千米，乙每天50千米，但乙骑一天休息一天．第_______天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．【答案】15【解析】若第2a天的行程结束购，乙距B地的路程是甲距B地路程的二倍，则有()⨯-⨯=-⨯，a无整数解；若第21a a250030250050b-天的行程结束后，乙距B地的路程是甲距B地路程的二倍，则有()b b⨯-⨯-=-⨯2500302150050⎡⎤b=，所以第15⎣⎦，解得8天的行程结束后，乙距B地的路程是甲距B地路程的二倍．10、从阿呆家去墨莫家要先坐一段路的车，然后坐船，最后再走一段路．已知三段路的长度都是30千米．现在阿呆和墨莫同时从自己家出发去对方家，已知两人坐的车的速度都是60千米/时，船的速度都是20千米/时，两人走路的速度都是5千米/时．那么他们相遇的地点距离阿呆家多少千米？（不考虑水速）【答案】70【解析】阿呆坐车、坐船总时间为303026020h+=，这2h内阿瓜只走了5210km⨯=，此时两人相距301020km-=．至相遇阿呆还需走20210km÷=，故相遇地点距阿呆家3021070km⨯+=．三、环形路线问题11、如图所示，正方形边长是1200米，甲、乙两人于8:00同时从A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，且两人每到达一个顶点都需要休息1分钟．求甲从出发到第一次看见乙所用的时间．【答案】65min【解析】易知甲休息的次数不少于乙，故甲有效的追及时间至少为()120012010060min÷-=．甲每走120012010min÷=休息1min，故走60min实际花了65min．乙每走120010012min÷=休息1min，故走60min休息4次，实际花了64min．易知第65min乙恰好在休息，故65min 后甲可看见乙．12、小明和小强从400米环形跑道的同一点出发，背向而行．当他们第1次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小强转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小强两人交替调转方向．两人的速度在运动过程中始终保持不变，小明每秒跑3米，小强每秒跑5米．试问：当他们第99次相遇时，相遇点距离出发点多少米？【答案】200米【解析】将两人前几次相遇时的运动状态表示出来，图中短箭头表示小明的运动方向，长箭头表示小强的运动方向．发现第四次相遇后两人的运动状态和初始状态完全相同，因此两人的运动状态以每相遇4次为一个周期；，因此第99次相遇时的情况和第3次相遇时的情况相同；距离出发点200米．1、阿瓜去小高家玩．一共要走1200米，前400米阿瓜的速度是5米/秒，后面800米的速度是2.5米/秒．那么他全程的平均速度是多少？【答案】3/m s【解析】 总时间4008004005 2.5s +=，故平均速度为12004003/m s ÷=．2、一只蚂蚁沿如图所示的等边三角形的三条边爬行，它在三条边上的速度分别为60厘米/分、30厘米/分、20厘米/分．那么蚂蚁从A 点出发，顺时针爬行两周半的平均速度是__________厘米/分．（答案请用带分数表示．）【答案】1327A 603020 随堂练习【解析】等边三角形的三条边是相等的，但是具体的长度未知，不妨采用设数法设出边长，设等边三角形的边长是60厘米则，则总路程等于603 2.5450⨯⨯=厘米，总时间等于606060606022146030206030⎛⎫++⨯++÷= ⎪⎝⎭分，所以平均速度是4502251321477==．3、在30世纪的某一天，卡莉娅和墨莫两人在地球和火星间进行往返旅行．如果卡莉娅从地球飞向火星的速度是300万公里/天，而从火星返回地球的速度是400万公里/天；墨莫从地球飞向火星的速度是200万公里/天，而从火星返回地球的速度是300万公里/天．现两人同时从地球出发，在地球和火星间往返，请问两人第二次迎面在太空中相遇时距地球多少万公里？（已知地球和火星间的距离约为6000万公里）【答案】2250【解析】 易知第二次相遇在卡莉娅完成一个来回以后．卡莉娅第一次回到地球用时6000600035300400+=天，墨莫到火星需600030200=天，故35天后两人距离为()600030035304500-⨯-=万公里．卡莉娅从地球飞向火星的速度与墨莫从火星返回地球的速度相等，因此，两人第二次迎面在太空中相遇时距地球450022250÷=万公里．4、在东西方向上的A 、B （A 地在B 的西面）两地相距6千米．