行程问题6变速问题
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变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法.对于这种分段变速问题,利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来;折线图则显得非常直观,每一次相遇点的位置也易于确定;方程的优点在于无需考虑得非常仔细,只需要知道变速点就可以列出等量关系式,把大量的推理过程转化成了计算.行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件;⑵图示法在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法;⑶比例法行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题;⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.模块一、变速问题【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走 52 米,小强每分走 70 米,二人在途中的 A 处相遇。
若小红提前 4 分出发,且速度不变,小强每分走 90 米,则两人仍在 A 处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米?【例 2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加 2 米/秒,乙比原来速度减少 2 米/秒,结果都用 24 秒同时回到原地.求甲原来的速度。
变速行程解题技巧和方法1. 嘿,变速行程问题可别小瞧啊!就像你跑步时一会儿加速一会儿减速,那计算起来可得有窍门哦!比如一辆车先以每小时 40 公里的速度行驶,然后突然加速到每小时 60 公里,那这中间的路程和时间咋算呢?得抓住关键信息呀!2. 哎呀呀,解决变速行程问题,一定要清楚各个阶段呀!好比你玩游戏过不同关卡,每个关卡速度都不一样。
就像那辆自行车,开始慢悠悠地骑,后来猛地加速,这不同阶段可得搞清楚呢,不然怎么算对呀!3. 你们知道不,变速行程解题有个超重要的方法,就像找到宝藏的钥匙一样!比如说那艘船,先顺流速度超快,后来逆流速度就慢下来了,这时候就得好好想想怎么去分析啦,是不是很有意思?4. 哇塞,变速行程解题技巧真的很关键呀!就好像走迷宫,找对了路就一路通畅。
比如那列火车,一会儿加速一会儿减速,不掌握技巧怎么能算得清楚它到底跑了多远呢?5. 嘿哟,变速行程可不能瞎算呀!这就跟做饭一样,得有步骤有方法。
像那个运动员跑步,一会儿冲刺一会儿慢跑,你得知道每个阶段的时间和距离呀,这样才能得出正确答案嘛!6. 哈哈,变速行程解题,那可得动点小脑筋哦!就像解谜题一样有趣。
比如那架飞机,飞行过程中速度不断变化,你不仔细分析能行吗?7. 哇,变速行程问题其实不难的啦!只要掌握了方法,就像开锁一样简单。
好比那辆车在山路上一会儿快一会儿慢,你得找到关键数据呀,不然怎么解题呢?8. 哎呀,变速行程的方法一定要学会呀!这就好像打仗要有战术。
比如那个滑板少年,滑的速度时快时慢,你得清楚怎么去计算他的行程呀,对吧?9. 嘿,变速行程解题技巧超有用的好不好!就像有了魔法棒一样。
比如那只小兔子在田野里蹦蹦跳跳,速度不一样,你得用对技巧才能算出它跑的路程呀!10. 哇哦,变速行程,掌握了技巧和方法,那都不是事儿!就像你掌握了游戏的秘籍。
比如那艘快艇在水面上疾驰,速度变化多端,你得有办法应对呀,这样才能算得准确无误呀!我的观点结论:变速行程解题并不难,只要用心去理解和掌握这些技巧和方法,多做练习,大家都能轻松应对变速行程问题。
一、相遇与追及1、路程和路程差公式【例1]如下图,某城市东西路与南北路交会于路口 A .甲在路口A南边560米的B点, 乙在路口A .甲向北,乙向东同时匀速行走. 4分钟后二人距A的距离相等.再继续行走24分钟后,二人距A的距离恰又相等.问:甲、乙二人的速度各是多少?3、多次相遇【例3]甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米?行程问题【难度]2星【题型]解答画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线):A r--【考点】行程问题【难度】3星【关键词】2003年,明心奥数挑战赛【解析】本题总共有两次距离A相等,第一次:甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程•那么甲、乙两人共走了560米,走了4分钟,两人的速度和为:(米/分)。
第二次:两人距A的距离又相等,只能是甲、乙走过了以北走的路程乙走的总路程•那么,从第二次甲比乙共多走了4 24 28(分钟),两人的速度差:甲速要比乙速要快;甲速(140 20)2 80(米/ 分),乙速【答案】甲速80米/分,乙速60米/分2、多人相遇【例2】有甲、乙、丙3人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75米.现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后,甲又与丙相遇.那么,东、西两村之间的距离是多少米行程问题【难度】2星560 28 20(米/分),甲速20 ,解这个和140 80 60(米/分).560 4 140A点,且在A点560米,共走了乙速140,显然【解析]甲、丙6分钟相遇的路程:10075 6 1050 (米);甲、乙相遇的时间为:10508075210(分钟);东、西两村之间的距离为:10080210 37800(米)【答案]37800米【考点】可以发现第一次相遇意味着两车行了一个车共行了三个A、B两地间的距离•当甲、时,甲车行了95千米,当它们共行三个A、B两地间距离,第二次相遇意味着两乙两车共行了一个A、B两地间的距离A、B两地间的距离时,甲车就行了【题型】解答【考点】差问题,甲速【题型】解答95千米,即95X 3=285 (千米),而这 285千米比一个 A 、B 两地间的距离多 25 千米,可得:95X 3-25=285-25=260( 千米).【答案】260千米二、 典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一列长150米时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟? 【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a ) 根据另一个列车每小时走 72千米,所以,它的速度为:72000 £600 = 20 (米/秒), 某列车的速度为:(25O — 210) - (25 — 23)= 40^2= 20 (米/秒)某列车的车长 为:20X 25-250 = 500-250 = 250 (米),两列车的错车时间为: (250 + 150) -(20 + 20 )= 400^40 = 10 (秒)。
