二次函数（第1课时）
1内容简析
“二次函数的概念”是本章的第一课时，是一节概念课，数学概念是建构数学理论大厦的基石，是学生进行数学思维的核心，因此概念教学耀格外的重视，把教学目标确定为对概念的理解和表达式的掌握，符合课标要求．此外，把观察、类比、猜想等思想方法和分析、综合、抽象、概括等思维能力的培养作为教学目标，符合知识发展规律和学生认知水平、能力培养要求．
2 教学目标
教学目标：
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.
2. 会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围.
3.经历对实际问题情境分析，引导学生观察、类比、归纳等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等思维能力；
3 教学重难点
重点：二次函数的概念，经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
难点：确定问题中二次函数的关系式；
4 教学过程设计
4.1预习导航
知识准备：
（１）一元二次方程的一般形式是什么？（发挥学生积极性，请学生回答。）（２）回忆学过的正比例函数、一次函数、反比例函数的一般形式又是怎样的？提出问题（展示交流）
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是_______________________.
2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为____________________.
3．要给一个边长为x (m )的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是___________________________.
4.2 归纳提高（讨论归纳）：
观察上述函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？
【设计意图】以复习的方式把学生的思路引导函数大家庭中，暗示寻找新的家庭成员，培养学生的求知欲。 “复习”不是单纯对知识的回顾，而是通过对知识产生过程的反思，通过对一次函数、反比例函数表达式的回顾、比较，体会不同函数形式与函数名称之间的区别，为本节课二次函数概念的类比教学打下坚实的基础．
5 课堂探索与展示：
5.1 自觉思考
你对“二次函数”这个课题有什么感到好奇的地方？说出你想提出的问题！在这节课中，我们首先要关注什么问题？
(1)二次函数的概念；
(2)二次函数关系式的简单应用；
2．唤醒已有知识和经验：
（1）看到函数你会想到什么数学知识？
一次函数：形如y=kx+b （k ≠0，k 、b 为常数）
反比例函数：形如 y= （k ≠0，k 为常数）k x
……
（2）看到二次你会想到什么数学知识？
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数） ……
（3）猜想
一次函数：形如y=kx+b （k ≠0，k 、b 为常数）
反比例函数：形如y= （k ≠0，k 为常数） k x
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数）
猜想：根据已有的知识和经验，我们应该怎样给二次函数下定义呢？
5.2 自主探究
（一）自主探究题
写出下列函数关系式，将函数解析式改写成按自变量的降幂排列的形式，并写出自变量的取值范围.
1. 圆的面积S 与半径r 之间函数关系式。并求出自变量的取值范围。
2．圆的半径为3cm ，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到s(cm2)，写出s 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围。
3．某药品10月份的价格为30元/盒，如果11、12月的价格下降率都为p （根据市行情每次的下降率不会超过30％），试写出12月份该药品的价格w （元/盒）与p 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围。
4．一面长比宽之比为2:1的长方形镜子，四周镶有边框（边框宽不计）.已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元，设镜面宽为x 米，则总费用y （元）与镜面宽x （米）之间有何函数关系？并求出自变量的取值范围。
解答：
（1） S=πr2 (r ＞0)
（2）S=πx2+6πx+9π （x ≥0）
（3）w=30p2-60p+30（0≤p ≤30％）
（4）y=240x2+180x+45 (r ＞0)
【设计意图】用生活中的事例设置生动的问题情境，贴近学生的生活，能让学生体会数学源于生活实践，并且源于生活又反过来服务于生活实践的意义，能调动学生学习数学的积极性；学生用已有的知识和经验能顺利解决问题，这样简洁明快的问题情景直接，效果好，让学生直接对概念有好的认识。
（二）观察、类比、归纳
观察下列函数关系式：
S=πx 2+6πx+9π w=30p 2-60p+30 y=240x 2+180x+45
类比分析：这些函数关系式有哪些共同特征？
它们与一次函数、反比例函数有什么不同？
归纳：你能用一个一般的关系式来概括它们吗？
y=ax2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）
一般地，形如y ＝ax2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0)的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数。
【设计意图】观察、类比归纳二次函数表达式，与一次函数、反比例函数的表达式进行
类比发现它们之间的联系（都是函数）和区别（指数不同），再利用学生已有一次函数、反比例函数概念的有关知识建立二次函数的概念，体验二次函数概念的必要性和合理性，这种自发形成概念的方式，是尊重学生主体地位、强化学生主体意识的体现。通过实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础。
5.3 自觉内化
1．概念强化
一般地，形如y ＝ax2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0)的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数
注意：（1）一般地，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的自变量x 可以是任意实数；
（2）在实际问题中，其自变量的取值是有一定的范围,不能使实际问题失去意义。
2．概念辨析
判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a 、b 、c 的值.
(1) (2) 123-212+=x x y 23)-2(3x x x y +=(3) （4）12312++=x x y 6
52++=x x y (5) （6） （m 为任意实数）
c bx ax y ++=2【归纳总结】
判断一个函数是否是二次函数的关键是：
（1）等号左边是变量y ，右边是关于自变量x 的整式。
22(1)1y m x =++