甲乙分别同时从A 、B 两地出发向东走，甲的速度是每小时12千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动的过程中始终不改变方向，而乙向东走了2分钟后，便转身往回走1分钟，再转向东走2分钟，再转身走1分钟……那么甲、乙两人相遇的地点距B 地多远？【答案】1.2km【解析】乙运动的周期为3min ．每3min 内，甲向东走了3120.660km ⨯=，乙向东走了2160.160km -⨯=，即每3min 内差距缩小0.60.10.5km -=，相遇需60.5336min ÷⨯=，此处距B 点360.1 1.23km ⨯=．5、（金帆六年级秋季）如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向出发．如果甲每分钟走90米，乙每分钟走70米，那么经过多长时间甲才能看见乙？【答案】216min 3【解析】甲看见乙时两人距离最多为正方形边长，即300m ，故甲至少要追上3002300300m ⨯-=，需()300907015min ÷-=，此时甲共走90151350m ⨯=，不在顶点，甲无法看到乙，但只需到下个顶点即可，故还需()230051350901min 3⨯-÷=，总时间为2215116min 33+=．课后作业1、如图所示，一个蜗牛从A点出发沿着一个等边三角形的三边爬行，速度如图所示（单位：厘米/分），那么这个蜗牛顺时针爬行一周的平均速度是______厘米/分．【答案】40【解析】设等边三角形的边长为[]30,40,60120=，则平均速度为120336040/min 120120120432304060cm⨯==++++．2、山谷和森林相距2000米，小老虎从森林出发去山谷，速度为5米/秒．它每走120米都会休息10秒钟，那么走完全程一共需要________秒．【答案】544【解析】走120米需120524s÷=，故周期为241034s+=．20001201680÷=，故需走16个完整周期后再走80米．耗时3416805544s⨯+÷=．3、如图，B 地是AC 两地的中点，AC 之间的距离是12千米．人在AB 上的速度是3千米/时，在BC 上的速度是2千米/时．现在甲、乙二人分别从A 、C 两地同时出发相向而行 ，_____分后两人相遇．【答案】150【解析】1226AB BC km ==÷=．甲到B 耗时632h ÷=，此时乙距B 点由6222km -⨯=，至相遇还需()2220.5h ÷+=，共耗时20.5 2.5150min h +==．4、如图所示，AB 两地相距200米．甲、乙分别从A 、B 两地同时出发，按照箭头所示的方向行走，甲在行进过程中方向始终不变，速度为每分钟20米，而乙按照先走3分钟，再转身走1分钟，转身再走3分钟，……这样的方式走，并且速度是每分钟10米，那么甲、乙两人相遇的地点距B 地______米．（同一时间在同一地点就算相遇）【答案】 2003【解析】乙运动的周期为4min ．每4min 内，甲向东走了20480m ⨯=，乙向东走了()103120m ⨯-=，即每4min 内差距缩小802060m -=，相遇需40200604min 3÷⨯=，此处距B 点402002020033m ⨯-=．5、甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行．出发时，甲的速度为50千米/时，乙的速度是40千米/时，相遇后，甲的速度减少15，乙的速度增加15．这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米，那么，A 、B 两地相距______千米．【答案】882【解析】设两车于C 点相遇，则易知甲在AC 、BC 的速度分别为50/km h 、40/km h ，乙分别为48/km h 、40/km h ，即两人只在AC 段不同，5048104905048AC km +=⨯=-，544908825AB km +=⨯=．6、如图，一个正方形房屋的边长为20米．小山羊和鹿宝宝两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进．小山羊每秒行5米，鹿宝宝每秒行2.5米，且两人每到达一个顶点都需要休息1秒钟．问：出发后经过______________秒小山羊第一次追上鹿宝宝．【答案】小山羊鹿宝宝202022【解析】两者都不休息时需要()405 2.516÷-=秒，此时小山羊走了51680⨯=米，所以小山羊共休息了4次，休息了4秒钟，鹿宝宝走了2.51640⨯=，休息了2次休息了2秒钟，两者时间差是42=2秒，这个时候两者之间的距离是2.525⨯=米，还需要()55 2.52÷-=秒，所以共用时间16+4+2=22秒．。