行程专题之变速运动典型例题例1、【相遇后再变速】1.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.出发时,甲,乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时,乙离开A 地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米?2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:2他们第一次相遇后甲的速度提高了20%,乙的速度提高了1/3,这样,当甲到达B 地时,乙离A地还有41千米,那么A、B两地相距多少千米?3.甲乙两车分别从AB两地同时相向而行,出发时甲乙两车的速度比为3:2,两车相遇后,甲车提速20%,乙车提速30%,当甲车到B地时,乙车离A地还有56千米,AB两地相距多少千米?4.(2008年清华附中入学测试题)如图,甲、乙分别从A、C两地同时出发,匀速相向而行,他们的速度之比为5:4,相遇于B地后,甲继续以原来的速度向C地前进,而乙则立即调头返回,并且乙的速度比相遇前降低1/5,这样当乙回到C地时,甲恰好到达离C地18千米的D处,那么A、C两地之间的距离是____千米。
ABCD5.客货两车同时从甲乙两地相对开出,相遇时客货两车所行的路程比是5:4,相遇后货车每小时比相遇前每小时多行27千米,客车仍按原速前进,结果两车同时到达对方的出发站。
已知客车一共行了10小时,问甲乙两地相距多少千米?6.上午8点整,甲从A地出发匀速去B地, 8点20分甲与从B地出发匀速去A 地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变;8点30分,甲、乙两人同时到达各自的目的地。
那么,乙从B地出发时是8点几分?7.一天,小张开拖拉机从甲镇到乙镇,同时小李驾驶小轿车沿同一条路从乙镇去甲镇.在超过两镇之间公路中点15千米的地方,小李见到了小张,之后,小张按原来的速度继续前进,小李则把车速提高1/5,小李到达甲镇后立即顺原路返回乙镇,在离乙镇30千米的地方追上小张.甲乙两镇间的路程有多远?例2.【爬山变速】1.(难度等级※※)甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。
行程问题7大经典题型归纳总结拓展简单地将行程问题分类:(1)直线上的相遇、追及问题(含多次往返类型的相遇、追及)(2)火车过人、过桥和错车问题(3)多个对象间的行程问题(4)环形问题与时钟问题(5)流水、行船问题(6)变速问题一些习惯性的解题方法:(1)利用设数法、设份数处理(2)利用速度变化情况进行分段处理(3)利用和差倍分以及比例关系,将形程过程进行对比分拆(4)利用方程法求解1. 直线上的相遇与追及直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题,这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基础例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲每小时行56千米,乙每小时行48千米,两车在离两地中点32千米处相遇。
问:东西两地间的距离是多少千米?例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳,甲的速度是每秒游1米,乙的速度是每秒游0.6米,他们同时分别从游泳池的两端出发,来回共游了5分钟。
如果不计转向的时间,那么在这段时间内两人共相遇多少次?2. 火车过人、过桥与错车问题在火车问题中,速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方,特殊的地方是路程。
因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关,还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关下面教你一招——以静制动法解决火车过桥问题。
呵呵~~这种类型的题目,看起来复杂,眼花缭乱,其实我们可以以静制动,只看火车头或火车尾在整个行程中的路程。
而当有多个变量(火车过人、两辆火车齐头并进,齐尾并进等)时可以把其中一个变量看做静止,只需要研究另一个变量的行程以及二者的速度和或速度差,就可以轻松求解、屡试不爽。
例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒。
已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车,车身长为320米,速度每秒17米。
求列车与货车从相遇到离开所用的时间。
例题4. 某解放军队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进。
一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾,那么这需要多少时间?(这道题超级经典~)例题5 有2列火车同时同方向齐头行进,12秒钟后快车超过慢车,已知快车每秒行驶18米,慢车每秒行10米,求快车车身长度多少米?如果这两列火车车尾相齐,同时同方向行进,则9秒钟后快车超过慢车,那么慢车车身长度是多少米。
应用题板块-行程问题之变速行驶(小学奥数六年级)变速行驶是行程问题中的综合题,常常需要混合使用多个解题手法,复杂度也直线上升。
本文对常见的题型和解题思路进行梳理分析,答题也就游刃有余了。
【一、题型要领】变速问题常见的有两类一是单人从A到B,以初始速度行驶,在路途中间加速或减速,最终提前或推迟到达目的地。
二是甲乙两人在AB异地同时出发,甲的速度始终不变,乙在行驶一段距离后速度发生改变,最终影响两人到达目的地的时间答题方法主要有分段法,图示法,比例法,方程法。
1. 分段法【基本概念】在非匀速即分段变速的行程问题中,公式(路程 = 速度 * 时间)不能直接套用。
这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来。
2. 图示法【基本概念】在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具,示意图包括线段图和折线图。
图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点。
另外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法。
3. 比例法【基本概念】行程问题中有很多比例关系,在只知道和差,比例时,用比例法可求得具体数值。
更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程,速度,时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例法解题4.方程法【基本概念】在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。
【二、重点例题】例题1【题目】一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行驶40千米,返回时每小时行驶50千米,结果返回时比去时的时间少48分钟。
求甲乙两地之间的路程?【分析】汽车从甲地开往乙地又从乙地开往甲地,来回所走距离相同。
有去时速度 * 去时时间 = 返回速度 * 返回时间已知去时速度 = 40千米/小时,返回速度 = 50千米/小时,因此去时时间:返回时间 = 5:4又知返回时间 - 去时时间 = 48分钟,可得返回时间 = 48 ÷ (5 - 4)* 4 = 192(分钟),最后可求出甲乙两地的距离【解】去时时间:返回时间 = 返回速度:去时速度 = 5:4返回时间 = 48 ÷ (5 - 4)* 4 = 192(分钟)甲乙两地之间的路程 = 50 ÷ 60 * 192 = 160(千米)【答】甲乙两地之间的路程是160千米例题2【题目】甲乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比为3:2,他们第一次相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,这样当甲到达B地时,乙离A地还有28千米。
变速问题教学目标1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。
3、变速变道问题的关键是如何处理“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。
对于这种分段变速问题,利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来;折线图则显得非常直观,每一次相遇点的位置也易于确定;方程的优点在于无需考虑得非常仔细,只需要知道变速点就可以列出等量关系式,把大量的推理过程转化成了计算.行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件;⑵图示法在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中,画图分析⑶比例法行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题;⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52 米,小强每分走70 米,二人在途中的A 处相遇。
若小红提前 4 分出发,且速度不变,小强每分走90 米,则两人仍在A处相遇。
行程问题7大经典题型归纳总结拓展引言行程问题是数学中常见的问题之一,主要研究物体在不同速度、时间、距离条件下的运动情况。
本文将对行程问题中的7大经典题型进行归纳总结,并进行拓展分析。
题型一:相遇问题定义相遇问题是指两个或多个物体从不同地点出发,以不同的速度相向而行,最终在某一点相遇的问题。
公式设A、B两点相距( d ),甲从A点出发,速度为( v_a );乙从B点出发,速度为( v_b )。
若甲乙相遇于C点,则相遇时间为( t ),有:[ t = \frac{d}{v_a + v_b} ]拓展可以拓展到多物体相遇问题,考虑物体间的速度差和相对运动。
题型二:追及问题定义追及问题是指一个物体追赶另一个物体,两者以不同速度运动,最终追上的问题。
公式设甲从A点出发,速度为( v_a );乙从B点出发,速度为( v_b ),甲追上乙所需时间为( t ),则:[ t = \frac{d}{v_a - v_b} ]拓展考虑追及过程中的加速、减速情况,以及追及的临界条件。
题型三:往返问题定义往返问题是指物体在两点间来回运动,可能涉及速度变化的问题。
公式设A、B两点相距( d ),物体速度为( v ),往返一次所需时间为( t ),则:[ t = \frac{2d}{v} ]拓展考虑物体在往返过程中速度的变化,以及往返次数与时间的关系。
题型四:流水行船问题定义流水行船问题是指船只在有水流的河流中航行,需要考虑船速与水流速度的问题。
公式设船在静水中的速度为( v_s ),水流速度为( v_r ),船顺流而下的速度为( v_{up} ),逆流而上的速度为( v_{down} ),则:[ v_{up} = v_s + v_r ][ v_{down} = v_s - v_r ]拓展考虑船只在不同水流速度下的航行策略,以及如何最优化航行时间。
题型五:环形跑道问题定义环形跑道问题是指物体在环形跑道上运动,可能涉及速度和圈数的问题。