变速行程问题解题思路一、引言变速行程问题是机械设计与制造中常见的问题之一，尤其在汽车、摩托车等交通工具的设计中尤为重要。

变速器是这些交通工具中最关键的组成部分之一，它可以使发动机在不同转速下输出不同的扭矩和功率，从而满足不同路况下的需求。

变速行程问题指的是如何设计合适的变速器行程，以使得变速器能够平稳地切换到不同档位，并且能够在档位之间实现平滑过渡。

本文将介绍解决变速行程问题的思路和方法。

二、确定目标在解决任何问题之前，首先需要明确目标。

对于变速行程问题来说，我们需要确定以下几个目标：1. 平稳切换：变速器应该能够平稳地切换到不同档位，避免出现顿挫或抖动等现象。

2. 平滑过渡：当从一个档位切换到另一个档位时，应该能够实现平滑过渡，避免出现跳档或猛加油等现象。

3. 转速范围：每个档位应该有相应的转速范围，以保证发动机输出的扭矩和功率都在合适的范围内。

4. 操作力：变速器的操作力应该适中，既不能太轻易误操作，也不能太重影响驾驶舒适度。

5. 耐久性：变速器应该具有较高的耐久性，能够在长时间的使用中保持稳定可靠的性能。

三、分析问题在确定目标之后，我们需要对问题进行分析。

变速行程问题涉及到多个方面，包括机械结构、控制系统和驾驶者操作等。

因此，在分析问题时需要考虑以下几个方面：1. 变速器结构：不同类型的变速器结构会影响行程设计。

例如手动变速器和自动变速器的行程设计有所不同。

2. 液压系统：自动变速器通常采用液压系统实现换挡。

液压系统的设计和控制会影响到换挡过程中的顺畅度和平稳度。

3. 电子控制系统：现代汽车通常采用电子控制系统来控制变速器。

电子控制系统可以通过调整油门踏板、转速等参数来实现平滑过渡。

4. 驾驶者操作：驾驶者的操作习惯和技术水平也会影响到变速器行程的设计。

因此，在设计变速器行程时需要考虑到不同类型的驾驶者。

四、解决问题在分析问题之后，我们可以采取以下几种方法来解决变速行程问题：1. 优化机械结构：通过优化变速器机械结构，例如改变齿轮比、加入同步器等方式来实现平稳切换和平滑过渡。

行程问题——变速、追及、相遇问题【基本公式】：路程＝速度×时间相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；一、变速问题例1、小红上学，每分钟行 60 米，需要 30 分钟，如果速度提高51，可以提前几分钟？举一反三、1、甲从 A 地去 B 地，每小时行 15 千米。

返回时速度提高51，结果少用 3小时。

请问 A 、B 两地的距离是多少千米？2、甲乙两地相距 60 千米，一辆汽车先用每小时12 千米的速度行了一段路，然后速度提高41 继续行驶，共用 4.4 小时到达，请问这辆车出发几小时后开始提速？二、相遇问题例2、甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米．两人几小时后相遇？举一反三、甲乙两艘轮船分别从A 、B 两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇．两地间的水路长多少千米？例3、东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍，3小时后两人相距56千米．两人的速度各是多少？举一反三、小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A 处相遇。

若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？例4、两列货车从相距450 千米的两个城市相向开出，甲车每小时行40 千 米 ，乙车每小时比甲车多行41，出发几小时后两车相遇？举一反三、甲乙两列火车同时从A 、B 两个城市对面开来，甲火车每小时行36 千米，乙火车每小时比甲火车多行92，开出4 小时后两车相遇。

求A 、B 两地之间的距离是多少千米？例5、甲乙两人同时从A 地去B 地，甲每小时行15 千米，乙每小时慢52，甲到达B 地后返回，在距离B 地 24 千米的地方遇到乙，请问A 、B 两地之间的距离是多少千米？举一反三、甲乙两人分别从A 、B 两地出发相向而行，如果甲提前2 小时出发，则再行4.2 小时相遇，如果乙提前2 小时出发，则再行4.8 小时相遇。

行程问题7大经典题型归纳总结拓展简单地将行程问题分类：（1）直线上的相遇、追及问题（含多次往返类型的相遇、追及）（2）火车过人、过桥和错车问题（3）多个对象间的行程问题（4）环形问题与时钟问题（5）流水、行船问题（6）变速问题一些习惯性的解题方法：（1）利用设数法、设份数处理（2）利用速度变化情况进行分段处理（3）利用和差倍分以及比例关系，将形程过程进行对比分拆（4）利用方程法求解1. 直线上的相遇与追及直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基础例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：东西两地间的距离是多少千米？例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？2. 火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。

因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关下面教你一招——以静制动法解决火车过桥问题。

呵呵～～这种类型的题目，看起来复杂，眼花缭乱，其实我们可以以静制动，只看火车头或火车尾在整个行程中的路程。

而当有多个变量（火车过人、两辆火车齐头并进，齐尾并进等）时可以把其中一个变量看做静止，只需要研究另一个变量的行程以及二者的速度和或速度差，就可以轻松求解、屡试不爽。

例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。

求列车与货车从相遇到离开所用的时间。

例题4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。

一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（这道题超级经典~）例题5 有2列火车同时同方向齐头行进,12秒钟后快车超过慢车，已知快车每秒行驶18米，慢车每秒行10米，求快车车身长度多少米？如果这两列火车车尾相齐，同时同方向行进，则9秒钟后快车超过慢车，那么慢车车身长度是多少米。

行程问题之变速问题
1、周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点．甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?
2、周长为310米的圆形跑道上，有相距40米的A，B两点．甲、乙两人分别从A，B两点同
时相背而跑，两人相遇后，甲的速度提高1
3
，乙的速度提高
1
4
，然后即转身与甲同向而跑，
当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?
3、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度
的2
3
.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了
1
3
；乙跑第二圈时速度提高了
1
5
．已知沿跑道看从
甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?
4、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快．两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰．那么甲回到出发点共用多少小时?（用比例）
5、男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B．两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米?（用比例，逐段分析）。