一、 相遇与追及1、路程和路程差公式【例 1】 如下图,某城市东西路与南北路交会于路口A .甲在路口A 南边560米的B 点,乙在路口A .甲向北,乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距A 的距离相等.再继续行走24分钟后,二人距A 的距离恰又相等.问:甲、乙二人的速度各是多少?【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2003年,明心奥数挑战赛【解析】 本题总共有两次距离A 相等,第一次:甲到A 的距离正好就是乙从A 出发走的路程.那么甲、乙两人共走了560米,走了4分钟,两人的速度和为:5604140÷=(米/分)。
第二次:两人距A 的距离又相等,只能是甲、乙走过了A 点,且在A 点以北走的路程=乙走的总路程.那么,从第二次甲比乙共多走了560米,共走了42428+=(分钟),两人的速度差:5602820÷=(米/分),甲速+乙速140=,显然甲速要比乙速要快;甲速-乙速20=,解这个和差问题,甲速14020280=+÷=()(米/分),乙速1408060=-=(米/分).【答案】甲速80米/分,乙速60米/分2、多人相遇【例 2】 有甲、乙、丙3人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75米.现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后,甲又与丙相遇. 那么,东、西两村之间的距离是多少米?【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程:()1007561050+⨯=(米);甲、乙相遇的时间为:()10508075210÷-=(分钟);东、西两村之间的距离为:()1008021037800+⨯=(米).【答案】37800米3、多次相遇【例 3】 甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相对开出,第一次在离A 地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B 地25千米处相遇.求A 、B 两地间的距离是多少千米?【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线):可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A 、B 两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A 、B 两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个A 、B 两地间的距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A 、B 两地间的距离时,甲车就行了3个95千米,即95×3=285(千米),而这285千米比一个A 、B 两地间的距离多25千米,可得:95×3-25=285-25=260(千米).【答案】260千米二、典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟?【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a)根据另一个列车每小时走72千米,所以,它的速度为:72000÷3600=20(米/秒),某列车的速度为:(25O-210)÷(25-23)=40÷2=20(米/秒)某列车的车长为:20×25-250=500-250=250(米),两列车的错车时间为:(250+150)÷(20+20)=400÷40=10(秒)。
行程板块之变速问题知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。
例题精讲:【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走 52 米,小强每分走 70 米,二人在途中的 A 处相遇。
若小红提前 4 分出发,且速度不变,小强每分走 90 米,则两人仍在 A 处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米?解析;因为小红的速度不变,相遇的地点不变,所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变,也就是说,小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。
(70×4)÷(90-70)=14 分钟可知小强第二次走了 14分钟,他第一次走了 14+4=18 分钟;两人家的距离:(52+70)×18=2196(米)【例2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加 2 米/秒,乙比原来速度减少 2 米/秒,结果都用 25秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
解析:因为相遇前后甲,乙的速度和没有改变,如果相遇后两人和跑一圈用 25秒,则相遇前两人和跑一圈也用 25秒。
以甲为研究对象,甲以原速V 跑了 25 秒的路程与以(V +2 )跑了 25 秒的路程之和等于 400米,25V +25(V +2 )=400 易得V = 7米/秒【例3】甲、乙两车分别从 A, B 两地同时出发相向而行,6 小时后相遇在 C 点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,且两车还从 A, B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距 C 点 12 千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行 5 千米,则相遇地点距 C 点16 千米.甲车原来每小时行多少千米?解析;设乙增加速度后,两车在 D 处相遇,所用时间为 T 小时。
甲增加速度后,两车在 E 处相遇。
由于这两种情况,两车的速度和相同,所以所用时间也相同。
于是,甲、乙不增加速度时,经 T 小时分别到达 D、E。
变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。
对于这种分段变速问题,利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来;折线图则显得非常直观,每一次相遇点的位置也易于确定;方程的优点在于无需考虑得非常仔细,只需要知道变速点就可以列出等量关系式,把大量的推理过程转化成了计算.行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件;⑵图示法在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法;⑶比例法行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题;⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.模块一、变速问题【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走 52 米,小强每分走 70 米,二人在途中的 A 处相遇。
若小红提前 4 分出发,且速度不变,小强每分走 90 米,则两人仍在 A 处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米?【例2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加 2 米/秒,乙比原来速度减少 2 米/秒,结果都用 24 秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
【例3】(2008年日本小学算术奥林匹克大赛)上午8点整,甲从A地出发匀速去B地,8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变;8点30分,甲,乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从B地出发时是8点分.【例4】(难度等级※※※)A、 B 两地相距 7200 米,甲、乙分别从 A, B 两地同时出发,结果在距 B 地 2400 米处相遇.如果乙的速度提高到原来的 3倍,那么两人可提前10分钟相遇,则甲的速度是每分钟行多少米?【例5】(难度等级※※※)甲、乙两车分别从 A, B 两地同时出发相向而行,6 小时后相遇在 C 点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,且两车还从 A, B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距 C 点 12 千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行 5 千米,则相遇地点距 C 点16 千米.甲车原来每小时行多少千米?【巩固】(难度等级※※※)甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行,5 小时后相遇在 C 点。
如果甲速度不变,乙每小时多行 4 千米,且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行,则相遇点 D 距 C 点 lO 千米;如果乙速度不变,甲每小时多行 3 千米,且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行,则相遇点 E距 C 点 5 千米。
问:甲原来的速度是每小时多少千米?【例6】A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计),甲、乙二人分别从两地同时出发,3 小时后在桥上相遇.如果甲加快速度,每小时多走 2 千米,而乙提前 0.5 小时出发,则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟 0.5 小时出发,乙每小时少走 2 千米,还会在桥上相遇.则 A、 B 两地相距多少千米?【例7】一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的地晚1.5 小时.若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的3/4前进,则到达目的地仅晚1 小时,那么整个路程为多少公里?【例8】王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高1/6,于是提前1 小时 40 分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?【例9】上午 8 点整,甲从 A地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变;8 点 30 分,甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从 B 地出发时是 8 点几分.【例10】(难度等级※※)甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。
两人出发后 1 小时,甲与乙在离山顶600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时?【例11】小华以每小时8/3千米的速度登山,走到途中 A点后,他将速度改为每小时 2千米,在接下来的1小时中,他走到山顶,又立即下山,并走到 A点上方 500米的地方.如果他下山的速度是每小时 4千米,下山比上山少用了 52.5分钟.那么,他往返共走了多少千米?【例12】(难度等级※※※※)甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行,5 小时相遇;如果乙车提前 1 小时出发,则差 13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前 1 小时出发,则过中点 37 千米后与乙车相遇,那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时?【例13】甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛,两人从同一起跑线同时起跑,甲每分钟跑400米,乙每分钟跑360米,当甲比乙领先整整一圈时,两人同时加速,乙的速度比原来快14,甲每分钟比原来多跑18米,并且都以这样的速度保持到终点.问:甲、乙两人谁先到达终点?【例14】环形场地的周长为1800米,甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速),12分钟后相遇.如果每人每分钟多走25米,则相遇点与前次相差33米,求原来二人的速度.【例15】王刚骑自行车从家到学校去,平常只用20分钟。
因途中有2千米正在修路,只好推车步行,步行速度只有骑车速度的13,结果这天用了36分钟才到学校。
从王刚家到学校有多少千米?【例16】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.出发时,甲,乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时,乙离开A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米?【例17】甲、乙往返于相距1000米的A,B两地.甲先从A地出发,6分钟后乙也从A地出发,并在距A地600米的C地追上甲.乙到B地后立即原速向A地返回,甲到B地休息1分钟后加快速度向A地返回,并在C地追上乙.问:甲比乙提前多少分钟回到A地?【例18】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地,小轿车到达乙地后立即返回,返回时速度提高50%。
出发2小时后,小轿车与大货车第一次相遇,当大货车到达乙地时,小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。
小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间?【例19】甲、乙两地间平路占15,由甲地去往乙地,上山路千米数是下山路千米数的23,一辆汽车从甲地到乙地共行了10小时,已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%,行下山路的速度比平路快20%,照这样计算,汽车从乙地回到甲地要行多长时间?【例20】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练:他们同时从同一地出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的23.甲跑第二圈的速度比第一圈提高了13,乙跑第二圈的速度提高了15,已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米,问这条跑道长多少米?【例21】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加4米/秒,乙比原来速度减少4米/秒,结果都用25秒同时回到原地.求甲原来的速度.【巩固】从A村到B村必须经过C村,其中A村至C村为上坡路,C村至B村为下坡路,A村至B村的总路程为20千米.某人骑自行车从A村到B村用了2小时,再从B村返回A村又用了1小时45分.已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变,而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍.求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度.【例22】(2008年“奥数网杯”六年级)欢欢和贝贝是同班同学,并且住在同一栋楼里.早晨7:40,欢欢从家出发骑车去学校,7:46追上了一直匀速步行的贝贝;看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知,欢欢立即调头,并将速度提高到原来的2倍,回家换好校服,再赶往学校;欢欢8:00赶到学校时,贝贝也恰好到学校.如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计,那么贝贝从家里出发时是点分.【例23】甲、乙两人都要从A地到B地去,甲骑自行车,乙步行,速度为每分钟60米.乙比甲早出发20分钟,甲在距A地1920米的C处追上乙,两人继续向前,甲发现自己忘带东西,于是将速度提高到原来的1.5倍,马上返回A地去取,并在距离C处720米的D处遇上乙.甲到达A地后在A地停留了5分钟,再以停留前的速度骑往B地,结果甲、乙两人同时到达B地.A、B两地之间的距离是米.【例24】小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍?【例25】(2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛)某校在400米环形跑道上进行1万米比赛,甲、乙两名运动员同时起跑后,乙的速度始终保持不变,开始时甲比乙慢,在第15分钟时甲加快速度,并保持这个速度不变,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。
在第23分钟时甲再次追上乙,而在23分50秒时甲到达终点。
那么,乙跑完全程所用的时间是多少分钟?【例26】(2003年迎春杯)甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的2.5倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米,那么这条环形跑道的周长是米.【例27】如图所示,甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。
跑道右半部分(粗线部分)道路比较泥泞,所以两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米,而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。